吴赣昌版高数第六章定积分的应用

第六章定积分的应用

内容概要 名称 定积分的元素法 平面图形的面积 极坐标系 2、将lim??0主要内容 定积分的元素法是一种简单记忆定积分（1、将?AiA??f(x)dx）三步骤的方法： ab?f(?i)?xi记为dA?f(x)dx ?i?1n写为?ba 直角坐标系 X-型 Y-型 a?x?bc?y?d?? DA:? DA:??f1(x)?y?f2(x)?g1(y)?x?g2(y)A??(f2(x)?f1(x))dx A??(g2(y)?g1(y))dy acbd?????? DA:??0?r?r(?)旋转体体积 绕x轴旋转： A??1?2?r2(?)d? 体积 已知平行截面面积的立体体积 已知垂直于x轴的平面截立体所得截面面积为A(x),立体又被夹于x?a和x?b两平面间，则： 已知垂直于y轴的平面截立体所得截面面积为A(y),立体又被夹于y?c和y?d两平面间，则： ?a?x?bb DA:?2V??f0?y?f(x)??a(x)dx 绕y轴旋转： V??2?xf(x)dx ab?c?y?dd DA:?2?0?x?g(y)V??c?g(y)dy 平面曲线的弧长 直角坐标 参数方程 极坐标 绕y轴旋转： V??A(x)dx abV??A(y)dy cdL：y?f(x)，x?[a,b] ds?1?y?2dx； s??ba1?y?2dx ?x??(t)L：r?r(?)，?????； (??t??) L：??y??(t)ds?r2(?)?r?2(?)d?； ds???2(t)???2(t)dt ?s??r2(?)?r?2(?)d? ??22s????(t)???(t)dt ?物理应用：1、变力沿直线作功 2、水压力 3、引力

课后习题全解

习题6-2

★ 1．求由曲线

y?x与直线y?x所围图形的面积。

知识点：平面图形的面积

思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1

y D y?x

y?x 0 1 x 图6-2-1 ?0?x?1?0?y?1∵所围区域D表达为X-型：?， （或D表达为Y-型：?2） x?y?xy?x?y??∴SD211??(x?x)dx?(x?x2)? 032601321 （SD★ 2．求在区间[0，

??(y?y2)dy?011） 6?/2]上，曲线y?sinx与直线x?0、y?1所围图形的面积

知识点：平面图形面积

思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解：见图6-2-2

0 1 y D y?sinx ?/2x ?/2图6-2-2

???0?y?1?0?x?∵所围区域D表达为X-型：?， （或D表达为Y-型：） ?2?0?x?arcsiny??sinx?y?1? ∴SD2???(1?sinx)dx?(x?cosx)0201??2?1

（ SD★★3．求由曲线

??arcsinydy?0?2?1）

y2?x与y2??x?4所围图形的面积

知识点：平面图形面积

思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-3

0 4 2y y??x?42D y2?x x ?2?2图6-2-3 ?y2?x?x?2∵两条曲线的交点：?， ??2y??2?y??x?4?∴所围区域D表达为Y-型：???2?y?2，

22?y?x?4?y2∴SD??2?2(4?y?y)dy?(4y?y3)23?22?2162 3（由于图形关于X轴对称，所以也可以解为：

SD?2?20216(4?y2?y2)dy?2(4y?y3)?2）

3302★★4．求由曲线

y?x2、4y?x2、及直线y?1所围图形的面积

知识点：平面图形面积

思路：所围图形关于Y轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4

∵第一象限所围区域D1表达为Y-型：?图6-2-4 1yy?x 4y?x2D1 2 x D0 1 2 ?0?y?1?y?x?2y2y33120，

∴SD?2SD1?2?(2y?y)dy?2?01?43 0?x?1??2（若用X-型做，则第一象限内所围区域D1?Da?Db，其中Da：?x2， ?y?x??41?x?2?12x2x24?22)dx?(1?)dx]?；∴SD?2SD?2[?(x?） Db：?x?101?y?1443??41★★5．求由曲线y?与直线y?x及x?2所围图形的面积 x知识点：平面图形面积

思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做 解：见图6-2-5

y 1 D y?x

y?1/xx 0 1 图6-2-5 2 ∵两条曲线

y?1x和

y?x的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和x?2分别交于

(2, 1)、(2, 2) 21?x?2??1∴所围区域D表达为X-型：?，

?y?x??x∴SD??21113(x?)dx?(x2?lnx)??ln2

x2212★★★6．抛物线

y2?2x分圆x2?y2?8的面积为两部分，求这两部分的面积

知识点：平面图形面积

思路：所围图形关于X轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为SD1，剩余面积为SD2

0 2 图6-2-6 ∵两条曲线

y y2?2xD1 x 0 y2?2x、x2?y2?8的交于(2,?2)（舍去x??4的解），

??2?y?2?2 ∴所围区域D1表达为Y-型：?y2?x?8?y??2∴SD12；又图形关于x轴对称，

2y2y34422?2?(8?y?)dy?2(?8?y?)?2(??2?)?2??

00260332 （其中

?208?ydy2y?22sint????4022cost?22costdt?8?401?cos2tdt???2） 2 ∴SD2??8?2??44?6?? 33★★★7．求由曲线

y?ex、y?e?x与直线x?1所围图形的面积

知识点：平面图形面积

思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做

解：见图6-2-7

∵两条曲线

图6-2-7 0 1 1 y y?e?x y?ex D x y?ex和y?e?x的交点为（0，1），又这两条线和x?1分别交于

?1 (1, e)和(1, e)

∴所围区域D表达为X-型：?1?0?x?1?xx?e?y?e10，

∴SD??(ex?e?x)dx?(ex?e?x)?e?e?1?2 0★★★8．求由曲线y?lnx与直线y?lna及y?lnb所围图形的面积(b?a?0) 知识点：平面图形面积 思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-8

y?lnbyy?lnx

y?lna0

1 lna lnb x 图6-2-8 ?lna?y?lnb∵在lnx的定义域范围内所围区域D：?， y0?x?e?∴SD??edy?elnalnbyylnblna?b?a

★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y轴，且

向下弯；（2）它与x轴所围图形面积最小

知识点：平面图形面积和求最值

思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量

解：由于抛物线的对称轴平行于y轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为y?ax2?bx，（由于下

弯，所以a?0），将（1，2）代入y?ax2?bx，得到a?b?2，因此y?ax2?(2?a)x

该抛物线和X轴的交点为x?0和x?a?2， aa?2?0?x??∴所围区域D：? a2??0?y?ax?(2?a)x∴SD??a?2a0a2?a2[ax?(2?a)x]dx?(x3?x)3202a?2a(a?2)3?6a2

11?SD(a)?[a?2?3(a?2)2?(a?2)3?(?2a?3)]?a?3(a?2)2(a?4)

66得到唯一极值点：a??4，

∴所求抛物线为：

★★★★10．求位于曲线y??4x2?6x

y?ex下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积

知识点：切线方程和平面图形面积

思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型 解：y?e?y??e，∴在任一点x?x0处的切线方程为y?e而过（0，0）的切线方程就为：所求图形区域为D

X-型下的D1：?图6-2-10 0 xxx0?ex0(x?x0)

y?e?e(x?1)，即y?ex

?D1?D2,见图6-2-10

yD1 D2y?ex y?exx????x?0?0?x?1D，：?2xx0?y?e??ex?y?e

∴SD??exdx??(ex?ex)dx?e??001x1??e?x221?e?0ee? 22★★★11．求由曲线r?2acos?所围图形的面积

2知识点：平面图形面积

思路：作图可知该曲线是半径为a、圆心（a, 0）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为?a，

也可选择极坐标求面积的方法做。

解：∵作图6-1-11

图6-1-11 0 r a 2a????????知所求图形区域D：?22 ??0?r?2acos??∴SD??2??22111(2acos?)2d??2a2(??sin2?)??a2 ?222?2?★★★12．求三叶玫瑰线r?asin3?的面积S 知识点：平面图形面积 思路： 三叶玫瑰由三瓣面积相等的叶片组成

图6-2-12中所画是三叶玫瑰中的一叶， 而一叶图形又关于? ??6r?asin3?D1 对称，

因此选择其中一叶的一半区域D1求其面积

?/6 0 r ???0???解：∵D1：?6??0?r?acos3??

图6-2-12 ∴SD?6SD1?6?6061111(acos3?)2d??3a2(??sin6?)??a2 22640?★★★13．求由曲线r?2a(2?cos?)所围图形的面积

知识点：平面图形面积

思路：作图可知该曲线围成的图形关于极轴对称，因此选择其中一半区域D1求其面积

4a 3a 0 D1 r?2a(2?cos?) 6a r

解：∵D1：?∴

图6-2-13 0?????

0?r?2a(2?cos?)??SD?2SD1?2??01411[2a(2?cos3?)]2d??4a2[4??(sin3????sin6?)?18?a2232120★★★14．求对数螺线??ae?(??????)及射线???所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：作图可知该曲线围成的图形是由??ae?，?从??到?一段曲线及射线???所围，由此可确定?、?的范围 ae?/2 r?ae ae ??D a r ae?? 0 图6-2-14 解：∵所围区域D：??????????0???ae

∴SD?????1a212??2(ae)d???e222???a22??(e?e?2?)

4★★★★15．求由曲线r?3cos?及r?1?cos?所围图形的面积

知识点：平面图形面积

思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部分D，而D又关于极

轴对称，设?在（0，

0 r?1?cos? ?）内的曲线和极轴围成的半个D为D1区域 2???/3 r?3cos? D1 3/2 r 图6-2-15 解：两条曲线r?3cos?、r?1?cos?交于????3处，

??????0???????因此分割区域D1?Da?Db，其中Da：?3，Db：?32???0?r?1?cos??0?r?3cos??112SD?2SD1?2[?3(1?cos?)d????2(3cos?)2d?]0232?

3?191?15?2[??(2sin??sin2?)?(??sin2?)]???234226440323?? ★★★16．求由曲线r?2sin?及r2?cos2?所围图形的面积

知识点：平面图形面积

思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分

组成，其中一部分为两图形重叠部分D，而D又关于射线???2r?2sin? 对称，设两条曲线

?在（0，）围成的半个D为D1区域

2

D1 ???/4 ???/6 0 r 图6-2-16 r2?cos2?

解：两条曲线r?2sin?、r2?cos2?交于???6及??5?6

?????????0????因此分割区域D1?Da?Db，其中Da：?6，Db：?62???0?r?2sin??0?r?cos2?SD?2SD111?2[?6(2sin?)2d????2cos2?d?]0226?60

??1?1?2(??sin2?264（和书后答案不同）

★★★17．求由摆线

1?3?sin2?)???46226?

x?a(t?sint)，y?a(1?cost)(0?t?2?)及x轴所围图形的面积

知识点：平面图形面积 思路：在直角坐标系下作图可知所围图形的x、y变化范围，先求出直角坐标系下积分表达式，再将积分变量代换成t ?0?x?2?a解：∵所围区域D：?， 0?y?y(x)? （∴SDy D x?a(t?sint) ? ??y?a(1?cost)y?y(x)为摆线） 2?a0 图6-2-17 2?a x ??0y(x)dx， 作代换x则SD?a(t?sint)，

2?2?3??a(1?cost)d[a(t?sint)]??a2(1?cost)2dt?a2?2??3?a2 002习题6-3

1． 求下列平面图形分别绕x轴、y轴旋转产生的立体体积：

★(1)．曲线

y?x与直线x?1、x?4、y?0所围成的图形；

知识点：旋转体体积

思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范围），

代入相应的公式。

y D y?x 解：平面图形D：?

?1?x?4，见图6-3-1-1

0?y?x?0 14 x 图6-3-1-1

绕x轴旋转产生的立体体积： V 绕y轴旋转产生的立体体积：V★★(2)．在区间[0, ???(x)2dx?1415?2；

??2?xxdx?14124?5(和书上答案不同) 、

?2]上，曲线y?sinx与直线x??2y?0所围成的图形；

???0?x?解：平面图形D：? 2，见图6-3-1-2，??0?y?sinx 绕x轴旋转产生的立体体积： Vy 1 D2 y?sinx D 1??2?(sinx)2dx??2； 04?0 ?/2x 绕y轴旋转产生的立体体积： ??20图6-3-1-2 ?/2??方法一：V??202?sinx2)?2? 2?xsinxdx?2??(?x)dcosx?2?(?xcosx00方法二：V可看作由D1（矩形0?x?（0?2，0?y?1）绕y轴旋转而成的体积V1，减去由D2?y?1，0?x?arcsiny）绕y轴旋转而成的立体体积V2所得 ∴V??()???(arcsiny)2dy?2?02?21

★(3)．曲线

y?x3与直线x?2、y?0所围成的图形。

；

2?0?x?212832V??(x)dx??解：平面图形D：?，绕x轴旋转产生的立体体积： 3?070?y?x?绕y轴旋转产生的立体体积：V??2?xx3dx?0264?5

（绕y轴旋转产生的立体体积如同（2）也有两种计算法）

★★2．求由曲线

y?x2、x?y2所围成的图形绕y轴旋转一周所产生的旋转体体积。

知识点：旋转体体积

思路：该平面图形绕y轴旋转而成体积V?0?y?1可看作D1：?绕y轴旋转而成的体积V1，减去

0?x?y??0?y?1D2：?2?0?x?y绕y轴旋转而成的立体体积V2所得，见图6-3-2

0 1 y y?x2D1 y2?x 1 D2x

解： V?V1?V2?★★3．求由曲线

120图6-3-2 122??(y)dy???(y)dy?03? 10y?sinx（0?x??）与x轴围成的平面图形绕y轴旋转一周所产生的旋转体体积。

知识点：旋转体体积

思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范围），代入相应的公式

??0?x??2解：平面图形D：?，绕y轴旋转产生的立体体积： V??2?xsinxdx?2? 0?0?y?sinx（绕y轴旋转产生的立体体积如同1（2）也有两种计算法） ★★★4．求由曲线y?achxa，x?0，x?a，y?0（a?0）所围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积。 知识点：旋转体体积 思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范围），代入相应的公式 y y?achxa ??0?x?ax解：平面图形D：?，见图6-3-4， 0?y?ach?a?

绕x轴旋转产生的立体体积：

D a 0 a x图6-3-4 Vax???(ach)2dx?a2??00acha2xa?1a2xa?a32adx?a?(sh?)?(2?sh2)

24a024★★★5．求摆线

x?a(t?sint)，y?a(1?cost)的一拱与y?0所围图形绕直线y?2a轴旋转而

成的旋转体体积。

知识点：旋转体体积

思路：若设所围区域为D，则该平面图形绕y?2a旋转而成体积V可看作矩形区域D1：??0?x?2??0?y?2a?0?x?2?绕y?2a旋转而成的体积V1，减去区域D2：?绕y?2a旋转而成的立体体积V2所

y(x)?y?2a?得，（其中，y(x)表示摆线的函数式，见图6-3-5

图6-3-5 2y 2a ?x?a(t?sint) ?y?a(1?cost)? D2 0 D 2?a x 解：V?V1?V2??(2a)?2?a?322?2?2?a0?(2a?y)2dx，作代换x?a(t?sint)，则 222?0V?8a????(a?acost)ad(t?sint)?8a????a3sin2t(1?cost)dt 0?8a2?2??a3(?★★★★6．求x22?02?1?cos2tdt??sin2tdsint)?7?2a3 02?y2?a2绕x??b（b?a?0）旋转而成的旋转体体积。 知识点：旋转体体积 222思路：由图形的对称性可知所求体积V?2V1，其中V1是由x?y?a（y?0）部分，绕x??b旋转而成的旋转体体积，又根据元素法，V1是由图形中的线段转一周所得的圆柱面叠加而成，见图6-3-6

y（0?y?a2?x2）绕x??b旋

x??b 线段?ax x?dx 0 ar 图6-3-6

解：V?2V1?2?a?a2?(x?b)a?xdx?4?b?22a?aa2?x2dx?2?2a2b

★★★★7．由心形线

??4(1?cos?)和射线??0及???2所围图形绕极轴旋转而成的旋转体体积。

知识点：旋转体体积

思路：极坐标中的此平面图形绕极轴旋转相当于直角坐标系下的该图形绕x轴旋转 解：平面区域D：0???4(1?cos?)（0

∵心形线?0 图6-3-7 8 ????2y ），见图6-3-7

??4(1?cos?) r?4(1?cos?)的直角坐标表示：

?x?4(1?cos?)cos?222 （0?x?8），根据直角坐标下的体积计算及x?y??，得： ??y?4(1?cos?)sin?83V???ydx???(??x)dx????dx??00038282282x?4(1?cos?)cos? ?83??2?16(1?cos?)d[4(1?cos?)cos?]?3?022283???64?(1?cos?)[d(1?cos?)?d(1?cos?)]??

320118343?64?[(1?cos?)?(1?cos?)]???160??23320

★★★8．计算底面是半径为

R的圆，而垂直于底面上的一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体

积。

知识点：已知平行截面面积的立体体积

思路：首先以固定直径为x轴确立圆方程：x?y?R，再求垂直于x轴的截面面积，然后代入公

式。见图6-3-8

222

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