第六章高教版

第6章 随机信号分析实验

随机信号分析是一门理论性较强的专业基础课程，在理论课上主要是通过数学方法讲述随机信号的分析及变换。因此，为了使初学者对随机信号的产生方法、统计特性、数字特征及其应用有较全面地了解；为了使初学者能够有效的将理论与实践相结合，特设置随机信号分析实验。

随机信号分析实验是设计性、开放性实验。根据随机信号分析理论课程的内容，有目的性地选择了一些实验题目，以培养初学者的综合能力和创新能力，使初学者能够把所学的基本理论用于当前本专业研究的热点中，解决工程实践中的具体问题，同时提高初学者的学习兴趣，锻炼初学者的独立分析问题与解决问题的能力。本章实验一~实验四为随机信号分析理论课程的基础应用性实验；实验五和实验六为综合性实验，初学者可根据自己的兴趣选择实验内容。

由于在进行本实验之前，初学者已有多门相关课程的基础理论知识和基本实验技能。因此，为了减少重复，本章只针对实验一的内容进行全面详细地描述，而其它实验，仅对实验目的、实验内容、实验任务与要求做了叙述。针对于其它五个实验，初学者可参考实验一的实验过程、实验方法及实验步骤完成实验内容并撰写实验报告。

6.1 实验一 随机噪声特性分析 6.1.1 实验目的

1、了解随机噪声的均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱的特性。

2、掌握白噪声、色噪声信号的产生方法。 3、掌握随机信号的分析方法。

4、熟悉常用的信号处理仿真软件平台：MATLAB、C/C++。

6.1.2 实验仪器与软件平台

1、微计算机；

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2、双路输入示波器、信号源； 3、MATLAB或C/C++仿真平台。

6.1.3 实验步骤

1、根据本实验内容和要求查阅有关资料，设计并编写出相关的程序流程； 2、自选MATLAB或C仿真软件； 3、测试程序是否达到设计要求； 4、分析实验结果是否与理论概念相符。

6.1.4、实验内容

1 白噪声特性分析

一、实验原理

白噪声是指它的概率统计特性服从某种分布而它的功率谱密度又是均匀的。确切的说，白噪声只是一种理想化的模型，因为实际的噪声功率谱密度不可能具有无限宽的带宽，否则它的平均功率将是无限大，是物理上不可实现的。然而白噪声在数学处理上比较方便，所以它在通信系统的分析中有十分重要的作用。一般地说，只要噪声的功率谱密度的宽度远大于它所作用的系统的带宽，并且在系统的带内，它的功率谱密度基本上是常数，就可以作为白噪声处理了。白噪声的功率谱密度为：

Sn(f)?N0 2其中N0/2就是白噪声的均方值。白噪声的自相关函数为：

R（?）?N0?(?) 2N0的冲激函数。这表明白噪声在任2白噪声的自相关函数是位于??0处、强度为

何两个不同的瞬间的取值是不相关的。同时也意味着白噪声能随时间无限快的变化，因为它的带宽是无限宽的。通过几种常见的、概率分布为均匀分布、正态分

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布、指数分布、瑞利分布、?2方分布的随机噪声的统计特性分析，判断在这些随机噪声中哪些是白噪声。

二、实验任务与要求

(1) 通过本实验要求掌握几种分布的随机噪声的共同点和不同点，重点在于系统测试与分析。实验系统框图如图6-1-1、图6-1-2所示。

产生各种分布的随机信号

信号特性测试及绘制曲线

图6-1-1 各种分布随机信号测试

产生各种相同分布的随机信号Σ信号特性测试及绘制曲线

图6-1-2 随机信号叠加后的特性测试

(2) 自选MATLAB或C/C++仿真软件之一产生几种概率分布的随机信号：随机序列的长度N=1024，随机序列包括均匀分布、正态分布、指数分布、瑞利分布、?2方分布。并计算这些随机数的均值、均方值、方差，自相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度并绘图。分析实验结果，掌握均值、均方值、方差，自相关函数、频谱及功率谱密度的物理意义。

例：均值除了表示信号的平均值，它的物理含义是什么。相关函数当??0时为什么会有一个冲激，有什么物理意义。信号的时域波形有哪些特征，频域又有哪些特征，频谱及功率谱密度有什么差异。哪些噪声是白噪声，这些噪声是否符合白噪声的定义。在进行系统仿真和用波形图表示信号时如涉及到采样频率要根据输入信号来确定。

(3) 验证当数据长度N增大时，白噪声的功率谱密度逼近

N0。设产生2N=20480长度的均值为2方差为3的正态随机数，从中取1024、10240、20480个点的功率谱密度作比较，观察这些随机数的功率谱密度随数据长度的变化。实际的白噪声功率谱密度不为常数，对白噪声功率谱密度求均值等于

N0，初学者2 288

可以自己验证。

(4) 根据白噪声的特性，确定哪些随机信号属于白噪声范畴。根据分析确定白噪声与概率分布有关系吗？

(5) 试将五个均匀分布的随机噪声相叠加，其结果是否为高斯分布并分析其原因；试将五个指数分布的随机噪声相叠加，其结果是否为高斯分布并分析其原因。分析在这两种情况下的数据长度对叠加结果的影响。 2 白化滤波器的设计与分析

一、实验原理

在统计信号处理中，往往遇到等待处理的随机信号是非白色的，例如云雨、海浪、地物反射的杂乱回波等，它们的功率谱即使在信号通带内也非均匀分布。这样会给问题的解决带来困难。克服这一困难的措施之一是对色噪声进行白化处理。主要内容是设计一个稳定的线性滤波器或者一种白化变换方法，将输入的有色噪声变成输出的白噪声。下面探讨两种方法来实现白化问题。

(1) 白化滤波器

将任意随机信号x?t?输入一个线性时不变滤波器，滤波器将x?t?白化为白噪声，这个滤波器就叫做白化滤波器。可以使用频域技术白化这个信号，用输入信号的功率谱密度Sx(?)，选择最小相位H(?)得到极点和零点都位于S面左侧，这样就可以用以下关系构造白化滤波器：H(?)?1，选择最小相位滤波器Hx(?)保证逆滤波器稳定，必须保证Hx(?)在所有?上都严格为正，这样H(?)就不会有奇点。白化噪声的功率谱为：H(?)H*(?)Sx(?)?谱为常数，可见随机噪声已白化。

(2) 白化滤波器的设计方法

首先计算色噪声自相关函数，根据色噪声的自相关函数，计算出色噪声的功率谱，然后根据公式|H1(?)|2?1，注意求倒数时Gx(?)不能为零。计算出Gx(?)Sx(?)?1，白化噪声的功率Sx(?) 289

白化滤波器的频谱。

白化变换就是要构造一个白化矩阵，使色噪声与白化矩阵相乘后为白噪声。

????X?Q?X线性变换，使得X的协方差矩阵Cx为单位矩阵(即Cx?E[XXT]?I)。这里Q称作白化矩阵，它可以通过对色噪声矩阵X的协方差矩阵Cx?E[XXT]的对角化求解来获得：Q?ETA?1/2E，式中E矩阵由Cx的特征向量组成，A为Cx的特征值?i组成的对角矩阵A?diag??1,?2,?,?l?。经过白化处理后，色噪声信

??号变换为具有单位方差的信号X，且X中各信号分量相互正交。

白化变换方法总结：

a) 将生成的色噪声由一行变为n?m的矩阵。 b) 计算色噪声的协方差矩阵Cx。

c) 计算协方差矩阵的特征值?i以及特征向量。 d) 求白化变换矩阵。

e) 白噪声等于色噪声乘白化矩阵。

f) 再将生成的色噪声由n?m的矩阵变为一行。 二、实验任务与要求

(1) 实验系统框图如图6-1-3所示，其中x?t?、y?t?均为白噪声样本函数，其时域、频域波形图如图6-1-4所示。

x(t) n(t) y(t)色噪声产生白化滤波器

图6-1-3 实验系统框图

（a）白噪声信号时域波形图 （b）白噪声信号频谱波形图

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图6-1-4 高斯白噪声的时域、频域波形图

要求测试x?t?的均值、均方值、方差，自相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度并用波形图表示。

(2) 产生色噪声 ：设计低通型衰减滤波器，实现色噪声n?t?。色噪声波形和功率谱密度如图6-1-5和6-1-6所示。

图6-1-5 色噪声信号 图6-1-6 色噪声功率谱密度

要求测试n?t?的均值、均方值、方差，自相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度并用波形图表示。

（3）白化噪声设计：使用白化变换方法或白化滤波方法产生白化信号y?t?。白化信号的时域、频域波形图6-1-7所示：

（a）白化后噪声信号 （b）白化噪声的功率谱密度

图6-1-7 白化信号的时域波形和功率谱密度波形

计算白化信号的均值、均方值、方差、自相关函数、概率密度函数、频谱及功率谱密度。

（4）注意观察色噪声信号、白化后的信号相关特性，并作结果分析。 （5）思考在这里为什么要进行频谱和功率谱密度的计算与分析，理想白噪声能否进行傅里叶变换？

3 理想白噪声、带限白噪声特性比较

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一、实验原理

若一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度在某一个有限频率范围内均匀分布，而在此范围外为零，则称这个过程为带限白噪声。带限白噪声可分为低通和带通型。

二、实验任务与要求

(1) 通过实验掌握白噪声的特性以及带限白噪声的意义，重点在于系统测试与分析。选用MATLAB或C/C++仿真软件之一编写程序和仿真，系统框图如图6-1-8所示。

低通 x(t)y1?t?带通y2?t?

图6-1-8 带通滤波器系统框图

(2) 输入信号x?t?分别为高斯白噪声和均匀白噪声信号

要求测试白噪声的均值、均方值、方差，自相关函数、概率密度、频谱及功率谱，并绘图。分析实验结果，掌握均值、均方值、方差，自相关函数、频谱及功率谱的物理意义。

(3) 设计一个低通滤波器和一个带通滤波器。要求白噪声分别通过低通滤波器和带通滤波器后的信号能够表现出带限白噪声的特点。测试低通滤波器和一个带通滤波器的时域特性和频域特性以验证其正确性。

(4) 分别计算高斯白噪声、均匀白噪声经过低通滤波、带通滤波器后的均值、均方值、方差、概率密度、自相关函数、频谱及功率谱密度，并加以分析。

(5) 所有结果均用波形图来表示。 (6) 白噪声在什么情况下为带限白噪声？ 4 色噪声的产生与特性分析

一、实验原理

把除了白噪声之外的所有噪声都称为有色噪声。就像白光一样，除了白光就是有色光。

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色噪声中的几个典型实例：

(1) 粉红噪声。粉红噪音是自然界最常见的噪音，简单说来，粉红噪音的频率分量功率主要分布在中低频段。从波形角度看，粉红噪音是分形的，在一定的范围内音频数据具有相同或类似的能量。从功率（能量）的角度来看，粉红噪音的能量从低频向高频不断衰减。粉红噪声的能量分布在任意的同比例带宽中是相等。在给定频率范围内(不包含直流成分)，随着频率的增加，其功率密度每倍频程下降3dB (密度与频率成反比)。每倍频的功率相同，但要产生每倍频程3dB的衰减非常困难。因此，没有纹波的粉红噪声在现实中很难找到。

粉红噪声的能量在低频段频率接近0Hz(不包括0Hz)而在高频段频率接近二十几千赫，而且它在等比例带宽内的能量是相等的(误差只不过0.1dB左右)。粉红噪声的功率谱图如图6-1-9所示。

谱密度1赫2赫频率3赫

图6-1-9 粉红噪声的功率谱密度

(2) 红噪声(海洋学概念)。这是有关海洋环境的一种噪声，由于它是有选择地吸收较高的频率，因此称之为红噪声。

(3) 橙色噪声。该类噪声是准静态噪声，在整个连续频谱范围内，功率谱有限，零功率窄带信号数量也有限。这些零功率的窄带信号集中于任意相关音符系统的音符频率中心上。由于消除了所有的合音，这些剩余频谱就称为“橙色”音符。

(4) 蓝噪声。在有限频率范围内，功率密度随频率的增加每倍频增长3dB (密度正比于频率)。对于高频信号来说，它属于良性噪声。

(5) 紫噪声。在有限频率范围内，功率密度随频率的增加每倍频增长6dB (密度正比于频率的平方值)。

(6) 灰色噪声。该噪声在给定频率范围内，类似于心理声学上的等响度曲

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线，因此在所有频率点的噪声电平相同。

(7) 棕色噪声。在不包含直流成分的有限频率范围内，功率密度随频率的增加每倍频下降6dB (密度与频率的平方成反比)。该噪声实际上是布朗运动产生的噪声，它也称为随机飘移噪声或醉鬼噪声。

(8) 黑噪声(静止噪声)。 有源噪声控制系统在消除了一个现有噪声后的输出信号。 在20kHz以上的有限频率范围内，功率密度为常数的噪声，一定程度上它类似于超声波白噪声。 这种黑噪声就像“黑光”一样，由于频率太高而使人们无法感知，但它对你及其周围的环境仍有影响。 二、实验任务与要求

(1) 通过实验掌握白噪声、色噪声特点，以及如何产生色噪声，重点在于系统测试与分析。选用MATLAB或C/C++仿真软件之一编写程序和仿真。

(2) 产生高斯白噪声。

要求测试白噪声的均值、均方值、方差，自相关函数、概率密度、频谱及功率谱并用波形图表示。分析实验结果，搞清楚均值、均方值、方差，自相关函数、频谱及功率谱的物理意义。

(3) 产生高斯色噪声：要求自己设计一个系统，使高斯白噪声通过该系统后变为高斯色噪声。有一种方法可供参考：让高斯白噪声通过低通型、带通型、高通型衰减滤波器中的任意一个就可以产生高斯色噪声。高斯色噪声及功率谱密度如图6-1-10所示。

（a）产生的高斯色噪声时域波形图 （b）高斯色噪声的功率谱密度

图6-1-10 高斯色噪声时域及频域波形图

仅做参考的低通衰减滤波器参数如下： 通带截至频率1Hz 阻带截至频率10KHz 通带衰减1dB

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阻带衰减20dB

(3) 产生粉红色噪声：要求自己设计一个系统，使高斯白噪声通过该系统后变为粉红色噪声。粉红色噪声的频谱、功率谱必须用dB来表示，以方便观察其衰减程度。

(4) 计算高斯色噪声、粉红色噪声的均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度。所有结果均用波形图来表示，并能读出具体数值。 5 随机信号平稳特性分析

一、实验原理

平稳随机过程是在时间平移下概率性质不变的随机过程。其统计特性是，任意有限维分布函数不随时间的推移而改变；当过程随时间的变化而产生随机波动时，其前后状态相互联系，即不但它的当时情况，而且它的过去情况对未来都有不可忽视的影响。按照描述平稳随机过程的统计特性的不同，平稳随机过程分为严平稳随机过程和宽平稳随机过程。

二、实验任务与要求

(1) 通过实验掌握随机信号的方法以及白噪声信号的特点。自选MATLAB或C/C++仿真软件之一编程并仿真。

(2) 生成满足几种概率分布的随机信号，具体要求：

产生??1.0的10000个泊松分布随机数，计算它们的均值、均方值、方差、概率密度、频谱、功率谱密度，自相关函数，用波形图来表示。

(3) 产生高斯分布随机数N?0,3?与N?2,3?。

要求测试这两种噪声的均值、均方值、方差，自相关函数、概率密度、频谱及功率谱，用波形图来表示。分析实验结果，掌握均值、均方值、方差，自相关函数、频谱及功率谱的物理意义。

统计分析：二维正态分布?X,Y?，N?0,1;0,4;0,5?的联合概率密度函数为

f?x,y???2exp??x2?0.5xy?0.25y22?3?31????

?其中?1?0,?1?1,?2?4,??0.5，求二维正态分布?X,Y?的边沿分布fy?y?、

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fx?x?，并用波形图来表示。

(4) 对N?0,1?正态分布随机数取几个不同的样本值，计算它们的数字特征，分析是否满足平稳性和遍历性。

6.1.5 实验报告

简述主要实验内容、基本原理和结论，重点叙述实验过程中遇到的问题及解决方法，讨论该实验内容和方法在相关领域的应用和发展，试举例说明。

6.2 实验二 平稳随机过程的抽取、插值方法的探讨 6.2.1 实验目的

1、了解确定信号的采样与平稳随机信号的采样之间的关系，掌握信号的采样定理及其应用；

2、掌握随机信号的均值、方差、自相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度的特性；

3、掌握随机信号的分析方法；

4、熟悉常用的信号处理仿真软件平台：MATLAB或C/C++。

6.2.2 实验内容

一、实验原理

确定信号的采样符合香农定理，那么随机信号的采样呢？答案是肯定的。 若X(t)为平稳随机过程，且具有零均值，它的功率谱密度Sx(?)限于

??wc,?wc?之间。当满足条件T?X(t)?lim12fcN时，便可将X?t?按它的振幅样本展开为：

N??n??N?X(nT)sin(?ct?n?)

?ct?n?上式为平稳随机过程的采样定理，式中T为采样周期。

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二、实验任务与要求

(1) 通过实验掌握随机信号的抽取与插值的基本原理方法及方法在实际应用中的意义。计算信号的数字特征，理解它们的物理概念。用MATLAB或C/C++仿真软件之一编写程序和仿真。系统框图如图6-2-1所示。

x(t)滤波器x1(t)抽取x2(t)插值 y(t) 图6-2-1 抽取、插值系统框图

(2) 输入信号x?t?：是在一个波形周期有80个取样点的正弦信号+n?t?。信号的真实频率取决于采样频率。假设采样频率为8000Hz，则输入信号频率就是100Hz。n?t?为高斯白噪声。输入信号x?t?的时域、频域波形图如图6-2-2所示，高斯白噪声的时域、频域波形图如图6-2-3所示。

（a）输入信号时域波形图 （b）输入信号频域波形图

图6-2-2 输入信号x?t?的时域、频域波形图

（a）白噪声信号时域波形图 （b）白噪声信号频域波形图

图6-2-3 高斯白噪声的时域、频域波形图

要求测试白噪声的均值、均方值、方差，自相关函数、概率密度、频谱及功率谱并用波形图表示。分析实验结果，掌握均值、均方值、方差，自相关函数、

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频谱及功率谱的物理意义。

(3) 滤波器设计：要求信号经滤波器后保留有用信号。滤波器的结构及参数和所涉及到的采样频率取值根据滤波器在这里所起的作用、输入信号本身的特点所确定，因此这里不作规定。

滤波器设计好之后，要求测试它的频率特性并将频率特性曲线用波形图来表示，以验证是否符合要求。

(4) 信号抽取：所谓信号抽取也就是信号抽样率的降低。将低通滤波器输出信号作为原始信号，用抽取的方法分别为以M?2、M?4对原始信号进行抽取。

(5) 信号插值：将M?2、M?4抽取信号分别作为原始信号，用插值的方法，分别还原原始信号（滤波后的信号）。

(6) 计算x?t?、x1(t)、x2(t)、y?t?的均值、均方值、方差、自相关函数、频谱及功率谱密度。

(7) 对采样前后、插值前插值后信号进行比较。观察信号频谱的变化及周期延拓性。

(8) 讨论x?t?的自相关函数、功率谱密度与y?t?的自相关函数、功率谱密度之间的关系。

6.3 实验三 随机信号通过线性和非线性系统后的特性分析 6.3.1 实验目的

1、了解随机信号的均值、均方值、方差、自相关函数、互相关函数、概率密度、频谱及功率谱特性。

2、研究随机信号通过线性系统和非线性系统后的均值、均方值、方差、自相关函数、互相关函数、概率密度、频谱及功率谱有何变化，分析随机信号通过线性系统和非线性系统后的特性。

6.3.2 实验内容

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1 随机信号通过线性系统和非线性系统后的特性分析

一、 实验原理

(1) 随机信号的分析方法

在信号系统中，可以把信号分成两大类：确定信号和随机信号。确定信号具有一定的变化规律，而随机信号无一定的变化规律，需要用统计特性进行分析。在这里引入了随机过程的概念。所谓随机过程，就是随机变量的集合，每个随机变量都是随机过程的一个取样序列。随机过程可分为平稳的和非平稳的、遍历的和非遍历的。如果随机信号的统计特性不随时间的推移而变化，则随机过程是平稳的。如果一个平稳的随机过程它的任意一个样本都具有相同的统计特性，则随机过程是遍历的。下面讨论的随机过程都认为是平稳的遍历的随机过程，因此，可以取随机过程的一个样本来描述随机过程的统计特性。

随机过程的统计特性一般采用主要的几个平均统计特性函数描述，包括均值、均方值、方差、自相关函数、互相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等。

① 随机过程的均值

均值E?x?t??表示集合平均值或数学期望值。基于随机过程的各态历经性，可用时间间隔T内的幅值平均值表示，即：

E[x(t)]??x(t)/N

t?0N?1均值表达了信号变化的中心趋势，或称之为直流分量。 ② 随机过程的均方值

信号x?t?的均方值Ex2?t?，或称为平均功率，其表达式为：

??E[(x(t)]??x2(t)/N

2t?0N?1均方值表示信号的强度，其正平方根，又称有效值，也是信号平均能量的一种表达。

③ 随机信号的方差 信号x?t?的方差定义为：

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???[x(t)?E[x(t)]]2/N

2t?0N?1?2称为均方差或标准差。 可以证明，?2??2??2 其中：?2描述了信号的波动量；?2 描述了信号的静态量，方差反映了信号绕均值的波动程度。

④ 随机过程的互相关函数

信号的相关性是指客观事物变化量之间的相依关系。对于平稳随机过程x?t?和y?t?在两个不同时刻t和t??时刻幅值的关联程度，可以用互相关函数表示。在离散情况下，信号x?n?和y?n?的互相关函数定义为：

1Rxy?n,m??Nm?0n?0??x?n?y?n?m?N?1N?1?,t?0,1,2,?,N?1。

⑤ 随机过程的频谱：

信号频谱分析是采用傅立叶变换将时域信号x?t?变换为频域信号X(f)，从另一个角度来了解信号的特征。时域信号x?t?的付氏变换为：

X?f??⑥ 随机过程的功率谱密度

????j2?ft??xtedt ?随机信号的功率谱密度是随机信号的各个样本在单位频带内的频谱分量消耗在一欧姆电阻上的平均功率的统计均值，是从频域描述随机信号的平均统计参量，表示x?t?的平均功率在频域上的分布。它只反映随机信号的振幅信息，而未反映相位信息。随机过程的功率谱密度为：

|XTi(?)|2G(x)?E[lim]T??2T???????

(2) 线性系统特性

系统的数学模型满足叠加原理。对于任意常数a和b，输入信号x1(t)和x2(t)，有

L[ax1(t)?bx2(t)]?aL[x1(t)]?bL[x2(t)]

300

则称系统为线性系统，线性系统有下面的一些重要性质：叠加性、比例性、微分性、积分性、频率保持性等。

(3) 非线性系统特性

在一般电子设备中，除了线性电路之外，通常还包括一些非线性电路，例如检波器、限幅器、鉴频器等。非线性电路具有下述特点：

① 叠加原理已不适用，当信号与噪声共同通过非线性电路时，不能像线性电路那样将它们分开研究。

② 会发生频谱变换，其输出产生了输入信号中没有的新频率分量，例如输入信号的各次谐波。

二、 实验任务与要求

(1) 通过实验要求掌握线性系统、非线性系统基本特性，比较未通过系统的随机信号与通过系统后的随机信号的特性。自选MATLAB或C/C++仿真软件之一。实验系统框图如图6-3-1所示。

x1(t)滤波器 x(t)限幅器 y1(t)x2(t)平方律滤波器 y2(t) 图6-3-1 线性系统、非线性系统测试

(2) 输入信号x?t?、噪声n?t?的测试与分析

输入信号x(t)?sin?1t?sin?2t?sin?3t?n(t)，其中：?1、?2、?3为1KHz、2KHz、3KHz，如图6-3-2所示。

（a）输入信号时域波形图 （b）输入信号频域波形图

图6-3-2 x?t?输入信号的时域、频域波形图

噪声n?t?为高斯白噪声，其时域、频域波形图如图6-3-3所示。

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（a）高斯白噪声信号时域波形 （b）高斯白噪声信号频域波形图 图6-3-3 高斯白噪声的时域、频域波形图

要求测试n?t?的均值、均方值、方差，自相关函数、概率密度、频谱及功率谱并用波形图表示。分析实验结果，掌握均值、均方值、方差，自相关函数、频谱及功率谱的物理意义。

(3) 线性系统设计及测试

研究随机信号经过线性系统后的线性变换问题，需要设计一个线性系统。线性系统设计成一个滤波器。要求信号经滤波器后只剩下2KHz频率的信号。滤波器的结构及参数和所涉及到的采样频率取值根据滤波器在这里所起的作用、输入信号本身的特点来确定，因此这里不作规定。

滤波器设计好之后，要求测试它的幅频特性，以验证是否符合要求。经滤波器后随机信号x?t??n?t?的时域、频域特性如图6-3-4所示。

（a）输入信号通过带通滤波器波形图（b）输入信号通过带通滤波器频域波形图

图6-3-4 信号通过滤波器后的时域、频域特性 (4) 非线性系统设计及测试

研究随机信号经非线性系统后的非线性变换问题，需要设计一个非线性系统。在这里非线性系统分别设计成一个限幅器、一个平方律器件。

平方律器件硬件实现一般利用二极管的特性曲线如图6-3-5所示。

302

图6-3-5 二极管的特性曲线

时域特性：当??0时i?bu2,当??0时,i?0。频域特性：F(?)?件实现也是利用这个平方特性。

限幅器是一种波形变换或整形电路。当输入信号在一定范围内变化时，输出电压跟随输入电压相应变化，完成信号的传输。而当输入电压超过这一范围时，其超过的部分就被削去，输出电压保持不变。由于限幅器能将一定范围以外的输入波形削去，所以限幅器又称削波器。

限幅器、平方律器件设计好之后，要求测试它的频率特性并画出频率特性曲线，观察是否符合要求。经平方律器件后随机信号x?t??n?t?的时域、频域特性如图6-3-6所示。

2b?3。软

（a）经平方律检波器后时域波形图 （b）经平方律检波器后频域波形图

图6-3-6 经平方律检波器后的时频、频域特性

(5) 系统测试与分析

按以上要求编写好程序，计算x?t?、x1(t)、x2(t)、y1?t?、y2?t?的均值、均方值、方差，自相关函数、频谱及功率谱，并对两路系统输入和输出信号进行比较。

2 随机信号经线性、非线性系统并行叠加后分析

303

一、实验原理

随机信号经过并行系统的原理框图如图6-3-7所示。

x1(t) y(t)h1 x(t)h2x2(t)+h3x3(t) 图6-3-7 并行系统的原理框图

二、实验任务与要求

(1) 通过实验掌握线性系统的特点以及分析方法，重点在于系统测试与分析。自选MATLAB或C/C++仿真软件之一。实验系统框图如图6-3-7所示。

(2) 输入信号x(t)?sin?1t?sin?2t?n(t)，其中：?1、?2为1KHz、2KHz，如图6-3-8所示。

（a）x?t?时域波形图 （b）x?t?频域波形图

图6-3-8 输入信号x?t?的时域、频域波形图

高斯白噪声的时域、频域波形图如图6-3-9所示。

（a）白噪声信号时域波形图 （b）白噪声信号频域波形图 图6-3-9 高斯白噪声的时域、频域波形图

304

要求测试x?t?的均值、均方值、方差，自相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度并用波形图表示。分析实验结果，掌握均值、均方值、方差，自相关函数、频谱及功率谱的物理意义。

(3) h1、h2是线性系统，h3是非线性系统。

h1系统：设计成滤波器，要求输入信号x(t)经h1后输出为1Khz正弦信号。

h2系统：设计成滤波器，要求输入信号x(t)经h2后输出为2Khz正弦信号。 滤波器的结构及参数和所涉及到的采样频率取值根据滤波器在这里所起的作用、输入信号本身的特点来确定，这里不作规定。滤波器设计好之后，要求测试它的频率特性并画出频率特性曲线，以验证是否符合要求。

h3系统：设计成平方律器件。y?t?的时域、频域波形图如图6-3-10所示。

（a）y?t?时域波形图 （b）y?t?的功率谱密度图 图6-3-10 y(t)的时域、频域波形图

(4) 系统测试与分析

计算测试图6-3-7中x?t?、x1(t)、x2(t)、x3(t)、y?t?的均值、均方值、方差、频谱、功率谱密度，自相关函数，并绘出函数曲线。分析信号经三个系统并行叠加后频谱发生的变化；分析线性、非线性系统分别在这里的作用。 3 随机信号经线性、非线性系统串行后性能分析 一、实验原理

随机信号经过串行系统的原理框图如图6-3-11所示。

x(t)h1x1(t)h2x2(t)h3 y(t) 305

机过程的自相关函数。

② 多重自相关法

多重自相关法是在传统自相关检测法的基础上，对信号的自相关函数再多次作自相关。即令：

x1(t)?Rx(?)?s1(t)?n1(t)

式中，s1(t) 是Rn(?) 和E?s?t?n?t????的叠加；n1(t) 是E?s?t?n?t????和Rn(?)的叠加。信号经过相关运算后增加了信噪比，但其改变程度是有限的，因而限制了检测弱信号的能力。多重相关法将x1(t)当作x(t)，重复自相关函数检测方法步骤，自相关的次数越多，信噪比提高的越多，因此可检测出淹没于强噪声中的弱信号，如图6-4-1所示。

混合信号自相关自相关去噪信号

图6-4-1 多重自相关

③ 双谱估计理论及算法

双谱变换是对信号的三阶累积量进行二维傅立叶变换，假定x(n)为零均值，三阶实平稳随机序列，其三阶相关函数为：

Rxx(m1,m2)?E[x(n)x(n?m1)x(n?m2)]

则其双谱就定义为：

Bxx(?1,?2)???Rx(m1,m2)e?j(?1m1??2m2)

m1m2对于经典的双谱估计方法，可分直接法和间接法两种。

④ 时域方法

主要是叠加平均技术，它对时域信号进行多次叠加取平均值以得到信号，其算法误差较大。

采用对混合信号反复取样，累加平均的方法，使噪声信号自相削弱，从而再现有用信号。

根据采样定理，如果信号f?t?在t?T处连续，则在t?T处的取样可表示为

311

如果f?t?在t?nT?n?0,?1,?2,??的各处均连接，每隔时间T对f?t?f?t???t?T?。

取样一次，这个取样用fs(t)表示，则

fs(t)?n????f(t)?(t?nT)?f(t)??(t?nT)?f(t)?n?????T(t)

式中?T(t)为单位强度的周期性冲激函数序列，?T(t)里的傅立叶变换为：

F[?T(t)]????(?)????(??n?)

n????若fs(t)的频谱函数用Fs(j?)表示，则由频域的卷积定理得：

1F(j?)???(?)?Fs(j?)， 2?2?应用冲激函数的取样性质，考虑到?? 得；

Tfs(t)?fs(t)?T(t)?11?Fs(j?)?F(j?)???(?)??[F(j?)??(??n?)]

TTn???1? ??F[(j??n?)]，

Tn???式中?是??(?)的周期. 只要??2?m ，即率），亦即T?2??2?m?4?fm（fm为信号最高频T1。因此只要满足条件，即可获得信号f?t?的全部信息，当然2fm这里面也含有噪声。由此可见，系统工作频带越窄，叠加次数越多，等效噪声带宽越小，则系统的输出信噪比越高。但经过足够次数的采样、累加平均后，信噪比会大大提高。当m增加时，系统工作频带fm变窄，这样就抑制了噪声，提高了信噪比。

(2) 小波变换算法

针对于实际应用中完全被噪声淹没情况下的弱信号提取的问题，依据白噪声信号的小波变换系数相对于有用信号的小波变换系数小的特点，利用小波变换对信号进行消噪来提取弱信号，小波变换能够有效的消除噪声，将有用弱信号从受噪声污染的信号中提取出来。

目前，众多新的方法正在研究中，有兴趣的初学者可以通过查找相关的参考

312

文献加以关注。

二、实验任务与要求

(1) 通过实验掌握一种弱信号的检测提取方法，重点在于系统测试与分析。 (2) 输入信号：白噪声加上弱周期信号组成（信噪比S/N??1）。由信号发生器产生的正弦波信号，周期信号的频率自己确定，从计算机的音频输入端输入。要注意的是输入信号与计算机的声卡采样频率之间的关系。或者用MATLAB或C/C++仿真软件之一来实现正弦波信号和高斯白噪声。输入数据和高斯白噪声的时域、频域波形图如图6-4-2和图6-4-3所示。

（a）读取的信号时域波形图 （b）混合信号的频域波形图

图6-4-2 输入数据的时域、频域波形图

（a）白噪声信号时域波形图 （b）白噪声信号频域波形图

图6-4-3 高斯白噪声的时域、频域波形图

要求测试白噪声的均值、均方值、方差，自相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度并绘图。分析实验结果，掌握均值、均方值、方差，自相关函数、频谱及功率谱密度的物理意义。

(3) 弱信号提取过程框图如图6-4-4所示。

读入数据x(t)滤波器x1(t) y(t)信号提取 图6-4-4 弱信号提取过程框图

313

(4) 滤波器设计：设计一个滤波器。要求保留有用信号，滤波器的结构及参数和所涉及到的采样频率取值根据滤波器在这里所起的作用、输入信号本身的特点所以确定，因此这里不作规定。

滤波器设计好之后，要求测试它的频率特性并画出频率特性曲线，以验证是否符合要求。

(5) 信号提取：选择一种算法，将弱信号从噪声中提取出来，提取信号的时域、频域波形图如图6-4-5所示。

（a）信号的二重自相关法恢复信号 （b）提取信号的频域波形图

图6-4-5 提取信号的时域、频域波形图

(6) 首先计算a点的均值、均方值、方差、频谱及功率谱密度，确定输入信号中包含着有用信号；然后计算x1(t)、y?t?的均值、均方值、方差、频谱及功率谱密度，并画出曲线；确定信号的周期。

(7) 将输入信号改为方波、三角波时选择那些方法更接近还原原始信号，结果如何？

2 维纳滤波器去除噪声的性能分析

一、实验原理

通常，真实信号在其输出的过程中会受到外界噪声的干扰，因此所得到的输出信号就会发生信号失真。用滤波器就可以处理噪声，从而得到一个较接近原来真实信号的输出信号。如果信号和噪声的频带不重叠，用经典滤波器就可以很好的实现滤波；但是如果信号和噪声的频带相互重叠，则要采用现代滤波器。其中以维纳滤波的功能更为突出，它是利用平稳随机过程的相关特性和频谱特性对混有噪声的信号进行滤波的方法。

假设维纳滤波器的输入信号是x?n?，噪声是w?n?，信号加噪声是

314

r?n??x?n??w?n?，维纳滤波器的冲激响应是h?n?，维纳滤波器原理如图6-4-6所示。

图6-4-6 维纳滤波器

信号加噪声r?n?通过线性滤波器得到的目标信号估值：y?n??r?n??h?n?，估计误差: e?n??d?n??y?n?。估计误差e?n?为可正可负的随机变量, 用它的均方值描述误差的大小显然更为合理。均方误差为：

E[e(n)]?E{[d(n)??h(m)?r(n?m)]2}

2m?0?维纳滤波器的设计就是要确定h?n?，而h?n?可以从求解维纳-霍普方程得到。维纳-霍普方程为：

?h(i)Ri?0p?1rr(j?i)?Rrx(j)?j?0,1,2,?,p?1?

式中，Rrr表示噪声加信号r?n?的自相关函数，Rrx表示信号r?n?和x?n?的互相关函数。

求解维纳-霍普方程得到维纳滤波最优冲激响应：

?1'hopt(n)?Rrr(n)Rrx(n)

?1'式中Rrr(n)是求逆矩阵，Rrx(n)是求转置矩阵。

二、实验任务与要求

(1) 通过实验掌握维纳滤波器的设计方法并与传统滤波器进行比较。自选MATLAB或C/C++仿真软件之一编程并仿真。

(2) 信号经过维纳滤波器与经典滤波器的系统方框图如图6-4-7所示。

315

滤波器 x(t) y1(t)维纳滤波 y2(t)

图6-4-7 维纳滤波器与经典滤波器的系统方框图

产生输入信号：x(t)?sin?1t?sin?2t?sin?3t?n(t)，其中：?1、?2、?3为1KHz、2KHz、3KHz，幅值为1v，n?t?为高斯白噪声。x?t?的时域、频域波形图如图6-4-8所示，高斯白噪声的时域、频域波形图如图6-4-9所示。

（a）输入信号时域波形图 （b）输入信号频域波形图 图6-4-8 输入信号的时域、频域波形图

（a）白噪声信号时域波形图 （b）白噪声信号频域波形图

图6-4-9 高斯白噪声的时域、频域波形图

要求测试白噪声的均值、均方值、方差，自相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度并绘图。分析实验结果，掌握均值、均方值、方差，自相关函数、频谱及功率谱密度的物理意义。

(3) 滤波器。要求信号经滤波器后保留有用信号。滤波器的结构及参数和所涉及到的采样频率取值根据滤波器在这里所起的作用、输入信号本身的特点所

316

确定，因此这里不作规定。滤波器设计好之后，要求测试它的频率特性并画出频率特性曲线，以验证是否符合要求。

(4) 维纳滤波程序设计：要求：设计维纳滤波时，输入信号与滤波器输入相同。

① 改变噪声强度（信噪比分别0dB,-5dB,-10dB)，观察维纳滤波器输出数据。 ② 改变维纳滤波器长度N（N=10、50、100、500），观察维纳滤波器输出波形的变化，观察维纳滤波器滤除噪声的效果。

(5) 计算x?t?、y1?t?、y2?t?的均值、均方值、方差、自相关函数、频谱及功率谱密度。

(6) 比较滤波器、维纳滤波器对输入信号的影响。 3 利用正交系统检测窄带信号方法

一、实验原理

当正态窄带噪声叠加正弦信号时，其合成过程为：

y(t)?Acos(?0t??)?n(t)

?[Acos??nc(t)]cos?0t?[Asin??ns(t)]sin?0t

令：Ac(t)?Acos??nc(t)

As(t)?Asin??ns(t)

则：y(t)?Ac(t)cos?0t?As(t)sin?0t?R(t)cos[?0t??(t)] 式中：R(t)?Ac2(t)?As2(t)为合成过程的包络，?(t)?tg?1As(t)为合成过程的相Ac(t)位，Ac(t)、As(t)均含有信息分量。

窄带信号检测系统的框图如图6-4-10所示。

317

cosωt×× x(t) -sinωtb(t)+e(t)x(t)包络g(t)滤波器 y1(t)a(t)××c(t)d(t) sinωt希尔伯特+f(t)Ψ(t)包络h(t) y2(t)滤波器 cosωt 图6-4-10 窄带信号检测系统

二、实验任务与要求

(1) 通过实验掌握如何将弱的周期信号检测出来的方法，重点在于系统测试与分析。自选MATLAB或C/C++仿真软件之一编程并仿真。

(2) 输入信号：x?t?为：x(t)?(1?A(t))?n(t) 其中A(t)?sin(?0t??))，A?t?包络频率为1KHz,幅值为1v，?在[0?2?]上均匀分布，n?t?为正态分布高斯噪声。图6-4-11为x?t?的时域、频域波形图。

（a）x?t?的时域波形图 （b）x?t?的频域波形图

图6-4-11 x?t?的时域、频域波形图

要求测试白噪声的均值、均方值、方差，自相关函数、概率密度、频谱及功率谱，并绘图。分析实验结果，掌握均值、均方值、方差，自相关函数、频谱及功率谱的物理意义。

(3) 滤波器设计：要求信号经滤波器后保留有用信号。滤波器的结构及参数和所涉及到的采样频率取值根据滤波器在这里所起的作用、输入信号本身的特点所确定，因此这里不作规定。滤波器设计好之后，要求测试它的频率特性并画

318

出频率特性曲线，以验证是否符合要求。

(4) 输入信号x?t?通过希尔伯特转换器。希尔伯特转换(Hilbert transform)：

1做卷积。因此，可以将x?t?的希尔伯特转换看成是将x?t?通??t1过一个冲激响应为的线性滤波器，希尔伯特转换相当于一个正交滤波器。

??t是将信号x?t?与

(5) 用波形图表示r?t?和??t?，其表达式为r(t)?Ac2(t)?As2(t)，

?(t)?tg?1As(t)。y1?t?包络信号的时域、频域波形图如图6-4-12所示。 Ac(t)

（a）y1?t?时域波形图 （b）y1?t?频域波形图

图6-4-12 y1?t?时域、频域波形图

(6) 计算图6-4-10中的x?t?、a(t)、b(t)、c(t)、d(t)、e(t)、f(t)、y1?t?、

y2?t?各点的信号均值、均方值、方差、自相关函数、频谱及功率谱密度，并用波形图表示。

4 利用系统的积累特性检测窄带信号方法

一、实验原理

用包络检测法来检测淹没在噪声中的周期信号，可以采用信号积累的方法来检测周期信号(信号周期已知)。信号积累的检测系统框图如图6-4-13所示。

319

x(t) 独立取样N次 R(t) y(t)窄带滤波器平方律检波× 归一化加法器

图6-4-13 信号积累的检测系统

二、实验任务与要求

(1) 通过实验掌握如何将弱的周期信号检测出来的方法。自选MATLAB或C/C++仿真软件之一编程并仿真。

(2) 输入信号：x?t?为：x(t)?(1?A(t))?n(t) 其中A(t)?sin(?0t??)，A?t?包络频率为1KHz,幅值为1v，?在0?2?上均匀分布，n?t?为正态高斯噪声。图6-4-14为x?t?的时域、频域波形图。

（a）x?t?时域波形图 （b）x?t?频域波形图

图6-4-14 x?t?的时域、频域波形图

测试白噪声的均值、均方值、方差，自相关函数、概率密度、频谱及功率谱，并绘图。分析实验结果，掌握均值、均方值、方差，自相关函数、频谱及功率谱的物理意义。

(3) 窄带滤波器：设计成一个低通滤波器。要求信号经低通滤波器后保留有用信号。低通滤波器的结构及参数和所涉及到的采样频率取值根据滤波器在这里所起的作用、输入信号本身的特点自己确定，因此这里不作规定。

低通滤波器设计好之后，要求测试它的频率特性并画出频率特性曲线，以验证是否符合要求。

320

(4) 平方律检波器

系统设计成一个平方律检波器。平方律检波器的特性曲线如图6-4-15所示。

iu

图6-4-15 平方律检波器的特性曲线

设计小信号平方律检波器，频率范围<100KHz，输入信号幅度小于1 v。

(5) 归一化参数：

1?2，?2为输入信号的方差。

(6) 独立取样：取10个长度为N的序列，序列N长度必须是信号周期的整数倍数。这里需要求出一个信号周期有多少点，这样才能知道取得的长度是否为整周期。如果不为整周期则误差就会加大，在这里通过仿真实验进行验证，如N=1024的情况。

图6-4-16为y?t?的时域、频域波形图，从图6-4-16中可以看出，包络信号已恢复。

（a）y?t?的时域波形图 （b）y?t?的频域波形图 图6-4-16 y(t)的时域、频域波形图

(7) 计算x?t?、低通滤波器输出、平方律检波输出、y?t?输出信号的均值、方差、频谱、功率谱密度，自相关函数，并绘出函数曲线。

6.5 实验五 系统辨识的基本方法

321

在实际工程应用中，常出现已知系统的输入和输出，期望得到该系统特性的场合，而系统辨识所研究的问题恰好是根据系统的输入信号和输出信号来确定系统的传输特性。

6.5.1 实验目的

通过查阅相关的文献资料，了解分析电子系统的测量和识别方法，掌握随机信号的特性，包括均值、均方值、方差、自相关函数、互相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等在分析电子系统特性方面的应用，利用系统的输入和输出对系统进行分析，以得到系统的特性。

6.5.2 实验内容

1 实验原理

系统辨识是在对某系统不知其结构的情况下，如果要确定该系统的冲激响应

h?t?，可以通过将白噪声作为系统的输入n?t?，测量系统的输出为x?t?，于是可求得n?t?和x?t?的互相关函数a?t?，

a?t??Rxn?????????x???n?t???d??R????

nx由于白噪声的自相关函数Rnn????????，而

Rnx????Rnn????h?????????*h?????h????

所以，a?t??Rnx?????h???。将a?t?通过一个低通滤波器，获得线性系统单位冲激响应h?t?，其原理框图如图6-5-1所示。

白噪声被测系统 x(t) a(t) y(t)计算互相关 n(t)

322

低通滤波器

图6-5-1 利用互相关测量线性系统单位冲激响应

掌握白噪声的特性，以及探讨这种测试方法的意义，重点在于系统测试与分析。输入信号为高斯白噪声，其时域、频域波形图如图6-5-2所示。

（a）白噪声信号时域波形图 （b）白噪声信号频域波形图

图6-5-2 高斯白噪声的时域、频域波形图

要求测试白噪声的均值、均方值、方差，自相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度并绘图。分析实验结果，掌握均值、均方值、方差，自相关函数、频谱及功率谱的物理意义。

被测系统：

①被测系统是一个低通滤波器。低通滤波器的通带为0KHz-1KHz、通带衰减小于1dB、阻带衰减大于35dB。

②被测系统是一个带通滤波器。带通滤波器的通带为1KHz-2KHz、通带衰减小于1dB、阻带衰减大于35dB。

③被测系统是一个微分器。

如果被测系统是低通滤波器，y?t?输出是它的冲激响应h?t?为Sa函数。实验结果y?t?应该为图6-5-3所示：

同理，如果被测系统是带通滤波器，如图6-5-4y?t?输出是它的冲激响应h?t?，所示。

323

图6-5-3 低通滤波器输出的y?t?波形图

图6-5-4带通滤波器输出的y?t?波形图

2 实验任务要求

自选MATLAB或C/C++仿真软件之一编程和仿真。绘制低通滤波器、带通滤波器、微分器的频谱特性、冲激响应。计算x?t?、a?t?、y?t?信号的均值、均方值、方差、自相关函数、互相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等。

6.6 实验六 功率谱估计在频谱感知中的应用

目前，已经得到广泛关注的认知无线电技术CR（Cognitive Radio），其核心思想是CR具有学习能力，能与周围环境交互信息，以感知和利用该空间的可用频谱，并限制和降低冲突的发生。频谱感知是指认知用户通过各种信号检测和处理手段来获取无线电网络中的频谱使用信息。频谱感知中循环谱检测法在低信噪比情况下具有较好的检测能力，功率谱密度估计已广泛应用到该检测法中。

324

6.6.1 实验目的

通过查阅相关的文献资料，熟悉功率谱密度估计的几种方法，掌握功率谱密度的估计在认知无线电中的主要作用。

6.6.2 实验内容

1 实验原理

随机信号的功率谱用来描述信号在单位电阻上消耗的功率随频率变化的关系。对功率谱密度的估计又称功率谱估计。

(1) 线性估计法（有偏估计）：线性估计方法是有偏的谱估计方法，功率谱的分辨率随数据的长度增加而提高。

包括自相关估计、自协方差法、周期图法。

自相关估计：先由序列x?n?估计出自相关函数R?n?，然后对R?n?进行傅立叶变换，便得到x?n?的功率谱估计。

自协方差法：功率谱密度最初的定义即是基于平稳随机过程的自协方差函数。通过自协方差导出功率谱密度。

周期图法：周期图法是把随机序列x?n?的N点观测数据视为能量有限的序列，直接计算x?n?的离散傅立叶变换，得X?k?，然后再取其幅值的平方，并除以N，作为序列x?n?真实功率谱的估计。周期图是信号功率谱的一个有偏估计；而且，当信号序列的长度增大到无穷时，估计的方差不趋于零。

(2) 非线性估计（无偏估计）：非线性估计方法大多是无偏的谱估计方法，可以获得高的谱分辨率，包括最大似然法、最大熵法。

最大似然法：让信号通过一个滤波器，选择滤波器的参数使所关心的频率的正弦波信号能够不失真地通过，同时，使所有其他频率的正弦波通过这个滤波器后输出的均方值最小。在这个条件下，信号经过这个滤波器后输出的均方值就作为其最大似然法功率谱估值。可以证明,如果信号x是由一个确定性信号s加上

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