第六章 答案

习题6.1

1.设X1,X2,?,X6是来自服从参数为?的指数分布E???的样本，试写出样本的联合概率密度.

????x?6解：f?x1,x2,?,x6????ei?1?0?6x1,x2,?,x6?0

其他2.设X1,X2,?,X6是来自?0,??上的均匀分布的样本，??0未知，试写出样本的联合密度函数.

???6解：f?x1,x2,?,x6????00?x1,x2,?,x6???6

其他3．某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为?的泊松分布，从产品中抽一个容量为n的样本X1,X2,?,Xn，求样本的联合分布律.

?kie?i?1 ki?0,1,?，i?1,2,?,n, 解：P?X1?k1,X2?k2,?,Xn?kn??k1!k2!?kn!?n?n

4．设总体X~B(1,p),(X1,X2,?Xn)为总体的一个容量为n的简单随机样本，求样本的联合分布律.

解：P?X1?x1,X2?x2,?,Xn?xn??p?i?1nxin?(1?p)?xii?1n xi?0,1 i?1,2,?,n

5. 设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料： 日售出台数k 2 3 4 5 6 天数fk 20 30 10 25 15 求样本容量n以及经验分布函数Fn(x).

6. 某市有100000个年满18岁的居民，他们中10%年收入超过1万，20%受过高等教育.今从中抽取1600人的随机样本，求：

（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率；

（2）样本中受过高等教育的人的比率在19%和21%之间的概率.

1600解：（1）

?Xi?1i近似N(1600?10%,1600?10%?90%)

~160011600?176?160?P{X?11%}?P{X?176}?1?????0.0918 ??ii1600i?1?12?i?11600 （2）

?Y近似N(1600?20%,1600?20%?80%)

ii?1~11600P{19%?Yi?21%} ?1600i?1?P{304??Yi?336}i?11600?336?320??304?320?????????1616????=0.6826

习题6.2

1．设X1,X2,???,Xn是来自总体N(?,?2)的一个样本，其中?已知，?未知，指出

2

下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？

nXi??21n1n1nXi?X222T1??(Xi??),T2??(),T3??(Xi?X)，T4??()

ni?1?nn?i?1i?1i?1解：T1,T3是统计量（不含未知参数），T2,T4不是统计量（含未知参数?） 2．设X1,X2,?,X6是来自?0,??上的均匀分布的样本，??0未知 （1）写出样本的联合密度函数；

（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？

2

T1?X1?X2???X6,T2?X6??,T3?X6?E?X1?,T4?max?X1,X2,?,X6?

6（3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差.

???6解：（1）f?x1,x2,?,x6????00?x1,x2,?,x6??

其他2

（2）T1和T4是（不含未知参数），T2和T3不是（含未知参数?）

（3）样本均值x?0.8

样本方差s＝0.0433 样本标准差s?0.2082

3．从某班级的英语期末考试成绩中，随机抽取10名同学的成绩分别为：

100，85，70，65，90，95，63，50，77，86

（1）试写出总体，样本，样本值，样本容量； （2）求样本均值，样本方差及二阶原点矩.

解（1）总体：该班级所有同学的英语期末考试成绩X；

样本：（X1，X2，X3，…，X10）

样本值：(x1,x2,?,xn)=（100，85，70，65，90，95，63，50，77，86） 样本容量：n=10

（2）x=78.1 s＝252.5 a2＝6326.9

22

习题6.3

1. 设(X1,X2,?,X7)是取自正态总体X~N(0,0.5)的样本，则P{ . 答案：0.025

因为??7272?Xi?12i?4}? 1?2i2?Xi?172i~?2(7)

71故P{?X?4}?P{0.52i?12??0（7）?16.013 .025?Xi2?i?142}?P{??16}?0.025 20.52. 设总体X～N（0，1），从总体中取一个容量为6的样本(X1,X2,?,X6)，设

2

Y?(X1?X2?X3)2?(X4?X5?X6)2，试确定常数C，使随机变量CY服从?2分布.

解：因为各Xi相互独立，所以X1?X2?X3~N(0,3),X4?X5?X6~N(0,3)

X1?X2?X33~N(0,1),X4?X5?X63~N(0,1),

Y?(X1?X2?X3)2?(X4?X5?X6)2 ?3[(X1?X2?X33)2?(X4?X5?X63)2]

X?X2?X32X?X5?X6212Y?(1 )?(4)~?（2）333故C?1 31，则（ ） X2

（B）Y~x(n?1)

23. 设随机变量X~t(n)(n?1),Y?（A）Y~x(b) （C）Y~F(n,1) 答案：C 因为X?2

（D）Y~F(1,n)

UV/n~t(n),其中U~N(0,1),V~?2(n),且U,V相互独立

又由U~N(0,1),U2~?2(1)且U2,V相互独立

Y?1V/n?~F(n,1) 22XU/1习题6.4

1. 从正态总体N(3.4,62)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？

62解：X~N(3.4,)

n?n??5.4?3.4??1.4?3.4???1?0.95 P{1.4?X?5.4}?????????????2?????6/n??6/n??3??n???0.975???1.96?，n?1.96 ???3?3??故样本容量n至少应取35

2. 设总体X服从正态分布N(μ1,σ2),总体Y服从正态分布

N(μ2,σ2),X1,X2,?Xn1和 Y1,Y2,?Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 则

22n2?n1???(Xi?X)??(Yj?Y)?j?1?i?1?? .

E??n1?n2?2??????2答案：?

22n2?n1???n1??n22?2???(Xi?X)??(Yj?Y)????(Xi?X)???(Yj?Y)??2???i?1i?1j?1???j?1???E?EE??? 22??n?n?2???n1?n2?2???12??????????????????????2n1?n2?2[(n1?1)?(n2?1)]??2

??n1??n22?2????(Xi?X)????(Yj?Y)???i?12?j?1?~?2(n?1)??注意：~?(n?1),?? 1222??????????????????????n1??n22?2????(Xi?X)????(Yj?Y)???i?1j?1???n?1??故?E?n?1,E? 1222????????????????????3. 设X1,X2,?，Xn(n?2)为来自总体N（0，1）的简单随机样本，X 为样本均值，S为样本方差，则

（A）nX~N（0， 1）

（B）nS2~2

?2(n)

~F(1,n?1)

(n?1)X~t(n?1) （C）

S答案：D 因为

（D）

(n?1)X12?Xi?2n2i(n?1)X12?Xi?2n?X12/12i?Xi?2n2i?2n~F(1,n?1)

2i/(n?1)其中X21~?(1),?Xi2~?2(n?1)

复习题六（A）

一、填空题

1. 在数理统计中， 是指被研究对象的某项数量指标值的全体. 答案：总体

2. 若n个随机变量X1,X2,?,Xn满足（1） ；（2） ， 就称其为来自总体F(x)的一个样本. 答案：相互独立，与总体同分布

3. 设X1,X2,?,X10为来自正态总体N(100,100)的样本，则其样本均值X服从 ，样本方差乘以 后服从?(9)分布.

答案：N(100,10)，0.09

24. 设X1,X2,?,Xm为来自总体

?(10)的一组样本，则统计量Y??Xi服从

2i?1m

分布.

答案：?2(10m)

5. 设X1,X2,?,Xn是两点分布总体B(1,p)的样本，则当n很大时，其样本均值X近似服从 分布. 答案：正态

二、选择题

1. 设X1,X2,?,Xn为来自正态总体N(?,?2)的样本，其中?与?为未知参数，则（ ）是统计量.

A

2?Xi?1ni?? B Xi?X C ?i?1nXi2?2 D

?i?1n(Xi?X)2?2

答案：B

2. 设X与S是来自正态总体N(0,?2)的样本均值和方差，则可通过查（ ）分布表来确定P{X?a}的值(a?0).

A 正态 B ?2 C t D F 答案：A

3. 设X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(0,?)的样本，X与S分别是样本均值和样本方差，则统计量n222X服从（ ）分布. S2 A N(0,1) B ?(n?1) C t(n?1) D F(n,n?1) 答案：C

4. 设X与S分别是来自正态总体N(u,?)的样本均值和方差，则（ ）. A X与S不独立 B X与S不相关 C X222

2

2?aS2 D X2S2~F(1,n?1)

答案：B

5. 设X是正态总体N(u,?)的样本均值，则P{X?u}＝（ ）. A ?21111 B ? C ? D ? 4422答案：D 三、计算题

1. 从某厂生产的一批仪表中，随机抽取9台作寿命试验，各台从开始工作到初次发生

故障的时间为：

1408 1632 1957 1968 2315 2400 2912 4315 4378

试求样本均值x和样本方差s. 解：x?2587.2,s2?1186296.2

2. 设X1,X2,X3为来自正态总体N(?,?2)的一个样本，试写出(X1,X2,X3)的联合密度函数.

解：f(x1,x2,x3)?(2??)2?322exp{?12?22(x??)} ?ii?133. 已知一批零件的直径D服从正态分布N(20,0.052)，今从中任取36个，问这36个零件的平均直径D落在区间(19.98,20.02)内的概率是多少？ 解：0.9836

224. 查表求?0.99(12)，?0.01(12)，t0.99(12)，t0.01(12).

22解：?0,t0.01(12)?2.681 ,?0.99(12)?3.571.01(12)?26.217，t0.99(12)??2.6815. 设T~t?10?，求常数c，使P?T?c??0.95. 解：c??1.81

8. 设X1,X2,?,Xn是来自正态总体?0,?2的样本，试证： （1）

??1?22?n?； X~??i2i?1n1?n?2?1?. X~?（2）???i2n??i?1?证明：（1）

n2Xi?~N(0,1)，故

1?2?Xi2~?2?n?

i?1n（2）

?Xi?1ii~N(0,n?2)

?Xn1?n?i?1~N(0,1)故2??Xi?~?2?1?

n??i?1?n?9. 设X1,X2,?,X5是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个Xi?i?1,2,?,5?都服

2从??0,1?.

2（1）试给出常数c，使得cX12?X2服从?2分布，并指出它的自由度；

??（2）试给出常数d，使得dX1?X22X3?2X4?2X5服从t分布，并指出它的自由度.

2解：（1）X12?X2~???2(2)故

c?1；自由度为2

（2）X1?X2~N(0,2),X1?X22222~N(0,1)，X3?X4?X5~?2(3)

(X1?X2)/2(X?X?X)/3故d?

232425~t(3)

6，自由度为3 29. 设?X1,X2,?,Xn?是取自总体X的一个样本，在下列三种情况下，分别求（1）X~B?1,p?；（2）X~E???；（3）X~R?0,2??，其中??0. E?X?,D?X?,ES2：

解：（1） E(X)?p D(X)?（2）EX???1p(1?p)12 E(S)?(1?)p(1?p) nn??? DX???1?1?12 ES??1??2 n?2?n????（3）EX?? DX?

?????23n ES??22?1?? ??1-??n?310. 设总体X服从参数为?（??0）的指数分布，(X1,X2,???,Xn)是来自该总体的一个简单随机样本，求该样本的联合分布密度函数.

????xi?n解：f(x1,x2,?,xn)???ei?1,x1?0,x2?0,?,xn?0

?0,其他?

复习题六（B）

1. 已知总体的数学期望??50，标准差??300，X为来自总体容量为100的样本

n均值，试求X的数学期望和标准差.

解：E(X)?50,D(X)?30

2. 设总体X~N(150,252)，X为容量为25的样本均值，求P{140?X?147.5}. 解：X~N(150,52)

?147.5?150??140?150?P{140?X?147.5}???????????2???(0.5)?0.2858

55????

3. 设X1,X2,?,Xn为来自两点分布总体B(1,p)的样本，X和S分别为样本均值和样本方差，试求D(X)和E(S2).

解：

2p(1?p),n?(n?1)S2?n?12?E??n?1,即E(S)?n?1 ??2?p(1?p)??所以E(S2)?p(1?p)D(X)?4. 设总体X~N(15,2)，从中分别独立的抽取容量为10和15的两个样本，其样本均值分别记为X1和X2，求P{X1?X2?0.2}. 解：X1~N(15,0.2)，X2~N(15,21)，X1?X2~N(0,) 153????0.2?=0.27 P{X1?X2?0.2}?P{X1?X2?0.2}?2???1????3?

225. 查表求?0，,15)，F0.95(15,12). (20)?.050.95(25)，t0.99(10)，F0.05(12解：31.41，14.61，－2.76，2.48，0.40

6. 设总体X服从闭区间[0，1]上的均匀分布，(X1,X2,???,Xn)为其一个样本，求样本的联合分布密度函数.

解：f(x1,x2,?,xn)???1,0?xi?1,i?1,2,?,n

其他?0,7. 某部门在所属公司，企业中抽查产品的质量，记录了404家企业中不合格产品的种数. 试从下列数据中求不合格产品种数的平均值，样本方差和样本标准差. 不合格产品种数： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 频数： 53 110 82 58 35 20 18 12 9 3 1 2 1

解：X?2.532,S2?4.89,S?2.211

8. 一厂方想了解本厂出品的罐头糖果的寿命，从商店抽样得如下数据（寿命以天计）. 2 22 12 25 14 18 7 16

17 16 12 15 10 29 26 13 16 （X?2S ，X?2S）求（1）样本的平均数及样本方差；（2）从数据中观察，区间 中含有样本

数的百分比.

解：(1)X?15.882,S2?46.86 (2)94.1%

9. 设一个总体共含有6个数，3、4、5、6、7、8，从中抽取容量为2的样本，求（1）

总体的均值；（2）总体的方差；（3）样本均值抽样分布的均值和方差.

解：(1)EX?5.5 (2)DX?3.5 (3)EX?5.5,DX?1.75 10. 设(X1,X2,???,X10)为来自总体N(0,0.3)的样本，求：p{2?Xi?1102i?1.44}.

解：因为??1021?2?Xi?172i~?2(10)

71故P{?X?1.44}?P{0.32i?12i?Xi2?i?11.44}?P{?2?16}?0.1 20.32??0（）?15.987 .11011. 在总体N(80 , 202）中随机抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值差的绝对值大于3的概率. 解：X~N(80,22)

?3?P{X?80?3}?2????1?0.133 7

?2?

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