第六章-微元法的应用

第六章 微元法的应用 ..................................................................................................................... 2 §6.1 微元法 .................................................................................................................................. 2 §6.2 定积分在几何学中的应用 .................................................................................................. 4 §6.3 定积分在物理学中的应用 .................................................................................................. 9 §6.4 定积分在其它领域的应用 ................................................................................................ 11 总结与提高 .................................................................................................................................... 14 复习题六 ........................................................................................................................................ 14

第六章 微元法的应用

如阿基米德一个根本的那个人的、牛顿与高斯这样的最伟大的数学家，总是不偏不倚地把理论与应用结合起来。

——克莱因

“微元法”就是根据定积分的定义抽象出来的将实际问题转化成定积分的一种简单直接方法,就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量．通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法。在处理问题时,从对事物的极小部分(微元)分析入手,达到解决事物整体的方法.这是一种深刻的思维方法,是先分割逼近,找到规律,再累计求和,达到了解整体. 微元法在几何、物理、力学和工程技术等方面都有着极其广泛的应用．本章我们首先重点讨论定积分在几何上的应用；其次，讨论它在物理、力学方面的一些应用．最后再讨论在工程技术以及经济学方面的应用．

§6.1 微元法

6.1.1 微元法的原理

定积分概念的引入，体现了一种思想，它就是：在微观意义下，没有什么“曲、直”之分，曲顶的图形可以看成是平顶的，“不均匀”的可以看成是“均匀”的。简单地说，就是以“直”代“曲”，以“不变”代“变”；的思想.

直观的看，对于图所示图形的面积时，在[a, b]上任取一点x，此处任给一个“宽度”?x，那么这个微小的“矩形”的面积为

dS?f(x)?x?f(x)dx

此时我们把dS?f(x)dx称为“面积微元”。把这些微小的面积全部累加起来，就是整个图形的面积了。这种累加通过什么来实现呢？当然就是通过积分，它就是

y?f(x)?xa x b S??f(x)dx

a b 6.1.1 微元法的意义 图

这些问题可化为定积分来计算的待求量A有两个特点：一是对区间的可加性，这一特点是容易看出的；关键在于另一特点，即找任一部分量的表达式：

?A?f(x)?x???x

（6.1.1）

然而，人们往往根据问题的几何或物理特征，自然的将注意力集中于找f(x)?x这一项。但不要忘记，这一项与?A之差在?x?0时，应是比?x高阶的无穷小量（即舍弃的部分更微小），借用微分的记号，将这一项记为

dA?f(x)dx （6.1.2）

这个量dA称为待求量A的元素或微元。用定积分解决实际问题的关键就在于求出微

元。

设f(x)在[a,b]上连续，则它的变动上限定积分

U(x)??f(t)dtax （6.1.3）

是f(x)的一个原函数，即dU(x)?f(x)dx.于是，

?baf(x)dx??dU?Uab （6.1.4）

这表明连续函数f(x)的定积分就是（6.1.1）的微分的定积分.

由理论依据（6.1.2）可知，所求总量A就是其微分dU?f(x)dx从a到b的无限积累（即积分）U??baf(x)dx，这种取微元f(x)dx计算积分或原函数的方法称为微元法.

如，求变速直线运动的质点的运行路程的时候，我们在T0到T1的时间内，任取一个时间值t，再任给一个时间增量?t，那么在这个非常短暂的时间内（?t内）质点作匀速运动，质点的速度为v ( t )，其运行的路程当然就是

dS?v(t)?t?v(t)dt

dS?v(t)dt就是“路程微元”，把它们全部累加起来之后就是：

S?? T1 T0v(t)dt

用这样的思想方法，将来我们还可以得出“弧长微元”、“体积微元”、“质量微元”和“功微元”等等。这是一种解决实际问题非常有效、可行的好方法。

6.1.2 微元法的主要步骤

设想有一个函数F?x? , 所求量A可以表示为: A?F?b??F?a?，然后实际进行以下三步:

第一步取dx , 并确定它的变化区间[a,b];

第二步设想把[a,b]分成许多个小区间, 取其中任一个小区间[x,x?dx], 相应于这个小区间的部分量?A 能近似地表示为f(x)与dx的乘积),就把f(x)dx称为量A的微元并记作dA, 即

?A?dA?f(x)dx

第三步在区间[a,b]上积分, 得到A??baf(x)dx?F(b)?F(a)Q =ba

这里的关键和难点是求dA , 在解决具体问题时本着dA是?A的线性主部的原则, 这样计算的A 为精确值。

6.1.3 微元法的使用条件

据以上分析，可以用定积分来解决的确实际问题中的所求量A应符合下列条件：

（1）A是与一个变量的变化区间[a,b]有关的量； （2）A对于区间[a,b]具有可加性；

（3）局部量?Ai的近似值可表示为f(?i)?xi,这里f(x)是实际问题选择的函数.

§6.2 定积分在几何学中的应用

6.2.1直角坐标系下平面图形的面积

由定积分的几何意义，连续曲线 y?f(x)(?0) 与直线 x?a,x?b(b?a),x 轴所围成的曲边梯形的面积为

bA??f(x)dx

a若y?f(x) 在 [a,b]上不都是非负的，则所围成的面积为

A??|f(x)|dx

ab一般的，由两条连续曲线 y1?f1(x),y2?f2(x) 及直线x?a,x?b(b?a)所围成的平面图形称为X?型图形，其面积为

bA??[f2(x)?f1(x)]dx

a而由两条连续曲线 x1?g1(y),x2?g2(y) 及直线y?c,y?d(d?c)所围成的平

d面图形称为Y?型平面图形其面积为：A?[g2(y)?g1(y)]dy

c?上述结果用微元法分析如下：如图6.2.1可选取积分变量为x，并可确定x的变化区间为[a, b]，在[a, b]上任取一小区间 [x, x+dx]，它对应的小条形区域的面积近似等于

f(x)?g(x)dx，故面积元素为

dA?f(x)?g(x)dx，

所以A??baf(x)?g(x)dx

图6.2.1

同理，当平面图形是由连续曲线x??(y)，x??(y)与直线y?c，y?d以及y轴所围时(图6.2.1)，其面积为

A?例1 试求由y??dc?(y)??(y)dy

y 1,y?x,x?2所围成的图形的面积. x解 如图，x?[1,2]，这是一个典型的X?型图形，所以面积微元dA?(x?)dx，于是所求面积

1xA??2113(x?)dx??ln2

x2o 1 2 x 图6.2.2

例2 求由曲线x = y2以及直线y = x-2 所围的平面图形的面积（如右图）。

解 这是一个典型的Y—型平面图形。

y

B C D E A F ?x?y2 由?解得它们的交点坐标是：(1, -1)；(4, 2)

y?x?2?因此所求的平面图形的面积为：

24 x 1?1079?2y?y3????

3??13622S?? ?11??y?2??y?dy???y222图6.2.3

?在平面图形的面积计算过程当中，对图形进行适当的分割有时是必要的。我们所求面积的图形就好比一块大蛋糕，必要的时候，我们就得拿起小刀，对这块“蛋糕”进行分割，把它切割成符合我们要求的形状，然后再求出每小块“蛋糕”的面积，最后把它们加起来就是

整块“蛋糕”的面积了。

6.2.2 已知平行截面面积的几何体的体积

现在我们看下面一个空间立体，假设我们知道它在x 处截面面积为S(x)，可否利用类似于上节极坐标下推导面积公式的思想求出它的体积？

如果像切红薯片一样，把它切成薄片，则每个薄片可近似看作直柱体，其体积等于底面积乘高，所有薄片体积加在一起就近似等于该立体的体积。

我们继续用微元法导出公式。

在[a, b]上任取一点x，并且任给x的一个增量?x，这样就得到一个非常薄的薄片，这个小薄片我们可以近似地把它看成柱体，于是这个微小的柱体体积为：

a ⊿x S(x) b

解 取坐标系如图6.3.3所示，使棒位于 轴上，质点点

，取 为积分变量，它的变化区间为?? 位于 轴上，棒的中点为原

?ll??ll?,?.在??,? 上任取一小区间?22??22??y,y??y? ，把细直棒上相应于?y,y??y? 的一段近似的看成质点，其质量为?dy ，与

相距r?的引力

a2?y2 ，因此可以按照两质点间的引力计算公式求出这段细直棒对质点

的大小为?F?km?dy，从而求出

a2?y2 在水平方向分力?Fx的近似值，即细

直棒对质点

的引力在水平方向分力Fx的元素为

dFx??k于是得到引力在水平方向的分力为

am?dy 223/2(a?y)

上式中的负号表示Fx 指向 轴的负向，又由对称性知，引力在铅直方向分力为Fy?0.

习题6.3

1.一贮油罐装有密度为??0.96?10kg/m的油料.为了便于清理，罐的下部侧面开有半径R?380mm的圆孔，孔中心距液面h?6800mm孔口挡板用螺钉铆紧，已知每个螺钉能承受4.9kN的力.问至少需要多少个螺钉？

2.古埃及大金字塔为一正四棱锥，设高为125m，塔基为230m×230m的正方形，传说历时20年才建成。若建造金字塔所用石块的密度为3210kg/m3，试求建成这座金字塔所做的功，并由此大致估算需要多少工匠直接投入建塔工程。

3.一横放的半径为的圆柱形油桶盛有半桶油，油的密度为?，计算桶的圆形一侧所受的压力.

4.边长为a,b的矩形薄片，与液面成30角沉于液体内，长边平行于液面而位于深h处，设a?b，液体的比重为?，试求薄片每面所受的压力．

?33§6.4 定积分在其它领域的应用

6.4.1平均值

许多问题常要计算连续函数在区间上的平均值，如24小时的平均气温等.

1.算术平均值

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，将[a,b]分成n等份，设等分点依次为

当n足够大，每个小区间的长?x?b?a就足够小，于是可用f(xi)a?x0,x1,x2,?,xn?b,，ni?1,2,?,n. 于是，f(x)在区间[a,b]近似代替小区间[xi?1,xi?1??x]上各点的函数值，的近似平均值为

f(x1)?f(x2)???f(xn)1nf(x)~y???i.

ni?1ny的极限就是f(x)在[a,b]的平均值. 据此，以及定积分的定义，得 当?x?0时，~nn1b121f(xi)?x?y?lim?f(xi)?limf(x)dx ???x?0b?ai?1?x?0ni?1b?aa

例1 计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度.

解 自由落体的速度为v?gt，所以要计算的平均速度为

v?1T?0?T0gtdt?g2TgT[t]0?. T2例2 设⑴交流电i?I0sin?t；⑵两个交流半周的整流电流i?I0|sin?t|，求其在一个周期上的平均值I.

解 由⑴，i的周期为T?2?，于是

?T?II0?1?I0sin?tdt?0T02??2??0sin?tdt??I02??2?0sinudu?0

2I???由⑵，i的周期为T?，于是I??I0sin?tdt?0，平均值I是直流电的强度，

??0?它等效于一个周期内流过的交流电量.

一般地,如果

,

, 且

那么

成为函数若令 2.均方根

关于权数 在区间 上的加权平均值.

, 加权平均就变成了算术平均

在物理学中，除讨论电流在一个周期上的平均值外，还常考虑电流i(t)的有效值.周期性非恒定电流i(t)的有效期规定为：当i(t)在其一个周期内，在负载电阻R上消耗的平均功 2

b由定积分中值定理

?af(x)dx?f(?)(b?a),??(a,b)易知， f(?)就是f(x)在[a,b]的平均值.

率，等于取固定值I的直流电流在R上消耗的功率时，称这个I值为i(t)的有效值.

由于固定值I的电流在电阻R上消耗的功率为IR，电流i(t)在R上消耗的功率为

2i2(t)R，它在一个周期内的平均值为1?i2(t)Rdt，所以

T0TTTI2R?1?0i2(t)Rdt?R?0i2(t)dt，

TT于是

TI2?1?i2(t)dt，

T0即

I?1Ti2(t)dt （6.3.1） T?0数学上，将(6.3.1)称为函数i(t)在区间[0,T]上的均方根. 由此可见： ⑴ 没有经过整流的电流i?I0sin?t的有效值为

I????I02sin2?tdt?I0；

?02⑵ 整流为两个交流半周的电流i?I0|sin?t|的有效值为

?I2I????I0sin2?tdt?0.

?02

?二者结果相同.这是因为消耗的功率相同，而与电流的方向无关.

6.4.2 微元法在其他领域中的应用

微元法在经济、化工、医学、生物等领域也有广泛的应用，如人口统计、心脏输出量的

测定、单位时间内的血流量、化学反应物的生成、生物群落的量的计算等等。

4表示距市中心r 2r?20公里区域内的人口数, 单位为每平方公里10 万人.试求距市中心2km区域内的人口数.

例3（人口统计模型）某城市1990年的人口密度近似为p(r)?解 假设我们从城市中心画一条射线, 把这条线上从0到2 之间分成n 个小区间, 每个小区间的长度为?r.每个小区间确定了一个环, 估算每个环中的人口数并把它们相加, 就得到了总人口数。第i 个环的面积为:

2?ri2??ri2?1??ri???r??r? ??ri2???ri2?2ri?r??r2?

2?2?ri?r????r? 于是此环面积的线性主部为2?ri?r.

2在第i 个环内, 人口密度可看成常数, 所以此环内的人口数近似为p(xi)2?ri?r，即得微元dQ?p(x)2?rdr。故人口数

242r2Q??p(r)2?rdr??2?r2dr?4??2dr?4?ln?r2?20?0?2291

000r?20r?20(10 万) , 即距市中心2km 区域内的人口数大约为229, 100。

22

总结与提高

?数海撷趣

数学与文学的关系，当代国际著名的数学家丘成桐在其演讲《数学与文学的比较》中有较为细致的论述，但最引人入胜的是关于数学思想与文学意境的论述，由“如孤帆远影碧空尽， 惟见长江天际流”的美妙意境联想到极限；从“众里寻他千百度，蓦然回首， 那人却在灯火阑珊处” 体会解题的感受；旷野孤身一人诵读佳句“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下”，感受时空变换穿梭，真是其种种美的体验，不尽溢于言表。

古人将数词入诗成为佳话，而将数词用在书信中．其表情达意又另有一番滋味。相传西汉时．卓文君与司马相如成婚不久，司马相如便辞别娇妻去京城做官。痴情的卓文君朝思暮想，等待春丈夫的“万金”家书。殊不知等了 5 年，等来的却只是一封写着“一二三四五六七八九十百千万”的数字家书。聪颖过人的卓文君当然明白丈夫的意思．家书中数字无“亿”，表示丈夫已对她“无意”了，只不过没直说罢了。卓文君知丈夫已移情另有所爱，既悲且愤又恨．当即复书如下：

一别之后，两地相思，只说是三四月，又谁知五六年，七弦琴无心弹，八行书无可传，九连环从中拆断，十里长亭望眼欲穿。百思想，千系念，万般无奈把郎怨。万语千言

道不尽，百无聊赖十凭栏。九重登高看孤雁，八月中秋月圆人不园。七月半，烧香秉烛问苍天。六伏天，人人摇扇我心寒。五月里，榴花如火偏遇阵阵冷雨浇。四月间，枇杷未黄我欲对镜心意乱。三月桃花随水流，二月风筝线儿断。嗯！郎呀郎，巴不得下一世你为女来我为男。

在卓文君的复信里，由一写到万，又由万回到一，写得明白如话，声泪俱下，悲愤之情跃然纸上，司马相如看了诗信，被深深打动了，激起了对妻子的思念，终于破镜重圆。

?知识网络?

?微元法??????平面图形的面积???几何应用??旋转体的体积???函数的平均值????微元法的应用??应用????路程?物理应用??????做功?????其他应用????学习要求?

掌握微元法的概念和方法。

会利用微元法及定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值；会利用定积分求解物理应用问题及简单的经济应用问题。

复习题六

1．曲线x?y2与直线y?x所围成的平面图形的面积为（ ） A．

1112 B． C． D． 23632．曲线y?cosx(?体的体积为（ ）

?2?x??2)与x轴所围成的图形，绕x轴旋转一周所围成旋转

?2?2A． B．? C． D．?

223．曲线x?y2?1,x?2所围成的平面图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为（ ） A．

643226? B． ? C． ? D． ? 151515154．．一物体沿x=3t2作直线运动，所受阻力与速度的平方成正比（比例系数为k），物体从x=0移到x=1时克服阻力所作的功为

A． 4k B．2k C．6k D．8k

5曲线y?f(x)具有一阶连续导数，则曲线上相应于x?[a,b]的一段弧长为（ ） A． C．

?ba1?f2(x)dx B．

?baf2(x)?1dx

?ba1?|f'(x)|dx D．

?ba1?[f'(x)]2dx

（二）填空题

1．由曲线y=cosx和直线 y?2??x 所围图形的面积为 ．

2．由曲线y?为 ．

3．曲线y?ln(1?x2)相应于区间[0，

3,x?y?4围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积x1]上的一段弧的长度为 ． 25．曲线y?x3,x?2,y?0所围成的图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为 ．

6．函数y?x2?1在区间[-2，4]上的平均值为 ． （三）解答题

1． 求由曲线y?x3,y?x所围图形的面积．

2．求c的值（c>0），使两曲线y?x2与y?cx3所围图形的面积为

2 33．如图6—27，设函数y?sinx,0?x??2．求：（1）t取何值时，图中阴影部分的面

积S1与S2之和最大？（2）t取何值时，图中阴影部分的面积S1与S2之和最小？

4．设平面图形式由y?x2,y?x及y?2x所围成，求：（1）此平面图形的面积．（2）此平面图形分别绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积．

5．设有一直径为8m的半球形水池，盛满水，若将池中的水抽干，问至少需做多少功？ 6．利用定积分证明，半径为r的球体的体积为V?

43?r 3

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