不等式的证明方法

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1 常用方法

1.1比较法（作差法）[1]

在比较两个实数a和b的大小时，可借助a?b的符号来判断.步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）.变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等.

例1 已知：a?0，b?0，求证：证明

a?b2a?b2?ab.

b)2?ab?a?b?2ab2a?b2?ab?(a?2?0，

故得 1.2作商法

.

在证题时，一般在a，b均为正数时，借助作商——变形——判断（大于1或小于1）.

例2 设a?b?0，求证：aabb?abba. 证明 因为 a?b?0， 所以 而

abaab?1或

ab?1来判断其大小，步骤一般为：

?1，a?b?0.

baababb?a?????b?a?b?1，

故 aabb?abba. 1.3分析法（逆推法）

从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆.

例3 求证：5?7?1?15. 证明 要证

35?19?4155?7?1?15，即证12?235?16?215，即

35?2?15，

，415?16，15?4，15?16.

由此逆推即得 5?7?1?15. 1.4综合法

1

[2]

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证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法.

例4 已知：a，b同号，求证：证明 因为a，b同号， 所以 则

abab?ba?2.

ab??0，baabbaab?0， ba?2ba??2,

即 1.5反证法[3]

??2.

先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的.

例5 已知a?b?0，n是大于1的整数，求证：na?nb. 证明 假设 na?nb， 则 n即

baba?1，

?1，

故 b?a， 这与已知矛盾，所以na?nb. 1.6迭合法

把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证.

例6 已知：a1?a2???an?1，b1?b2???bn?1，求证:

a1b1?a2b2???anbn?1.

222222[4]

证明 因为a1?a2???an?1，b1?b2???bn?1， 所以 a1?a2???an?1，b1?b2???bn?1. 由柯西不等式

a1b1?a2b2???anbn?a1?a2???an?222222222222222b1?b2???bn?1?1?1,

2

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所以原不等式获证. 1.7放缩法[5]

在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的.值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头.常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法.

例7 求证： ?2134??5656???99991000099991000022?0.01. ,则

证明 令p?p212?34????122?3422?5622???999910000?12?12?3224?1???99991000022?1?110001?110000,

所以 p?0.01. 1.8数学归纳法[6]

对于含有n(n?N)的不等式，当n取第一个值时不等式成立，如果使不等式在

n?k(n?N)时成立的假设下，还能证明不等式在n?k?1时也成立，那么肯定这个不等式

对n取第一个值以后的自然数都能成立.

例8 已知：a,b?R?，n?N，n?1，求证：an?bn?an?1b?abn?1. 证明 （1）当n?2时，a2?b2?ab?ab?2ab，不等式成立； （2）若n?k时，ak?bk?ak?1b?abk?1成立，则

ak?1?bk?1?a(a?b)?abkkk?bk?1?a(ak?1b?abk?1)?abk?bk?1

=akb?abk?(a2bk?1?2abk?bk?1)?akb?abk?bk?1(a?b)2?akb?abk， 即ak?1?bk?1?akb?abk成立.

根据（1）、（2），an?bn?an?1b?abn?1对于大于1的自然数n都成立. 1.9换元法

在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化. 例9 已知：a?b?c?1，求证：ab?bc?ca?13.

3

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证明 设a?13?t，b?13?at(t?R)，则c?13?(1?a)t，

?1??1??1??1??1??1?ab?bc?ca???t???at????at???(1?a)t????t???(1?a)t??3??3??3??3??3??3??13?(1?a?a)t22

?13,

13所以 ab?bc?ca?1.10三角代换法

.

借助三角变换，在证题中可使某些问题变易.

例10 已知：a2?b2?1，x2?y2?1，求证：ax?by?1. 证明 设a?sin?，则b?cos?；设x?sin?，则y?cos? 所以 ax?by?sin?sin??cos?cos??cos(???)?1. 1.11判别式法

通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式.

例11 设x,y?R，且x2?y2?1，求证：y?ax?1?a2. 证明 设m?y?ax，则y?ax?m 代入x2?y2?1中得 x2?(ax?m)2?1， 即 (1?a2)x2?2amx?(m2?1)?0 因为x,y?R，1?a2?0，所以??0，

即 (2am)2?4(1?a2)(m2?1)?0， 解得 m?1?a2，故y?ax?1?a2. 1.12标准化法[8]

形如f(x1,x2,?,xn)?sinx1sinx2?sinxn的函数，其中0?xi??，且

x1?x2???xn为常数，则当xi的值之间越接近时，f(x1,x2,?,xn)[7]

的值越大（或不变）；

当x1?x2???xn时，f(x1,x2,?,xn)取最大值，即

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nf(x1,x2,?,xn)?sinx1sinx2?sinxn?sinx1?x2???xnnA?B2.

标准化定理：当A?B为常数时，有sinAsinB?sin证明：记A?B?C，则

f(x)?sinAsinB?sin22.

A?B2?sinAsin(C?A)?sin2C2,

求导得 f?(A)?sin(C?2A)， 由f?(A)?0得 C?2A，即A?B. 又由 f??(A)??cos(B?A)?0, 知f?(A)的极大值点必在A?B时取得. 由于当A?B时，f?(A)?0，故得不等式.

同理，可推广到关于n个变元的情形. 例12 设A,B,C为三角形的三内角，求证：sin证明 由标准化定理得， 当A?B?C时， sinA2?sinB2?sinA2sinC2B2?sin12C2A2sinB2sinC2?18.

， 取最大值，

8?181故 sin1.13等式法

.

应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明. 例13（1956年波兰数学竞赛题）、a,b,c为?ABC的三边长，求证：

2ab?2ac?2bc?a?b?c222222444.

12(a?b?c)证明 由海伦公式S?ABC?两边平方，移项整理得

16(S?ABC)2p(p?a)(p?b)(p?c)，其中p?.

?2ab?2ac?2bc?a?b?c222222444

而S?ABC?0,

所以 2a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c4. 1.14分解法

按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基

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本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的.

例14 n?2，且n?N，求证：1?证明 因为 1?12?13???112?13???1n?n(nn?1?1).

?1??1??1??n?(1?1)???1????1??????1?n?2??3??n?

?2?32?43???12n?1n13?n?1nn2?32?43???n?1n?n?nn?1.

所以 1?1.15构造法[9-10]

?????n(nn?1?1).

在证明不等式时，有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等，可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的.

例15 已知：x2?y2?1，a2?b2?2，求证：b(x2?y2)?2axy?2.

证明 依题设，构造复数z1?x?yi，z2?a?bi，则z1?1，z2?2 所以 z12?z2?(x?yi)2(a?bi)?[a(x2?y2)?2bxy]?[b(x2?y2)?2axy]i

b(x?y)?2axy?Im(z1?z2)?z12222?z2?2

故 b(x2?y2)?2axy?1.16排序法[11]

利用排序不等式来证明某些不等式.

2.

排序不等式：设a1?a2???an，b1?b2???bn，则有

a1bn?a2bn?1???anb1?a1bt1?a2bt2???anbtn?a1b1?a2b2???anbn,

其中t1,t2,?,tn是1,2,?,n的一个排列.当且仅当a1?a2???an或b1?b2???bn时取等号.

简记作：反序和?乱序和?同序和.

例16 求证：a2?b2?c2?d2?ab?bc?cd?da.

证明 因为a,b,c,d?R有序，所以根据排序不等式同序和最大， 即 a2?b2?c2?d2?ab?bc?cd?da. 1.17借助几何法[12]

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借助几何图形，运用几何或三角知识可使某些证明变易. 例17 已知：a,b,m?R?，且a?b，求证：

a?mb?m?ab.

证明 (如图1.17.1)以b为斜边，a为直角边作Rt?ABC.

延长AB至D，使BD?m，延长AC至E，使ED?AD，过C作AD的平行线交DE于F，则?ABC∽?ADE，令CE?n， 所以 a?AB?a?m

又CE?CF，即n?m， 所以

bACb?na?mab?m?a?mb?n?b.

EnFCbDmBaA

图1.17.1

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2 利用函数证明不等式

2.1函数极值法

通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的. 例18 设x?R，求证：?4?cos2x?3sinx?2证明 f(x)?cos2x?3sinx?1?2sin当sinx?3218.

23?1?x?3sinx??2?sinx???2

4?8?时， f(x)max?2;

481当sinx??1时， f(x)min??4. 故 ?4?cos2x?3sinx?22.2单调函数法[13-14]

当x属于某区间，有f?(x)?0，则f(x)单调上升；若f?(x)?0，则f(x)单调下降.推广之，若证f(x)?g(x)，只须证f(a)?g(a)及f?(x)?g?(x),(x?(a,b))即可.

例 19 证明不等式

ex?1?x，x?0.

证明 设f(x)?ex?1?x,则f?(x)?ex?1.故当x?0时，f?(x)?0,f严格递增；当

x?0,f?(x)?0,f18.

严格递减.又因为f在x?0处连续，

则当x?0时，

f(x)?f(0)?0,

从而证得

ex?1?x,x?0

2.3中值定理法

利用中值定理：f(x)是在区间[a,b]上有定义的连续函数，且可导，则存在?，a???b，满足f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)来证明某些不等式，达到简便的目的.

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例20 求证：sinx?siny?x?y.

证明 设 f(x)?sinx，则sinx?siny?(x?y)sin???(x?y)cos? 故 sinx?siny?(x?y)cos??x?y. 2.4利用拉格朗日函数

例 21 证明不等式

3(1a?1b?1c)?1?3abc, 其中a,b,c为任意正实数.

证明 设拉格朗日函数为对

L(x,y,z,?)?xyz??(1x?1y?1z?1r).

对L求偏导数并令它们都等于0，则有

Lx?yz??x2?0，

Ly?zx??y2?0，

Lz?xy??x2?0，

L??1x?1y?1z?1r?0.

由方程组的前三式，易的

1x?1y?1z?xyz??.

?把它代入第四式，求出??13r.从而函数L的稳定点为x?y?z?3r,??(3r)4.

1x?1y?1z?1r为了判断f(3r,3r,3r)?(3r)3是否为所求条件极小值，我们可把条件看作

隐函数z?z(x,y)（满足隐函数定理条件），并把目标函数f(x,y,z)?xyz(x,y)?F(x,y)看作f与z?z(x,y)的复合函数.这样，就可应用极值充分条件来做出判断.为此计算如下：

zx??zx22,zy??zy22,

Fx?yz?yzx2,Fy?xz?xzy2,

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F?2yz3,F?z?z2?z2?2z3,

xxx3xyyxxy2xz3Fyy?y3.

当x?y?z?3r时，

Fxx?6r?Fyy,Fxy?3r,

F2xxFyy?F?27r2?0.

xy由此可见，所求得的稳定点为极小值点，而且可以验证是最小值点.这样就有不等式xyz?(3r)3(x?0,y?0,z?0,111x?y?z?1r).

令x?a,y?b,z?c,则r?(1?1?1abc)?1,代入不等式有

abc?[3(11a?1b?1c)?]3

或 3(1?11ab?1c)??3abc(a?0,b?0,c?0).

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3 利用著名不等式证明

3.1利用均值不等式[15-16]

设a1,a2,?,an是

n个正实数，则

a1?a2???an?na1a2?an，当且仅当

na1?a2???an时取等号.

nn例22 证明柯西不等式 (?a22nibi)?(?ai)(?b2i).

i?1i?1i?1证明 要证柯西不等式成立，只要证

nnn ?a?a2ibi?i?b2i （1）

i?1i?1i?1nn令 ?a2i?A2,?b2i?B2, （2）

i?1i?1n式中A?0,B?0,则（1）即 ?aibi?ABi?1

n?aibi即

i?1AB?1 （3）

a2b22211下面证不等式(3),有均值不等式，

a1b1A2?B2A2B2?2，

2即

2a1b1a21AB?A2?b1B2，

2a22b22a22a2ABA2?b2nbna2同理

?nB2， ?，

AB?A2?bnB2.

将以上各式相加，得

nn2n?a2i?b2i(?abi?11ABii)?2?i?2i?1AB (4)

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根据（2），（4）式即

2AB(?aibi)?2.

i?1n因此不等式（3）成立，于是柯西不等式得证. 3.2利用柯西不等式[17-18]

n例23 设ai?R，i?1，2，?，n．求证：?i?11?n?2ai???ai?．

n?i?1?2证明 由柯西不等式

n?n??n??n2??n2?2??ai????ai?1????ai???1??n?ai．

i?1?i?1??i?1??i?1??i?1?22两边除以n即得．

说明：两边乘以

1n后开方得

1nia?ni?1?1n2ia?ni?1．当ai为正数时为均值不等式中的算术

平均不大于平方平均． 3.3利用赫尔德不等式[19]

例24 设a,b为正常数，0?x?ab?2，n?N，求证：

n?22n?22? n???ansinxcosx?2?bn?2???2

n2b?n?2b?n?2?a?a22?证明 ?n?= sinx?cosx?n?2 ????nnn?sinxcosx??sinxcosx?2?a? ??n??sinx?2n?2?sinx?22nn?22?b????n?cosx?n?2?cosx?2nn?2

即

asinxn= an?2?bn?2

n?2????ancosx?b2n?2??bn?2??22

3.4利用詹森不等式[20]

例 25 证明不等式

a?b?c(abc)3?abc, 其中a,b,c均为正数.

abc证明 设 f(x)?xlnx,x?0.由f(x)的一阶和二阶导数

f?(x)?lnx?1,f??(x)?1x

12

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可见，f(x)?xlnx在x?0时为严格凸函数.依詹森不等式有

f(a?b?c3)?13(f(a)?f(b)?f(c)),

从而

a?b?ca?b?c3ln3?13(alna?blnb?clnc),

即

(a?b?c?cbc3)a?b?aabc.

又因3abc?a?b?c3,所以

a?b?c (abc)3?aabbcc.

13

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