定积分不等式证明方法的研究

高校论坛２０１１年第５期 102定积分不等式证明方法的研究张 瑞（宝鸡文理学院 数学系） 摘 要 通过若干范例总结有关定积分不等式的证明方法及规律。主要有定积分的定义、泰勒公式、积分中值定理以及辅助函数 法等方法。 关键词 定积分 积分性质 中值定理 含定积分的不等式的证明是数学分析学习中的一个重点也是一个 难点，一般可以利用定积分的性质、积分中值定理、辅助函数等方法 来证明定积分不等式。证明方法多种多样，本文归纳并列举了几种定 积分不等式的证明方法，主要有利用定积分的定义、泰勒公式、积分 中值定理以及辅助函数法等方法。 １ 利用定积分的定义 主要是利用定积分的定义，将闭区间 通过分割、求和、并 时和的极限，比较积分大小则可通过比较和的极限来实 例１ 证明： 在 上连续，且 ， 。 分析：题中所给的已知条件较少，在这种条件下利用定积分的定 义将区间分割求极限比较简单。 证明：将 等分，可得分割 ， 取 ，并记 ，则 由于 ， ， 当且仅当 号成立。 由于 因而 等号成立。 ２ 利用定积分的性质 分析：由预证不等式中被积函数 式。 证明：由柯西不等式知 与 联想到柯西不等 可积，故令 ，即函数 得 ， 为常值函数时，上式等 ， 为常值函数时，上式 ４ 故 利用积分中值定理 。 因 所以 对两边同时积分得： 。 ， ， 式来证明。 例３ 设在上有二阶导数，且。求证：分析 已知 用在 点处函数有二阶导数，要证明的式子中出现了，利的一阶泰勒展开是个比较简单的方法。 点处展开成带有拉格朗日余项的一阶证明：将 泰勒公式在求当 现。积分的三个中值定理，在证明积分不等式中有着举足轻重的作 用。 例４ 设 在 上连续且单调增加， ，证明：可通过利用定积分的基本性质、比较性、估值不等式、绝对值不 等式进行处理。 例２ 证明施瓦兹不等式：若 和 在 上可积，则， 于是分析：只是已知两个函数都可积，没有别的附加条件，而要证的 却有关积分平方和积分乘积，这种条件下，可以考虑利用定积分的基 本性质来证明。 证明：若 和 可积，则 ， ， 均可积， 且对任意实数ｔ，有 也可积。 又 所以 即 。 又 即 故而 ３ 利用泰勒公式 如果函数 的二阶和二阶以上导数存在且有界可利用泰勒公 。 ，故要使上式对任意ｔ恒成立，则判别式 ， ５ ， ，， 对于 由积分中值定理，必存在 ， ，使得由的单调增加，有，即 。即 。 构造辅助函数法当已知被积函数连续，并没有告知可导时，通常用此法最为方 便，主要利用辅助函数的单调性证明。辅助函数的做法只需将结论中 的积分上（下）限换成变量 ，移项使不等式一端为 （转１１９页）基金项目：河南省科技厅自然科学基金项目（Ｎｏ．２０１０Ａ１１００１１）；宝鸡文理学院重点项目（ＺＫ１０１１４）

119２０１１年第５期技术创新根据超前地质预报情况，迂回导坑暂定开挖到Ｄ３Ｋ３３４＋７８５，分 三 段 由 导 坑 向 正 洞 进 行 横 向 加 固 ， 第 一 段 纵 向 加 固 ２０ｍ （Ｄ３Ｋ３３４＋７４３～＋７２３），当迂回导坑下台阶开挖到Ｄ３Ｋ３３４＋７４３时， 停止掌子面的施工，从里向外进行处理，即从Ｄ３Ｋ３３４＋７４３开始向洞 外进行加固。处理措施见图３。 加固范围：Ｄ３Ｋ３３４＋７２３～＋７４３。 加固措施：横向注浆和横向长管棚。 加固方法：由迂回导坑右边墙横向对正洞拱顶及前方塌体进行注 浆加固处理，并在正洞拱顶上方约３ｍ处施作双排横向长管棚。施工 时先做注浆加固，在做长管棚。 ３ 结束语球阀，防止高压水冲出伤人。图２迂回导坑右边墙探孔布置示意图２．５ 迂回导坑横向对正洞加固处理该隧道发生突水突泥灾害后，通过迂回导坑辅助施工措施，不仅 利用ＴＳＰ、红外探水、地质雷达、超前长钻孔等超前地质预报方式， 基本摸清了迂回导坑及正洞前方及其周边的地质情况，而且对正洞拱 顶及前方塌体进行了注浆加固处理，为下一步正洞恢复施工创造了有 利条件。 参考文献［１］ 冯卫星，况勇，陈建军．隧道塌方案例分析［Ｍ］．成都：西南交通大 学出版社，２００２ ［２］ 孙富学，朱秀清．隧道工程塌方治理及工程实例［Ｊ］．公路交通技 术，２００６（２） ［３］ 刘伟．洞口浅埋偏压隧道塌方处理施工技术［Ｊ］．国防交通工程与技 术，２００８（３）作者简介 岳伟（１９７５－），１９９９年西南交通大学本科毕业。图３ 迂回导坑横向加固图（收稿日期：２０１１－０３－０８）（接１０２页）零，则另一端即为所作的辅助函数。 例５ 设 在 上可积，且 求证： 。 证 明：作辅助函， 有关定积分不等式的习题种类比较多，条件差别也比较大，本文 只是列举了其中的几种方法，但是已包含了大量的习题，通过对照归 纳，总结练习，以达到融会贯通，举一反三的效果。 参考文献［１］ 华东师范大学数学系．数学分析（３版）［Ｍ］．北京：高等教育出版 社，２００１ ［２］ 同济大学数学系高等数学（４版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７ ［３］ 复旦大学数学系数学分析（２版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８３作者简介 张瑞（１９７９－），女，硕士。研究方向：概率论与数理统 因此， 是单调递增的，有因 ，即计。 （收稿日期：２０１１－０２－０９）（接１０４页）参考文献［１］ Ｆｌａｖｅｌｌ ＪＨ． Ｍｅｔａｃｏｎｇｎｉｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｇｎｉｔｉｖｅ Ｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ． Ａ Ｎｅｗ Ａｒｅａ ｏｆ Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔａｌ－ｃｏｎｇｎｉｔｉｖｅ Ｉｎｑｕｉｒｙ ［Ｊ］．Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｐｓｙｃｈｏｌｏｇｉｓｔ， １９７９ （３４） ［２］ Ｏ＇Ｍａｌｌｅｙ ＪＭ， Ａ Ｕ． Ｃｈａｍｏｔ． Ｌｅａｒｎｉｎｇ Ｓｔｒａｔｅｇｉｅｓ ｉｎ Ｓｅｃｏｎｄ Ｌａｎｇｕａｇｅ Ａｃｑｕｉｓｉｔｉｏｎ［Ｍ］． Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ： Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ， １９９０ ［３］ 杨小虎，张文鹏．元认知与外语阅读理解［Ｊ］．中国矿业大学学报（社会科学版）， ２００１（３） ［４］ 文秋芳，王立非． 影响外语学习策略系统运行的各种因素评述 ［Ｊ］．外语与外语教， ２００４（９） 作者简介 徐星玉（１９８２－），硕士，长江师范学院助教。研究方 向：英语语言教学。 （收稿日期：２０１１－０３－１１）（接２０６页）③ Ｗｈｉｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｓｔａｔｅｍｅｎｔｓ ｉｓ ｎｏｔ ｔｒｕｅ？ ④ Ｗｈｉｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｉｓ ｎｏｔ ｍｅｎｔｉｏｎｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｐａｓｓａｇｅ？ 这类问题有两个规律：一是“一正三误”，即一个选项是正确的 或符合文章事实的，其它三个选项是错误的；二是“一误三正”。即 一个选项是错误的，其余三个选项均符合原文事实。做这类题，一定 要弄清楚选什么，切不可粗心大意。 “冰冻三尺，非一日之寒”。培养学生英语阅读能力的过程是一 个渐进的复杂过程。但只要我们坚持“以学生为主体”，要求学生自 觉配合，积极思考，坚持对学生进行阅读技巧的训练，推动学生概括 与抽象、分析与综合、推理与判断的思维能力的发展。坚持量中求 质，持之以恒，不断实践，勇于探索，就一定能培养好学生的阅读能 力和提高学生的创新能力。 参考文献［１］ 廖道胜．中国学生英语阅读中的文化障碍［Ｊ］．外语教学，２００１（４） ［２］ 齐仲里．利用图式理论指导阅读教学［Ｊ］． 陕西师范大学学报（哲学社 会科学版） ，２００３（２） ［３］ 李翔鹰．浅淡英语阅读中的理解［Ｊ］． 外语界，２００１（６） ［４］ 刘支清．英语阅读教学浅析． 科学之友（Ｂ版） ，２００９ （０１） ：１１２－１１３ ［５］ 陈禹． 学好英语，当先“搞定”阅读：谈英语阅读技巧的提高． 中 国科教创新导刊，２００９（１５） ：１７１ 作者简介 曾久琴，女，大学本科，英语专业，中学一级教师， １９９９年参加工作。多年从事高中英语教学工作。 （收稿日期：２０１１－０３－１１）

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