第二章导数与微分习题册答案

第一节 导数概念

1、填空题

2

（1）f (0) （2）4x 12x 9 （3）16 （4）y 2x 1 （5）e

2、选择题

（1）C （2）B （3）D （4）D （5）B 3、a 2,b 1

4、y f (x) nxn 1，k f'(1) n，切线方程为y 1 n(x 1) 由于切线过点( n,0)，故0 1 n( n 1)，解之得 n 1

limf( n) lim(1

n

1n

，从而f( n) (1

1n

)，即

n

1n

n

) 1x1x

n

1e

1x

5、x 0，f (x) 2xsin

x 0，f (x) 2xcos

cos

2

1x (

1x

) 2xcos2

1x sin

1x

xsin

x 0，按左右导数来求

f(x) f(0)

x 0f(x) f(0)

x

xsin lim

x 0

22

1 0 1 0

f (0) lim

x 0

xxcos

f (0) lim

x 0

lim

x 0

x

11

2xsin cos,x 0 xx

x 0所以f(x) 0

11

2xcos sin,x 0

xx

6、f (0) lim

f( x) f(0)

x

1

( x)sin

lim

x 0

1

x 0

x

lim( x)

x 0

sin

1 x

所以 1时，f (0) 0

7、解：f (a) lim

f(x) f(a)

x a

x a

lim

(x a) (x)

x a

x a

(a)（因为 (x)在x a处连续）

g (a) lim

g(x) g(a)

x a

x a

lim

x a (x)x a

x a

(a) lim所以g

x a

g(x) g(a)

x a

lim

x a

x a (x)x a

lim

x a

(x a) (x)

x a

(a)

(a) limg

x a

g(x) g(a)

x a

lim

x a

x a (x)x a

lim

x a

(x a) (x)

x a

(a)

所以不一定可导

8、f (0) lim

f(x) f(0)

x 0

x 0

lim(x 1)(x 2) (x 2011) 2011!

x 0

9、由f(0) g(0) 0，则f (0) lim

a b lim

x 0

f(x)x

x 0

，g (0) lim

g(x)x

x 0

f(x)

a bf (0) f (0) f(x)c f (0)x

由④，lim

ax bf(x)cx f(x)

x 0

c

2

(f (0)) (c b)f (0) a 0

同理lim

ax bg(x)cx g(x)

a b lim

x 0

f(x)

x a bg (0) g (0) f(x)c g (0)x

x 0

c

(g (0)) (c b)g (0) a 0

2

即f (0)，g (0)为方程x (c b)x a 0的根，依根与系数的关系有：

2

f (0) g (0) a

又由②，f (0) g (0) 1，所以a 1

要上述推导有效，还需要证明c f (0) 0，c g (0) 0（反证） 现证c f (0) 0，c g (0) 0 则a bf (0) 0（因为f (0)存在）

ax bf(x)cx f(x)

b(cx f(x))cx f(x)

由f (0) c，所以a bc，从而f (0) lim

x 0

lim

x 0

b

2

同理g (0) b，又因为f (0) g (0) 1 b 与b是实数矛盾．

第二节 求导法则与基本初等函数

1、填空题

（1）y 2x 1 （2）k 2、（1）D （2）B (3)D 3、（1）y' axlna axa 1

（2）y 2xlnxcosx x(cosx sinxlnx)

x

2

1

=2xlnxcosx xcosx xsinxlnx （3）y' nsin

nsin nsin nsin

n 1

2

xcosxcosnx nsinxsinnx

n

n 1

x(cosxcosnx sinxsinnx) xcos(x nx) xcos(n 1)x sinxx

n 1

n 1

（4）y xtanx ．

(sinx)'x sinx x'

2

y' x'tanx x(tanx)' tanx xsecx

2

x

xcosx sinx

x

2

'

secx cscx

（5

）y' ' esinx '

x lnx

x

e

x

'sinx e sinx '

x

secx cscx '(x lnx) secx cscx (x lnx)'

x

lnx

2

esinx ecosx

xx

secxtanx cscxcotx (x lnx) secx cscx (1

x lnx

a

2

1

2

)

（6）y' x ax

2

2

a

2

' a

2x

' a

x2

'

'

a 1

2lna a

arcsinx xx

（7）y' x'arctanx x arctanx ' e 'sinx e sinx ' 2

1 x

arctanx

x1 x

2

esinx ecosx

xx

1

xxxx

1 ex (1 e)'(1 e) (1 e)(1 e)'

（8）y' x x2

(1 e) 1 e

x

x

x

x

'

e(1 e) e(1 e

(1 e

x

2

)

)

4、x 0，f'(x) 1

x 0，f'(x) cosx x 0时，

f' (0) lim

x 0

f(x) f(0)x 0

f(x) f(0)

x 0

lim

x 0

sinx 0xx 0x

1

f' (0) lim

x 0

lim

x 0

1

cosx,x 0

所以f'(x)

1,x 0

5、（1）y' sin(wt 1) '

cos(wt 1)(wt 1)' wcos(wt 1)

（2）y' lnsine

3x

'

cosesine

3x3x

sine '

3x

sine3e

3x

3x

e '

3x

cose

3x

3x

sine

1

（3

）y arcsin

x2

x

112

(4 x)2( 2x) 22

=arcsin

x2

（4）y'

3 x

'

1

2

x 1

23

x

2

x 1 '

2x 13

x

2

x 1

23

（5）y'

'

1

12

'

2

1

12

cosx '

2

2

( 2cosxsinx)

（6）因为y e

ln(1 x)(1 x)(1 x) (1 x)

23n

e

ln(1 x) ln(1 x) ln(1 x) ln(1 x)

23n

n 1

1 2xnx

y' (1 x)(1 x) (1 x) 2n

1 x 1 x1 x

2

n

6、（1）y f

(u)，u

dy

1

1

1

dydu1 dydydu1 1

f'(u)

x2= f'(u) x2 f x2 dxdudx2dxdudx22

2

2

2

（2）y' (f(arctanx 7sinx))' (g(secx tanx))'

f'(arctanx 7sinx)(arctanx 7sinx)' g'(secx tanx)(secx tanx)' 2x 22

f'(arctanx 7sinx) 14sinxcosx 2

1 x

2

2

2

2

2

2

g'(secx tanx)(2secxtanx secx)

222

7、不一定成立．

对于x x0处，f(x)是否可导须按定义来验证，如

x 0 x,

f(x)

sinx,x 0

显然f' (0) 1，f' (0) 1，从而f'(0)不存在． 8、证明：因为lim lim

f(x x) f(x) x

f(x)f( x) f(x) x

f(x)[f( x) 1]

x

x 0

x 0

lim

x 0

f(x)lim

f( x) 1 x

x 0

而由f(x y) f(x)f(y)可知，f(x 0) f(x)f(0)，且f(x) 0， 即f(0) 1 故lim

f(x x) f(x)

x

f(x)lim

f( x) 1 x

f(x)lim

f( x) f(0)

x

x 0 x 0 x 0

f(x)f'(0) f(x)

所以f(x)在( , )上可导，且f'(x) f(x)．

第三节 高阶导数

1、填空题

（1）240 （2）3

n 1

sin(3x

n2

) （3）2 （4）

1x

2

(f'(lnx) f''(lnx))

2、选择题

（1）C （2）D （3）C （4）C 3、（1）y' xe

2

3x

' 2xe

2

3x

3x

3xe

23x

3x e '

2

x3

2

x3

y'' 2e

3x

2xe 3xe

3x '

2

2x e '

3x3x

6xe

2

3x

6xe 9xe 2 12x 9x e

3x

2

2

（2）y' cosx lnx ' cosx 'lnx cosx lnx '

cosxx

2

sin2xlnx

'

'

2

cos2x cosx y'' sin2xlnx sin2xlnx '

xx

2cos2xlnx

sin2xx

'

2x

xsin2x cosx

x

2

2

（3）y' ln(x 1)

2

x 1

2

2

2

'22 x 1 4x2(1 x) 2x

y'' 2 2

22

2x 1(x 1) x 1

（4）y' cosex sinex '

exsinex excosex

ex

sinex

cosex

y'' e

x sine

x cose

x

ex

e

x

cosex exsine

x

（5）y' e xcosx '

e xcosx e xsinx e x cosx sinx

y'' e

x

cosx sinx e x sinx cosx

'

（6）y'

1 sin 11

x x2cosx

y''

1

1 '

2111 x

2sinx x3cosx x4sinx

4、（1）y' 3e2x 1 '

3 2e2x 1 y'' 3 2

2e

2x 1

y

(n)

3 2ne

2x 1

n

y

(n)

(0)

3 2e

22

（2）y'

2

1)323

3 2

y''

( 1)2 2

2x 3

2

2x 3

3

y'''

( 2x 3

4

nn

y

(n)

( 1)2 n!

2x 3

n 1

n

n

所以y

(n)

(0)

( 1)n2n

n!

( 1) 2

3

n 1

3 3 n!

（3）解：

dy'(x)d2

y''(x)f(x) f'(x)

2

dx

ff(x)

dx2

f f(x)

2

（4）y

1

11x2

5x 6

x 3

x 2

(n)

y

(n)

1

(n)

1

n

n!

x 3

x 2

1

1

n

n!

x 3

n 1

x 2

n 1

n

1

n! 11 1

x 3 n x 2 n 1

（5）y sin6x cos6

(x) 1 cos2x3

3

1 cos2x 2 2

所以

1 3cos2x 3cos2x cos2x 1 3cos2x 3cos2x cos2x

8

2

2323

2 6cos2x

8 38

n

2 6

n 2

x

cos4x 1

8

5 3cos4x

8

58 3cos4x

8

所以y

(n)

4cos(4x )

2

（6）解：令u x，v e

u' 2x，u'' 2，u''' 0，v

(n)

(k)

e

x

y

C x

kn

2

k 0

3

(k)

v

(n k)

xe 2nxe

2xx

n(n 1)2

2

2e

x

（7）解：令u x，v ln(1 x) u' 2x，u'' 2，u''' 0，v

(k)

k 1

( 1)

(k 1)!(1 x)

k

f

(n)

(uv)

(n)

Cnu

0(n)

v Cnu

1(n 1)

v' Cnu

2(n 2)

v'' Cnuv

n 3

n(n)

( 1)

n 1

x

2

(n 1)!(1 x)

n 3

n

( 1)

n 2

2nx

(n 2)!(1 x)

n 1

( 1) 2

n(n 1)(n 3)!2

(1 x)

n 2

f

(n)

(0) ( 1)n(n 1)(n 3)!

2

5、解：因为f'(cosx) cos2x 2cosx 1

所以f'(x) 2x 1

f (x) 2

6、证明：y' C1wsinwx C2wcoswx

y'' C1wcoswx C2wsinwx w(C1coswx C2wsinwx) wy

2

2

2

2

2

所以y'' wy 0

7、证明：y' esinx ecosx，y'' esinx ecosx ecosx esinx 2ecosx

x

x

x

x

x

x

x

2

y'' 2y' 2y 2ecosx 2 esinx ecosx 2esinx 0

x

x

x

x

第四节 隐函数与参数方程求导法则

1.填空题

（1）1 （2）

cost1 sint

y ee

x y

x y

2.(1) y xy e

x y

1 y y

x

(2) 3x 3yy ay 3axy 0 y

22

ay x

2

2

y ax

（3）y xy ey

y

1x

1y

y y

y

y

x e

1y

（4）

12

x

12

12

y

12

y

0 y

2

xy

3、e(y xy )

xy

1y

y

1x 1

0 y

y y(x 1)e x 1 xye

2

xy

1)

y (0)

e 1e

2

4、6x 6yy 9(y xy ) 0 y

45

65

22

9y 6x

2

6y 9x

y (1,2)

54x

4

45

切线方程：y x 法线方程：y

bxay

22

134

2

2

2

2

5、（1）2bx a2yy 0 y

22

y

bx aby

aye

2y

4

3

（2）y e xey y

yy

e

y

y

1 xe

y

(2 xe)

y

3

y

(1 xe)

6、（1）lny

1n

ln

x(x 1)(x

2)

2

2

y

sinx

（2）lny sinxlnx y x7、（1）

dydx

1t

y

(lnxcosx

sinxx

)

dydt

ecost1 esint

yy

（2）y (ey sint ecost) 0

dydy

ecost

y

y

y

yecost y

dxdx2t 22(t 1)(1 esint)

dt

1d

2

8

、

dydx

1 t

1t

dydx

2

2

() dtdx

dxdxdx

dt

ddy

(

dy

)

1t

t

2

2

1 tt

3

2

1 t

9、f (0) lim

x 0

ln(1 x)

x

lim

x 0

ax bx c

x

2

1

∴c 0,b 1

1 2ax b,x 0

1

2ax 1 1

∴f (x) f (0) lim 1 x lim 1

x 0x 0xx 1

,x 0 1 x

∴a

12

第五节 函数的微分

1、填空题

（1）（2）0 （3

）dy 0.11 (3x 1)dx

12

12

2

（4）dx

coswxw

（5） e

2x

（6

）（7）sec2x （8） 2sin2xf (cos2x)

2、选择题

（1）B （2）C （3）A （4）D

3、（1）y e x[sin(3 x) cos(3 x)] dy e x[sin(3 x) cos(3 x)]dx （2）y 2ln(1 x)[ln(1 x)]

lnxx

2ln(1 x)x 1

2

dy

3

2ln(1 x)x 1

2

dx

3

（3）y

1x(lnx)

2

(lnx) (lnx) x

x(lnx)

2

2

dy

(lnx) (lnx) x

x(lnx)

2

2

dx

（4）y ex(sin2x sin2x) dy ex(sin2x sin2x)dx （5）y tanx xsec2x dy (tanx xsec2x)dx （6）y

dy

1lnlnx

1

(lnlnx)

dx

1

1

(lnx)

1xlnxlnlnx

lnlnxlnx

xlnxlnlnx

（7） sin(x y)(1 y ) eyy 0 y

2x

sin(x y)e sin(x y)

y

dy

sin(x y)e sin(x y)

y

dx

4、y 3xcosx xsinx

23

dy x 1 (2 3cos1 sin1)dx

5、dy [f (sinx)cosx f (x)cosf(x)]dx 6、e

ylnx

e

xlny

sinx

2

e

ylnx

(y lnx y

1x

) e

xlny

(lny

xy

y ) 2xcosx y

2

ylny x

y

xy 1

y 2xcosx

x 1

2

xlnx xy

dy

ylny x

y

xy 1

y 2xcosx

x 1

2

xlnx xy

dx

2

7、f(x) tanx f (x) secx f ( ) 4

23

2424

tan136 tan( ) tan 4 0.6156

345345

1

f(x) x3 f (1)

13

1

13

0.02 1.0067

8、V Rh V 2 hR V R R 2 hR

2

V V (R ) R 2 3.14 9 0.15 0.001 0.00848

每个元器件需的铜约为0.00848 8.9 0.07545

第六节 导数概念在经济学中的应用

1、填空题

（1） 2 x xex 2 x （2） 1

（3）增加 28.6

2、（1）固定成本为200，可变成本为4Q 0.05Q2 （2）边际成本函数为C (Q) 4 0.1Q

C (24) 4 0.1 200 24

当产量Q 200时的边际成本为24，在经济上说明在产量为200的基础上，再增加一单位产品，总成本要增加24元.

（3）因国家对该厂征收的固定税收与产量Q无关，这种固定税收可列入固定成本，因而对边际成本没有影响.例如，国家征收的固定税收为100，则 总成本 C(Q) (200 100) 4Q 0.05Q 边际成本函数仍为 C (Q) 4 0.1Q. 3、总成本函数C(x) 0.01x 10x 1000 总收入函数R(x) Px 30x

总利润函数L(x) R(x) C(x) 30x 0.01x 10x 1000 0.01x 20x 1000 边际成本 C (x) 0.02x 10 边际收入 R (x) 30

边际利润 L (x) 0.02x 20

令L (x) 0，得 0.02x 20 0，x 1000.即每月产量为1000个单位时，边际利润为零.这说明，当月产量为1000个单位时，再多生产一个单位产品不会增加利润. 4、（1）R(Q) PQ 10Q

25

15

Q，R(P)

2

2

2

22

R(Q)Q

10

15

Q，

R (Q) 10 Q

（2）R(20) 120，R(20) 6，R (20) 2.

5、因为Q 600 50P，所以

PdQQdP

50P

dQdP

50

所以 P

1

600 50P

当P 1时， P

11

1，为低弹性，此时降价将使总收益减少，提价使总收益增加；

当P 6时， P 1，为单位弹性，此时降价或提价对总收益没有明显影响； 当P 8时， P 2，为高弹性，此时降价将使总收益增加，提价使总收益减少. 6、（1）设Q f(P)，R PQ，故

EREP

E(PQ)EP

PPQ

d(PQ)dP

1 dQ PdQ

Q P 1

Q dP QdP

1

EREQ

PdQ

1 QdP QPQ

d(PQ)dQ

1d(PQ)P

dQ

1 dP

P Q P dQ

E(PQ)EQ

1 1

P dQ QdP 1 1

1 ，故

（2）由（1）知

EREP

EREP

PdRPdR 1 RdPPQdP

得

dRdP

Q(1 ) f(P)(1 )

又由（1）

EREQEREQdR

1

1

，故

Q

RdQ

dR

Q

PQdQ

dR

1

1

得

1 P 1 dQ

7、（1）R(P) PQ(P)，两边同时对P求导得

dRdP Q(P) P

dQ

Q PdQ 1 Q(1 P) dP

QdP （2）EREP

0.54

P 6

经济意义：当P 6时，若价格上涨1%，则总收益增加0.54%

第二章综合练习题（一）答案

1、填空题

（1）1 （2）4 （3）充分必要 （4）y 14

x 1

（5）y (

11x

x 1

1x 211

)x(x 1) (x 211)

（6） f (cos2

x)sin2x 2xsecx2

（7） 1 （8）(ln10)n

（9）3 （10）

36

2、选择题

（1）C （2）C （3）C （4）C （5）A （6）C （8）B （9）B （10）A 3、计算题

（1） lim

[a ln(1 x)] limbx 2 2 所以a 2

x 0

x 0

又因为 lim

2 ln(1 x) 2

2 2

x 0

x

1 limbxx 0

x

b 所以b 1x

1

（2）lim1 ex

lim

1

x 0

x

x 0

1

0

1 ex

x

1

limx

lim1

1

x 0x

x 0 1

1 ex

函数在0点的导数不存在

x

f(0 x) f(0)

sin

1（3）f (0) 0

x

x

lim

x lim

x 0

x

lim x 1

sin1 x

1

x 0

7）B （

所以 1时f (0) 0 （4）y aaxa

ax

a

a 1

a

a

1

a

a

x

a

lna ax

lnax2

a 1

a 1

a

x

a

x

lna a lna

2

x

a

x 1`

a

a x

lna

2

3

f (x) 2 1 2(1 x)

（5） f(x)

1 x1 x

1 x

1 f (x) 2 1(1 x)

4

f (x) 2 1 2 3(1 x) … f

(n)

(x) 2 ( 1)n (1 x)

n (n 1)

（6）lny cosxlnsinx

1y

cosxsinxdydx

222

y sinxlnsinx y ( sinxlnsinx

cosxsinx

2

)(sinx)

cosx

（7）

dydx

y

cost1 sint

x

1(1 sint)

2

（8）e y e 0 y e

x y

（9

）y e4、应用题

e

dy

dx

（1）limxsin

x 0

2

1x

0 f(0) 所以在0点连续

xsinlim

x 0

2

1

x

x 0p

0

0 所以在0点可导

（2） p Q Q

12pp2

pp 24

12

p p 6 0.33 当p上涨1%，产品需求量将减少0.33% 五、证明：因为函数f(x)在a可导，所以lim

lim

xf(x) af(a)

x a

lim

f(x) f(a)

f (a)，于是

x a

[xf(x) xf(a)] [xf(a) af(a)]

x a

x ax a

x a

x a

lim

(x a)f(a)

x a

x a

lim

x[f(x) f(a)]

x a

af (a) f(a)

第二章综合练习题（二）答案

1、填空题

（1） 12 （2）e2t(1 2t) （3）b 4a （4） 2 （5）2 （6） 1

n 1

n

n 1

ax2

6

(n 1) (1 x) （7）ae （8

（9）0.9833 （10） 1.5 2、选择题

（1）B （2）C （3）D （4）B （5）D （6）B （7）D （8）D （9）A （10）A

3、计算题 右导数lim

x c

ax b cx c

2

2

2c

x c

lim

ax b cx c

lim

x c

x cx c

2

22

2c（*） ∴ac b c 0 ∴b c ac代入（*）式

22

得到a 2c ∴b c

e

xx

2

（2

）y

1 (e)

xe 1

=2x

1 e

ye 2y(x e)

(x e)

y

3

2

y

y

（3）y

yx e

y

y y (0) e

2

(4) limf cos

x 0

a

=2 (

12

x

)= 1

（5）y a x e

x

xaxlnx

a y alna ax

a 2

x

a 1

e

xlnx

(lnx 1)

y a(lna) a(a 1)x（6）

dydx

seca[tan 11 x

2

2

x(lnx 1) x

2x 1

acostt

t sint]t221x 1

tant

（7）y ， y

1(x 1)

2

， y

2(x 1)

3

y

(4)

2 3(x 1)

4

……

y

(n)

( 1)

n 1

(n 1) (x 1)

xlnx

n

（8）因为y 1 e

x

x

x

而 exlnx exlnx (lnx 1) xx(lnx 1)

x

x

x

e

xlnx

x

e

xlnx

x

1 x x

x lnx x

x

xx 1

xx xlnx 1lnx x

x

x x

xx

x

1 2

lnx lnx x

x

x

x

所以 y 1 x

2

x

lnx 1

x x

1 2

lnx lnx x

4、（1）limx 0 f(0) 函数在x 0处连续

x 0

lim3 2x limx 1 f(1) 函数在x 1处连续

x 1

2

x 1

2

limx 1 limx 1 函数在x 1处不连续

x 1

x 1

lim

x

2

x 0

x

0 函数在0点可导

x 1

lim

3 2x 1x 1x 1x 1

2 lim

x 1

2

x 1x 1

2

2 函数在1点不可导

x 1

lim lim

x 1

x 1x 1

2 函数在 1点不可导

（2） P

PdQQdP

bP

bPa bP

a2b

P 1，即

5、证明题

f (x) lim

a bP

1 所以p

f(x h) f(x)

h

h 0

lim

f(x)f(h) f(x)

h

h 0

lim

f(x)[f(h) 1]

h

h 0

lim

f(x)[1 hg(h) 1]

h

h 0

f(x)

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