概率统计作业题答案

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第一章 概率论基础

一、填空题

1．设P(A)?0.4,P(A?B)?0.7，若A，B互不相容，则P(B)? 0.3 ， 若A，B相互独立，则P(B)? 0.5 ．

2．设P(A1)?P(A2)?P(A3)?1，A1,A2,A3相互独立，则A1,A2,A3至少出现一个的概率

3为1927 ；A1,A2,A3恰好出现一个的概率为49 ；A1,A2,A3最多出现一个的概率为2027 ．

3．一袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机 地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 0.4 ．

4．设在一次试验中，事件A发生的概率为p．现进行n次独立试验，则事件A 至少发生一次的概率为1??1?p? ；而事件A至多发生一次的概率为

n?1?p??np?1?p?nn?1 ．

5345．三个人独立破译以密码，他们能单独译出的概率分别为1,1,10.6 ．

，则此密码被译出的概率为

二、选择题

1．设A、B为两个事件，则(A?B)(A?B)表示 （ C ）． （A） 必然事件； (B) 不可能事件；

（C） A与B恰有一个发生； (D) A与B不同时发生．

2．对事件A、B，下列命题正确的是 （ D ）． （A） 如果A、B互不相容，则A、B也互不相容；

（B） 如果A、B相容，则A、B也相容；

（C） 如果A、B互不相容，且P(A)?0，P(B)?0，则A、B相互独立； （D）如果A、B相互独立，则A、B也相互独立．

3．设AB?C，则 （ A ）． （A）AB?C；（B）A?C且B?C；（C）A?B?C；（D）A?C或B?C． 4．设A、B是任意两个事件，则P(A?B)? （ C ）． （A） P(A)?P(B)； （B） P(A)?P(B)?P(AB)；

（C） P(A)?P(AB)； （D） P(A)?P(B)?P(AB)．

5．设A、B是任意两个事件，则一定有P(A?B)? （ D ）． （A） P(A)?P(B)； （B） P(A)?P(B)?P(A)P(B)； （C） 1?P(A)P(B)； （D） P(A)?P(B)?P(AB)．

三、计算与证明题

1．指明在下列各条件下，事件A，B，C之间的包含关系．

（1）若A和B同时发生，则C必发生；（2） A和B有一个发生，则C必发生； （3）若A发生，则B必不发生；（4） A和B同时发生的充分必要条件是C不发生； （5）A发生的充分必要条件是B不发生．

解 （1）AB?C，即积事件AB包含于事件C； （2）(AUB)?C，即和事件AUB包含于事件C； （3）AB??，即积事件AB为不可能事件；

（4）AB?C，即积事件AB等于事件C的对立事件C；

1

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（5）A?B，即积事件A等于事件B的对立事件B．

2．对任意的随机事件A,B,C，证明：P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(A)． 证明 因为A?(AB?AC)，所以

P(A)?P(AB?AC)?P(AB)?P(AC)?P(ABC)?P(AB)?P(AC)?P(BC)

3．将3个球随机地投入4个盒子中, 求下列事件的概率：

（1）A是任意3个盒子中各有1个球；（2）B是任意1个盒子中有3个球； （3）C是任意1个盒子中有2个球, 其它任意1个盒子中有1个球． 解 ?1?P?A??C4?3?2?14121C4C3C3333 ?2?P?B???0.375，C4431 ?0.0625，44．把一个表面涂着颜色的立方体等分成1000个小立方体，从这些小立方体中任

?3?P?C?? ?0.5625．意取出一个，求它有k面涂着颜色的概率（k = 0 , 1 , 2 , 3）．

解 （请自己作图结合图形阅读）一面涂有颜色的小立方体个数(8?8)?6=384， 其中8?8为大立方体每个表面含有此类小立方体的数目，6是大立方体的表面总数．

二面涂有颜色的小立方体个数小立方体被重复计算2 次．

三面涂有颜色的小立方体个数：8（即大立方体顶点个数）． 0 面涂有颜色的小立方体个数 1000?8?8?6?所以k?0,1,2,3的概率分别为

p0?P{k?0}?p2?P{k?2}?5121000961000?0.512;?0.096;p1?P{k?1}?384100081000?0.384;(8?4)?62(8?4)?62?96，分子数值的由来与前相似，除以2 是因为每个此类

?8?512．

?0.008.p3?P{k?3}?5．设OA是Ox轴上长为1的线段，B为OA的中点，C为OA上任一点，求 线段OC，CA，OB三线段能构成一个三角形的概率．

解 设OC?x, 则 CA?1?x,OB?. 三线段能构成三角形，应有 2OB?OC?CA,OB?CA?OC, 12?x?1?x,

1412?1?x?x. 34.

1即

解得 ?x?13C点可在 [0,1] 上取，但构成三角形的点只能在 [,] 上取，故由几何概型可得所求概率为

443p?4?14?1． 12

C

O B A X

6．已知在1000个灯泡中坏灯泡的个数从0到5是等可能的,试求：

2

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（1）从1000个灯泡中任意取出的100个灯泡都是好灯泡的概率；

（2）如果任意取出的100个灯泡都是好的，则1000个灯泡都是好灯泡的概率．

解 （1）设Bi（i=0，1，2，3，4，5）表示1000个灯泡中有i个坏灯泡，A 表示任取的100个灯泡都是好灯泡，显然

100P(B1i)?，6P(ABi)?C1000?iC100，

10005100100100100100100P(A)??P(B(AB1CC999C998C997C996C995i)Pi)?6(1000C100?C100?100?100?100?100)i?010001000C1000C1000C1000C1000 ?16?1?0.9?0.8099?0.7287?0.6557?0.5857?

?0.78.（2）根据贝叶斯公式：

P(B(B0)P(A|B0)0|A)?P5

?P(Bi)P(A|Bi)i?0C100?1000C1001001000?C999?C100100100998?C997?C996?C100

995?0.214．

7．发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“· ”及“—”．由于通信系统受到干 扰，当发出信号“· ”时，收报台以概率0.8及0.2收到信号“· ”及“—”；又当 发出信号“—”时，收报台以概率0.9及0.1收到信号“—”及“· ”．求： （1）收报台收到信号“· ” 的概率； （2）收报台收到信号“—” 的概率；

（3）当收报台收到信号“· ”时，发报台确系发出信号“· ”的概率； （4）当收报台收到信号“—”时，发报台确系发出信号“—”的概率．

解 本题是典型的利用全概率公式和贝叶斯公式来求概率的例子．设A表示事件 “发出信号“ · ”，A表示事件发出信号“ — ”，B表示事件收到信号“ · ”，

B表示事件收到信号“ — ”

， 由题意可得 P(B|A)?0.8,P?B|A??0.2,P?B|A??0.9，P(BA)?0.1，

P(A)?0.6，P(A)?0.4，

于是根据全概率公式和贝叶斯公式

（1）P(B)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?0.6?0.8?0.4?0.1?0.52 （2）P(B)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?0.6?0.2?0.4?0.9?0.48 （3）P(AB)?P(A)P(BA)0.8P(B)?0.6?0.52?0.9231，

（4）P(AB)?P(A)P(BA)4?0.9P(B)?0.0.48?0.75．

8．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊,它们在一昼夜内到 达的时刻是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时, 乙船的停泊时间是两小时,求它 们中的任何一艘都不需等候码头空出的概率． 解 设 甲乙两艘轮船到达码头的时刻分别为x、y，则所有基本事件可表示为：

3

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0?x?24,0?y?24，

而“不需等候空出码头”的事件A必需满足条件：

?y?x?1， ??x?y?2可以用图中阴影面积：

12?232?222?

22 Y O X 9题图 表示，所有基本事件的面积为242，所以

P?A??23?222?242?0.879．

第二章 随机变量

一、填空题

27?2?1．设随机变量X的概率分布为：P?X?k??c??,k?1,2,3，则c＝ ．

338?? 2．设随机变量X的概率密度为： ?kxb, f(x)???0,0?x?1,(b?0,k?0),其他.k

1??且P?X???0.75，则k = 2 ，b = 1 ．

2??3．已知随机变量X的分布函数为：F(x)?A?Barctanx，则A = 0.5 ；

B =

1?；P?X?1?? 0.5 ；概率密度f(x)?1?(1?x)2 ．

P?X?k??a 4．设随机变量X的概率分布为：

?kk!,k?0,1,2,3,…，其中??0为常数，则a＝

x??e?? ．

25．设随机变量X~N(10,0.02)，已知?(x)??12?e?x22dx，

?(2.5)?0.9938，则

X落在区间（9.95，10.05）内的概率为 0.9876 ．

1x6．设平面区域D由曲线y?及直线y?0,x?1,x?e所围成，二维随机变量(X,Y)在区域D服

2从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x?2处的值为 0.25 ．

二、选择题

（ B ）．

(A) 0?f(x)?1； (B) P{X?x}?F(x)； (C) P{X?x}?F(x)； (D) P{X?x}?f(x)．

1．设连续型随机变量的密度函数和分布函数分别为f(x),F(x)，则下列选项中正确的是

2．设f(x)?cosx为随机变量X的概率密度，则随机变量X的可能取值充满区间 （ A ）．

7????????3(A) ?0,?； (B) ?,??； (C) ?0,?? ； (D) ??,??．

4??2??2??23．设随机变量X~N(?,?)，且P{X?c}?P{X?c}，则c = ( B )．

24

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(A) 0； (B) ?； (C) ??； (D) ?．

4．设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：P{X??1}?P{Y??1}?P{X?1}?P{Y?1}?1212，

，则下列各式中成立的是 （ A ）．

(A) P{X?Y}?12 ； (B) P{X?Y}?1；

14(C) P{X?Y?0}? ； (D) P{XY?1}?14．

x?y22?1?,5．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为：f(x,y)?????0,?1,

其他.则随机变量X与Y为 ( C )． (A) 独立同分布； (B) 独立不同分布； (C) 不独立同分布； (D) 不独立也不同分布．

三、计算与证明题

1．设F1(x),F2(x)都是分布函数，又a?0,b?0,且a?b?1. 证明aF1(x)?bF2(x) 也是分布函

数．

证明 令 F(x)?aF1(x)?bF2(x),

（1） F(??)?aF1(??)?bF2(??)?0?0?0,

F(??)?aF1(??)?bF2(??)?a?b?1.

对任意x?R, 有a?0?b?0?0?aF1(x)?bF2(x)?a?1?b?1?a?b?1， 即 0?F(x)?1.

（2）对任意x0，F1(x0?0)?F1(x0), F2(x0?0)?F2(x0), 故

F(x0?0)?aF1(x0?0)?bF2(x0?0)?aF1(x0)?bF2(x0)?F(x0). （3）对任意 x1?x2, F1(x1)?F1(x2), F2(x1)?F2(x2), 故

F(x1)?aF1(x1)?bF2(x1)?aF1(x2)?bF2(x2)?F(x2).

所以，F(x) 满足分布函数的三个性质，故必为某随机变量的分布函数．

2．问c 应取何值，下列函数才能成为离散型随机变量的分布律．

cNf (k) =

N， k = 1, 2, ?,N．

解 显然，f(k) 的值应是有限多或可列个，如果每个值都在[0,1]上，且和为1，则f(k)是分布律． 由

?k?1f(k)?NcN?1,

得 c?1． 3．一页书上印刷错误的个数服从参数??0.5的泊松分布．试求在一页书上印刷错误至少一个的概率．

解 设X为一页书上印刷错误的个数，则

P(X?k)?e?122k!一页书上印刷错误至少一个的概率为

k, k?0,1,2,

P(X?1)?1?P(X?0)?1?e?0.5?0.3935.

4．设X在 [0, 5] 上服从均匀分布，求方程4t?4Xt?X?2?0有实根的概率． 解 方程有实根的充要条件是判别式(4X)?4?4?(X?2)?0，解得

22 5

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