浅谈中学几种常用证明不等式的方法

江西科技师范大学

毕业论文

题 目：浅谈中学几种常用证明不等式的方法

（外文）：On the method commonly used in

Middle School to prove inequality

院（系）： 数学与计算机科学学院 专 业： 数学与应用数学 学生姓名： 吴丹 学 号： 20091741 指导教师： 樊陈

2013年3月20日

目录

1引言 ................................................................................................................................................. 1 2放缩法证明不等式.......................................................................................................................... 1

2.1放缩法 ................................................................................................................................. 1 2.2（改变分子分母）放缩法 ................................................................................................... 1 2.3拆补放缩法.......................................................................................................................... 2 2.4编组放缩法.......................................................................................................................... 3 2.5寻找“中介量”放缩法 ...................................................................................................... 4 3反正法证明不等式.......................................................................................................................... 4

3.1反证法定义.......................................................................................................................... 4 3.2反证法步骤.......................................................................................................................... 5 4．换元法证明不等式 ....................................................................................................................... 6

4.1利用对称性换元，化繁为简 .............................................................................................. 6 4.2三角换元法.......................................................................................................................... 7 4.3和差换元法.......................................................................................................................... 8 4.4分式换元法.......................................................................................................................... 8 5． 综合法证明不等式 ..................................................................................................................... 9

5.1综合法证明不等式的依据 .................................................................................................. 9 5.2用综合法证明不等式的应用 .............................................................................................. 9 5.3综合法与比较法的内在联系 ............................................................................................ 10 6.分析法 .......................................................................................................................................... 11

6.1分析法的定义 .................................................................................................................... 11 6.2分析法证明不等式的方法与步骤 .................................................................................... 11 6.3分析法证明不等式的应用 ................................................................................................ 11 7．构造法证明不等式 ..................................................................................................................... 13

7.1构造函数模型 .................................................................................................................... 13 7.2构造数列模型 .................................................................................................................... 14 8．数学归纳法证明不等式 ............................................................................................................. 15

8.1分析综合法........................................................................................................................ 16 8.2放缩法 ............................................................................................................................... 16 8.3递推法 ............................................................................................................................... 17 9.判别式法证明不等式 ................................................................................................................... 17 10.导数法证明不等式 ..................................................................................................................... 18

10.1利用函数的单调性证明不等式 ...................................................................................... 18 9.2利用极值（或最值） ........................................................................................................ 20 11比较法证明不等式 ...................................................................................................................... 20

11.1差值比较法 ...................................................................................................................... 20 11.2商值比较法 ...................................................................................................................... 21 11.3比较法的应用范围 .......................................................................................................... 22 12结束语： ..................................................................................................................................... 22 参考文献 .......................................................................................................................................... 22

浅谈中学常用几种证明不等式的方法

摘要：中学数学有关不等式的证明的题型多变，技巧性很强，同时它也没有固定的程序加以规定。因而 他是中学数学考试的难点。不等式的证明的方法很多。本文将列举出中学数学常用的几种方法：放缩法、 反正法、换元法、分析法、综合法、构造法、数学归纳法、判别式法、导数法、比较法。 关键词：不等式 证明方法

1引言

不等式，渗透在中学数学各个分支中。而不等式的证明在不等式中占有极其重要的地位。不等式的证明的方法是中学数学的重要知识，也成为了中学数学考试的热点问题。本文针对以上的情况，提出了中学几种常见的不等式的证明方法来和大家一起分享，希望不仅能够对我们今后碰到类似的问题起到指导的作用，而且还能够培养分析和解决问题的能力。

2放缩法证明不等式

2.1放缩法

放缩法的定义：在不等式的证明中，有时可把不等式中的某些项或因式换成数字较大或较小的数或式，以达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法。

放缩法的形式：欲证A B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，

,Ai B,再利用传递性，使得 B B1,B1 B2, Bi A,或A A1，A1 A2，达到欲证的目的。

2.2（改变分子分母）放缩法

在不等式有分式时，长放大或缩小分式的分子或分母，从而达到“以小代大”或“以大代小”的目的。

1

例1：求一切n N,(1 )n 3

n

11121n1 Cn C 证明：(1 )n 1 Cn nnnn2nn

=2

n(n 1)n(n 1)(n 2)n!

2！n23!n3n!nn

2

111 n 2!3!n111 2 n 1 2221111 ) 012n 12222

2

=1 (

1

n 1 11 2

1

3

12n 1

3

(1 1)

n

n

3(n N)

2.3拆补放缩法

在证有些不等式的时候，常将其中某些项拆开和或合并以完成证明。

12

11n

例2：求证： n 1(n 7)

证明： k k 1 2k

1k

2k k 1

12

13

14

1n

22 3

2 4

2n n 1

2(n 1 2) n 1 n 1 22

2( 1 2) n 1 n 1 22

n 7 n 1 22 0

12

1

1n

n 1

2.4编组放缩法

证明不等式有时把某项拆开，重新编组，利用基本不等式完成证明。

1

1111

例3：求证:n 1 n(n 1)n(n N,n 1).

234n

111

证明：左 (1 1) (1 ) (1 ) (1 )

23n

2

345n 1 234n

345n 1 n2 234n

1

n

n(n 1)

1111

n 1 n(n 1)n

234n

1

2.5寻找“中介量”放缩法

当两式难以比较大小时，可寻找“中介量”牵线搭桥，利用不等式的传递性完成证明。

例4：求证：

11123

log2 log5 log519log319log219

11

log 2 log 5 log 10 log2 log5

证明：

log 2 2

123

log195 log1932 log1923 log19(5 9 8)

log519log319log219

log19360 2

11123

log2 log5 log519log319log219

小结:放缩法是不等式证明中常见的变形方法之一，具有较高的技巧性。放缩 必须有目标，而且要恰到好处，需要细心观察，目标往往要从证明的结论中寻 找。

3反正法证明不等式

3.1反证法定义

“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、

定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立”.这种证明的方法，叫做反证法．

3.2反证法步骤

1、假设命题的结论不成立；

2、从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；

3、由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确，即：提出假设——推出矛盾——肯定结论．

例5：已知：a,b,c都是小于1的正数；求证：(1 a)b,(1 b)a,(1 c)a中至少有

1

一个不大于。

4

分析 ：采用反证法证明．其证明思路是否定结论从而导出与已知或定理的矛盾从而证明假设不成立，而原命题成立．对题中“至少有一个不大于题是“全都大于

1

”。 4

1

”的否命4

证明：假设(1 a)b

111,(1 b)c ,(1 c)a 444

a,b,c都是小于1的正数

1 a)b 1,2 1 a)b

1 b)c

11,(1 c)a 22

3

2

(1 b)c (1 c)a

又

1 a)b 3

2

(1 b)c (1 c)a

1 a b1 b c1 c a

222

故与上式矛盾，假设不成立，原命题正确

说明： 反证法是利用互为逆否命题具有等价性的思想进行推证的．反证法必须罗列各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证都是不完全的，遇到“至少”、“至多”、“唯一”等字句的命题常用反证法． 例6：若p 0,q 0,p3 q3 2，求证：p q 2

证明：假设p q 2，则(p q)3 8，即p3 q3 3pq(p q) 8。 因为p3 q3 2，所以pq(p q) 2

故pq(p q) 2 p3 q3 (p q)(p2 pq q2) 又p 0,q 0,即p q 0 所以pq (p2 pq q2) 故(p q)2 0

与假设不成立，原命题正确。

总结：反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。用反证法证明不等式就是最好的应用

4．换元法证明不等式

4.1利用对称性换元，化繁为简

例7:设a,b,c R ,求证:abc b c a c a b a b c .

分析:把a,b,c中的两个互换,不等式不变,所以这是一个对称不等式,令 x b c a,y c a b,z a b c,则原不等式等价于：

x y y z z x 8xyz.

证明:令x b c a,y c a b,z a b c,则 a

1

y z ,b 1 x z ,c 1 x y . 222

a,b,c R , 当xyz 0时,有 x y y z z x 8xyz；

当xyz 0时,有x,y,z R (否则x,y,z中必有两个不为正值,不妨设x 0, y 0,则c 0,这与c 0矛盾), 因此

x y 2xy 0,y z 2yz 0,z x 2zx 0, x y y z z x 8xyz,

综上所述, x y y z z x 8xyz

把x,y,z代入上式得: abc b c a c a b a b c

4.2三角换元法

三角换元法的基本思想是根据已知条件，引进新的变量---三角函数，把一个复杂的不等式问题转化为三角不等式的问题，再利用三角函数的性质及三角恒等式去证明，从而使不等式得证。

例8：已知x2 y2 1，求证x2 2xy y2 2

分析：由已知x2 y2 1，令x cos ,y sin ，则a 1 证明：令x cos ,y sin ，a 1

x2 2xy y2 2 2cos2 2sin2 2 cos sin a2cos2 sin2 a2 2sin(2

4

) 2 2 2

说明:换元法是将较为复杂的不等式利用等价转换的思想转换成易证明的不等式．常用的换元法有(1)若x 1，可设x sin ， R；

(2)若x2 y2 1，可设x sin ,y cos ；

(3)若x2 y2 1，可设x cos ,y sin ，a 1。

4.3和差换元法

在题中有两个变量x,y，可设x a b,y a b，这称为和差换元法，换元后有可能简化代数式。

a ba2 b2a3 b3a6 b6

例9:对任意实数a,b，求证： 2222

分析：对于任意实数a与b，都有a s

a ba ba ba b

,b 。令 2222

a ba b

,t ，则有a s t,b s t。 22

证明：设a s t,b s t，

下面只须证： s(s2 t2)(s3 3st2) s6 15s4t2 15s2t4 t6

∵不等式右边—不等式左边=11s4t2 12s2t4 t6 0 ∴s(s2 t2)(s3 3st2) s6 15s4t2 15s2t4 t6

a ba2 b2a3 b3a6 b6 即 2222

说明：利用“和差换元”可以简证难度较大的不等式.

4.4分式换元法

11

证：(1 )(1 ) 9 例10：已知 a,b R ,且a b 1,求

ab

分析：本题的证明方法很多，下面我们利用分式换元来进行证明 证明：设a

xy

,b ,且x 0,y 0 x yx y

11x yx y(1 )(1 ) (1 )(1 )

abxy

yxyx (2 )(2 ) 5 2( )

xyxy (1 1)(1 1) 9

a

b

当且仅当

yx1 ,即a b 时等号成立 xy2

说明：不等式的证明中，我们知道证明不等式时，可以利用分式换元，使其分式结构变得简单，分母变为单项式，然后把逐项分离，便于利用均值不等式。

5．综合法证明不等式

5.1综合法证明不等式的依据

（1）已知条件和不等式性质； （2）基本不等式：

“＝”号）．

5.2用综合法证明不等式的应用

例11：已知a,b,c是不全等的正数，求证：

a(b2 c2) b(c2 a2) c(a2 b2) 6abc．

分析：观察题目，我们很容易想到利用性质a2 b2 2ab．

证明： b2 c2 2bc，a 0

a(b

2

c2) 2abc ①

同理可得：b(a2 c2) 2abc ②

c(a2 b2) 2abc ③

a,b,c是不全等的正数，

①，②, ③至少有一个不等式不能取等号 ①+②+③ a(b

2

c2) b(c2 a2) c(a2 b2) 6abc

5.3综合法与比较法的内在联系

由于作为综合法证明依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、性质或比较法证出的，所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根据不等式的意义、性质或比较法来证明；摆在我们面前的问题恐怕是方法的选择．方法选择不当，不是证不出来就是难度加大；方法合理使用，会使题目难度大大下降．因此我们不要学过某种方法就抱定不放，要善于观察，根据题目的特征选择证题方法。

6.分析法

6.1分析法的定义

从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种证明方法叫做分析法。

6.2分析法证明不等式的方法与步骤

用分析法论证“若A则B”这个命题的格式是： 欲证命题B为真， 只需证命题B1为真， 只需证命题B2为真，

只需证命题Bn为真， 只需证命题A为真， 令已知命题A为真， 故命题B为真。

6.3分析法证明不等式的应用

例12：若c a 0,c b，求证：c c2 ab a c c2 ab

分析： 采用分析法证明．

证明：c c2 ab a c c2 ab

c2 ab a c c2 ab a c c2 ab (a c)2 c2 ab a2 2ac c2 c2 ab a2 ab 2ac a b 2c

c a 0,c b

2c a b 原不等式成立。

说明：从这道题目我们不难看出“分析法”的证明格式，是用“ ”符号，不断用充分条件代替前面的不等式

6.4综合法与分析法的综合应用

条件和结论之间的关系比较复杂,根据既定法则和事实条件,由因导果,一直推究下去,有时会在中途迷失方向,使解题无法进行下去.在这种情况下,可以同时运用综合法与分析法的解题方法,执行. 例13： 若a,b，c是不全相等的正数，求证

lg

a bb cc a

lg lg lga lgb lgc。 222

分析：利用对数的性质，所要证的不等式等价于

lg(

a bb cc a

) lgabc，所以只要证222a bb cc a

abc，于是我们可以利用不等式的性质：222a b

2ab即可得证。 2

证明：lg

a bb cc a

lg lg lga lgb lgc 222a bb cc a

) lgabc 222

lg(

a bb cc a abc 222

a o,b 0,c 0

b a

2

b cc a

， ac，且这三个不等式的等号22

ab，

不能同时成立（它们是3个不全等的正数）

bb cc a

a abc

222

bb cc a

lga lg lg lga lgb lgc

222

说明：分析法和综合法是对立统一的两个方面．在这道题目中，前面是分析法，后面是综合法，两种方法结合使用，使问题较易解决．分析法的证明过程恰恰是综合法的分析、思考过程，综合法的证明方法是分析思考过程的逆推。

7．构造法证明不等式

构造法作为一种数学思维方法，在解题过程中通过观察分析给出式和欲证式，充分挖掘题目的隐含信息，并进行联想与思考，恰当地构造出一个与题目相关的数学模型，将欲证的问题转化到我们所熟悉的情景之中，从而达到证题的目的，这是构造法证题的解题模式。本文以证明不等式为例，介绍几种常见的构造法。

7.1构造函数模型

我们常常利用一次函数的线性性质、二次函数的最值以及函数的单调性等性质证明某些不等式问题。在证明不等式时，抓住不等式与函数的密切关系，以问

题的结构特征为起点，构造相应函数，从函数的思想和方法来解决问题。 例14：已知: 1 a 1, 1 b 1, 1 c 1

求证: ab bc ac 1

证明: 构造函数f(x) (b c)x bc ( 1 x 1),此图象为一条直线.

∵f(1) b c bc (b 1)(c 1) 1

b 1 0 c 1 0

∴f(1) 1

f( 1) b c bc (1 b)(1 c) 1

又 1 b 0,1 c 0

f( 1) 1

f(a) (b c)a bc 1

例15:已知x,y都是正数,x y 1；求证

证明: 设u(x) (x 1)2 (y 1)2

92

(x 1)2 y 1 5 2

0 x 1,y 1 x u(x) 2x2 2x 5

9 ,5 .

在(0,1)上的值域为 2

92

(x 1)2 y 1 5. 2

所以,

7.2构造数列模型

对于某些自然数的不等式问题，与数列有着密切的联系，这时可构造有关数列模型，利用其单调性解决。

111 1.

例16： 求证：n 1n 2 3n 1

111

1, n 1n 23n 1

证明: 构造数列模型an

则有an 1 an

1111 3n 43n 33n 2n 1111 3n 43n 23n 3

2

0，所以数列{an}为递增数列。

(3n 2)(3n 3)(3n 4)

1111 1 0，故an 0(其中n N ) 23412

即原不等式得证。

又因为a1

总结：欲证含有与自然数n有关的和的不等式f(n) g(n)，可以构造函数模型

an f(n) g(n)，只需证明数列{an}是单调递增，且a1 0。另外，本题也可以用数学归纳法证明，但是构造数列模型证明简洁。

8．数学归纳法证明不等式

说明数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。主要有

两个步骤一个结论：

（1） 证明当n取n0（如n0=1或2等）时结论正确

（2） 假设n=k（k N ,且k n0）时结论正确，证明n=k+1时结论也正确

由（1）、（2）得出结论正确。因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“P（k）成立”是问题的条件而“命题P（k+1）成立”就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析用数学归纳法证明不等式常涉及的方法。

8.1分析综合法

1 2

12 3

1n(n 1)

例17：求证：

1 2

12

n,n N

证明：（1）当n 1时，因为 1，所以原不等式成立。

（2）假设n k(k 1,k N )时，原不等式成立， 即有：

n k 1时：

1 2

1 2

1

12 3

1

1(k 1)

k

1

1k 1)(k 2)

2 3

k(k 1)(k 1)(k 2)

k

因此，要证明当n k 1时，原不等式成立， 只要证明k

1(k 1)(k 2)

1

k 1成立

1k 1 k

1k 3k 2

2

即证明k 1 k

k 1)(k 2)

也就是证明k2 3k 2 k 1 k

即(k 3k 2) (k 1 k)2 k2 k 1 2k(k 1) 从而k2 3k 2 k 1 k 于是当n k 1时，原不等式也成立。

由（1）、（2）可知，对于任意的正整数n，原不等式都成立。

2

2

k(k 1) 1 0

2

8.2放缩法

111n

n 1 (n N ) 2322

1

证明：（1）当n 1时，1 ，不等式成立。

2

例18：求证：1

不等式成立，即 （2）假设n k(k 1,k N )时

1

111k

k 1 2322

当n k 1时

1

1111k1k 1 k 1 k 2k 1 k 2322222

111n

n 1 (n N ) 2322

所以当n k 1时，不等式成立 由（1）、（2）可知，1

8.3递推法

1

a，求证：对一切n N , an

例19：设0 a 1，定义a1 1 a,an 1 有1 an

1 1 a

，a1 1,又a1 1 a 证明：（1）当n 1时

1

，显然命题成立 1 a

（2）假设n k(k 1,k N )时，命题成立，

即1 ak

1 1 a

当n k 1时，由递推公式，知ak 1 ak a (1 a) a 1 同时，ak 1

1 a21

ak a 1 a

1 a1 a

当n k 1时，命题也成立。 即1 ak 1

1 1 a

1 1 a

由（1）、（2）可知，对一切正整数n，有1 an

说明：证明不等式的题型多种多样，所以不等式证明是一个难点，在由n=k成立，推导n=k+1不等式也成立时，过去讲的证明不等式的方法再次都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考证与原不等式的等价的命题．

9.判别式法证明不等式

判别式法是根据已知的或构造出来的一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的根、解集、函数的性质等特征确定出其判别式所应满足的不等式，从而推出欲证的不等式的方法。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cm2i.html