立体几何体积求法专题

高二（上）数学专题系列 立体几何-体积有关问题 专题1 分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法．

7例已知三棱锥P?ABC，其中PA?4,PB?PC?2,

专题一：立体几何大题中有关体积的求法

角度问题、距离问题、体积问题是立体几何的三大基本问题。以下是求体积的一些常用方法及有关问题。 一公式法

1．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为 ． 2.（2011广东卷文9）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（ ）． A．43 B．4 C．23 D．2

练习

3.一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为 6和4的平行四边形，则该几何体的体积为________

立体几何中有关体积问题

一、知识归纳

1、柱体体积公式：V?S.h

2、椎体体积公式：V?13S.h 3、球体体积公式：V?433?R

二、点到平面的距离问题 求解方法：

1、几何法：等体积法求h

2、向量法： 点A到面?的距离d?AB?nn

?其中，n是底面的法向量，点B是面?内任意一点。题型分析：

1、如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC,AB?BB1AC?BC?BB1?2,D为AB中点，且CD?DA1

（1）求证：BB1?平面ABC （2）求证：BC1∥平面CA1D (3)求三棱椎B1-A1DC的体积

A1C1 B 1 AC D B

2、如图，在四棱锥E?ABCD中，?ADE是等边三角形，侧面ADE?地面ABCD,AB∥DC，且

BD?2DC?4，AD?3，AB?5.

（1）若F是EC上任意一点，求证：面BDF?面ADE (2)求三棱锥C?BDE的体积。

E F C D

AB

3、如图，在棱长为2的正方体中，E,F分别为

DD1、DB的中点。

（1）求证：EF∥平面ABC1D1 (2)求证EF?B1C （2）求三棱锥B1?EFC的体积。 D1C1

AB11 E D C F AB

高考数学重点专题

2008届高三文科数学第二轮复习资料

——《立体几何》专题

一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图：

二、练习题：

1． 1∥ 2，a，b与 1， 2都垂直，则a，b的关系是

A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交、异面都有可能

2．三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别为AA1、CC1上的点，且满足AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积是 A．

1112

V B．V C．V D．V 2343

B1

1 3．设 、 、 为平面， m、n、l为直线，则m 的一个充分条件是

A． , l,m l B． m, , C． , ,m D．n ,n ,m 4．如图1，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中， P、Q是对角

D

高考数学重点专题

a

，则三棱锥P BDQ的体积为 2

333 B

C

D．不确定 A

线A1C上的点，若PQ

5．圆台的轴截面面积是Q，母线与下底面成60°角，则圆台的内切球的表面积是 A 1Q B

立体几何专题(体积)

1.某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a?b的最大值为c A． 22

B． 23

C． 4

D． 25

分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决．

解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别

22222为m,n,k，由题意得m?n?k?7，m?k?6?n?1，

1?k2?a，1?m2?b，所以(a2?1)?(b2?1)?6

?a2?b2?8，∴(a?b)2?a2?2ab?b2?8?2ab?8?a2?b2?16?a?b?4当且仅当a?b?2时取等号．

2.已知m,n是两条不同的直线，?,?为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m??,n??，m?n，则???；②若m//?,n//?,m?n，则?//?； ③若m??,n//?,m?n，则?//?；④若m??,n//?,?//?，则m?n． 其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）__①④_____________． 3.设m,n是两条不同的直线，?,?是两个不同的平面，下列命题正确的是 A．若m?n,m??,n//

立体几何

立体几何专题：空间角

第一节：异面直线所成的角

一、基础知识

1.定义： 直线a、b是异面直线，经过空间一交o，分别a //a，b //b，相交直线a b 所成的

锐角（或直角）叫做 。 2.范围： 0,

2

3.方法： 平移法、问量法、三线角公式

（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a、b的平行线，构造一

个三角形，并解三角形求角。 （2）向量法：

可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式cos cos a,b

求出来

方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出

代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量

(x1,y1,z1) (x2,y2,z2) co s

x1x2 y1y2 z1z2

x1 y1 z1

2

2

2

x2 y2 z2

222

（3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于

斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：cos 1cos 2 cos 二、例题讲练

C

例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，

立体几何专题(体积)

1.某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a?b的最大值为c A． 22

B． 23

C． 4

D． 25

分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决．

解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别

22222为m,n,k，由题意得m?n?k?7，m?k?6?n?1，

1?k2?a，1?m2?b，所以(a2?1)?(b2?1)?6

?a2?b2?8，∴(a?b)2?a2?2ab?b2?8?2ab?8?a2?b2?16?a?b?4当且仅当a?b?2时取等号．

2.已知m,n是两条不同的直线，?,?为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m??,n??，m?n，则???；②若m//?,n//?,m?n，则?//?； ③若m??,n//?,m?n，则?//?；④若m??,n//?,?//?，则m?n． 其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）__①④_____________． 3.设m,n是两条不同的直线，?,?是两个不同的平面，下列命题正确的是 A．若m?n,m??,n//

高一、2级部数学组

立体几何

一、考点分析

基本图形 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

?斜棱柱?底面是正多形①棱柱?棱垂直于底面??正棱柱★ ???????直棱柱?????????其他棱柱??②四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形

长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体 E'D'SF' C'侧面顶点高侧面A'B' 侧棱底面 侧棱 ED底面FC斜高 DCABOH AB

2. 棱锥

棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

球面3．球

轴球心球的性质：

半径①球心与截面圆心的连线垂直于截面；

l★②r?R?d（其中，球心到截面的距离为RAr22Od、球的半径为R、截面的半径为r）

立体几何专题 1 共12页

dO1B高一、2级部数学组

★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正

线面角的求法

1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （ 如图1 ）四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。（2）SC与平面ABC所成的角。

CHSMAB

解:（1） ∵SC⊥SB,SC⊥SA,

图1

∴SC⊥平面SAB 故 SB是斜线BC 在平面SAB上的射影， ∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM，则SM⊥AB,

又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM, ∴面ABC⊥面SCM

过S作SH⊥CM于H, 则SH⊥平面ABC ∴CH即为 SC 在面ABC内的射影。 ∠SCH 为SC与平面ABC所成的角。 sin ∠SCH=SH／SC

∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7

（“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后

高三数学 立体几何专题

一、方法总结 高考预测

（一）方法总结

1．位置关系： （1）．两条异面直线相互垂直

证明方法：○1证明两条异面直线所成角为90o；○2证明两条异面直线的方向量相互垂直。 （2）．直线和平面相互平行

证明方法：1证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；2证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个○○向量相互平行；○3证明这条直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直。

（3）．直线和平面垂直

证明方法：1证明直线和平面内两条相交直线都垂直，2证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量○○都垂直；○3证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。

（4）．平面和平面相互垂直

证明方法：○1证明这两个平面所成二面角的平面角为90o；○2证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；○3证明两个平面的法向量相互垂直。

2．求距离：

求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

（1）．两条异面直线的距离

求法：利用公式d?|AB·n||n|（其中A、B分别为两条异面直线上的一点，n为这两条异面直线的法向量）

（2）．点到平面的距

立体几何专题学科网 【例题解析】学科网 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算学科网 例1 某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a?b的最大值为学科网 A． 22

B． 23

C． 4

D． 25学科网 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为m,n,k，由题意得

m2?n2?k2?7，

m2?k2?6?n?1，学1?k2?a，1?m2?b，所以(a2?1)?(b2?1)?6?a2?b2?8，

学科网 ∴(a?b)2?a2?2ab?b2?8?2ab?8?a2?b2?16?a?b?4当且仅当a?b?2时取等号．例2下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是学科网 A．9π

B．10π

C．11π

D．12π学科网 解析：这个空间几何体是由球和圆柱组成的，圆柱的底面半径是1，母线长是3，球的半径是1，故其表面积是2??1?3?2???1?4??1?12?，答案D．学科网 例3 已知一个正三棱锥P?ABC的主视图如图所示，若AC?BC?223， 学科网 2PC?6，则此正三