立体几何专题——空间角

立体几何

立体几何专题：空间角

第一节：异面直线所成的角

一、基础知识

1.定义： 直线a、b是异面直线，经过空间一交o，分别a //a，b //b，相交直线a b 所成的

锐角（或直角）叫做 。 2.范围： 0,

2

3.方法： 平移法、问量法、三线角公式

（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a、b的平行线，构造一

个三角形，并解三角形求角。 （2）向量法：

可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式cos cos a,b

求出来

方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出

代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量

(x1,y1,z1) (x2,y2,z2) co s

x1x2 y1y2 z1z2

x1 y1 z1

2

2

2

x2 y2 z2

222

（3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于

斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：cos 1cos 2 cos 二、例题讲练

C

例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中， 1

A

AA1 2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 例2、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b(a b),AA1=c，

求异面直线D1B和AC所成的角的余弦值。 方法一：过B点作 AC

方法二：过AC的中点作BD1平行线

方法三：（向量法）

例3、 已知四棱锥P ABCD的底面为直角梯形，

BC

B

AB//DC， DAB 90 ,PA 底面ABCD，且

1

PA AD DC ，AB 1，M是PB的中点

2

（Ⅰ）证明：面PAD 面PCD； （Ⅱ）求AC与PB所成的角；

证明：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间

直角坐标系，则各点坐标为

1

A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,)

2

立体几何

（Ⅰ）证明：因AP (0,0,1),DC (0,1,0),故AP DC 0,所以AP DC.

由题设知AD DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线， 由此得DC 面PAD 又DC在面PCD上，故面PAD⊥面

PCD

（Ⅱ）解：因AC (1,1,0),

PB (0,2, 1),

故|AC| 2,|PB| 5,AC PB 2,所以cos , .

5

例4、 如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA 底面ABCD，

AB BC 1，PA 2， E为PD的中点 求直线AC与PB所成角的余弦值；

解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A,B,C,D,P,E的坐标为A(0,0,0)、

B、C、D(0,1,0)、

1

P(0,0,2)、E(0,,1)，

2

从而 (3,1,0), (,0, 2).

设的夹角为 ，则

cos

32

3, 14

∴AC与PB 1. 正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是 90 ,45 ,60 。

2. 正方体AC1中，O是底面ABCD的中心，则OA1和BD1所成角的大小为 。

3. 已知l为异面直线a与b的公垂线，点p ，若a、b间距离为2，点P到的距离为2，P到b的距离为5 ，则异面直线a与b4. 如图正三棱柱ABC-A1B1C1中AB=2AA1A1B1，A1C1的中点，则AM与CN

5. 如图PD 平面ABCD,四边形ABCDAB=2AD=2DP，E为CD中点。 （1）AP与BE所成的角为

（2）若F 直线PD，且AF与BE所成角为1. =30 行吗？

2. =75 时；

DF

。DP

立体几何

6. 空间四边形ABCD中，对角线AC，BD与各边长均为1，O为 BCD的重心，M是AC

的中点，E是 AO的中点，求异面直线OM与BE

D

7.空间四边形ABCD中AB=BC=CD， BCD= ABC=120 ，AB CD，M、N分别是中点（1）AC和BD所成的角为 。（2）MN与BC所成的角为 。

8.已知正方体AC1中，

（1）E、F分别是A1D1，A1C

1的中点，

则AE与CF所成的角为 （2）M、N分别是AA1，BB1的中点，

则CM和D1N所成的角是。

9、如图，三棱锥P—ABC中， PC 平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD 平面PAB． (I) 求证：AB 平面PCB； (II) 求异面直线AP与BC所成角的大小；（解法一：(I) ∵PC 平面ABC，AB 平面ABC， P

∴PC AB．∵CD 平面PAB，AB 平面PAB， ∴CD AB．又PC CD C， ∴AB 平面PCB．

(II) 过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．

则 PAF 为异面直线PA与BC所成的角．

由（Ⅰ）可得AB⊥BC，∴CF AF．由三垂线定理，得PF AF则AF=CF=2，PF=PC CF 在Rt PFA中， tan∠PAF=

2

2

） 3

EA

6，

C

FPF6

=3， AF2

∴异面直线PA与BC所成的角为．

3

解法二：(II) 由(I) AB 平面PCB，∵PC=AC=2，又∵AB=BC，可求得BC=2．以B为原点，如图建立坐标系．则Ａ（０，2，０），Ｂ（0，0，0），

C（2，０，0），P（2，０，2）．AP (2, 2,2)，BC (2,0,0)．

则AP BC

2 2+0+0=2．

cos ,

=

222 2

=

1

． 2

∴异面直线AP与BC所成的角为

． 3

立体几何

第二节、直线和平面所成的角

一、基础知识

1.定义： （①斜线和平面所成的角②垂线与平面所成的角③l 或l// ） 2.直线与平面所成角范围是 。

3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。（最小值定理） 4. 求法： 几何法 公式法 问量法

（1）几何法：作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就是要滶的角，解三角

形求出此角。

cos 1

cos 1 cos 2cos （2）公式法：cos

cos 2

AB 于点B, AOB , AOC 1, BOC 2

（3,, 则 m 的余角或其补角的余角即为a与 所成的角

，

sin cos m

二、例题讲解

例1、在长方体AC1中，AB=2，BC=CC1=1，求

（1）CD与面ABC1D1所成的角 （2）A1C与平面ABC1D1所成的角 （3）A1C与平面BC1D所成的角

例2、四面体ABCD中，所有棱长都相等，M为AD的中点，求CM与平面BCD所成角的

余弦值。

例3、（2007高考全国卷1）四棱锥S ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC

底面ABCD．已知∠ABC 45，AB 2，

BC （Ⅰ）证明SA BC；

（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小．

例4、如图,l1,l2是互相垂直的异面直线，M、N分别在l1,l2上，且MN l1，MN l2，点

AB在l1上，C在l2上，AM=MB=MN。

立体几何

L2C

（1）证明：AC NB

（2）若 ABC=60 ，求NB与平面ABC所成角的余弦值。

1、（2008年高考全国卷1）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为三角形ABC的中心，则AB1

与底面ABC所成的角的正弦值等于 2、（2008上海高考）如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D

1中，E是BC1的中点。求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

C1

A1

C A B

3、过点P作平面 的两条斜线段PA和PB，则PA=PB是斜线PA和PB与平面 成等角的 4、如图所示， BOC在平面 内，OA是 的斜线， AOB= AOC=60 ，OA=OB=OC=a，BC=2a，求OA和平面 所成的角的大小。

5、如图，已知正方形ABCD，SA 现面ABCD，且SA=AB，M、N分别为SB、SD的中

点，求SC和平面AMN所成的角

第6题图 第7题图

6、给出下列命题，其中正确命题序号是

（1）若PA、PB、PC与平面 成等角，则迠P在平面 上的射影O是 ABC的外心 （2）已知直线上l与平面 所成角是

所成角范围是

，直线a是 内与l异面的任一直线，则l与平面 4

, 4 2

(3)在三棱锥P-ABC中，若二面角P-AB-C，P-BC-A，P-CA-B，大小相等，则点P在平面

ABC上射影O是 ABC内心。

（4）坡度为 的斜坡，有一条与坡脚水平线成30 的小道，若沿小道每前进100m，高度就

上升25m,那么此坡坡度为30 。

立体几何

7、（2007湖北高考）如图，在三棱锥V ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB 的中点，且AC BC a， VDC 0 （I）求证：平面VAB⊥VCD；

（II）试确定 的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为

π ． 2

。 6

（Ⅲ）当解 变化时，求直线BC与平面VAB

立体几何

第三节 平面与平面所成的角

一、基础知识

1.定义：

二面角:由一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 平面角：过棱上同一点分别位于二面角的两个面内，且与棱同时垂直的两条射线所成的角

叫做二面角的平面角，二面角的取值范围是 .

注:二面角是空间图形，平面角是平面图形。在书写时不要写成” AOB为所求二面角”，而应写成” AOB为二面角 l 的平面角”。 2.求法：几何法 向量法 公式法

（2）向量法：

①分别求出 和 的法向量,，则二面角 l 的大小为 m 或 — m 用此法须知：

〈1〉需建空间直角坐标系，定准相应点的坐标

〈2〉通常容易找到一个面的法向量，只需通过二次垂直，求另一个平面的法向量 〈3〉当 l 为锐角时

m,n （ m,n 为锐角）

或

— m,n （ m,n 为钝角）

在平面 内，BD EF，且B EF分别求出AC,BD，则

A EF

②在平面 内

AC,BD 即为二面角 EF 的大小

（3）公式法： ①设二面角

l

的大小为

,AB ,CD ,AB l,CD l,

令

AB m,CD n,BD d,则

注意：与所成的角一定与二面角的平面角大小相等，但不一定是异面直线BA和

立体几何

CD所成角的大小。

②面积法： 设二面角 l 的平面 内某一图形（一般取三角形）面积为S，该图形在平面 上射影面积为S ，二面角

l

的大小为

，则

cos

S S ( 为锐角)或cos ( 为钝角) SS

二、例题讲练

例1、如图，已知棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，且AA1 面ABCD，的中点， DAB 60 ，AD AA1，F为棱AA1的中点，M为线段

BD1

D（1）求证：MF 面BDD1B1；

A1 1 （2）求面BFD1与面ABCD所成二面角的大小．

（1）证明： 底面是菱形， AC BD

M 又 B1B 面ABCD，AC 面ABCD

F AC B1B， AC 面BDD1B1

又 MF//AC MF 面BDD1B1

（2）延长D1F、DE交于点E F是A1A的中点且ABCD是菱形 DA AE AB

E 又 DAB 60 DBE 90

由三垂线定理可知 D1B BE D1BD为所求角

DD

D1BD 1 3 在菱形ABCD中， DAB 60 BC 3BD tan

BD

D1BD 60

C1

C

例2、如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE。

（1）求证：AE⊥平面BCE；

（2）求二面角B—AC—E的大小； 解：（1）如图，∵ BF⊥平面ACE ∴ BF⊥AE 又∵ 二面角D—AB—E为直二面角，且CB⊥AB ∴ CB⊥平面ABE ∴ CB⊥AE

∵ BC BF B ∴ AE⊥平面BCE （2）连BD交AC于G，连FG

∵ 正方形ABCD边长为2 ∴ BG⊥AC，BG 2 ∵ BF⊥平面ACE 由三垂线定理逆定理得FG⊥AC ∴ ∠BGF是二面角B—AC—E的平面角 由（1）AE⊥平面BCE ∴ AE⊥EB

又∵ AE=EB ∴ 在等腰直角三角形AEB中，BE 又∵ Rt△BCE中，EC ∴ BF

2

BC2 BE2 6

BC BE2 22 EC36

BF6

∴ 在Rt△BFG中，sin BGF BG36

∴ 二面角B—AC—E等于arcsin

3

例3、如图所示的几何体ABCDE中,DA 平面EAB，CB//DA,EA DA AB 2CB，EA AB，M是EC的

C

B

立体几何

中点.

(Ⅰ)求证:DM EB;

(Ⅱ)求二面角M BD A的余弦值. 解法一:

(Ⅰ)证明:取BE的中点N,连接MN,AN,则MN//CB//DA,

故M,N,A,D四点共面，∵DA 平面EAB， DA EB. 又EA AB AN EB 由MN AN N， EB 平面ANMD DM EB; (Ⅱ)取AC的中点P,连MP,则MP//EA,

MP 平面ABCD过P作PQ BD,连QM,则QM BD MQP是二面角M BD A的平面角.

设CB a, AC与BD的交点为O,记 AOD , CAB ,则有

11COCB11 OP ( )AC a ,CO AC236

AOAD23

sin sin( 45 )

(sin cos ) 22 21

PQ OPsin a, 又MP EA a

42

MP1

在Rt MPQ中,tan MQP 22, cos MQP

PQ3

1

即二面角M BD A的余弦值为.

3

解法二: 分别以直线AE,AB,AD为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz，设CB a，则

A(0,0,0),E(2a,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,a),D(0,0,2a)，所以a

M(a,a,). 2

3

(Ⅰ)证: (a,a,-a), ( 2a,2a,0)

2

DM a (-2a) a 2a 0 0 ,即

DM EB.

(Ⅱ)解:设平面MBD的法向量为 (x,y,z), (0,2a,-2a) ，由 , DM得

2ay-2az 0 y z

33x y z 0 DM ax ay-az 0 2 2

取z 2得平面MBD的一非零法向量为 (1,2,2)

又

平

面

BDA

的

法

向

量为

n1 (1,0,0)

cos ,n1

1 ，

2 22 22 2 02 023

1

∴二面角M BD A的余弦值为.

3

1 0 0

立体几何

例4、 已知四棱锥P ABCD的底面为直角梯形，AB//DC， DAB 90,PA 底面

1

，AB 1，M是PB的中点 2

（Ⅰ）证明：面PAD 面PCD；

（Ⅱ）求面AMC与面BMC

证明：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则

ABCD，且PA AD DC

各点坐标

为

1 (1,D1,0),P(1,0,0M()0,,)0 ,1),2

（Ⅰ）证明：因AP (0,0,1),DC (0,1,0),故AP DC 0,所以AP DC. 由题设知AD DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC 面PAD 又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD

（Ⅱ）解：在MC上取一点N(x,y,z)，则存在 R,使NC MC,

11

(1 x,1 y, z), (1,0, ), x 1 ,y 1,z ..

22

14

要使AN MC,只需AN MC 0即x z 0,解得 .

25

412

可知当 时,N点坐标为(,1,),能使AN MC 0.

555

1212

此时, (,1,), (, 1,),有 0

5555

由AN MC 0,BN MC 0得AN MC,BN MC. ANB为所求二面角的平面角

4

P |AN| BN| AN BN .

555

AN BN2 cos(AN,BN) .

3|AN| |BN|2

故所求的二面角为arccos( ).

3B

例5、如图，三棱锥P—ABC中， PC 平面ABC，PC=AC=2， AB=BC，D是PB上一点，且CD 平面PAB． CA (I) 求证：AB 平面PCB； PA(0,0,0B),(0,2C,0),

(II) 求二面角C-PA-B的大小．

解法一：(I) ∵PC 平面ABC，AB 平面ABC，

∴PC AB．

∵CD 平面PAB，AB 平面PAB，

∴CD AB．又PC CD C，∴AB 平面PCB． (II) 取AP的中点E，连结CE、DE．

E∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=2．

∵CD 平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得 DE PA． ∴ CED为二面角C-PA-B的平面角．由(I) AB 平面PCB，

2

CA

又∵AB=BC，可求得BC=2．在Rt PCB中，PB=PC BC

2

F

6，

PC BC2 22CD ．

在

PB6P

z

Rt CDE中， sin∠

x

y

立体几何

2

CED=

CD

CE

63 ． 32

6

3

∴二面角C-PA-B的大小为arcsin

解法二：（I）同解法一．

(II) 设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)．

AB (0, 2,0)，AP (2, 2,2)，

AB m 0, 2y 0,则 即

2x 2y 2z 0. m 0.

y 0,解得 令z= -1, 得 m= (2，0，-1)．

x 2z

'''

设平面PAC的法向量为n=(x,y,z)． (0,0,-2)， (2, 2,0)，

'' n 0, z 0, 2z 0,'

则 即 解得 ' 令=1, 得 n= (1，1，0)． x'''

x y 2x 2y 0. AC n 0.

m,n cos

m n2 =． ∴二面角C-PA-B的大小为arccos．

mn333 2

1.如图：三棱锥A-BCD中，AC=AB=BD=DA=2，BC=CD=3，则二面角A-BD-C大小为

267

arccos。二面角B-AC-D大小为arccos

1239

C

线a与l所成角为 1(0 90)， 与 所成角为 2，2.已知直线a ,，直

l 大小为 3则恒成立的是（ ）

A. cos 2 cos 1cos 3 B. sin 2 sin 1sin 3 C. sin 3 sin 1sin 2 D. cos 3 cos 1cos 2

3.如图，四边形BCEF、AFED都是矩形，且平面AFED 平面BCEF，

ACF ,

ABF , BAC A．cos cos cos B．sin sin cos C．cos cos cos

D．sin sin cos

3.如图，四棱锥P-ABCD中所有的棱长都相等。求：

B

立体几何

①二面角C-PD-B大小

②设M、N分别为AD、PC中点，

试求MN与底面AC及平面BDP所成的角 ③平面PAB与平面PCD所成二面角的大小

4. 如图，四边形ABCD为直角梯形，AD//BC BAD=90 ，PA 底面ABCD，且

PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点 ①求证：PB DM

②求BD与平面ADMN所成角的大小 ③求二面角A-PB-C

5.如图所示多面体是由底面为ABCD的长方体被截面

，

BC=2，C C1=3，BE=1 （补形成正方体）

①求BF

②求二面角A-EF-B

6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在棱CC1上

①求证：AE BD

②当A1E与面BED所成角为多大时，面A1BD

面EBD ③在（2）的结论下，求此时二面角A-A1D-E的大小

8.如图，在棱长AB=AD=2，AA1=3的长方体AC1中点E是平面BCC1B1上动点，点F是CD

的中点

①试确定E的位置，使D1E 平面AB1F ②求二面角B1-AF-B的大小

立体几何

9、 如图，在四棱锥V ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,

平面VAD 底面ABCD （Ⅰ）证明：AB 平面VAD；

（Ⅱ）求面VAD与面DB所成的二面角的大小

证明：以D

（Ⅰ）证明：不防设作A(1,0,0)，则B(1,1,0)， V(,0,

123

)， 2

13

(0,1,0), (,0, )由 0,得AB VA，又AB AD，

22

因而AB与平面VAD内两条相交直线VA，AD ∴AB 平面VAD （Ⅱ）解：设E为DV中点，

1333313则E(,0,)， (,0, ), (,1, ), (,0,).

44444422

由EB DV 0,得EB DV,又EA DV.因此， AEB是所求二面角的平面角，

cos(,)

2121 ,解得所求二面角的大小为arccos.77

10、（2008年高考天津卷）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB 3，

AD 2，PA 2，PD ∠PAB 60 ．

（Ⅰ）证明AD 平面PAB；

（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角P BD

A的大小． 11、（2008高考山东卷）如图，已知四棱锥P-ABCD， 底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD， ABC 60 , E，F分别是BC, PC的中点. （Ⅰ）证明：AE⊥PD; （Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正P

A

D

B

E—AF—C的余弦值. （Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.

又 BC∥AD，因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，所以PA⊥AE. 而 PA 平面PAD，AD 平面PAD 且PA∩AD=

A，所以 AE⊥平面PAD， 又PD 平面PAD.所以 AE⊥PD.

（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.

由（Ⅰ）知

AE

⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角. 在Rt△EAH中，AE，所以 当AH最短时，∠EHA最大，即 当AH⊥PD时，∠EHA最大.

立体几何

此时 tan∠EHA

=

AE 因此 AH

又AD=2，所以∠ADH=45°，所以 AHAH2

PA=2.

解法一：因为 PA⊥平面ABCD，PA 平面PAC，所以 平面PAC⊥平面ABCD. 过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，

过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角， 在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°

3，AO=AE·cos30°=, 2

,

4

又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°

=

又SE

SO 在Rt△ESO中，cos∠

ESO= 4SE 5

即所求二面角的余弦值为

解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B

-1，0），C

，1，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），E

0，0），F

（

1

,1）， 22

1

,1). 所以

AE AF 2

设平面AEF的一法向量为m (x1,y1,z1),

1 0, m AE 0,

则 因此取z1 1,则m (0,2, 1), 1

x1 y1 z1 0. m

AF 0,

2

因为 BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以 BD⊥平面AFC，

故BD为平面AFC的一法向量.又 BD=（

），

m BD 所以 cos＜m,BD＞

=

5|m|

|BD|

立体几何

因为 二面角E-AF-C

为锐角，所以所求二面角的余弦值为

5

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