空间向量与立体几何专题

专题十 空间向量与立体几何

【知识点总结】

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

?????OP??a(??R)

?????????????? ?????????????? OB?OA?AB?a?bBA?OA?OB?a?b;

;

????运算律：⑴加法交换律：a?b?b?a

??????⑵加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)

????⑶数乘分配律：?(a?b)??a??b

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那

??么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作。

??????（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存

??在实数λ，使a＝λb。

??a//b（3）三点共线：A、B、C三点共线<=>AB??AC <=>OC?xOA?yOB(其中x?y?1) （4）与a共线的单位向

关于空间向量与立体几何

1 空间向量与立体几何

一、平行与垂直问题

（一） 平行

线线平行 线面平行 面面平行 注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括直线在平面内，面面平行包括面面重合。

（二） 垂直

线线垂直 线面垂直 面面垂直 注意：画出图形理解结论

二、夹角与距离问题

（一） 夹角

（二）距离

点、直线、平面之间的距离有7种。点到平面的距离是重点.

1．已知四棱锥P A B C D -的底面为直角梯形，//A B D C ，

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ∥m ?a ∥b a k b ?=

；

l ∥α?a

u ⊥ 0a u ??=

；

α∥β?u ∥v .u k v ?=

设直线,l m 的方向向量分别为

,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ⊥α?a ∥u a k u ?= ；

l ⊥m ?a ⊥b 0a b ??=

；

α⊥β?u ⊥v .0=??v u

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ 的法向量分别为,u v ，则

①两直线l ,m 所成的角为θ(02π

θ≤≤),cos a b

a b

θ?=

；

②直线l 与平面α

高考专题训练七 空间向量与立体几何

班级_______ 姓名________ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________

一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．

1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1

→→

的中点，则sin〈CM，D1N〉的值为( )

1

A. 92

C.5 9

4B.5 92D. 3

解析：以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建系，

?1??1?

设正方体棱长为1，则C(0,1,0)，M?1，0，2?，D1(0,0,1)，N?1，1，2?，

?

?

?

?

1－4→?1?→?1?→→

∴CM＝?1，－1，2?，D1N＝?1，1，－2?，∴cos〈CM，D1N〉＝

33????

×221＝－，

9

→→45

∴sin〈CM，D1N〉＝.故选B.

9答案：B

2．(2011·全国)已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于( )

2A. 3

3B. 3

C.

6 3

D．1

→2→→→2

解析：由AB＝(AC＋CD＋

【练习】：对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式

????????????????OP?xOA?yOB?zOC （其中x?y?z?1）的四点P,A,B,C是否共面？

解：∵OP?(1?z?y)OA?yOB?zOC，

????????????????????????????????????????∴OP?OA?y(OB?OA)?z(OC?OA)， ????????????∴AP?yAB?zAC，∴点P与点A,B,C共面．

例2．已知

O D ?ABCD，从平面AC外一点O引向量

A HE ?????????????????????????????????OE?kOA,OF?KOB,OG?kOC,OH?kOD，

（1）求证：四点E,F,G,H共面； （2）平面AC//平面EG．

C B G

F ????????????解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC?AB?AD，

????????????∵EG?OG?OE，

?????????????????????????????k?OC?k?OA?k(OC?OA)?kAC?k(AB?AD)????????????????????????????????? ?k(OB?OA?OD?OA

【练习】：对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式

????????????????OP?xOA?yOB?zOC （其中x?y?z?1）的四点P,A,B,C是否共面？

解：∵OP?(1?z?y)OA?yOB?zOC，

????????????????????????????????????????∴OP?OA?y(OB?OA)?z(OC?OA)， ????????????∴AP?yAB?zAC，∴点P与点A,B,C共面．

例2．已知

O D ?ABCD，从平面AC外一点O引向量

A HE ?????????????????????????????????OE?kOA,OF?KOB,OG?kOC,OH?kOD，

（1）求证：四点E,F,G,H共面； （2）平面AC//平面EG．

C B G

F ????????????解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC?AB?AD，

????????????∵EG?OG?OE，

?????????????????????????????k?OC?k?OA?k(OC?OA)?kAC?k(AB?AD)????????????????????????????????? ?k(OB?OA?OD?OA

高三数学第二轮专题复习系列(8)-- 空间向量、立体几何

一、大纲解读

立体几何的主要内容是空间几何体，点线面之间的位置关系，空间向量与立体几何．其考查内容主要是空间两直线的位置关系、直线与平面的位置关系、两平面的位置关系；异面直线所成的角、二面角、线面角；几何体的表面积和体积、空间几何体的三视图和直观图等.其中线面平行与垂直判定定理与性质定理、面面平行与垂直判定定理与性质定理是考查的重点.对于理科生来说，空间向量作为一种新的快捷有效的工具已被广泛应用于解决立体几何综合问题，是高考的焦点所在. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

二、高考预测

一般来说立体几何有两个左右的选择题或填空题和一道解答题，约20-25分，占整章试卷的15％. 选择题或填空题考查的是空间几何体和点线面位置关系的基本问题，与三视图相结合考查是一种典型题型；解答题近年已成为一个较为固定的模式，以多面体（少数为旋转题）为载体，考查点线面的位置关系的判断推理，求空间角和距离，求有关最值和体积一般分步设问，难度逐渐增大，但都可以用基本方法解决，理科生要会用空间向量来解决这类问题.

三．重点剖析

立体几何的重点内容是柱锥台球的表面积和体积，空间几何体的三视图和直

立体几何

立体几何专题：空间角

第一节：异面直线所成的角

一、基础知识

1.定义： 直线a、b是异面直线，经过空间一交o，分别a //a，b //b，相交直线a b 所成的

锐角（或直角）叫做 。 2.范围： 0,

2

3.方法： 平移法、问量法、三线角公式

（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a、b的平行线，构造一

个三角形，并解三角形求角。 （2）向量法：

可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式cos cos a,b

求出来

方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出

代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量

(x1,y1,z1) (x2,y2,z2) co s

x1x2 y1y2 z1z2

x1 y1 z1

2

2

2

x2 y2 z2

222

（3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于

斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：cos 1cos 2 cos 二、例题讲练

C

例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，

§3.2 立体几何中的向量方法 (一>

—— 平行与垂直关系的向量证法

知识点一 求平面的法向量

已知平面α经过三点A(1,2,3>，B(2,0，－1>，C(3，－2，0>，试求平面α的一个法向量．

解∵A(1,2,3>，B(2,0，－1>，C(3，－2,0>，

＝(1，－2，－4>，错误!＝(1，－2，－4>， 设平面α的法向量为n＝(x，y，z>． 依题意，应有n·

=0， n·错误!=0.

即错误!，解得错误!.令y＝1，则x＝2.b5E2RGbCAP ∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0>．

【反思感悟】 用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量>即可．p1EanqFDPw 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：

是平面A1D1F的法向量.

DXDiTa9E3d 证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则的法向量．

证明

是平面A1D1F

设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0>，E错误!，RTCrpUDGiT ＝错误!..D1＝(0,0,1>，5PCzVD7HxA F错误!，A1(1,0,1>．jLBHr

空间向量在立体几何中的应用

1【例1】已知三棱锥P-ABC中,PA⊥面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN，

2M,S分别为PB,BC的中点.

(Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小. 证明：

设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图.

111则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,),N(,0,0),S(1,,0)

222??????1???11(Ⅰ)CM?(1,?1,),SN?(?,?,0),

222?????????11因为CM?SN????0?0,

22所以CM⊥SN

????1(Ⅱ)NC?(?,1,0),

2设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量, 1?x?y?z?0,??2令x?2，得a=(2,1,-2). 则?1??x?y?0.??21????2?2 因为cosa,SN?223?2?1?所以SN与片面CMN所成角为45°

【例2】、如图,四棱锥S—ABCD中,SD?底面ABCD, AB//DC,AD?DC, AB?AD?1,DC=SD=2,E为棱 SB上的一点,平面EDC?平

空间向量与立体几何

一、知识网络：

空间向量的加减运算 空间向量及其运算 空间向量的数乘运算 共线向量定理 共面向量定理 空间向量与立体几何 空间向量的数量积运算 空间向量基本定理 平行与垂直的条件 空间向量的坐标运算 立体几何中的向量方法 向量夹角与距离 直线的方向向量与平面的法向量 用空间向量证平行与垂直问题 求空间角 求空间距离

二．考纲要求：

（1）空间向量及其运算

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；

② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量；

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；

④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

三、命题走向

本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空