高三数学空间向量和立体几何专题

高三数学第二轮专题复习系列(8)-- 空间向量、立体几何

一、大纲解读

立体几何的主要内容是空间几何体，点线面之间的位置关系，空间向量与立体几何．其考查内容主要是空间两直线的位置关系、直线与平面的位置关系、两平面的位置关系；异面直线所成的角、二面角、线面角；几何体的表面积和体积、空间几何体的三视图和直观图等.其中线面平行与垂直判定定理与性质定理、面面平行与垂直判定定理与性质定理是考查的重点.对于理科生来说，空间向量作为一种新的快捷有效的工具已被广泛应用于解决立体几何综合问题，是高考的焦点所在. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

二、高考预测

一般来说立体几何有两个左右的选择题或填空题和一道解答题，约20-25分，占整章试卷的15％. 选择题或填空题考查的是空间几何体和点线面位置关系的基本问题，与三视图相结合考查是一种典型题型；解答题近年已成为一个较为固定的模式，以多面体（少数为旋转题）为载体，考查点线面的位置关系的判断推理，求空间角和距离，求有关最值和体积一般分步设问，难度逐渐增大，但都可以用基本方法解决，理科生要会用空间向量来解决这类问题.

三．重点剖析

立体几何的重点内容是柱锥台球的表面积和体积，空间几何体的三视图和直观图，平面的基本性质，空间线面位置关系，空间向量的基本问题，空间向量与立体几何，特别是用空间向量解决立体几何中的线面平行与垂直的证明，求解异面直线所成的角、二面角、线面角，以及简单的距离计算．

重点一：空间几何体的三视图、体积与表面积

【例1】 一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为直角三角形，边长如图所示，那么这个几何体的体积为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

【分析】根据三个试图可以知道这个几何体是一个一条侧棱和底面垂直，底面是直角三角形的三棱锥。

【解析】该几何体是底面两直角边长分别是1,2的直角三角形，高为3的三棱锥，故其体积为?11?1?2?3?1。 32【点评】主试图和侧视图的高就是实际几何体的高。

【例2】已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为5，则该几何体的体积是 （ ）

A.

4?8?10? B.2? C. D. 333【分析】这个空间几何体是一个圆锥和一个半球组成的组合体，把其中的数量关系找出来按照圆锥和球的体积计算公式计算就行．

【解析】A 这个几何体是一个底面半径为1，高为2的圆锥和一个半径为1的半球组成

2的组合体，故其体积为??1?2?13144????13?． 233

【点评】空间几何体的三视图是课标高考的一个考点，主要考查方式之一就是根据三视图还原到原来的空间几何体，并进行有关的计算．

重点二：空间点、线、面位置关系的判断

【例3 】已知m、n是不重合的直线，?和?是不重合的平面，有下列命题： （1）若m??，n∥?，则m∥n；（2）若m∥?，m∥?，则?∥?； （3）若????n，m∥n，则m∥?且m∥?； （4）若m??，m??，则?∥?

其中真命题的个数是（ ）

Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3

【 分析】（1）是假命题，如果一条直线平行于一个平面，该直线不与平面内所有直线平行，只与部分直线平行；（2）是假命题，平行于同一直线的两平面的位置关系不确定；（3）是假命题，因为m可能为?和?内的直线，则m∥?且m∥?不一定成立；（4）是真命题，垂直于同一直线的两平面平行。

【解析】选Ｂ。

【点评】本题考查的是有关线面关系命题的真假，所以通过利用定理来解决上述有关问题。

【例4】 在下列关于直线l、m与平面?和?的命题中，真命题的是（ ） Ａ．若l??且???，，则l?Ｂ．若l??且?∥?，则l??；

?；

Ｃ．若l??且???，则l∥?； Ｄ．若????m且l∥m，则l∥?

【分析】高考中通常以选择或填空的形式来考查垂直关系的判定。

A显然是错误的；C中l可在平角?内，故l∥?错误；D中l可在平角?内，故l∥?错误；

【解析】选B。

【点评】该题主要考查的是想象能力和位置关系。

【例5】正方体ABCD?A1B1C1D1中，对角线A1C?平面BDC1=O，AC和BD交于点M，求证：点C1、O、M共线。

D1A1B1C1ODABC

【分析】要证明若干点共线问题，只需要证明这些点同在两个相交平面内即可。 【证明】如图所示，由A1A∥C1C，则AA1CC1确定平面AA1C。

?A1C?平面AA1C，O?A1C，?O?平面AA1C。

又A1C?平面BDC1=O，?O?平面BDC1。

?O在平面BDC1与平面AA1C的交线上。

又AC?BD?M，?平面AA1C?平面BDC1=C1M，

?O?C1M，即O、C1、M三点共线。

【点评】该题的考向是点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，这样就可以根据公理2证明这些点都是在这两个平面的交线上。

重点三：空间线面位置关系的证明和角的计算

【例6】 ABCD?A1B1C1D1是边长为a正方体，计算下列问题：（1）AD1与B1C所成角的大小；（2）若

E、F、G、H为对应棱的中点，求EF，GH所成的角。

【分析】该题可以采用平移法，即将EF，GH平移到D1B1和AB1即可。

【解析】（1）连BC1，则AD1∥BC1，所以BC1?B1C，则AD1?B1C，即AD1与

B1C所成角为900；

（2）连AB1，B1D1，则EF∥B1D1，GH∥AB1，?D1B1A即为EF和GH所成的角，

因为?D1B1A为正三角形，??D1B1A=60，即EF和GH所成的角为60。

D1A1EFB1C100HDAGBC

图2

【点评】掌握此类基本题的解法，也是反映同学们的立体几何基础。

【例7】如图，四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD， PC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB//DC，AB?BC．PA?AB?BC，点E在棱PB上，且PE?2EB．

（1）求证：平面PAB⊥平面PCB； （2）求证：PD∥平面EAC；

（3）（理）求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值．

【分析】（1）根据两个平面垂直的判定定理，寻找一个面对一条直线垂直于另一个平面；（2）根据线面平行的判定定理，寻找线线平行；（3）可以利用传统的方法作出二面角的平面角解决，也可以利用空间向量的方法解决。

【解析】（1）∵PA?底面ABCD，∴PA?BC．又AB?BC，PA?AB?A，∴

BC⊥平面PAB．

又BC?平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．

（2）∵PA?底面ABCD， ∴PA?AD,又PC?AD，∴AD?平面PAC，∴

AC?AD．

AB?BC，在梯形ABCD中，由AB?BC，得?BAC?又AC?AD，故?DAC为等腰直角三角形．∴DC??4，∴?DCA??BAC??4．

2AC?2?2AB?2AB．

?

连接BD，交AC于点M，则

DMDCPEDM??2. 在?BPD中，??2，MBABEBMB

∴PD//EM

又PD?平面EAC，EM?平面EAC， ∴PD∥平面EAC．

（3）方法一：在等腰直角?PAB中，取PB中点N，连结AN，则AN?PB．∵平面PAB⊥平面PCB，且平面PAB?平面PCB=PB，∴AN?平面PBC．

N?CE、NH?CE，在平面PBC内，过N作NH?直线CE于H，连结AH，由A得CE?平面ANH，故AH?CE．∴?AHN就是二面角A?CE?P的平面角．

PNHPADMEBNC

EHBC

在Rt?PBC中，设CB?a，则PB?12a，PA2?AB2?2a，BE?PB?33NE?1211PB?a，CE?CB2?BE2?a， 663NHCB?，代入解得：NECE由NH?CE，EB?CB可知：?NEH∽?CEB，∴

NH?a． 22Rt?AHN中

，

在

A?N22，a∴

tan?AHN?AN?11NH，

cos?AHN?13． ?611?13． 6∴平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为方法二：以A为原点，AB,AP所在直线分别为y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系． 设PA?AB?BC?a，则A?0,0,?0，B?0,a,0?，C?a,a,0?，P?0,0,a?，

?2aa?E?0,,?． ?33?

?ax?ay?0,uuuruuur?设n1??x,y,1?为平面EAC的一个法向量，则n1?AC,n1?AE，∴?2aya，

??0.?3?3解得x?uuuruur设n2??x',y',1?为平面PBC的一个法向量，则n2?BC,n2?BP，

?????????ax'?0,又BC??a,0,0?，BP?(0,?a,a)，∴?，解得x'?0,y?'，1∴'??ay?a?0,1111,y??，∴n1?(,?,1)． 2222n2??0,1,1?． cosn1,n2?3． 6n1?n23． ∴平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余?n1n26弦值为

【点评】求二面角的平面角的方法通常有：一是根据线面垂直关系作出二面角的平面角，通过解三角形解决；二是用空间向量的方法来求解，方法是：求出两个平面的法向量n1和

??????|n1?n2|n2，然后利用数量积公式计算出锐二面角，其公式为cosn1,n2=??，当然考虑到

n1n2???二面角的取值范围是?0,??，所以，二面角的平面角?与这两个平面的法向量的夹角相等或互补。

四 扫雷先锋

错误之一：概念理解错误

【例8】空间四边形ABCD中，AB＝CD且成60的角，点 M、N分别为BC 、AD的中点，求异面直线AB和MN成的角．

【错解】如图所示，取AC的中点P，连PM，PN，MN。 ∵ M、N分别为BC 、AD的中点，∴MP∥AB，且MP=

011 AB ；NP∥CD，且NP=CD。 22又AB=CD， 且AB，CD所成的角为600， ∴MP=NP且直线MP于NP成600角，∴

?MPN=600，即?MPN使等边三角形， ∴?PMN=600，即直线AB和MN成的角为600．

A N

B

P M

C

【剖析】上面的解法遗漏了当直线PM与PN成60角，而?MPN=120的情形，此时直线AB和MN所成角为30．为防止遗漏或错误，在解题过程中应正确理解定义．

【点评】题目中的错误，是同学们最易忽视的，有时看到一例题目，似乎会做，但是，不经过缜密的思考，就会出现“千里之堤，溃于蚁穴”的慨叹．

错误之二：忽视分类讨论错误

【例9】点Ｍ是线段AB的中点，若A、B到平面?的距离分别为4cm和6cm，则点M到平面?的距离为——————

【错解】如图1，分别过点A、B、M作平面?的垂线，AA，BB，MH，垂足分别为

//000D A/,B/,H．

Ｍ A

B B ? A/

图１

Ｈ

B/ A

/Ｍ

? A Ｈ B/

图２

则线段AA，BB，MH的长分别为点，A、B、M到平面?的距离，由题设知，AA=4cm，

///BB/=6cm，

AA/?BB/4?6?5(cm) 因此，MH=

22【剖析】不少同学在解此类问题时，总认为A、B在?的同侧，只注意检验计算是否正确，并没有发现异侧的情况，缺乏分类讨论的意识．事实上，如图2 ，若A、B在?异侧，则MH=1cm．

【点评】分类讨论是数学中一种重要的思想方法，它在立体几何中应用非常广泛．但不少同学不能正确的利用这种思想方法，经常片面地考虑问题，使问题出现漏解．

五 规律总结

1.空间几何体的三视图“长对正、高平齐、宽相等”的规律。 2.在计算空间几何体体积时注意割补法的应用。

3.注意多面体中的特征图和旋转体的轴截面在解题的应用。

4.空间平行与垂直关系的关系的证明要注意转化：线线平行?线面平行?面面平行，线线垂直?线面垂直?面面垂直。

5．求异面直线所成的角?的方法

（文科）求异面直线所成的角的最关键是要找出一个点，把其作为角的顶点，然后把两条直线“平行平移”过来，这个角就完成了。这个点有时很好找，中点、交点、对称点等。若用平移转化烦琐或无法平移时，可考虑是否异面垂直，即可通过证明垂直的位置关系得到90°的数量关系。

（

理

科

）

利

用

空

间

向

量

法

：

rrrr|a?b|cos??|cos?a,b?|=rr?|a|?|b||x1x2?y1y2?z1z2|x12?y12?z12?x22?y22?z22（其中?（0???90）

oorr

b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）为异面直线a,。

6．直线与平面所成的角

（文科）在斜线上找到任意一点，过该点向平面作垂线，找到斜线在该平面上的射影，则斜线和射影所成的角便是直线与平面所成的角。

??????AB?m?????(m为平面?的法向量). （理科）直线AB与平面所成角sin?????|AB||m|7．（理科）二面角

方法一：常见的方法有三垂线定理法和垂面法；

????????m?nm?n方法二：向量法：二面角??l??的平面角??arccos???或??arccos???（m，

|m||n||m||n|?。 n为平面?，? 的法向量）

8．（理科）空间距离

（1）点与点的距离、点到直线的距离，一般用三垂线定理“定性”；

（2）给出公垂线的两条异面直线的距离，先进行论证（先定性），后计算（后定量）； （3）线面距、面面距都转化为点面距；

???????|AB?n|??（4）求点面距： d?（n为平面?的法向量，AB是经过面?的一条斜线，|n|A??）。

六 能力突破 例1

如图在直三棱柱ADE-BCF中,面ABFE和面ABCD都为正方形,且互相垂直, M为

AB的中点, O为DF中点.

（1）求证：OM∥平面BCF ; （2）求证：平面MDF⊥平面EFCD ; （3）（理科）求二面角F-DM-C的正切值。

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