高考数学立体几何突破：空间向量在立体几何解题中的应用讲座（教师）

空间向量在立体几何解题中的应用

一、空间向量的基础知识

1．空间向量的坐标运算 (1)空间直角坐标系

在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}(i，j，k按右手系排列)建立坐标系，坐标轴正方向与i，j，k方向相同．空间一点P的坐标的确定可以按如下方法：过P分别作三个坐标平面的平行平面(或垂直平面)，分别与坐标轴交于A、B、C三点，|x|=OA，|y|=OB，|z|=OC，当OA与i方向相同时，x>0，反之x<0．同理确定y、z．点P的坐标与OP坐标相同．

(2)向量的直角坐标运算

设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则

a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)；a-b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)；a·b=a1b1+a2b2+a3b3， a∥b?a1=?b1，a2=?b2，a3=?b3(??R )．或a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0．

(3)夹角和距离公式 ①夹角公式 cos=②距离公式

设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 |AB|=(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2． ③定比分点公式

设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 若M分AB为定比?(?≠-1)，则M的坐标为 x=

x1??x2y??y2z??z2，y=1，z=1， 1??1??1??a1a2a3??， b1b2b3a1b1?a2b2?a3b32a12?a22?a3?b122?b22?b3．

特别地，当?=1即M为中点时得中点坐标公式：

1

x=

x1?x2y?yz?z，y=12，z=12． 222由中点公式，可得以A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)为顶点的三角形重心公式：x=

2．平面法向量的概念和求法

向量与平面垂直：如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作a⊥?．

平面的法向量：如果a⊥?，那么向量a叫做平面?的法向量． 一个平面的法向量有无数条，它们的方向相同或相反．

一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题．推导平面法向量的方法如下：

在选定的空间直角坐标系中，设平面?的法向量n=(x，y，z)[或n=(x，y，1)或n=(x，1，z)，或n=(1，y，z)]，在平面?内任选定两个不共线的向量a，b．由n⊥?，得n·a=0且n·b=0，由此得到关于x，y的方程组，解此方程组即可得到n．

例1．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求平面A1C1D的法向量n和单位法向量n0．

分析：建立空间直角坐标系，如图1，则

D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)， 得DA1=(1，0，1)，DC1=(0，1，1)． 设平面A1C1D的法向量n=(x，y，1)． 由n⊥面A1C1D，得n⊥DA1，n⊥DC1．有

D A x B 图1 D1 A1 B1 C y z C1 x1?x2?x3y?y?y3z?z?z，y=12，z=123． 333?(x,y,1)?(1,0,1)?0?x??1，得?． ?(x,y,1)?(0,1,1)?0y??1??∴n=(-1，-1，1)，n0=

二、空间向量在立体几何解题中的应用

2

n(?1,?1,1)333=?(?,?,)． |n|3331?1?1(一)空间角

1．异面直线所成的角

设点A，B?直线a，C，D?直线b，构造向量AB，CD． cos=

AB?CD，

|AB||CD|所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角．

例2．在例1中，设AC∩BD=O，求异面直线D1O，DC1所成的角的余弦值． 分析：DO=(111，，-1)，DC1=(0，1，1)． 22cos=1D1O?DC1?|D1O||DC1|?123?22??3， 6∴异面直线D1O，DC1所成的角为arccos

2．线面所成的角

3． 6如图，AB为平面的斜线，n为平面?的法向量，如果AB与n之间所成的角?为锐角，则斜线AB与平面?之间所成的角?=

?-?． 2n B 即利用向量AB与n求出的是角?，实际上所求的角是?．

?-?，sin?=cos?； 2??若?为钝角，则?=-(?-?)=?-，sin?=-cos?．

22若?为锐角，则?=

总之有，sin?=|cos|=

例3. 在例1中，设E、F分别为C1D1、B1C1的中点，

? ? A ? |AB?n|．

|AB||n|z D1 A1 E F B1 D A x 图2 B C 3 y C1 (1)求证：E、F、B、D共面； (2)求A1D与平面EFBD所成的角． 分析：(1)∵E(0，

1111，1)，F(，1，1)，DB=(1，1，0)，EF=(，，0)， 2222又DB=2EF，∴DB∥EF，故E、F、B、D共面． (2)设平面EFBD的法向量n=(x，y，1)． 得DE=(0，

1，1)，DA1=(1，0，1)，∵n⊥面EFBD，得n⊥DB，n⊥DE．有 2?(x,y,1)?(1,1,0)?0?x?2?，得?，∴n=(2，-2，1)， ?1y??2(x,y,1)?(0,,1)?0???2∴sin?=

?|DA1?n|32，即?=． ??4|DA1||n|2?323．二面角的求法

二面角?—l—?，平面?的法向量m，平面?的法向量n．则二面角?—l—?的平面角?=．

m?n所以，cos=．

|m||n|?mn?

l 若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都指向二面角内或外时，则为二面角的平面角的补角；当两个法向量的方向一个指向二面角内，另一个指向外时，则为二面角的平面角．

例4. 在例1中，求二面角D1—AC—D的大小的余弦值． 分析：易知，平面ACD1的法向量是n1=(1，1，1)，平面DAC的法向量是n2=(0，0，1)，设二面角D1—AC—D的大小为?，则

A1 D1 B1 D A

z C1 C y 图1 B 4 x cos?=

3n1?n2(1,1,1)?(0,0,1)3，得?=arcsin． ??3|n1||n2|33(二)空间距离

1．点到面的距离

设A是平面?外一点，AB是?的一条斜线，交平面?于点B，而n法向量，那么向量BA在n方向上的正射影长就是点A到平面?

所以h=|BA|?|cos?BA,n?|?

例5. 例1中，设G、H分别是A1B1、CD的中点， 求点B到截面AGC1H的距离．

分析：∵A(1，0，0)，H(0，

11，0)，G(1，，1)， 2211∴AG=(0，，1)，AH=(-1，，0)．

22A x 图1 B A1 D1 B1 D C y 点到面的距离 线到面的距离 线到线的距离 面到面的距离 是平面?的

的距离h，

|BA?n| |n|h B ? z A ? n C1 设面AGC1H的法向量为n=(1，?，?)，则有：

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