立体几何中的向量方法3——空间角

3.2立体几何中的向量方法——空间角

1、两条直线的夹角：设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ,

a b 两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos ; 2 ab

l

l

a

m

a b

m

例： 在直三棱柱ABC A1 B1C1中，BC AC ,BC CA CC1 , 取A1 B1、A1C1的中点D1、F1, 求BD1和AF1所成的角的余弦值.zC1

解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系C xyz,如图所示，设CC1 1则： F11 1 1 A(1, 0, 0), B (0,1, 0), F1 ( , 0,1), D1 ( , ,1) 2 2 2

D1C

B1

A1A

1 所以： AF1 ( , 0,1), BD1 ( 1 , 1 ,1) 22 2

B

y

1 1 AF1 BD1 30 4 cos AF1, BD1 10 | AF1 || BD1 | 5 3 4 2 30 所以 BD1与 AF1 所成角的余弦值为 10

x

2、直线与平面的夹角： 设直线 l 的方向向量分别为 a ,平面 的 法向量分别为 u ,

a u 直线 l 与平面 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), sin ; 2 a u

a

u

l a u

例： 在长方体ABCD A1 B1C1 D1中，AB 5,

AD 8, AA1 4,M在B1C1上，B1M 2, N在线段A1 D上，A1 D AN . 求AD与平面AMN的夹角的正弦值.A1 B1 MA

zN

D1

C1D

y

x

B

C

3、二面角： 二面角的范围： [0, ]①方向向量法：AB CD AB CD

cos cos AB, CD

B A

C l

D

②法向量法 n1, n2 n1, n2

n1, n2

n2

l

n2

n1, n2

n1

n1l

cos

cos n1, n2 cos

cos n , n1

2

法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角

如图所示，ABCD是直角梯形，AB BC , SA 例： 1 平面ABCD,SA AB BC 1,AD , 求面SCD 2 z 与面SBA 所成二面角的余弦值.

S 解： 建立空直角坐系A- xyz如所示, 1 D (0, , 0), S (0, 0,1) 1, 0) , A( 0, 0, 0) , C (- 1, B 2 1 易知面SBA的法向量n1 AD (0, , 0) 2 y A 1 1 D x CD (1, , 0), SD (0, , 1) 2 2 设平面 SCD的法向量n2 ( x, y, z), 由n2 CD, n2 SD, 得：y x 0 2 y z 0 2 x z y 2 y 2

C

任取n2 (1,2,1)

n1 n2 6 6 cos n1 , n2 即所求二面角得余弦值是 3 | n1 || n2 | 3

1. 三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC, BAC 90 ,E为PC中点 ,则PA与BE所成角的0

6 余弦值为_________ . 60 BAC 90 2. 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2,

AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成3 10 角的余弦值为_________ 10

.

3.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的中点, 则二面角E-BC-A的大小是________ 450

第三问题：

利用“方向向量”与“法向量”来解决

距离问题.

1、点与点的距离：

AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 )2 2

2

2、点与直线的距离：

d

AP sin

(先求 cos AP, a ) P

A

O

l

a

例：在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，E、F分别是BB1,,

CD中点，求:点F到直线AE的距离.

D1

z

C1 B1 E

A1 D Ax

F B

C y

3、点到平面的距离：如图 A , 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的 一个法向量为 n , 且 AP 与 n 不共线,

P

分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.

n

则 d=| PO |= | PA | cos APO.∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.∴d=| PA ||cos PA, n |=| PA n | |n|

A

O

.

3、点到平面的距离：

d

PA n n

Pn

A

O

例: 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD,且 GC=2,求 z 点 B 到平面 EFG 的距离. G 解：如图，建立空间直角坐标系 C-xyz. 由题设 B(0,4,0), E(2,4,0), F(4,2,0), G(0,0,2).EF (2, 2,0), EG ( 2, 4, 2),

设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z )x 2 x 2 y 0 F n EF, n EG 2 x 4 y 2 Z 0

D

C

n (1,1,3), BE (2,0,0)| n BE|

A

E

2 11 d . 11 n 2 11 所以，点 B 到平面 EFG 的距离为 .

y

B

练习: 如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.P D

NC B

a 点 A 到平面 MNC 的距离为 . 2

M

A

4. 异面直线间的距离已知a,b是异面直线, CD为a,b的公垂线,

b

n a

C A

n是直线CD的方向向量，A,B分别在直线a,b上

D

B

d CD

n AB n

例已知：直三棱柱 . ABC A1B1C1的侧棱AA1 4, 底面 ABC中,

AC BC 2, BCA 900 , E为AB的中点。求CE与AB1的距离。解：如图建立坐标系C xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). CE (1,1,0), AB1 (2,2,4), z C 设CE, AB1的公垂线的方向向量为n ( x, y, z ).则 A B x y 0 n CE 0 即 2x 2 y 4z 0 n AB 01 1 1

取x=1,则y=-1,z=1,所以 n (1, 1,1)

1

C

在两直线上各取点C , A, C A (2,0,0). | n CA | 2 3 CE与AB1的距离d . |n| 3

A

B

x

E

y

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