《立体几何中的向量方法》教学设计

《立体几何中的向量方法》教学设计（2）

【教学目标】利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题． 【教学重点】：坐标法与向量法结合.

【教学难点】：适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线． 【教学课时】：1课时 【课前准备】：课题 【教学过程设计】：

（1）点到平面的距离： 1．（一般）传统方法：

利用定义先作出过这个点到平面的垂线段， 再计算这个垂线段的长度； 2．还可以用等积法求距离； 3．向量法求点到平面的距离. 在Rt?PAO中，

??O?PdnAsin??d|AP|?d?|AP|sin?

l?P又sin??|AP?n||AP||n|

?dn?d?|AP?n||n|A?O（其中AP为斜向量，n为法向量）

例１：如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．

分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离．

解：如图，设CD?4i，CB?4j，CG?2k，

高三数学教学设计

以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C－xyz．

由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．

∴ BE?(2,0,0)，BF?(4,?2,0)， BG?(0,?4,2)，GE?(2,4,?2)，

EF?(2,?2,0)．

设BM?平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，使得BM?aBE?bBF?cBG(a?b?c?1)，

∴ BM?a(2,0,0)?b(4,?2,0)?c(0,?4,2)＝(2a+4b,－2b－4c,2c)． 由BM?平面EFG，得BM?GE，BM?EF，于是 BM?G?E0，BM?EF?0．

?(2a?4b,?2b?4c,2c)?(2,4,?2)?0?∴ ?(2a?4b,?2b?4c,2c)?(2,?2,0)?0

?a?b?c?1??15?a?11?a?5c?0?7??整理得：?a?3b?2c?0，解得?b??．

11?a?b?c?1??3?c??11?∴

＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝(222226,,)． 111111211?2??2??6?∴ |BM|??????????

11?11??11??11?故点B到平面EFG的距离为

211． 11说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．

例2：

2

高三数学教学设计

如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，棱长为1，E为C1D1的中点，求下列问题：

（1） 求B1到面A1BE的距离；

解：如图，建立空间直角坐标系D?xyz，则

1?A1E?(?1,,0),A1B?(0,1,?1),，设n?(x,y,z)为面A1BE的法向量

2z1???n?A1E?0??x?y?0则? ??2???n?A1B?0?y?z?0D1A1DEB1C1C取x?1，得y?2,z?2，?n?(1,2,2)

xAyB选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1?(0,1,0) 得点B1到面A1BE的距离为d? 课后练习：

|A1B1?n||n|?2 3zD1A1DEB1C1CA?， 1．如图在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC?1, ?ACB?90xyBAA1?2，求点B1到面A1BC的距离.

2.在三棱锥S?ABC中，?ABC是边长为4的正三角形，平面SAC?平面

N分别为AB、SB的中点,求点B到平面CMNABC，黄肌瘦SA?SC?23，M、

的距离.

教学反思:

A1 C1 B1 C A B 3

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