高一数学正余弦定理解三角形人教实验版(A)知识精讲 doc

高一数学正余弦定理解三角形人教实验版（A）

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

正余弦定理解三角形

二. 重点、难点：

已知三角形三边长及三个角，求其余相关的量。 （1）高线（面积） （2）中线（余弦定理）

（3）角分线（余弦定理或正弦定理） （4）面积（公式） （5）周长

（6）外接圆半径（正弦定理） （7）内切圆半径（面积）

【典型例题】

[例1] 已知△ABC中，a?7，b?5，c?3

求（1）角A；（2）高AH；（3）中线AD；（4）角平分线AE；（5）外接圆半径；（6）内切圆半径。

b2?c2?a21?? 解：（1）cosA?2bc21153（2）S??bc?sinA?

242S153 AH???a14222（3）AC?AD?CD?2AD?CD?cos? AB2?AD2?BD2?2AD?BD?cos(???) AB2?AC2?2AD2?2BD2

19 AD?235?CE??ACCE????8??（4）?ABBE

21?BE??CE?BE?7??8?13cosC?

14353513225AE2?25?()2?2?5???2

8814815∴ AE?

8a73（5）R? ?2sinA3（6）r?S1(a?b?c)2?3 2

[例2] △ ABC中，2B?A?C，b?7，a?8，求内切圆半径。

?2B?A?C解：??B?60? ??A?B?C?180b2?a2?c2?2accosB c2?8c?15?0 c1?3 c2?5 （1）c?3

1ac?sinBS?23 r??2?193(a?b?c)2（2）c?5

1ac?sinBS?r??2?3

110(a?b?c)2

a?4，b?c?5，tanA?tanB?tan60??tanA?tanB?tan60?，[例3] △ABC中，求S?。

tanA?tanBtan60?(tanAtanB?1)?解：tan(A?B)???tan60???3

1?tanAtanB1?tanAtanB??∴ A?B?120 ∴ C?60

7?c???b?c?5?2? ?2?2?c?16?b?4b?b?3?2?S??133 absinC?22

2[例4] △ABC中，a?a?2b?2c，a?2b?2c?3，求△ABC的最大角。

解：2c?2b?a?3?0 ∴ c?b a2?a?2b?2c?2c?3?a?2c

22∴ a?4c?3 ∴ a?a?2b?a?2b?3

2∴ a?2a?3?4b ∴ 4b?(a?1)(a?3)?0 ∴ a?3

121(a?3)?a?(a?1)(a?3)?0 ∴ c?a 44a2?b2?c2a2?(b?c)(b?c)cosC??

12ab2a?(a?1)(a?3)4c?a?11a2?(a2?a)?(?a?3)?a(a?1)(a?3)122????

12a(a?1)(a?3)2a(a?1)(a?3)2∴ C?120?

[例5] 在△ABC中，求证：

cos2Acos2B11??? a2b2a2b2cos2Acos2B1?2sin2A1?2sin2B???证明： 2222abab11sin2Asin2B?) ?2?2?2(aba2b2sin2Asin2Bcos2Acos2B11????由正弦定理得 ∴ 222222ababab

[例6] 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c，若a?4,b?5，S??53，求c的长度。

13absinC ∴ sinC? 22??于是C?60或C?120

222又∵ c?a?b?2abcosC

?222当C?60时，c?a?b?ab，c?21； 当C?120?时，c2?a2?b2?ab，c?61

解：∵ S??∴ c的长度为21或61

?[例7] （06年辽宁卷）△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a,b,c，设向量p?(a?c,b)，???q?(b?a,c?a)，若p//q，则角C的大小为（ ）

A.

???2? B. C. D.

3632??解：∵ p//q ∴ (a?c)(c?a)?b(b?a)?0

222即a?b?c?ab

a2?b2?c2ab1?? 根据余弦定理，得cosC?2ab2ab2?∵ 0?C?? ∴ C? 所以选B

3

[例8] 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c

12(a?b2?c2)，求∠C的度数； 4bsinB222（2）若b?ac，且a?c?ac?bc，求∠A的大小及的值。

c121122解：（1）由S?(a?b?c)，得absinC??2abcosC

424（1）若三角形的面积S?∴ tanC?1，得C??4（2）∵ b2?ac 又a2?c2?ac?bc ∴ b2?c2?a2?bc

b2?c2?a2bc1?? 在△ABC中，由余弦定理得cosA?2bc2bc2∴ ∠A=60°

11bcsinA?acsinB 22bsinB3∴ bcsinA?b2sinB，则 ?sinA?c2在△ABC中，由面积公式得

[例9] △ABC的三边为a,b,c，设p?证明：S??1(a?b?c)，求证：S??2 p(p?a)(p?b)(p?c)。

11absinC?ab1?cos2C 22?1ab(1?cosC)(1?cosC) 21a2?b2?c2a2?b2?c2?ab(1?)(1?) 22ab2ab11(2ab?a2?b2?c2)(2ab?a2?b2?c2) =ab2224ab1?[(a?b)2?c2][c2?(a?b)2] 41?(a?b?c)(a?b?c)(c?a?b)(c?a?b) 4a?b?ca?b?cc?a?bc?a?b????

2222?p(p?a)(p?b)(p?c)

【模拟试题】

1. 在△ABC中，a?23,b?22，B=45°，则A等于（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 2. 在△ABC中，若acosA?bcosB，则△ABC的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形

3. △ABC中，sinA:sinB:sinC?3:2:4，那么cosC?（ ） A.

1 4B.

2 3C. ?2 3D. ?1 44. 在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. b?20，A=45°，C=80° B. a?30，c?28，B=60° C. a?14，b?16，A=45° D. a?12，c?15，A=120°

5. 在△ABC中，已知a?2，b?3，C=120°，则sinA的值为（ ）

5717 D. 1936. 在△ABC中，B=135°，C=15°，a?5，则此三角形的最大边长为 。 7. △ABC中，如果a?6，b?63，A=30°，边c? 。 8. 在△ABC中，化简bcosC?ccosB?（ ）

b?ca?ca?bA. a B. C. D.

222A.

B.

C.

9. 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ） A.

3 3821 7400m 3

B.

4003m 3

C.

200m 3D. 90°

D.

2003m 310. 已知三角形的三边长分别为a、b、a2?ab?b2，则三角形的最大内角是（ ） A. 135°

B. 120°

C. 60°

11. （06年山东卷）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，A?则c?（ ）

A. 1

B. 2

C. 3?1

D. 3

12. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2?7x?6?0的根，则另一边长为（ ）

A. 52

B. 16

C. 4

D. 213

13. （06年江苏卷，文11）在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC= 。 14. （06年北京卷，理12）在△ABC中，若sinA:sinB:sinC?5:7:8，则∠B的大小是 。

15. 在△ABC中，a,b,c分别是角A、B、C的对边，且

?3，a?3，b?1，

tanB2a?c?，tanCca2?b2?c2?2ab，（1）求C；（2）求A。

16. 在△ABC中，a,b,c分别是A、B、C的对边，且

cosBb?? cosC2a?c（1）求角B的大小；（2）若b?13，a?c?4，求a的值；

17. （06年全国卷II，文17）在△ABC中，∠B=45°，AC?10，cosC?（1）BC=？（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度。

25，求：5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/g5od.html