空间立体几何角的范围

立体几何

立体几何专题：空间角

第一节：异面直线所成的角

一、基础知识

1.定义： 直线a、b是异面直线，经过空间一交o，分别a //a，b //b，相交直线a b 所成的

锐角（或直角）叫做 。 2.范围： 0,

2

3.方法： 平移法、问量法、三线角公式

（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a、b的平行线，构造一

个三角形，并解三角形求角。 （2）向量法：

可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式cos cos a,b

求出来

方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出

代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量

(x1,y1,z1) (x2,y2,z2) co s

x1x2 y1y2 z1z2

x1 y1 z1

2

2

2

x2 y2 z2

222

（3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于

斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：cos 1cos 2 cos 二、例题讲练

C

例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，

3.2立体几何中的向量方法——空间角

1、两条直线的夹角：设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ,

a b 两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos ; 2 ab

l

l

a

m

a b

m

例： 在直三棱柱ABC A1 B1C1中，BC AC ,BC CA CC1 , 取A1 B1、A1C1的中点D1、F1, 求BD1和AF1所成的角的余弦值.zC1

解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系C xyz,如图所示，设CC1 1则： F11 1 1 A(1, 0, 0), B (0,1, 0), F1 ( , 0,1), D1 ( , ,1) 2 2 2

D1C

B1

A1A

1 所以： AF1 ( , 0,1), BD1 ( 1 , 1 ,1) 22 2

B

y

1 1 AF1 BD1 30 4 cos AF1, BD1 10 | AF1 || BD1 | 5 3 4 2 30 所以 BD1与 AF1 所成角的余弦值为 10

x

2、直线与平面的夹角： 设直线 l 的方向向量分别为 a ,平面 的 法向量分别为 u ,

a u 直线 l

高三下期数学（文科实验班）教案（一）（学生卷）2010.3.14

专题一：空间角

一、基础梳理

1.两条异面直线所成的角

（1）异面直线所成的角的范围：(0,?2]。

（2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线a,b 垂直，记作a?b。

（3）求异面直线所成的角的方法：

（1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。 平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。 2．直线和平面所成的角（简称“线面角”） （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。 一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0?角。

?直线和平面所成角范围：?0，?。

2（2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

（3）公式：已知平面?的斜线a与?内一直线b相交成θ角， 且a与?相交成?1角，a在?上的射影c与b相交成?2角， 则有cos?1cos?2?cos? 。

关于空间向量与立体几何

1 空间向量与立体几何

一、平行与垂直问题

（一） 平行

线线平行 线面平行 面面平行 注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括直线在平面内，面面平行包括面面重合。

（二） 垂直

线线垂直 线面垂直 面面垂直 注意：画出图形理解结论

二、夹角与距离问题

（一） 夹角

（二）距离

点、直线、平面之间的距离有7种。点到平面的距离是重点.

1．已知四棱锥P A B C D -的底面为直角梯形，//A B D C ，

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ∥m ?a ∥b a k b ?=

；

l ∥α?a

u ⊥ 0a u ??=

；

α∥β?u ∥v .u k v ?=

设直线,l m 的方向向量分别为

,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ⊥α?a ∥u a k u ?= ；

l ⊥m ?a ⊥b 0a b ??=

；

α⊥β?u ⊥v .0=??v u

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ 的法向量分别为,u v ，则

①两直线l ,m 所成的角为θ(02π

θ≤≤),cos a b

a b

θ?=

；

②直线l 与平面α

空间向量在立体几何中的应用

1【例1】已知三棱锥P-ABC中,PA⊥面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN，

2M,S分别为PB,BC的中点.

(Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小. 证明：

设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图.

111则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,),N(,0,0),S(1,,0)

222??????1???11(Ⅰ)CM?(1,?1,),SN?(?,?,0),

222?????????11因为CM?SN????0?0,

22所以CM⊥SN

????1(Ⅱ)NC?(?,1,0),

2设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量, 1?x?y?z?0,??2令x?2，得a=(2,1,-2). 则?1??x?y?0.??21????2?2 因为cosa,SN?223?2?1?所以SN与片面CMN所成角为45°

【例2】、如图,四棱锥S—ABCD中,SD?底面ABCD, AB//DC,AD?DC, AB?AD?1,DC=SD=2,E为棱 SB上的一点,平面EDC?平

空间向量在立体几何中的应用：求角和距离

1．空间中的角：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 （1）异面直线所成的角的范围是(0,]。求两条异面直线所成的角的大小一般

2

?方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下：

①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角。

（2）直线与平面所成的角的范围是[0,]。

2A C B D ?? 求直线和平面所成的角具体步骤如下： ①作过斜线上一点与平面垂直的直线；

②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。

注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有

???；

（3）二面角的范围:(0,?].。作二面角的平面角常有三种方法

1

2．空间的距离

（1）点到直线的距离：点Ｐ到直线a的距离为点Ｐ到直线a的垂线段的长，

(2)点到平面的距离：点Ｐ到平面?的距离为点Ｐ到平面?的垂线段的长．

（3）异面直线间的距离：异面直线a,b间的距离为

专题十 空间向量与立体几何

【知识点总结】

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

?????OP??a(??R)

?????????????? ?????????????? OB?OA?AB?a?bBA?OA?OB?a?b;

;

????运算律：⑴加法交换律：a?b?b?a

??????⑵加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)

????⑶数乘分配律：?(a?b)??a??b

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那

??么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作。

??????（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存

??在实数λ，使a＝λb。

??a//b（3）三点共线：A、B、C三点共线<=>AB??AC <=>OC?xOA?yOB(其中x?y?1) （4）与a共线的单位向

高中数学教学设计与反思

江西省龙南中学：张国辉

空间几何体的三视图及其表面积和体积

【教学目标】 一、知识目标

熟练掌握已知空间几何体的三视图如何求其表面积和体积。 二、能力目标

先介绍由空间三视图求其表面积和体积，然后引导学生讨论和探讨问题。

三、德育目标

1.通过空间几何体三视图的应用，培养学生的创新精神和探究能力。 2.通过研究性学习，培养学生的整体性思维。 【教学重点】

观察、实践、猜想和归纳的探究过程。 【教学难点】

如何引导学生进行合理的探究。

【教学方法】

电教法、讲述法、分析推理法、讲练法 【教学用具】 多媒体、实物投影仪 【教学过程】

［投影］本节课的教学目标

1.熟练掌握已知空间几何体的三视图如何求其表面积和体积。 【学习目标完成过程】 一、复习提问

1.如何求空间几何体的表面积和体积(例如：球、棱柱、棱台等)? 2.三视图与其几何体如何转化? 二、新课讲解 ［设置问题］

例1：(如下图1)，这是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算出它的表面积和体积(尺寸如图1，单位：cm,π取314，结果精确到1cm３)。

［提出问题］

1.空间几何体的表面积和体积分别是什么?

2.怎样运用柱体、锥体、台体、球体的表面积与体积的公

立体几何专题：空间角和距离的计算

一 线线角 1．直三棱柱A1B1C1-ABC，∠BCA=900，点D1，F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成角的余弦值。

B1D1A1F1C1BAC

2．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=900，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥面ABCD，PD与底面成300角，（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；（2）若AE⊥PD，求异面直线AE与CD所成角的大小；

PEBACD

二．线面角

1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1、CD的中点，且正方体的棱长为2，（1）求直线D1F和AB和所成的角；（2）求D1F与平面AED所成的角。

D1C1B1ECA1DAFB

2．在三棱柱A1B1C1-ABC中，四边形AA1B1B是菱形，四边形BCC1B1是矩形，C1B1⊥AB，

AB=4，C1B1=3，∠ABB1=600，求AC1与平面BCC1B1所成角

B1的大小。 C1 A1 CBA

1

三．二面角

1．已知A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是AC中点，（1）证明AB1∥平面DBC1；（2）设AB1⊥BC1，求以BC

空间向量在立体几何解题中的应用

一、空间向量的基础知识

1．空间向量的坐标运算 (1)空间直角坐标系

在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}(i，j，k按右手系排列)建立坐标系，坐标轴正方向与i，j，k方向相同．空间一点P的坐标的确定可以按如下方法：过P分别作三个坐标平面的平行平面(或垂直平面)，分别与坐标轴交于A、B、C三点，|x|=OA，|y|=OB，|z|=OC，当OA与i方向相同时，x>0，反之x<0．同理确定y、z．点P的坐标与OP坐标相同．

(2)向量的直角坐标运算

设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则

a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)；a-b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)；a·b=a1b1+a2b2+a3b3， a∥b?a1=?b1，a2=?b2，a3=?b3(??R )．或a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0．

(3)夹角和距离公式 ①夹角公式 cos=②距离公式

设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 |AB|=(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2． ③定比分点公式

设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 若M分AB为定比?(?≠-1)，则M的坐标为 x=

x1??x2y?