立体几何与圆专题复习

【立体几何】与【直线与圆】专题复习

【知识梳理】

1.空间几何体：（重点考查：三视图，表面积与体积） 2.点、直线、平面之间的位置关系：（重点考查：平行与垂直关系，空间角） 3.空间向量与立体几何：（重点考查：立体几何中的向量方法） 4.直线与圆的方程：（重点考查：直线与圆的方程，位置关系）

【典例精析】

例1.（1）如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图，则这四个几何体 依次 三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台

（2）在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD的中点。若AC?BD?a，AC?BD?b，则EG2?FH2? (a2?2b)

（3）已知?ABC的三边长为a,b,c，内切圆半径为r（用S?ABC表示?ABC的面积），则

12S?ABC?1r(a?b?c)；类比这一结论有：若三棱锥A?BCD的内切球半径为R，则三棱2锥体积VA?BCD? VA?BCD?1R(S?ABC?S?ABD?S?ACD?S?BCD)

3 注： 平面类比空间，应该面积类比体积，长度类比面积.

（4）如图所示，已知球O为棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为 ?6

例2.（1）设l,m,n表示三条直线，?,?,?表示三个平面，给出下列四个命题： ①l??,m???l//m； ②m??,n是l在?内的射影，m?l?m?n ③m??,m//n?n//?； ④???,?????//?.其中正确的命题是（ A ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④

D1（2）如图，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，长为2的 线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方形ABCD A1B1内运动，则MN中点P的轨迹的面积为（ D ） MA．4? B．2?

C．

C1? D．

2DA?PCNB（3）如图，在长方形ABCD中，AB?3，BC?1，E为线段DC上一动点，现将?AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C时，K所形

成轨迹的长度为（ D ） A.323? B. C. 232DEC D.

DD'K?3E

C

（4）如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点P在 线段AD1上运动，给出以下四个命题： ①异面直线C1P与CB1所成的角为定值； ②二面角P?BC1?D的大小为定值； ③三棱锥D?BPC1的体积为定值；

ABBA

④异面直线A1P与BC1间的距离为定值. 其中真命题的个数为（ D ）

A．1 B．2 C．3 D．4

例3.在正三角形ABC中， E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点，满足： AE:EB?CF:FA?CP:PB?1:2（如图甲），将?AEF沿EF折叠到?A1EF的位置， 使二面角A1?EF?B成直二面角，连接A1B,A1P（如图乙）。 A （1）求证：A； E?平面BEP1（2）求二面角B?A1P?F的余弦值； E （3）求点F到平面A1BP的距离.

B

F P C B A1 E F C

P （图甲） （图乙）

解：（1）设三角形边长为3，则由余弦定理得EF?3,AF2?AE2?EF2,?AE?EF，则A1E?EF，又二面角A1?EF?B为直二面角，?A1E?平面BEP.

（2）设E为原点，EB,EF,EA1所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示坐标系. 设平面A1BP的一个法相量为n?(x,y,z)，则有

??2x?z?0?n?A1B?0??? ?，令x?3，则n?(3,1,23).

x?3y?z?0n?AP?0????1设平面A1PF的一个法相量为m?(x,y,z)，则有

?x?3y?z?0??m?A1P?0???，令z?23，则m?(0,?1,?3). ???m?A1F?0??3y?z?077cos?n,m???,?cos???.

88|PF?n|3（3）法1.等体积法；法2.向量法 PF?(?1,0,0),?d?. ?4|n|

例4.（1）（天津理）设m,n?R，若直线(m?1)x+(n?1)y?2=0与圆

(x?1)2?(y?1)2?1相切，则m+n的取值范围是（ D ）

A．[1?3,1+3] B．(??,1?3][1+3,+?)

C．[2?22,2+22] D．(??,2?22][2+22,+?)

解：∵直线(m?1)x+(n?1)y?2=0与圆(x?1)2?(y?1)2?1相切。∴圆心(1,1)到直线的距离为d=|(m?1)+(n?1)?2|(m?1)2+(n?1)2=1，所以mn?m?n?1?(m?n21 )，设t=m?n，则t2?t+1，

24解得t?(??,2?22][2+22,+?).

（2）（2012年湖北文）过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x,y)|x2?y2?4}分两部分，使得

这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（A）

A．x?y?2?0 B．y?1?0 C．x?y?0 D．x?3y?4?0 例5.已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1:x?y?22?0相切. （1）求圆C1的标准方程；

（2）设点A为圆C1上一动点，AN?x轴于N，若动点Q满足 ，试求动点Q的轨迹方程C2； OQ?mOA?（1?m)ON（其中m为非零常数）

3时，得到曲线C，与l1垂直的直线l与曲线C交 2于B、D两点，求?OBD面积的最大值.

|?22|?2，故圆C1的方程为x2?y2?4. 解：（1）半径为圆心到直线l1距离为d，因d?12?12（2）设动点Q(x,y)，A(x0,y0)，则N(x0,0)，由题意

（3）在（2）的结论下，当m??x0?x?x?x0?(x,y)?m(x0,y0)?(1?m)(x0,0)，所以?，即: ?1，

y?myy?y?00?m?x2y2122??1. 将A(x,y)代入x?y?4，得

44m2m3x2y2??1. （3）当m?时，曲线C的方程为432x2y2??1交点为B(x1,y1),D(x2,y2). 设直线l的方程为y??x?b，直线l与曲线C43?y??x?b由?2得7x2?8bx?4b2?12?0. 2?3x?4y?128b4b2?1222因为??48(7?b)?0，解得b?7，且x1?x2?,x1x2?.

77b467?b2 ,BD?2(x1?x2)2?4x1x2?点O到直线l的距离d?722321b46b(7?b2) ?3. ?7?b2? ?S?OBD??7227722（当且仅当b?7?b即b2??7时取到最大值）??OBD面积的最大值为3.

2

【小试身手】

一.选择题

1.下列说法不正确的是（ D ） ．．．．

A.空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形 B .同一平面的两条垂线一定共面

C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直例

2.棱长为a的正方体顶点都在球面上，则这个球的表面积是（ C ）

1232822?a B. ?a C. 3?a2 D. 12?a2

333.若圆台的一个底面周长是另一个底面周长的三倍，母线长为3，圆台的侧面积为84?，则 圆台较小的底面半径为（ A ）S圆台侧??l?r??r?

A. A.7 B. 6 C. 5 D.3

4.下列命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行； ③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行。 其中正确的个数有（B）

A. 1 B .2 C． 3 D. 4

5.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当三棱锥B?ACD的体积最大时，直线BD与平面 ABC所成角的大小为（B） A．30? B．45? C．60? D．90? D1 C16.如图，正四棱柱ABCD?ABCD中，AA?2AB，则

11111异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（D） A． B．

1532 C． 55D．

4 5A1 D B1 二.填空题

7.在平面中，?ABC的角C的内角平分线CE分?ABC面积

C A S?AECACB ?所成的比.将这个结论类比到空间：在三棱锥 S?BECBCA?BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB交于E，则类比的结论为

VS__________________________A?CDE=?ACD

VB?CDES?BCD解：面积类比体积，长度类比面积，由

S△AECACVA－CDES△ACD＝，类比得＝ . S△BECBCVB－CDES△BDC 8．一个几何体的三视图如上图所示，则这

个几何体的体积为 3

9.在Rt?ABC中，AC?BC,AC?a,BC?b，

a2?b2则?ABC的外接圆半径r?；类比到

2空间，若三棱锥S－ABC的三条侧棱SA、SB、 SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，

a2?b2?c2则三棱锥S－ABC的外接球的半径 R? 。

210．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有

D1

C1 E F A1

B1

C D

A B

2。现有如下四个结论： 2AC?BE； ②EF//平面ABCD； ③三棱锥A－BEF的体积为定值；

④异面直线AE、BF所成的角为定值． 其中正确结论的序号是 ①②③

两个动点E、F，且EF?

三．解答题

11.如图，已知四棱锥P?ABCD的底面是正方形， PA?面ABCD，且PA?AD?2，点M,N分别 在PD,PC上，PN?PNMD

1NC,PM?MD． 2A（0,1,1）（2,2,0），C.?PC?(2,2,?2),AM?(0,1,1) ?MPC?AM?0?2?2?0,?PC?AM。

设N(x,y,z)（1）求证：PC?面AMN；

（2）求二面角B?AN?M的余弦值． B解：（1）证明：四棱锥P?ABCD的底面是正方形，PA?面ABCD，

z 故可以建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz。

（0，0，2）（0，2，0）（2，0，0）又PA?AD?2，?P，D，B PNCMD2241224PN?NC,求得N（,,)，AN?(,,)。 3332333448PC?AN????0,?AN?PC。

333B 又PC?AM且AMAN?A, ?PC?面AMN。

x （2）设平面BAN的法向量为n?(x,y,z)，AB?(2,0,0)。 Ay C??x=0?n?AB?0?。令z=-1得平面BAN的一个法向量n?(0,2,?1)。 ??y+2z=0??n?AN?0? 又PC?面AMN，?PC?(2,2,?2)是平面AMN的一个法向量，

?cos?n,PC??15n?PC15. ??二面角B?AN?M的余弦值?55|n||PC|12.已知圆C的方程为：(x?1)2?(y?2)2?2.

（1）若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，求切线l的方程； （2）过原点的直线m与圆C相交于A、B两点，若AB?2，求直线m的方程. 解：（1）①若切线l过原点，设l的方程为y?kx，即kx?y?0，则由C??1,2?到l的距离：d?|?k?2|k?12?2得：k?2?6。∴此时切线l的方程为：y?(2?6)x.

②若切线l不过原点，设l方程为x?y?a?0，则由C??1,2?到l的距离：

d?|1?a|?2 得：a?3或a??1，此时切线l的方程为：x?y?3?0或x?y?1?0. 2∴所求切线l的方程为：y?(2?6)x或x?y?3?0或x?y?1?0.

（2）①当直线m的斜率不存在时，其方程为x?0，m与圆C的交点为A?0,1?，B?0,3? 满足AB?2，?x?0符合题意.

②当直线m的斜率存在时，设m的方程为y?kx，即kx?y?0，则圆心C到直线m的距离为：|?k?2|k2?1故所求m的方程为：x?0或3x?4y?0.

?1，解得：k??3。∴此时m的方程为：3x?4y?0. 4

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