高中数学 同步练习2-2

我

第2章 第2节

时间：45分钟 满分：100分

一、选择题 每小题7分，共42分)

1. 函数f x)＝ln 4＋3x－x2)的单调递减区间是 ) 3

A. －∞，]

23

C. －1，]

2答案：D

3253

解析：函数f x)的定义域是 －1,4)，u x)＝－x2＋3x＋4＝－ x－)2＋的减区间为[，

2424)，

3

∵e>1，∴函数f x)的单调减区间为[，4).

2

2. [2012·安徽省“江南十校”联考]已知函数f x)是R上的单调增函数且为奇函数，则f 1)的值 )

A. 恒为正数 C. 恒为0 答案：A

解析：∵定义在R上的奇函数有f 0)＝0，f x)在R上递增， ∴f 1)>f 0)＝0，故选A.

－x＋3a， x<03. [2012·安庆一模]函数f x)＝ x a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的

a， x≥0

3

B. [，＋∞) 23

D. [，4)

2

B. 恒为负数 D. 可正可负

取值范围是 )

A. 0,1) 1C. 0，

3答案：B

解析：据单调性定义，f x)为减函数应满足：

0<a<1，1 即a<1. 03 3a≥a，

1

B. [，1) 32

D. 0]

3

11

4. [2012·山东济宁一模]定义在R上的偶函数f x)在[0，＋∞)上递增，f )＝0，则满足f log

38x)>0的x的取值范围是 )

我

A. 0，＋∞) 11

C. 0，∪2)

82答案：B

解析：由f x)＝f －x)＝f |x|)得 1111f |logx|)>f )，于是|log|>

8383解得选B.

1

B. 0，∪ 2，＋∞)

21

D. 0)

2

5. [2012·广东省江门市调研]已知函数f x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f x)＝x·2x，则当x>0时，f x)等于 )

A. x·2x

－

B. －x·2x D. x·log2x

C. －x·2x

－

答案：A

解析：∵x>0，∴－x<0，

∴f x)＝－f －x)＝－ －x)·2x＝x·2x.

－

－

6. [2011·湖南]已知函数f x)＝ex－1，g x)＝－x2＋4x－3.若有f a)＝g b)，则b的取值范围为 )

A. [2－2，2＋2] C. [1,3] 答案：B

解析：根据条件可得ea－1＝－b2＋4b－3， ∵ea>0，

∴－b2＋4b－2>0， 即b2－4b＋2<0， ∴22<b<2＋2. 故选B.

二、填空题 每小题7分，共21分)

7. [2012·浙江省金华十校高考模拟]已知函数f x)为奇函数，函数f x＋1)为偶函数，f 1)＝1，则f 3)＝__________.

答案：－1

解析：法一：根据条件可得f 3)＝f 2＋1)＝f －2＋1)＝f －1)＝－f 1)＝－1.

ππππ法二：使用特殊值法，寻求函数模型，令f x)＝，则f x＋1)＝sin ＋＝cos，

2222满足以上条件，所以f 3)＝sin

3π

＝－1. 2

B. 2－2，22) D. 1,3)

我

11

8. 若在区间[2]上，函数f x)＝x2＋px＋q与g x)＝x＋2x则f x)在该区间上的最大值是________.

答案：3

1

解析：对于g x)＝x＋在x＝1时，g x)的最小值为2，

x则f x)在x＝1时取最小值2， 4q－p2p

1，＝2.

24∴p＝－2，q＝3. ∴f x)＝x2－2x＋3，

∴f x)在该区间上的最大值为3.

x

e－2， x≤0

9. [2012·安徽省淮南市第一次模拟]已知函数f x)＝ a是常数且a>0).对

2ax－1， x>0

－

1

于下列命题：①函数f x)的最小值是－1；②函数f x)在R上是单调函数；③若f x)>0在[，

2＋∞)上恒成立，则a的取值范围是a>1；④对任意x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有x＋xf x ＋f x f .其中正确命题的序号是__________.

22

答案：①③④

解析：如图，①正确；函数f x)在R上不是单调函数，②错误；

11

若f x)>0在[，＋∞)上恒成立，则2a×－1>0，a>1，③正确；

22

x1＋x2f x1 ＋f x2

由图像可知在 －∞，0)上对任意x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f )<22④正确.

三、解答题 10、11题12分、12题13分)

ax＋b12

10. 已知函数f x)＝是定义在 －1,1)上的奇函数，且f 251＋x 1)求函数f x)的解析式；

2)用定义证明f x)在 －1,1)上是增函数； 3)解不等式f t－1)＋f t)<0.

我

f 0 ＝0

解： 1)依题意得 12

f 2＝5x

∴f x)＝－1<x<1).

1＋x ab，即 22

15 1＋ 4

b＝0

a＝1

，得 ，

b＝0

2)设－1<x1<x2<1，则f x1)－f x2)＝

x1－x2 1－x1x2 xx. 1＋x 1＋x1 1＋x11＋x22

2

∵－1<x1<x2<1，∴x1－x2<0,1＋x21>0,1＋x2>0，

又∵－1<x1x2<1，∴1－x1x2>0，∴f x1)－f x2)<0， ∴f x)在 －1,1)上是增函数.

3)f t－1)＋f t)<0，即f t－1)<－f t)＝f －t)，

1∵f x)在 －1,1)上是增函数，∴－1<t－1<－t<1，解得0<t<21

∴不等式的解集为{t|0<t<2

11. [2012·南昌调研]设函数f x)＝tx2＋2t2x＋t－1 t∈R，t>0). 1)求f x)的最小值s t)；

2)若s t)<－2t＋m对t∈ 0,2)时恒成立，求实数m的取值范围. 解： 1)∵f x)＝t x＋t)2－t3＋t－1 t∈R，t>0)， ∴当x＝－t时，f x)取得最小值f －t)＝－t3＋t－1. 即s t)＝－t3＋t－1.

2)令h t)＝s t)－ －2t＋m)＝－t3＋3t－1－m. 由h′ t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1 舍去). 则有

∴h t)在 0,2)∴s t)<－2t＋m对t∈ 0,2)时恒成立等价于h t)<0恒成立，即1－m<0，∴m>1. 12. 已知定义在 －∞，0)∪ 0，＋∞)上的函数f x)满足：① x，y∈ －∞，0)∪ 0，＋∞)，f x·y)＝f x)＋f y)；②当x>1时，f x)>0，且f 2)＝1.

1)试判断函数f x)的奇偶性；

2)判断函数f x)在 0，＋∞)上的单调性； 3)求函数f x)在区间[－4,0)∪ 0,4]上的最大值；

我

4)求不等式f 3x－2)＋f x)≥4的解集.

解： 1)令x＝y＝1，则f 1×1)＝f 1)＋f 1)，得f 1)＝0； 再令x＝y＝－1，则f[ －1)· －1)]＝f －1)＋f －1)，得f －1)＝0. 对于条件f x·y)＝f x)＋f y)，令y＝－1， 则f －x)＝f x)＋f －1)，所以f －x)＝f x).

又函数f x)的定义域关于原点对称，所以函数f x)为偶函数. x 2)任取x1，x2∈ 0，＋∞)，且x1<x2，则有>1.

x1x又∵当x>1时，f x)>0，∴f 而f x2)＝

x1

xxf x1＝f x1)＋f )>f x1)，∴函数f x)在 0，＋∞)上是增函数.

x1x1

3)∵f 4)＝f 2×2)＝f 2)＋f 2)，又f 2)＝1，∴f 4)＝2.又由 1) 2)知函数f x)在区间[－4,0)∪ 0,4]上是偶函数且在 0,4]上是增函数，∴函数f x)在区间[－4,0)∪ 0,4]上的最大值为f 4)＝f －4)＝2.

4)∵f 3x－2)＋f x)＝f[x 3x－2)]，4＝2＋2＝f 4)＋f 4)＝f 16)，∴原不等式等价于f[x 3x－2)]≥f 16)，又函数f x)为偶函数，且函数f x)在 0，＋∞)上是增函数，∴原不等式又等价8

于|x 3x－2)|≥16，即x 3x－2)≥16或x 3x－2)≤－16，解得x≥x≤－2.∴不等式f 3x－

38

2)＋f x)≥4的解集为{x|x≤－2或x3

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