高中数学选修2-2课后习题答案

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第一章 导数及其应用

1.1 变化率与导数

练习（P6）

在第3 h和5 h时，原油温度的瞬时变化率分别为 1和3. 它说明在第3 h附近，原油温度大约以1 ℃／h的速度下降；在第5 h时，原油温度大约以3 ℃／h的速率上升.

练习（P8）

函数h(t)在t t3附近单调递增，在t t4附近单调递增. 并且，函数h(t)在t4附近比在t3附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想.

练习（P9）

函数r(V)

(0 V 5)的图象为

根据图象，估算出r (0.6) 0.3，r (1.2) 0.2.

说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数.

习题1.1 A组（P10）

W1(t0) W1(t0 t)W2(t0) W2(t0 t)

.

t t

所以，企业甲比企业乙治理的效率高.

说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.

hh(1 t) h(1) 4.9 t 3.3，所以，h (1) 3.3. 2、 t t

这说明运动员在t 1s附近以3.3 m／s的速度下降. 1、在t0处，虽然W1(t0) W2(t0)，然而

3、物体在第5 s的瞬时速度就是函数s(t)在t 5时的导数.

ss(5 t) s(5) t 10，所以，s (5) 10. t t

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因此，物体在第5 s时的瞬时速度为10 m／s，它在第5 s的动能Ek 4、设车轮转动的角度为 ，时间为t，则 kt2(t 0). 由题意可知，当t 0.8时， 2 . 所以k

1

3 102 150 J. 2

25 25 2

t. ，于是

88

车轮转动开始后第3.2 s时的瞬时角速度就是函数 (t)在t 3.2时的导数.

(3. 2 t )

t t(3.2) 25

t 20 ，所以 (3.2) 20 . 8

因此，车轮在开始转动后第3.2 s时的瞬时角速度为20 s 1. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.

5、由图可知，函数f(x)在x 5处切线的斜率大于零，所以函数在x 5附近单调递增. 同理可得，函数f(x)在x 4， 2，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.

6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数f (x)的图象如图（1）所示；第二个函数的导数f (x)恒大于零，并且随着x的增加，f (x)的值也在增加；对于第三个函数，当x小于零时，f (x)小于零，当x大于零时，f (x)大于零，并且随着x的增加，f (x)的值也在增加.

以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.

说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.

习题3.1 B组（P11）

1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度. 2、

说明：由给出的v(t)的信息获得s(t)的相关信息，并据此画出s(t)的图象的大致形状. 这个

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过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.

3、由（1）的题意可知，函数f(x)的图象在点(1, 5)处的切线斜率为 1，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案

.

说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一.

1.2 导数的计算

练习（P18）

1、f (x) 2x 7，所以，f (2) 3，f (6) 5. 2、（1）y

1

； （2）y 2ex； xln2

（3）y 10x4 6x； （4）y 3sinx 4cosx；

1x （5）y sin； （6

）y 33习题1.2 A组（P18）

1、

SS(r r) S(r) 2 r r，所以，S (r) lim(2 r r) 2 r.

r 0 r r

2、h (t) 9.8t 6.5. 3

、r (V)

1

； （2）y nxn 1ex xnex； xln2

4、（1）y 3x2

3x2sinx x3cosx cosx98

（3）y ； （4）； y 99(x 1)2

sinx

（5）y 2e x； （6）y 2sin(2x 5) 4xcos(2x 5). 5

、f (x) 8 . 由f (x0) 4有

4 8

0，解得x0 .

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6、（1）y lnx 1； （2）y x 1. 7、y

x

1.

8、（1）氨气的散发速度A (t) 500 ln0.834 0.834t.

（2）A (7) 25.5，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少.

习题1.2 B组（P19）

1、（1）

（2）当h越来越小时，y

sin(x h) sinx

就越来越逼近函数y cosx.

h

（3）y sinx的导数为y cosx.

2、当y 0时，x 0. 所以函数图象与x轴交于点P(0,0). y ex，所以y

x 0

1.

所以，曲线在点P处的切线的方程为y x.

2、d (t) 4sint. 所以，上午6:00时潮水的速度为 0.42m／h；上午9:00时潮水的速度为

0.63m／h；中午12:00时潮水的速度为 0.83m／h；下午6:00时潮水的速度为 1.24m／h.

1.3 导数在研究函数中的应用

练习（P26）

1、（1）因为f(x) x2 2x 4，所以f (x) 2x 2.

当f (x) 0，即x 1时，函数f(x) x2 2x 4单调递增； 当f (x) 0，即x 1时，函数f(x) x2 2x 4单调递减. （2）因为f(x) ex x，所以f (x) ex 1.

当f (x) 0，即x 0时，函数f(x) ex x单调递增； 当f (x) 0，即x 0时，函数f(x) ex x单调递减. （3）因为f(x) 3x x3，所以f (x) 3 3x2.

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当f (x) 0，即 1 x 1时，函数f(x) 3x x3单调递增； 当f (x) 0，即x 1或x 1时，函数f(x) 3x x3单调递减. （4）因为f(x) x3 x2 x，所以f (x) 3x2 2x 1.

1

当f (x) 0，即x 或x 1时，函数f(x) x3 x2 x单调递增；

31

当f (x) 0，即 x 1时，函数f(x) x3 x2 x单调递减.

3

2、

注：图象形状不唯一.

3、因为f(x) ax2 bx c(a 0)，所以f (x) 2ax b. （1）当a 0时，

b

时，函数f(x) ax2 bx c(a 0)单调递增； 2ab

f (x) 0，即x 时，函数f(x) ax2 bx c(a 0)单调递减.

2a

（2）当a 0时，

b

f (x) 0，即x 时，函数f(x) ax2 bx c(a 0)单调递增；

2ab

f (x) 0，即x 时，函数f(x) ax2 bx c(a 0)单调递减.

2a

f (x) 0，即x

4、证明：因为f(x) 2x3 6x2 7，所以f (x) 6x2 12x. 当x (0,2)时，f (x) 6x2 12x 0，

因此函数f(x) 2x3 6x2 7在(0,2)内是减函数.

练习（P29）

1、x2,x4是函数y f(x)的极值点，

其中x x2是函数y f(x)的极大值点，x x4是函数y f(x)的极小值点. 2、（1）因为f(x) 6x2 x 2，所以f (x) 12x 1. 令f (x) 12x 1 0，得x 当x

1

. 12

11

时，f (x) 0，f(x)单调递增；当x 时，f (x) 0，f(x)单调递减. 1212

111149

所以，当x 时，f(x)有极小值，并且极小值为f() 6 ()2 2 .

1212121224 （2）因为f(x) x3 27x，所以f (x) 3x2 27.

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令f (x) 3x2 27 0，得x 3. 下面分两种情况讨论：

①当f (x) 0，即x 3或x 3时；②当f (x) 0，即 3 x 3时. 当x变化时，f (x)，f(x)变化情况如下表：

因此，当x 3时，f(x)有极大值，并且极大值为54；

当x 3时，f(x)有极小值，并且极小值为 54.

（3）因为f(x) 6 12x x3，所以f (x) 12 3x2. 令f (x) 12 3x2 0，得x 2. 下面分两种情况讨论：

①当f (x) 0，即 2 x 2时；②当f (x) 0，即x 2或x 2时. 当x变化时，f (x)，f(x)变化情况如下表：

因此，当x 2时，f(x)有极小值，并且极小值为 10；

当x 2时，f(x)有极大值，并且极大值为22

（4）因为f(x) 3x x3，所以f (x) 3 3x2. 令f (x) 3 3x2 0，得x 1. 下面分两种情况讨论：

①当f (x) 0，即 1 x 1时；②当f (x) 0，即x 1或x 1时. 当x变化时，f (x)，f(x)变化情况如下表：

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因此，当x 1时，f(x)有极小值，并且极小值为 2；

当x 1时，f(x)有极大值，并且极大值为2

练习（P31）

（1）在[0,2]上，当x

1149时，f(x) 6x2 x 2有极小值，并且极小值为f() . 121224

又由于f(0) 2，f(2) 20.

因此，函数f(x) 6x2 x 2在[0,2]上的最大值是20、最小值是

49

. 24

（2）在[ 4,4]上，当x 3时，f(x) x3 27x有极大值，并且极大值为f( 3) 54；

当x 3时，f(x) x3 27x有极小值，并且极小值为f(3) 54；

又由于f( 4) 44，f(4) 44.

因此，函数f(x) x3 27x在[ 4,4]上的最大值是54、最小值是 54.

1

（3）在[ ,3]上，当x 2时，f(x) 6 12x x3有极大值，并且极大值为f(2) 22.

3

155

又由于f( ) ，f(3) 15.

327

155

因此，函数f(x) 6 12x x3在[ ,3]上的最大值是22、最小值是.

327（4）在[2,3]上，函数f(x) 3x x3无极值. 因为f(2) 2，f(3) 18.

因此，函数f(x) 3x x3在[2,3]上的最大值是 2、最小值是 18.

习题1.3 A组（P31）

1、（1）因为f(x) 2x 1，所以f (x) 2 0. 因此，函数f(x) 2x 1是单调递减函数.

（2）因为f(x) x cosx，x (0,)，所以f (x) 1 sinx 0，x (0,). 22 因此，函数f(x) x cosx在(0,)上是单调递增函数. 2

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（3）因为f(x) 2x 4，所以f (x) 2 0. 因此，函数f(x) 2x 4是单调递减函数. （4）因为f(x) 2x3 4x，所以f (x) 6x2 4 0. 因此，函数f(x) 2x3 4x是单调递增函数. 2、（1）因为f(x) x2 2x 4，所以f (x) 2x 2.

当f (x) 0，即x 1时，函数f(x) x2 2x 4单调递增. 当f (x) 0，即x 1时，函数f(x) x2 2x 4单调递减. （2）因为f(x) 2x2 3x 3，所以f (x) 4x 3.

3

时，函数f(x) 2x2 3x 3单调递增. 43

当f (x) 0，即x 时，函数f(x) 2x2 3x 3单调递减.

4 当f (x) 0，即x

（3）因为f(x) 3x x3，所以f (x) 3 3x2 0. 因此，函数f(x) 3x x3是单调递增函数. （4）因为f(x) x3 x2 x，所以f (x) 3x2 2x 1. 当f (x) 0，即x 1或x

1

时，函数f(x) x3 x2 x单调递增. 3

1

当f (x) 0，即 1 x 时，函数f(x) x3 x2 x单调递减.

3

3、（1）图略. （2）加速度等于0. 4、（1）在x x2处，导函数y f (x)有极大值； （2）在x x1和x x4处，导函数y f (x)有极小值； （3）在x x3处，函数y f(x)有极大值； （4）在x x5处，函数y f(x)有极小值. 5、（1）因为f(x) 6x2 x 2，所以f (x) 12x 1. 令f (x) 12x 1 0，得x 当x

1

. 12

1

时，f (x) 0，f(x)单调递增； 12

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1

时，f (x) 0，f(x)单调递减. 12111149x 时，f(x)有极小值， 所以，并且极小值为f( ) 6 ( )2 2 .

1212121224 当x

（2）因为f(x) x3 12x，所以f (x) 3x2 12. 令f (x) 3x2 12 0，得x 2. 下面分两种情况讨论：

①当f (x) 0，即x 2或x 2时；②当f (x) 0，即 2 x 2时. 当x变化时，f (x)，f(x)变化情况如下表：

因此，当x 2时，f(x)有极大值，并且极大值为16；

当x 2时，f(x)有极小值，并且极小值为 16.

（3）因为f(x) 6 12x x3，所以f (x) 12 3x2. 令f (x) 12 3x2 0，得x 2. 下面分两种情况讨论：

①当f (x) 0，即x 2或x 2时；②当f (x) 0，即 2 x 2时. 当x变化时，f (x)，f(x)变化情况如下表：

因此，当x 2时，f(x)有极大值，并且极大值为22；

当x 2时，f(x)有极小值，并且极小值为 10.

（4）因为f(x) 48x x3，所以f (x) 48 3x2. 令f (x) 48 3x2 0，得x 4.

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下面分两种情况讨论：

①当f (x) 0，即x 2或x 2时；②当f (x) 0，即 2 x 2时. 当x变化时，f (x)，f(x)变化情况如下表：

因此，当x 4时，f(x)有极小值，并且极小值为 128；

当x 4时，f(x)有极大值，并且极大值为128.

6、（1）在[ 1,1]上，当x

147

时，函数f(x) 6x2 x 2有极小值，并且极小值为. 1224

由于f( 1) 7，f(1) 9，

所以，函数f(x) 6x2 x 2在[ 1,1]上的最大值和最小值分别为9，

47

. 24

（2）在[ 3,3]上，当x 2时，函数f(x) x3 12x有极大值，并且极大值为16； 当x 2时，函数f(x) x3 12x有极小值，并且极小值为 16. 由于f( 3) 9，f(3) 9，

所以，函数f(x) x3 12x在[ 3,3]上的最大值和最小值分别为16， 16.

11

（3）在[ ,1]上，函数f(x) 6 12x x3在[ ,1]上无极值.

33

1269

由于f( ) ，f(1) 5，

327

1269

所以，函数f(x) 6 12x x3在[ ,1]上的最大值和最小值分别为， 5.

327 （4）当x 4时，f(x)有极大值，并且极大值为128.. 由于f( 3) 117，f(5) 115，

所以，函数f(x) 48x x3在[ 3,5]上的最大值和最小值分别为128， 117.

习题3.3 B组（P32）

1、（1）证明：设f(x) sinx x，x (0, ). 因为f (x) cosx 1 0，x (0, )

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所以f(x) sinx x在(0, )内单调递减

因此f(x) sinx x f(0) 0，x (0, )，即sinx x，x (0, ). 图略 （2）证明：设f(x) x x2，x (0,1). 因为f (x) 1 2x，x (0,1)

1

所以，当x (0,)时，f (x) 1 2x 0，f(x)单调递增，

2

f(x) x x2 f(0) 0；

当x (1

2

,1)时，f (x) 1 2x 0，f(x)单调递减，f(x) x x2 f(1) 0；

又f(12) 1

4 0. 因此，x x2 0，x (0,1). （3）证明：设f(x) ex 1 x，x 0. 因为f (x) ex 1，x 0

所以，当x 0时，f (x) ex 1 0，f(x)单调递增，

f(x) ex 1 x f(0) 0；

当x 0时，f (x) ex 1 0，f(x)单调递减，

f(x) ex 1 x f(0) 0；

综上，ex 1 x，x 0. 图略 （4）证明：设f(x) lnx x，x 0. 因为f (x)

1

x

1，x 0 所以，当0 x 1时，f (x)

1

x

1 0，f(x)单调递增， f(x) lnx x f(1) 1 0；

当x 1时，f (x)

1

x

1 0，f(x)单调递减， f(x) lnx x f(1) 1 0；

当x 1时，显然ln1 1. 因此，lnx x. 由（3）可知，ex x 1 x，x 0.

图略

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. 综上，lnx x ex，x 0 图略

2、（1）函数f(x) ax3 bx2 cx d的图象大致是个“双峰”图象，类似“

”或“

”

的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.

（2）因为f(x) ax3 bx2 cx d，所以f (x) 3ax2 2bx c. 下面分类讨论：

当a 0时，分a 0和a 0两种情形： ①当a 0，且b2 3ac 0时，

设方程f (x) 3ax2 2bx c 0的两根分别为x1,x2，且x1 x2，

当f (x) 3ax2 2bx c 0，即x x1或x x2时，函数f(x) ax3 bx2 cx d单调递增； 当f (x) 3ax2 2bx c 0，即x1 x x2时，函数f(x) ax3 bx2 cx d单调递减. 当a 0，且b2 3ac 0时，

此时f (x) 3ax2 2bx c 0，函数f(x) ax3 bx2 cx d单调递增. ②当a 0，且b2 3ac 0时，

设方程f (x) 3ax2 2bx c 0的两根分别为x1,x2，且x1 x2，

当f (x) 3ax2 2bx c 0，即x1 x x2时，函数f(x) ax3 bx2 cx d单调递增； 当f (x) 3ax2 2bx c 0，即x x1或x x2时，函数f(x) ax3 bx2 cx d单调递减. 当a 0，且b2 3ac 0时，

此时f (x) 3ax2 2bx c 0，函数f(x) ax3 bx2 cx d单调递减

1.4 生活中的优化问题举例

习题1.4 A组（P37）

1、设两段铁丝的长度分别为x，l x，则这两个正方形的边长分别为

xl x

，，两个正方44

xl x21

) (2x2 2lx l2)，0 x l. 形的面积和为 S f(x) ()2 (

4416

l

令f (x) 0，即4x 2l 0，x .

2

ll

当x (0,)时，f (x) 0；当x (,l)时，f (x) 0.

22

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l

是函数f(x)的极小值点，也是最小值点. 2

l

所以，当两段铁丝的长度分别是时，两个正方形的面积和最小.

2

2、如图所示，由于在边长为a的正方形铁片的四角截去 四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为a 2x，高为x.

a

（1）无盖方盒的容积V(x) (a 2x)2x，0 x .

2 因此，x

（2）因为V(x) 4x3 4ax2 a2x， 所以V (x) 12x2 8ax a2.

aa（舍去），或x . 26

aaa

当x (0,)时，V (x) 0；当x (,)时，V (x) 0.

662a

因此，x 是函数V(x)的极大值点，也是最大值点.

6a

所以，当x 时，无盖方盒的容积最大.

6

3、如图，设圆柱的高为h，底半径为R， 令V (x) 0，得x 则表面积S 2 Rh 2 R2

（第2题）

V

. 2

RV2V2

2 R 2 R2，R 0. 因此，S(R) 2 R2

RR 由V R2h，得h 令S (R)

2V 4 R

0，解得R R

当R 时，S (R) 0；

（第3题）

当R )时，S (R) 0.

因此，R

V是函数S(R)的极小值点，也是最小值点.

此时，h 2R. R2 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.

1n2n2

4、证明：由于f(x) (x ai)，所以f (x) (x ai).

ni 1ni 11n

令f (x) 0，得x ai，

ni 1

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1n

可以得到，x ai是函数f(x)的极小值点，也是最小值点.

ni 1

1n

这个结果说明，用n个数据的平均值 ai表示这个物体的长度是合理的，

ni 1 这就是最小二乘法的基本原理.

x x22

m， 5、设矩形的底宽为xm，则半圆的半径为m，半圆的面积为

28

矩形的面积为a

x2

a x

)m m2，矩形的另一边长为( x88

因此铁丝的长为l(x)

x

2

x

2a x 2a (1 )x

，0 x x44x令l (x) 1

4

2a

0，得.

x x2当x 时，l (x)

0；当x 时，l (x) 0.

l(x)的极小值点，也是最小值点.

时，所用材料最省. 因此，x

6、利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘单价. 由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润.

11

收入R q p q(25 q) 25q q2，

8811

利润L R C (25q q2) (100 4q) q2 21q 100，0 q 200.

88

1

求导得L q 21

41

令L 0，即 q 21 0，q 84.

4

当q (0,84)时，L 0；当q (84,200)时，L 0；

因此，q 84是函数L的极大值点，也是最大值点.

所以，产量为84时，利润L最大, 习题1.4 B组（P37）

1、设每个房间每天的定价为x元，

高中数学选修2-2课后习题答案[人教版]

那么宾馆利润L(x) (50

x 1801

)(x 20) x2 70x 1360，180 x 680. 1010

1

令L (x) x 70 0，解得x 350.

5

当x (180,350)时，L (x) 0；当x (350,680)时，L (x) 0. 因此，x 350是函数L(x)的极大值点，也是最大值点.

所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x元／件时，

b x45b

4) c(x a)(5 x)，a x . 利润L(x) (x a)(c cbb4

8c4ac 5bc4a 5b

0，解得x 令L (x) x .

bb84a 5b4a 5b5b

)时，L (x) 0；当x (,)时，L (x) 0. 当x (a,8844a 5b

当x 是函数L(x)的极大值点，也是最大值点.

8

4a 5b

所以，销售价为元／件时，可获得最大利润.

8

1.5 定积分的概念

练习（P42）

8. 3

说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.

练习（P45）

ii1i12

1、 si si v() t [ ()2 2] ()2 ，i 1,2, ,n.

nnnnnn

i

于是 s si si v() t

ni 1i 1i 1

i12

[ ()2 ]

nnni 1

11n 121n21

()2 () () 2

nnnnnn1

3[1 22 n2] 2

n

1n(n 1)(2n 1) 3 2

n6111

(1 )(1 ) 2

3n2n

取极值，得

n

nnn

高中数学选修2-2课后习题答案[人教版]

n

1i1115

s lim [v()] lim [ (1 )(1 ) 2]

n n n3n2n3i 1ni 1

n

说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.

222、km.

3

说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤.

练习（P48）

2

x3dx 4. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.

从几何上看，表示由曲线y x3与直线x 0，x 2，y 0所围成的曲边梯形的面积S 4.

习题1.5 A组（P50）

1、（1） (x 1)dx [(1

1

i 1

2

100

i 11

) 1] 0.495； 100100i 11

) 1] 0.499； 500500i 11

) 1] 0.4995. 10001000

（2） (x 1)dx [(1

1

i 1

2

500

（3） (x 1)dx [(1

1

i 1

2

1000

说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.

2、距离的不足近似值为：18 1 12 1 7 1 3 1 0 1 40（m）； 距离的过剩近似值为：27 1 18 1 12 1 7 1 3 1 67（m）. 3、证明：令f(x) 1. 用分点 a x0 x1 xi 1 xi xn b

将区间[a,b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi 1,xi]上任取一点 i(i 1,2, ,n) 作和式

f( i) x

i 1

n

b a

b a， ni 1

n

从而

b

a

1dx lim

b a

b a，

n ni 1

n

说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、

根据定积分的几何意义，

表示由直线x 0，x 1，y

0以及曲线y

所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此 5、（1） x3dx

10

4

.

1. 4

3

由于在区间[ 1,0]上x 0，所以定积分 x3dx表示由直线x 0，x 1，y 0和曲线

1

y x3所围成的曲边梯形的面积的相反数.

高中数学选修2-2课后习题答案[人教版]

11

（2）根据定积分的性质，得 xdx xdx x3dx 0.

1 1044

1

3

3

1

由于在区间[ 1,0]上x 0，在区间[0,1]上x 0，所以定积分 x3dx等于位于x轴上方的

3

3

1

1

曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.

202115

（3）根据定积分的性质，得 x3dx x3dx x3dx 4

1 1044

由于在区间[ 1,0]上x3 0，在区间[0,2]上x3 0，所以定积分 x3dx等于位于x轴上方的

1

2

曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.

说明：在（3）中，由于x3在区间[ 1,0]上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[ 1,2]分成n等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分 x3dx化为 x3dx x3dx，这样，x3

1

1

2

2

在区间[ 1,0]和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出 x3dx，

1

2

x3dx，进而得到定积分 x3dx的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.

1

2

在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的

几何意义.

习题1.5 B组（P50）

1、该物体在t 0到t 6（单位：s）之间走过的路程大约为145 m.

说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）v 9.81t.

i118 9 （2）过剩近似值： 9.81 9.81 ； 88.29（m）

2242i 1 不足近似值： 9.81

i 18

8

i 1118 7

9.81 68.67（m） 2242

（3） 9.81tdt；

4

4

9.81tdt 78.48（m）.

3、（1）分割

在区间[0,l]上等间隔地插入n 1个分点，将它分成n个小区间：

ll2l(n 2)l[0,]，[,]， ，[,l]， nnnn(i 1)lil

,]（i 1,2, n） 记第i个区间为[，其长度为 nn

il(i 1)ll x .

nnn

ll2l(n 2)l

,l]上质量分别记作： 把细棒在小段[0,]，[,]， ，[

nnnn

高中数学选修2-2课后习题答案[人教版]

m1, m2, , mn，

则细棒的质量m mi.

i 1n

（2）近似代替

当n很大，即 x很小时，在小区间[

(i 1)lil

,]上，可以认为线密度 (x) x2的值变nn

(i 1)lil

,]处的函数化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点 i [nn

(i 1)lill

,]上质量 mi ( i) x i2（i 1,2, n）. 值 ( i) i2. 于是，细棒在小段[nnn

（3）求和

n

n

n

得细棒的质量 m mi ( i) x i2

i 1

i 1

i 1

l. n

（4）取极限

细棒的质量 m lim i2

n

i 1n

ll

，所以m x2dx..

0n

1.6 微积分基本定理

练习（P55）

（1）50； （2）

505

； （3

； （4）24； 33

31

（5） ln2； （6）； （7）0； （8） 2.

22

说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.

习题1.6 A组（P55）

1、（1）

4019

； （2） 3ln2； （3） ln3 ln2； 322

173 2

1； （6）e2 e 2ln2. （4） ； （5）

68说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.

2、 sinxdx [ cosx]30 2.

03

它表示位于x轴上方的两个曲边梯形的面积与x轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和.

习题1.6 B组（P55）

12x1e211141

、（1）原式＝[e]0 ； （2）原式＝[sin2x ； 222226

高中数学选修2-2课后习题答案[人教版]

2x36

（3）原式＝[. ]1

ln2ln2

cosmx 1

] [cosm cos( m )] 0；

mm sinmx 1

[sinm sin( m )] 0； （2） cosmxdx

mm 1 cos2mxxsin2mx 2

dx [ ] ； （3） sinmxdx 224m

1 cos2mxxsin2mx 2cosmxdx dx [ ] . （4） 224m

tgggggg

3、（1）s(t) (1 e kt)dt [t 2e kt]t0 t 2e kt 2 49t 245e 0.2t 245.

0kkkkkk2、（1） sinmxdx [

（2）由题意得 49t 245e 0.2t 245 5000.

这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t的取值范围. 根据指数函数的性质，当t 0时，0 e 0.2t 1，从而 5000 49t 5245， 因此， 因此245e

0.2

5000

49

7

50005245

t . 4949

0.2

5245

49

3.36 10，245e

1.24 10 7，

所以，1.24 10 7 245e 0.2t 3.36 10 7.

从而，在解方程49t 245e 0.2t 245 5000时，245e 0.2t可以忽略不计.

5245

（s）. 49

说明：B组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握.

因此，.49t 245 5000，解之得 t

1.7 定积分的简单应用

练习（P58）

32

； （2）1. 3

说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. （1）

练习（P59）

5

22（m）. 1、s (2t 3)dt [t2 3t]3

3

434

40（J）. 2、W (3x 4)dx [x2 4x]0

02

5

习题1.7 A组（P60）

1、（1）2； （2）2、W k

ab

9

. 2

qqbqqdr [ k] k k. a2rrab

高中数学选修2-2课后习题答案[人教版]

3、令v(t) 0，即40 10t 0. 解得t 4. 即第4s时物体达到最大高度.

4

最大高度为 h (40 10t)dt [40t 5t2]0 80（m）.

04

4、设ts后两物体相遇，则

(3t

t

2

1)dt 10tdt 5，

t

解之得t 5. 即A,B两物体5s后相遇. 此时，物体A离出发地的距离为

5

(3t2 1)dt [t3 t]50 130（m）.

5、由F kl，得10 0.01k. 解之得k 1000. 所做的功为 W 1000ldl 500l2 0.10 5（J）.

00.1

55

0，解之得t 10. 因此，火车经过10s后完全停止. 1 t

10551

)dt [5t t2 55ln(1 t)]10 （2）s (5 t 0 55ln11（m）. 01 t26、（1）令v(t) 5 t

习题1.7 B组（P60）

1、（1

）

a

表示圆x2 y2 a2与x轴所围成的上

a

半圆的面积，因此

1

a

a2

2

（2

） x]dx表示圆(x 1)2 y2 1与直线

y x所围成的图形（如图所示）的面积，

（第1（2）题）

因此， x]dx

1

12

41 1

1 1 . 242

320

2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的

b4h

方程为y ax2，则h a ()2，所以a 2.

2b

4h

从而抛物线的方程为 y 2x2.

b 于是，抛物线拱的面积S 2 (h

b

20

4h24h2（第2题） x)dx 2[hx x] bh. b23b23

y x2 2

3、如图所示.解方程组

y 3x

得曲线y x2 2与曲线y 3x交点的横坐标x1 1，x2 2. 于是，所求的面积为 [(x 2) 3x]dx [3x (x2 2)]dx 1.

1

1

2

2

高中数学选修2-2课后习题答案[人教版]

4、证明：W

R h

R

G

MmMmR hMmh

. dr [ G] GR2

rrR(R h)

第一章 复习参考题A组（P65）

1、（1）3； （2）y 4. 2、（1）y

2sinxcosx 2x

； （2）y 3(x 2)2(3x 1)(5x 3)； 2

cosx

x

2x2x 2x2

（3）y 2lnxln2 ； （4）y . 4

x(2x 1)3、F

2GMm

. r3

4、（1）f (t) 0. 因为红茶的温度在下降.

（2）f (3) 4表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min的速度下降. 图略. 5

、因为f(x)

f (x)

.

当f (x)

0，即x 0时，f(x)单调递增；

当f (x) 0，即x 0时，f(x)单调递减.

6、因为f(x) x2 px q，所以f (x) 2x p. 当f (x) 2x p 0，即x 由

p

1时，f(x)有最小值. 2

p

1，得p 2. 又因为f(1) 1 2 q 4，所以q 5. 2

7、因为f(x) x(x c)2 x3 2cx2 c2x， 所以f (x) 3x2 4cx c2 (3x c)(x c). 当f (x) 0，即x

c

，或x c时，函数f(x) x(x c)2可能有极值. 3

由题意当x 2时，函数f(x) x(x c)2有极大值，所以c 0.

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