新版高中数学选修2-2习题：模块综合检测

模块综合检测

(时间:120分钟满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=()

A.-2-i

B.-2+i

C.2-i

D.2+i

答案C

2已知a<0,-1

A.a>ab>ab2

B.ab2>ab>a

C.ab>a>ab2

D.ab>ab2>a

解析∵-1b.

又a<0,∴a

答案D

3若复数(a∈R)是纯虚数,则复数2a+2i在复平面内对应的点在()

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

解析-=(a+1)+(1-a)i,

由题意得a=-1,所以2a+2i=-2+2i.

在复平面内对应的点为(-2,2),即在第二象限.

答案B

4已知直线y=kx+1与曲线y=x2+ax+b相切于点A(1,3),则a-b等于()

A.-4

B.-1

C.3

D.-2

解析因为点A(1,3)在直线y=kx+1上,所以k=2.

又y=x2+ax+b,则y'=2x+a,

所以k=y'|x=1,即2=2×1+a,所以a=0.

又点A(1,3)在曲线y=x2+ax+b上,

所以b=2,a-b=-2.故选D.

答案D

5下列推理正确的是()

A.因为m>n,m>p,所以m-n>m-p

B.如果不买彩票,那么就不能中大奖,因为你买了彩票,所以你一定能中大奖

C.如果m,n均为正实数,那么(m+n)2≥4mn

D.如果m,n均为正实数,那么lg m+lg n≥2

解析由m>n,m>p可能有m-n

答案C

6设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图,则导函数y=f'(x)的图象可能为()

解析如图,可知函数f(x)在区间(-∞,0),(0,a)和(b,+∞)内是增函数,f'(x)>0,y=f'(x)的图象在x轴的上方;函数f(x)在区间(a,b)内是减函数,f'(x)<0,y=f'(x)的图象在x轴的下方.

综上可知,D选项正确,故选D.

答案D

7用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)

=(n∈N*)时,第一步验证当n=1时,左边应取的项是()

A.1

B.1+2

C.1+2+3

D.1+2+3+4

解析等式左边的规律是从1一直加到n+3.

所以当n=1时,应为1+2+3+4.故选D.

答案D

8n个连续自然数按规律排成下表:

根据规律,从2 016到2 018,箭头的方向依次为()

A.↓→

B.→↑

C.↑→

D.→↓

解析由已知可得箭头变化的周期为4,故由得从2 016到2 018的方向为选项A中所示.

答案A

9给出以下命题:

(1)若f(x)d x>0,则f(x)>0;

(2)|sin x|d x=4;

(3)F(x)是以T为周期的函数,且F'(x)=f(x),则f(x)d x=f(x)d x.

其中正确命题的个数为()

A.1

B.2

C.3

D.0

解析(1)错误.如

-

x d x=x2

-

>0,

但f(x)=x在(-1,2)上不满足f(x)>0.

(2)正确.

|sin x|d x=sin x d x+(-sin x)d x=4.

(3)正确.

f(x)d x=F(x)=F(a)-F(0),

f(x)d x=F(x)

=F(a+T)-F(T)=F(a)-F(0).

答案B

10已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且当x>0时,f'(x)>0,g'(x)>0,则当x<0时() A.f'(x)>0,g'(x)>0 B.f'(x)>0,g'(x)<0

C.f'(x)<0,g'(x)>0

D.f'(x)<0,g'(x)<0

解析由题意可知y=f(x)是奇函数,y=g(x)是偶函数.因为当x>0时,y=f(x),y=g(x)是增函数,所以当x<0时,y=f(x)是增函数,y=g(x)是减函数,即当x<0时,f'(x)>0,g'(x)<0.

答案B

11下面给出了关于复数的四种类比推理:

①复数的加减法运算法则,可以类比多项式的加减法运算法则;

②由向量a的性质:|a|2=a2,可以类比得到复数z的性质:|z|2=z2;

③关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)有两个不同实根的条件是b2-4ac>0,类比可得关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈C)有两个不同复数根的条件是b2-4ac>0;

④由向量加法的几何意义,可以类比得到复数加法的几何意义.

其中类比得到的结论正确的是()

A.①③

B.②④

C.②③

D.①④

解析②中|z|2∈R,而z2不一定是实数.

③中复数集中不能比较大小,不能用b2-4ac来确定根的个数.

答案D

12如图,设T是直线x=-1,x=2,y=0以及过x=-1,x=2与y=x2交点的直线围成的直角梯形区域,S是T内函数y=x2图象下方的点构成的区域(图中阴影部分).向T中随机投一点,则该点落入S中的概率为()

A. B. C. D.

解析解方程组

-

得曲线y=x2与直线x=-1交点的纵坐标y1=1;

解方程组得曲线y=x2与直线x=2交点的纵坐标y2=4.

所以直角梯形区域T的面积为×[2-(-1)]=.

又因为阴影部分S的面积为

-

x2d x=x3

-

=3,所以向T中随机投一点,

则该点落入S中的概率为.

答案B

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)

13已知i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a

的值为.

答案-2

14已知函数f(x)=

-

---

在其图象上点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+1,则f(x)在点(-3,f(-3))处的切线方程为.

解析在y=2x+1中,

令x=1,得y=3,所以f(1)=3,

所以a+b+c=3.

对函数f(x)=ax2+bx+c求导得f'(x)=2ax+b,

则f'(1)=2a+b=2.

由已知得f(-3)=f(3-2)=f(1)=3,对函数f(x)=f(-x-2)求导得f'(x)=-f'(-x-2),

所以f'(-3)=-f'(3-2)=-2,

所以f(x)在点(-3,f(-3))处的切线方程为y-3=-2(x+3),即y=-2x-3.

答案y=-2x-3

15设等边三角形ABC的边长为a,P是△ABC内的任意一点,且P到三边AB,BC,CA的距离分别为d1,d2,d3,则有d1+d2+d3为定值 a.由这个平面图形的特性类比空间图形:设四面体ABCD的棱长均为

a,P是四面体ABCD内的任意一点,且点P到平面ABC,平面ABD,平面ACD,平面BCD的距离分别为d1,d2,d3,d4,则有d1+d2+d3+d4为定值.

解析在等边三角形ABC中,d1+d2+d3=a为△ABC的高,类比四面体中,d1+d2+d3+d4也应为四面体的高 a.

答案a

16若偶函数f(x)在x∈(0,+∞)时满足f'(x)>,且f(1)=0,则不等式≥0的解集是.

解析设g(x)=(x>0),

则g'(x)=->0,

所以g(x)在(0,+∞)内是增函数.

当x>0时,由≥0=,得x≥1;

当x<0时,-x>0,≥0?

-

≤0?-

-

≤0?-x≤1,所以-1≤x<0.

答案[-1,0)∪[1,+∞)

三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17(12分)若复数z1满足z1=i(2-z1)(i为虚数单位).

(1)求z1;

(2)求||;

(3)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.

分析先由已知条件求出复数z1,再利用复数模的定义及其几何意义求解.

解(1)由z1=i(2-z1),得z1==1+i.

(2)||=|z1|=.

(3)|z-z1|表示复数z与z1分别对应的点Z与Z1间的距离,Z在圆x2+y2=1上,Z1(1,1),显然Z,Z1间的最大距离为+1,即|z-z1|的最大值为+1.

18(12分)设两抛物线y=-x2+2x,y=x2所围成的图形为M,求M的面积.

分析先求得两抛物线的交点坐标,再作出草图,结合图形求解.

解解方程组

-

得两抛物线的交点坐标为(0,0),(1,1).

函数y=-x2+2x与y=x2在同一坐标平面内的图象如图所示,由图可知,图形M的面积为(-

x2+2x-x2)d x=(-2x2+2x)d x=-.

所以M的面积为.

19(12分)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且其中任意两边长均不相等.

若成等差数列,比较与的大小,并证明你的结论.

解大小关系为,

证明如下:要证,只需证,

因为a,b,c>0,所以只需证b2

因为成等差数列,

所以≥2.所以b2≤ac.

又a,b,c任意两边均不相等,所以b2

故所得大小关系正确.

20(12分)设△ABC的两个内角A,B所对的边分别为a,b,复数z1=a+b i,z2=cos A+icos B,若复数z1·z2为纯虚数,试判断△ABC的形状,并说明理由.

分析利用复数为纯虚数的条件,结合正弦定理及三角知识求解.

解△ABC为等腰三角形或直角三角形.

理由如下:因为z1=a+b i,z2=cos A+icos B,

所以z1·z2=(a cos A-b cos B)+i(a cos B+b cos A).

又z1·z2为纯虚数,所以

①

②

由①及正弦定理,得sin A cos A=sin B cos B,

即sin 2A=sin 2B.

因为A,B为△ABC的内角,

所以0<2A<2π,0<2B<2π,且2A+2B<2π.

所以2A=2B或2A=π-2B,

即A=B或A+B=.也就是A=B或C=.

由②及正弦定理,得sin A cos B+sin B cos A≠0,

即sin(A+B)≠0.

因为A,B是△ABC的内角,所以0

所以sin(A+B)≠0成立.

综上所述,知A=B或C=.

故△ABC为等腰三角形或直角三角形.

21(12分)已知函数f(x)=e x(ax2+a+1)(a∈R).

(1)若a=-1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)若f(x)≥对任意x∈[-2,-1]恒成立,求实数a的取值范围.

解(1)当a=-1时,f(x)=-x2e x,f(1)=-e.

f'(x)=-2x e x-x2e x.

因为切点为(1,-e),则k=f'(1)=-3e,所以f(x)在点(1,-e)处的切线方程为y=-3e x+2e.

(2)由题意得,f(-2)=e-2(4a+a+1)≥,

解得a≥.

f'(x)=e x(ax2+2ax+a+1)=e x[a(x+1)2+1].

因为a≥,所以f'(x)>0恒成立,

所以f(x)在[-2,-1]上单调递增.

要使f(x)≥恒成立,

则f(-2)=e-2(4a+a+1)≥,即a≥.

故实数a的取值范围是.

22(14分)设函数f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=3;

(3)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于.

(1)解由f(x)=(x-1)3-ax-b,可得f'(x)=3(x-1)2-a.

下面分两种情况讨论:

①当a≤0时,有f'(x)=3(x-1)2-a≥0恒成立,

所以f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).

②当a>0时,令f'(x)=0,解得x=1+,或x=1-.

当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

所以f(x)的单调递减区间为-,单调递增区间为--.

(2)证明因为f(x)存在极值点,所以由(1)知a>0,且x0≠1.由题意,得f'(x0)=3(x0-1)2-a=0,即(x0-1)2=,进而f(x0)=(x0-1)3-ax0-b=-x0--b.

又f(3-2x0)=(2-2x0)3-a(3-2x0)-b=(1-x0)+2ax0-3a-b=-x0--b=f(x0),且3-2x0≠x0,由题意及(1)知,存

在唯一实数x1满足f(x1)=f(x0),且x1≠x0,因此x1=3-2x0.所以x1+2x0=3.

(3)证明设g(x)在区间[0,2]上的最大值为M,max{x,y}表示x,y两数的最大值.下面分三种情况讨论:

①当a≥3时,1-≤0<2≤1+,由(1)知,f(x)在区间[0,2]上单调递减,所以f(x)在区间[0,2]上的取值范围为[f(2),f(0)],因此M=max{|f(2)|,|f(0)|}=max{|1-2a-b|,|-1-b|}=max{|a-1+(a+b)|,|a-1-

(a+b)|}=

-

--.

所以M=a-1+|a+b|≥2.

②当≤a<3时,1-≤0<1-<1+<2≤1+,由(1)和(2)知f(0)≥f-=f

,f(2)≤f=f-,

所以f(x)在区间[0,2]上的取值范围为-,因此

M=max-

=max-----

=max-

=+|a+b|≥.

③当0

由(1)和(2)知f(0)f=f-,

所以f(x)在区间[0,2]上的取值范围为[f(0),f(2)],因此M=max{|f(0)|,|f(2)|}=max{|-1-b|,|1-2a-b|} =max{|1-a+(a+b)|,|1-a-(a+b)|}

=1-a+|a+b|>.

综上所述,当a>0时,g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/37he.html