新课程人教版高中数学选修2-2课后习题解答

新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答

第一章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P6）

在第3 h和5 h时，原油温度的瞬时变化率分别为?1和3. 它说明在第3 h附近，原油温度大约以1 ℃／h的速度下降；在第5 h时，原油温度大约以3 ℃／h的速率上升. 练习（P8）

函数h(t)在t?t3附近单调递增，在t?t4附近单调递增. 并且，函数h(t)在t4附近比在t3附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P9） 函数r(V)?33V(0?V?5)的图象为 4?

根据图象，估算出r?(0.6)?0.3，r?(1.2)?0.2.

说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A组（P10）

W(t)?W1(t0??t)W2(t0)?W2(t0??t)1、在t0处，虽然W1(t0)?W2(t0)，然而10. ???t??t 所以，企业甲比企业乙治理的效率高.

说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.

?hh(1??t)?h(1)2、???4.9?t?3.3，所以，h?(1)??3.3.

?t?t 这说明运动员在t?1s附近以3.3 m／s的速度下降. 3、物体在第5 s的瞬时速度就是函数s(t)在t?5时的导数.

?ss(5??t)?s(5)???t?10，所以，s?(5)?10. ?t?t1?3?102?150 J. 2 因此，物体在第5 s时的瞬时速度为10 m／s，它在第5 s的动能Ek?4、设车轮转动的角度为?，时间为t，则??kt2(t?0).

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由题意可知，当t?0.8时，??2?. 所以k?25?25?2，于是??t. 88 车轮转动开始后第3.2 s时的瞬时角速度就是函数?(t)在t?3.2时的导数.

???(3.?2?t?)???t?t(3.2)?25??t?20?，所以??(3.2)?20?. 8 因此，车轮在开始转动后第3.2 s时的瞬时角速度为20?s?1. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.

5、由图可知，函数f(x)在x??5处切线的斜率大于零，所以函数在x??5附近单调递增. 同理可得，函数f(x)在x??4，?2，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.

6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数f?(x)的图象如图（1）所示；第二个函数的导数f?(x)恒大于零，并且随着x的增加，f?(x)的值也在增加；对于第三个函数，当x小于零时，f?(x)小于零，当x大于零时，f?(x)大于零，并且随着x的增加，f?(x)的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.

说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B组（P11）

1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度. 2、

说明：由给出的v(t)的信息获得s(t)的相关信息，并据此画出s(t)的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.

3、由（1）的题意可知，函数f(x)的图象在点(1,?5)处的切线斜率为?1，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.

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说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算 练习（P18）

1、f?(x)?2x?7，所以，f?(2)??3，f?(6)?5. 2、（1）y??1； （2）y??2ex； xln2 （3）y??10x4?6x； （4）y???3sinx?4cosx；

11x （5）y???sin； （6）y??.

332x?1习题1.2 A组（P18）

?SS(r??r)?S(r)1、??2?r??r，所以，S?(r)?lim(2?r??r)?2?r.

?r?0?r?r2、h?(t)??9.8t?6.5. 3、r?(V)?133. 234?V4、（1）y??3x2?1； （2）y??nxn?1ex?xnex； xln23x2sinx?x3cosx?cosx98?y?99(x?1)（3）y??； （4）； 2sinx（5）y???2e?x； （6）y??2sin(2x?5)?4xcos(2x?5). 5、f?(x)??8?22x. 由f?(x0)?4有 4??8?22x0，解得x0?32. 6、（1）y??lnx?1； （2）y?x?1. 7、y??x??1.

8、（1）氨气的散发速度A?(t)?500?ln0.834?0.834t.

（2）A?(7)??25.5，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少.

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习题1.2 B组（P19） 1、（1）

（2）当h越来越小时，y?sin(x?h)?sinx就越来越逼近函数y?cosx.

h（3）y?sinx的导数为y?cosx.

2、当y?0时，x?0. 所以函数图象与x轴交于点P(0,0). y???ex，所以y?x?0??1.

所以，曲线在点P处的切线的方程为y??x.

2、d?(t)??4sint. 所以，上午6:00时潮水的速度为?0.42m／h；上午9:00时潮水的速度为

?0.63m／h；中午12:00时潮水的速度为?0.83m／h；下午6:00时潮水的速度为?1.24m／h. 1．3导数在研究函数中的应用 练习（P26）

1、（1）因为f(x)?x2?2x?4，所以f?(x)?2x?2.

当f?(x)?0，即x?1时，函数f(x)?x2?2x?4单调递增； 当f?(x)?0，即x?1时，函数f(x)?x2?2x?4单调递减. （2）因为f(x)?ex?x，所以f?(x)?ex?1.

当f?(x)?0，即x?0时，函数f(x)?ex?x单调递增； 当f?(x)?0，即x?0时，函数f(x)?ex?x单调递减. （3）因为f(x)?3x?x3，所以f?(x)?3?3x2.

当f?(x)?0，即?1?x?1时，函数f(x)?3x?x3单调递增； 当f?(x)?0，即x??1或x?1时，函数f(x)?3x?x3单调递减. （4）因为f(x)?x3?x2?x，所以f?(x)?3x2?2x?1.

1 当f?(x)?0，即x??或x?1时，函数f(x)?x3?x2?x单调递增；

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1 当f?(x)?0，即??x?1时，函数f(x)?x3?x2?x单调递减.

32、

注：图象形状不唯一.

3、因为f(x)?ax2?bx?c(a?0)，所以f?(x)?2ax?b. （1）当a?0时，

b时，函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)单调递增； 2abf?(x)?0，即x??时，函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)单调递减.

2a（2）当a?0时，

bf?(x)?0，即x??时，函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)单调递增；

2ab时，函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)单调递减. f?(x)?0，即x??2af?(x)?0，即x??4、证明：因为f(x)?2x3?6x2?7，所以f?(x)?6x2?12x. 当x?(0,2)时，f?(x)?6x2?12x?0，

因此函数f(x)?2x3?6x2?7在(0,2)内是减函数. 练习（P29）

1、x2,x4是函数y?f(x)的极值点，

其中x?x2是函数y?f(x)的极大值点，x?x4是函数y?f(x)的极小值点. 2、（1）因为f(x)?6x2?x?2，所以f?(x)?12x?1. 令f?(x)?12x?1?0，得x? 当x?1. 1211时，f?(x)?0，f(x)单调递增；当x?时，f?(x)?0，f(x)单调递减. 1212111149 所以，当x?时，f(x)有极小值，并且极小值为f()?6?()2??2??.

1212121224 （2）因为f(x)?x3?27x，所以f?(x)?3x2?27. 令f?(x)?3x2?27?0，得x??3. 下面分两种情况讨论：

①当f?(x)?0，即x??3或x?3时；②当f?(x)?0，即?3?x?3时. 当x变化时，f?(x)，f(x)变化情况如下表：

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x f?(x) f(x) (??,?3) ＋ 单调递增 ?3 0 54 (?3,3) － 单调递减 3 0 (3,??) ＋ 单调递增 ?54 因此，当x??3时，f(x)有极大值，并且极大值为54；

当x?3时，f(x)有极小值，并且极小值为?54.

（3）因为f(x)?6?12x?x3，所以f?(x)?12?3x2. 令f?(x)?12?3x2?0，得x??2. 下面分两种情况讨论：

①当f?(x)?0，即?2?x?2时；②当f?(x)?0，即x??2或x?2时. 当x变化时，f?(x)，f(x)变化情况如下表：

x f?(x) f(x) (??,?2) － 单调递减 ?2 0 (?2,2) ＋ 单调递增 2 0 22 (2,??) － 单调递减 ?10 因此，当x??2时，f(x)有极小值，并且极小值为?10；

当x?2时，f(x)有极大值，并且极大值为22

（4）因为f(x)?3x?x3，所以f?(x)?3?3x2. 令f?(x)?3?3x2?0，得x??1. 下面分两种情况讨论：

①当f?(x)?0，即?1?x?1时；②当f?(x)?0，即x??1或x?1时. 当x变化时，f?(x)，f(x)变化情况如下表：

x f?(x) (??,?1) － 单调递减 ?1 0 (?1,1) ＋ 单调递增 1 0 2 (1,??) － 单调递减 f(x) ?2 因此，当x??1时，f(x)有极小值，并且极小值为?2；

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（第6页共25页）

当x?1时，f(x)有极大值，并且极大值为2

练习（P31）

（1）在[0,2]上，当x?1149时，f(x)?6x2?x?2有极小值，并且极小值为f()??. 121224 又由于f(0)??2，f(2)?20.

因此，函数f(x)?6x2?x?2在[0,2]上的最大值是20、最小值是?49. 24（2）在[?4,4]上，当x??3时，f(x)?x3?27x有极大值，并且极大值为f(?3)?54；

当x?3时，f(x)?x3?27x有极小值，并且极小值为f(3)??54；

又由于f(?4)?44，f(4)??44.

因此，函数f(x)?x3?27x在[?4,4]上的最大值是54、最小值是?54.

1（3）在[?,3]上，当x?2时，f(x)?6?12x?x3有极大值，并且极大值为f(2)?22.

3155 又由于f(?)?，f(3)?15.

327155 因此，函数f(x)?6?12x?x3在[?,3]上的最大值是22、最小值是.

327（4）在[2,3]上，函数f(x)?3x?x3无极值. 因为f(2)??2，f(3)??18.

因此，函数f(x)?3x?x3在[2,3]上的最大值是?2、最小值是?18. 习题1.3 A组（P31）

1、（1）因为f(x)??2x?1，所以f?(x)??2?0. 因此，函数f(x)??2x?1是单调递减函数.

（2）因为f(x)?x?cosx，x?(0,)，所以f?(x)?1?sinx?0，x?(0,). 22 因此，函数f(x)?x?cosx在(0,)上是单调递增函数. 2 （3）因为f(x)??2x?4，所以f?(x)??2?0. 因此，函数f(x)?2x?4是单调递减函数. （4）因为f(x)?2x3?4x，所以f?(x)?6x2?4?0. 因此，函数f(x)?2x3?4x是单调递增函数.

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2、（1）因为f(x)?x2?2x?4，所以f?(x)?2x?2.

当f?(x)?0，即x??1时，函数f(x)?x2?2x?4单调递增. 当f?(x)?0，即x??1时，函数f(x)?x2?2x?4单调递减. （2）因为f(x)?2x2?3x?3，所以f?(x)?4x?3.

3时，函数f(x)?2x2?3x?3单调递增. 43 当f?(x)?0，即x?时，函数f(x)?2x2?3x?3单调递减.

4 当f?(x)?0，即x?（3）因为f(x)?3x?x3，所以f?(x)?3?3x2?0. 因此，函数f(x)?3x?x3是单调递增函数. （4）因为f(x)?x3?x2?x，所以f?(x)?3x2?2x?1. 当f?(x)?0，即x??1或x? 当f?(x)?0，即?1?x?1时，函数f(x)?x3?x2?x单调递增. 31时，函数f(x)?x3?x2?x单调递减. 33、（1）图略. （2）加速度等于0. 4、（1）在x?x2处，导函数y?f?(x)有极大值； （2）在x?x1和x?x4处，导函数y?f?(x)有极小值； （3）在x?x3处，函数y?f(x)有极大值； （4）在x?x5处，函数y?f(x)有极小值. 5、（1）因为f(x)?6x2?x?2，所以f?(x)?12x?1. 令f?(x)?12x?1?0，得x?? 当x??1. 121时，f?(x)?0，f(x)单调递增； 121 当x??时，f?(x)?0，f(x)单调递减.

12111149 所以，并且极小值为f(?)?6?(?)2??2??. x??时，f(x)有极小值，

1212121224 （2）因为f(x)?x3?12x，所以f?(x)?3x2?12. 令f?(x)?3x2?12?0，得x??2. 下面分两种情况讨论：

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①当f?(x)?0，即x??2或x?2时；②当f?(x)?0，即?2?x?2时. 当x变化时，f?(x)，f(x)变化情况如下表：

x f?(x) f(x) (??,?2) ＋ 单调递增 ?2 0 16 (?2,2) － 单调递减 2 0 (2,??) ＋ 单调递增 ?16 因此，当x??2时，f(x)有极大值，并且极大值为16；

当x?2时，f(x)有极小值，并且极小值为?16.

（3）因为f(x)?6?12x?x3，所以f?(x)??12?3x2. 令f?(x)??12?3x2?0，得x??2. 下面分两种情况讨论：

①当f?(x)?0，即x??2或x?2时；②当f?(x)?0，即?2?x?2时. 当x变化时，f?(x)，f(x)变化情况如下表：

x f?(x) f(x) (??,?2) ＋ 单调递增 ?2 0 22 (?2,2) － 单调递减 2 0 (2,??) ＋ 单调递增 ?10 因此，当x??2时，f(x)有极大值，并且极大值为22；

当x?2时，f(x)有极小值，并且极小值为?10.

（4）因为f(x)?48x?x3，所以f?(x)?48?3x2. 令f?(x)?48?3x2?0，得x??4. 下面分两种情况讨论：

①当f?(x)?0，即x??2或x?2时；②当f?(x)?0，即?2?x?2时. 当x变化时，f?(x)，f(x)变化情况如下表：

x f?(x) (??,?4) － ?4 0 (?4,4) ＋ 4 0 (4,??) － 新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答

（第9页共25页）

f(x) 单调递减 ?128 单调递增 128 单调递减 因此，当x??4时，f(x)有极小值，并且极小值为?128；

当x?4时，f(x)有极大值，并且极大值为128.

6、（1）在[?1,1]上，当x??147时，函数f(x)?6x2?x?2有极小值，并且极小值为. 1224 由于f(?1)?7，f(1)?9，

所以，函数f(x)?6x2?x?2在[?1,1]上的最大值和最小值分别为9，

47. 24 （2）在[?3,3]上，当x??2时，函数f(x)?x3?12x有极大值，并且极大值为16； 当x?2时，函数f(x)?x3?12x有极小值，并且极小值为?16. 由于f(?3)?9，f(3)??9，

所以，函数f(x)?x3?12x在[?3,3]上的最大值和最小值分别为16，?16.

11 （3）在[?,1]上，函数f(x)?6?12x?x3在[?,1]上无极值.

331269 由于f(?)?，f(1)??5，

3271269 所以，函数f(x)?6?12x?x3在[?,1]上的最大值和最小值分别为，?5.

327 （4）当x?4时，f(x)有极大值，并且极大值为128.. 由于f(?3)??117，f(5)?115，

所以，函数f(x)?48x?x3在[?3,5]上的最大值和最小值分别为128，?117. 习题3.3 B组（P32）

1、（1）证明：设f(x)?sinx?x，x?(0,?). 因为f?(x)?cosx?1?0，x?(0,?) 所以f(x)?sinx?x在(0,?)内单调递减

因此f(x)?sinx?x?f(0)?0，x?(0,?)，即sinx?x，x?(0,?). 图略 （2）证明：设f(x)?x?x2，x?(0,1). 因为f?(x)?1?2x，x?(0,1)

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1 所以，当x?(0,)时，f?(x)?1?2x?0，f(x)单调递增，

2f(x)?x?x2?f(0)?0；

1 当x?(,1)时，f?(x)?1?2x?0，f(x)单调递减，

2f(x)?x?x2?f(1)?0；

11 又f()??0. 因此，x?x2?0，x?(0,1). 图略

24（3）证明：设f(x)?ex?1?x，x?0. 因为f?(x)?ex?1，x?0

所以，当x?0时，f?(x)?ex?1?0，f(x)单调递增，

f(x)?ex?1?x?f(0)?0；

当x?0时，f?(x)?ex?1?0，f(x)单调递减，

f(x)?ex?1?x?f(0)?0；

综上，ex?1?x，x?0. 图略 （4）证明：设f(x)?lnx?x，x?0. 因为f?(x)?1?1，x?0 x1?1?0，f(x)单调递增， x 所以，当0?x?1时，f?(x)?f(x)?lnx?x?f(1)??1?0；

当x?1时，f?(x)?1?1?0，f(x)单调递减， xf(x)?lnx?x?f(1)??1?0；

当x?1时，显然ln1?1. 因此，lnx?x. 由（3）可知，ex?x?1?x，x?0.

. 综上，lnx?x?ex，x?0 图略

2、（1）函数f(x)?ax3?bx2?cx?d的图象大致是个“双峰”图象，类似“

”或“

”

的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.

（2）因为f(x)?ax3?bx2?cx?d，所以f?(x)?3ax2?2bx?c.

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下面分类讨论：

当a?0时，分a?0和a?0两种情形： ①当a?0，且b2?3ac?0时，

设方程f?(x)?3ax2?2bx?c?0的两根分别为x1,x2，且x1?x2，

当f?(x)?3ax2?2bx?c?0，即x?x1或x?x2时，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递增； 当f?(x)?3ax2?2bx?c?0，即x1?x?x2时，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递减. 当a?0，且b2?3ac?0时，

此时f?(x)?3ax2?2bx?c?0，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递增. ②当a?0，且b2?3ac?0时，

设方程f?(x)?3ax2?2bx?c?0的两根分别为x1,x2，且x1?x2，

当f?(x)?3ax2?2bx?c?0，即x1?x?x2时，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递增； 当f?(x)?3ax2?2bx?c?0，即x?x1或x?x2时，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递减. 当a?0，且b2?3ac?0时，

此时f?(x)?3ax2?2bx?c?0，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递减 1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A组（P37）

1、设两段铁丝的长度分别为x，l?x，则这两个正方形的边长分别为

xl?x，，两个正方44xl?x21形的面积和为 S?f(x)?()2?()?(2x2?2lx?l2)，0?x?l.

4416l 令f?(x)?0，即4x?2l?0，x?.

2ll 当x?(0,)时，f?(x)?0；当x?(,l)时，f?(x)?0.

22l 因此，x?是函数f(x)的极小值点，也是最小值点.

2l 所以，当两段铁丝的长度分别是时，两个正方形的面积和最小.

22、如图所示，由于在边长为a的正方形铁片的四角截去 四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为a?2x，高为x.

a （1）无盖方盒的容积V(x)?(a?2x)2x，0?x?.

2（2）因为V(x)?4x3?4ax2?a2x，

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xa（第2题）

所以V?(x)?12x2?8ax?a2.

aa（舍去），或x?. 26aaa 当x?(0,)时，V?(x)?0；当x?(,)时，V?(x)?0.

662a 因此，x?是函数V(x)的极大值点，也是最大值点.

6a 所以，当x?时，无盖方盒的容积最大.

63、如图，设圆柱的高为h，底半径为R， 令V?(x)?0，得x?则表面积S?2?Rh?2?R2

RV. 2?RV2V2 因此，S(R)?2?R?2?R??2?R2，R?0. 2?RR 由V??R2h，得h? 令S?(R)??hV2V. ?4?R?0，解得R?32?R 当R?(0,3V)时，S?(R)?0； 2?当R?(3V,??)时，S?(R)?0. 2?3（第3题）

因此，R?VVV3?2?2R. 是函数S(R)的极小值点，也是最小值点. 此时，h?22??R2? 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.

1n2n24、证明：由于f(x)??(x?ai)，所以f?(x)??(x?ai).

ni?1ni?11n 令f?(x)?0，得x??ai，

ni?11n 可以得到，x??ai是函数f(x)的极小值点，也是最小值点.

ni?11n 这个结果说明，用n个数据的平均值?ai表示这个物体的长度是合理的，

ni?1 这就是最小二乘法的基本原理.

?x22x5、设矩形的底宽为xm，则半圆的半径为m，半圆的面积为m，

82新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答

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矩形的面积为a??x2a?xm2，矩形的另一边长为(?)m 8x8因此铁丝的长为l(x)??x2?x?8a2a?x?2a，0?x? ??(1?)x??x44x8a（负值舍去）. 4??令l?(x)?1??4?2a?0，得x?2x当x?(0,8a8a8a)时，l?(x)?0；当x?(,)时，l?(x)?0. 4??4???8a是函数l(x)的极小值点，也是最小值点. 4??8am时，所用材料最省. 4??因此，x?所以，当底宽为6、利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘单价. 由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润.

11 收入R?q?p?q(25?q)?25q?q2，

8811 利润L?R?C?(25q?q2)?(100?4q)??q2?21q?100，0?q?200.

881 求导得L???q?21

41 令L??0，即?q?21?0，q?84.

4 当q?(0,84)时，L??0；当q?(84,200)时，L??0；

因此，q?84是函数L的极大值点，也是最大值点.

所以，产量为84时，利润L最大,

习题1.4 B组（P37）

1、设每个房间每天的定价为x元，

x?1801那么宾馆利润L(x)?(50?)(x?20)??x2?70x?1360，180?x?680.

10101 令L?(x)??x?70?0，解得x?350.

5 当x?(180,350)时，L?(x)?0；当x?(350,680)时，L?(x)?0. 因此，x?350是函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x元／件时，

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b?x45b?4)?c(x?a)(5?x)，a?x?. bb48c4ac?5bc4a?5b 令L?(x)??x?. ?0，解得x?bb84a?5b4a?5b5b 当x?(a,)时，L?(x)?0；当x?(,)时，L?(x)?0.

8844a?5b 当x?是函数L(x)的极大值点，也是最大值点.

84a?5b 所以，销售价为元／件时，可获得最大利润.

81．5定积分的概念 练习（P42） 8. 3说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想. 练习（P45）

ii1i121、?si??si??v()?t?[?()2?2]???()2???，i?1,2,?,n.

nnnnnn利润L(x)?(x?a)(c?ci 于是 s???si???si???v()?t

ni?1i?1i?1i12??[?()2???]

nnni?1nnnn11n?121n21??()2????()??()??2

nnnnnn1??3[1?22???n2]?2

n1n(n?1)(2n?1)??3??2

n6111??(1?)(1?)?2

3n2n 取极值，得

n1i1115 s?lim?[v()]?lim?[?(1?)(1?)?2]?

n??n??n3n2n3i?1ni?1n说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.

222、km.

3说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤.

练习（P48）

?20x3dx?4. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.

从几何上看，表示由曲线y?x3与直线x?0，x?2，y?0所围成的曲边梯形的面积S?4.

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习题1.5 A组（P50） 1、（1）?(x?1)dx??[(1?1i?12100i?11)?1]??0.495； 100100i?11)?1]??0.499； 500500i?11)?1]??0.4995. 10001000 （2）?(x?1)dx??[(1?1i?12500 （3）?(x?1)dx??[(1?1i?121000说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.

2、距离的不足近似值为：18?1?12?1?7?1?3?1?0?1?40（m）； 距离的过剩近似值为：27?1?18?1?12?1?7?1?3?1?67（m）. 3、证明：令f(x)?1. 用分点 a?x0?x1???xi?1?xi???xn?b

将区间[a,b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi?1,xi]上任取一点?i(i?1,2,?,n) 作和式

?i?1nf(?i)?x??i?1nnb?a?b?a， n 从而

?ba1dx?lim?n??i?1b?a?b?a， n说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义，?101?x2dx表示由直线x?0，x?1，y?0以及曲线y?1?x210所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此?5、（1）?x3dx???101?x2dx??4.

1. 43由于在区间[?1,0]上x?0，所以定积分?x3dx表示由直线x?0，x??1，y?0和曲线

?10y?x3所围成的曲边梯形的面积的相反数.

11 （2）根据定积分的性质，得?xdx??xdx??x3dx????0.

?1?104413031由于在区间[?1,0]上x?0，在区间[0,1]上x?0，所以定积分?x3dx等于位于x轴上方的

?1331曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.

202115 （3）根据定积分的性质，得?x3dx??x3dx??x3dx???4?

?1?1044由于在区间[?1,0]上x3?0，在区间[0,2]上x3?0，所以定积分?x3dx等于位于x轴上方的

?12曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.

说明：在（3）中，由于x3在区间[?1,0]上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利

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用定义把区间[?1,2]分成n等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分?xdx化为?xdx??x3dx，这样，x333?1?10202在区间[?1,0]和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出?x3dx，

?10?20x3dx，进而得到定积分?x3dx的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.

?12在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.

习题1.5 B组（P50）

1、该物体在t?0到t?6（单位：s）之间走过的路程大约为145 m.

说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）v?9.81t.

i118?9 （2）过剩近似值：?9.81???9.81??； ?88.29（m）

2242i?1 不足近似值：?9.81?i?188i?1118?7??9.81???68.67（m） 2242 （3）?9.81tdt；

04?409.81tdt?78.48（m）.

3、（1）分割

在区间[0,l]上等间隔地插入n?1个分点，将它分成n个小区间：

ll2l(n?2)l[0,]，[,]，??，[,l]， nnnn(i?1)lil 记第i个区间为[，其长度为 ,]（i?1,2,?n）

nnil(i?1)ll?x???.

nnnll2l(n?2)l 把细棒在小段[0,]，[,]，??，[,l]上质量分别记作：

nnnn?m1,?m2,?,?mn，

则细棒的质量m???mi.

i?1n（2）近似代替

当n很大，即?x很小时，在小区间[(i?1)lil,]上，可以认为线密度?(x)?x2的值变nn(i?1)lil化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点?i?[,]处的函数

nn(i?1)lill值?(?i)??i2. 于是，细棒在小段[,]上质量 ?mi??(?i)?x??i2（i?1,2,?n）.

nnn新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答 （第17页共25页）

（3）求和

得细棒的质量 m???mi???(?i)?x???i2i?1i?1i?1nnnl. n（4）取极限

ll 细棒的质量 m?lim??i，所以m??x2dx..

0n??ni?12n1．6微积分基本定理

练习（P55）

（1）50； （2）（5）

42550； （3）?； （4）24；

33331?ln2； （6）； （7）0； （8）?2. 22说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题1.6 A组（P55）

40191、（1）； （2）??3ln2； （3）?ln3?ln2；

3223?217 （4）?； （5）?1； （6）e2?e?2ln2.

86说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.

?2、?sinxdx?[?cosx]30?2.

03?它表示位于x轴上方的两个曲边梯形的面积与x轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和.

习题1.6 B组（P55）

?11312x1e214??1、（1）原式＝[e]0??； （2）原式＝[sin2x]?；

22422262x36]1? （3）原式＝[. ln2ln2cosmx?1]????[cosm??cos(?m?)]?0；

??mm?sinmx?1 （2）?cosmxdx?????[sinm??sin(?m?)]?0；

??mm??1?cos2mxxsin2mx? （3）?sin2mxdx??dx?[?]????；

????224m??1?cos2mxxsin2mx?2 （4）?cosmxdx??dx?[?]????.

????224mtgggggg3、（1）s(t)??(1?e?kt)dt?[t?2e?kt]t0?t?2e?kt?2?49t?245e?0.2t?245.

0kkkkkk2、（1）?sinmxdx?[?? （2）由题意得 49t?245e?0.2t?245?5000.

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这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t的取值范围. 根据指数函数的性质，当t?0时，0?e?0.2t?1，从而 5000?49t?5245， 因此， 因此245e?0.2?500049?750005245. ?t?4949?0.2?524549?3.36?10，245e?1.24?10?7，

所以，1.24?10?7?245e?0.2t?3.36?10?7.

从而，在解方程49t?245e?0.2t?245?5000时，245e?0.2t可以忽略不计.

5245（s）. 49说明：B组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握.

1．7定积分的简单应用 练习（P58）

32（1）； （2）1.

3说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习（P59）

因此，.49t?245?5000，解之得 t?1、s??(2t?3)dt?[t2?3t]53?22（m）.

34342、W??(3x?4)dx?[x2?4x]0?40（J）.

02习题1.7 A组（P60）

91、（1）2； （2）.

2bqqqq2、W??k2dr?[?k]b. ?k?kaarrab53、令v(t)?0，即40?10t?0. 解得t?4. 即第4s时物体达到最大高度.

4 最大高度为 h??(40?10t)dt?[40t?5t2]0?80（m）.

044、设ts后两物体相遇，则

?t0(3t2?1)dt??10tdt?5，

0t 解之得t?5. 即A,B两物体5s后相遇. 此时，物体A离出发地的距离为

?50(3t2?1)dt?[t3?t]50?130（m）.

5、由F?kl，得10?0.01k. 解之得k?1000. 所做的功为 W??1000ldl?500l2?0.10?5（J）.

00.16、（1）令v(t)?5?t?55?0，解之得t?10. 因此，火车经过10s后完全停止. 1?t新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答

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551)dt?[5t?t2?55ln(1?t)]100?55ln11（m）. 01?t2y习题1.7 B组（P60） （2）s??(5?t?1、（1）?a10?aa2?x2dx表示圆x2?y2?a2与x轴所围成的上

a半圆的面积，因此?1?aa?xdx?22?a22

O1x （2）?[1?(x?1)2?x]dx表示圆(x?1)2?y2?1与直线

0y?x所围成的图形（如图所示）的面积，

因此，?[1?(x?1)?x]dx?012（第1（2）题）

??1241?1??1?1??. 242Oxhbyb3202、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的

b4h方程为y?ax2，则h?a?()2，所以a?2.

2b4h从而抛物线的方程为 y?2x2.

b 于是，抛物线拱的面积S?2?(h?b204h24h2（第2题） x)dx?2[hx?x]?bh. 22b3b3?y?x2?23、如图所示.解方程组?

?y?3x 得曲线y?x2?2与曲线y?3x交点的横坐标x1?1，x2?2. 于是，所求的面积为?[(x2?2)?3x]dx??[3x?(x2?2)]dx?1.

01124、证明：W??R?hRGMmMmR?hMmh. dr?[?G]?GRr2rR(R?h)第一章 复习参考题A组（P65）

1、（1）3； （2）y??4. 2、（1）y??2sinxcosx?2x2?y?3(x?2)(3x?1)(5x?3)； ； （2）2cosxx2x?2x22x（3）y??2lnxln2?； （4）y??. 4(2x?1)x3、F???2GMm. r34、（1）f?(t)?0. 因为红茶的温度在下降.

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（2）f?(3)??4表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min的速度下降. 图略. 5、因为f(x)?3x2，所以f?(x)?23x3.

当f?(x)?23x23x33?0，即x?0时，f(x)单调递增；

当f?(x)??0，即x?0时，f(x)单调递减.

6、因为f(x)?x2?px?q，所以f?(x)?2x?p. 当f?(x)?2x?p?0，即x?? 由?p?1时，f(x)有最小值. 2p?1，得p??2. 又因为f(1)?1?2?q?4，所以q?5. 27、因为f(x)?x(x?c)2?x3?2cx2?c2x， 所以f?(x)?3x2?4cx?c2?(3x?c)(x?c). 当f?(x)?0，即x?c，或x?c时，函数f(x)?x(x?c)2可能有极值. 3由题意当x?2时，函数f(x)?x(x?c)2有极大值，所以c?0. 由于

x f?(x) c(??,) 3＋ c 30 c(,c) 3－ c 0 (c,??) ＋ f(x) 所以，当x?单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 cc时，函数f(x)?x(x?c)2有极大值. 此时，?2，c?6. 338、设当点A的坐标为(a,0)时，?AOB的面积最小. 因为直线AB过点A(a,0)，P(1,1)，

y?0x?a1，即y??(x?a).

x?01?a1?aaa 当x?0时，y?，即点B的坐标是(0,).

a?1a?1 所以直线AB的方程为 因此，?AOB的面积S?AOB1aa2?S(a)?a?.

2a?12(a?1)新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答

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1a2?2a 令S?(a)?0，即S?(a)???0.

2(a?1)2 当a?0，或a?2时，S?(a)?0，a?0不合题意舍去. 由于

x f?(x) (0,2) － 单调递减 2 0 极小值 (2,??) ＋ 单调递增 f(x) 所以，当a?2，即直线AB的倾斜角为135?时，?AOB的面积最小，最小面积为2. 9、D.

10、设底面一边的长为xm，另一边的长为(x?0.5)m. 因为钢条长为14.8m. 所以，长方体容器的高为 设容器的容积为V，则

14.8?4x?4(x?0.5)12.8?8x??3.2?2x.

44V?V(x)?x(x?0.5)(3.2?2x)??2x3?2.2x2?1.6x，0?x?1.6.

令V?(x)?0，即?6x2?4.4x?1.6?0. 所以，x??4（舍去），或x?1. 15 当x?(0,1)时，V?(x)?0；当x?(1,1.6)时，V?(x)?0. 因此，x?1是函数V(x)在(0,1.6)的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m时，容器最大，最大容器为1.8 m3. 11、设旅游团人数为100?x时，

旅行社费用为y?f(x)?(100?x)(1000?5x)??5x2?500?100000(0?x?80). 令f?(x)?0，即?10x?500?0，x?50.

又f(0)?100000，f(80)?108000，f(50)?112500. 所以，x?50是函数f(x)的最大值点.

所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为xcm时，可使其打印面积最大.

623.7 因为打印纸的面积为623.7，长为x，所以宽为，

x623.7 打印面积S(x)?(x?2?2.54)(?2?3.17)

x新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答

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3168.396，5.08?x?98.38. x6.?342x3168.396623.7 令S?(x)?0，即6.34?，（负值舍去），?0?27.89. x?22.36x222.36 ?655.90?72 x?22.3是函数S(x)在(5.08,98.38)内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点. 6 所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm，22.36cm时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q头猪时，总利润为y元.

1 则 y?R(q)?20000?100q??q2?300q?20000(0?q?400,q?N).

2 令y??0，即?q?300?0，q?300.

当q?300时，y?25000；当q?400时，y?20000.

q?300是函数y(p)在(0,400]内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元. 14、（1）23?2； （2）2e?2； （3）1；

??22cosx?sinx2 （4）原式＝?2dx??2(cosx?sinx)dx?[sinx?cosx]0?0；

00cosx?sinx?? （5）原式＝?201?cosxx?sinx???22. dx?[]0?22415、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释. 16、22?2.

17、由F?kl，得0.049?0.01k. 解之得k?4.9.

l20.3 所做的功为 W??4.9ldl?4.9??0.1?0.196（J）

0.120.3第一章 复习参考题B组（P66）

1、（1）b?(t)?104?2?103t. 所以，细菌在t?5与t?10时的瞬时速度分别为0和?104. （2）当0?t?5时，b?(t)?0，所以细菌在增加；

当5?t?5?55时，b?(t)?0，所以细菌在减少.

2、设扇形的半径为r，中心角为?弧度时，扇形的面积为S.

1l 因为S??r2，l?2r??r，所以???2.

2r11l1lS??r2?(?2)r2?(lr?2r2)，0?r?.

22r22新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答

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令S??0，即l?4r?0，r? r?l，此时?为2弧度. 4ll是函数S(r)在(0,)内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点. 42l 所以，扇形的半径为、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.

43、设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，那么r2?h2?R2.

1111 因此，V??r2h??(R2?h2)h??R2h??h3，0?h?R.

333331 令V???R2??h2?0，解得h?R.

33 容易知道，h?3R是函数V(h)的极大值点，也是最大值点. 3 所以，当h?3R时，容积最大. 3 把h?36R. R代入r2?h2?R2，得r?3326?. 3 由R??2?r，得?? 所以，圆心角为??26?时，容积最大. 34、由于80?k?102，所以k?4. 5422020x???480 5xx9600 ?16x?，x?0

x9600 令y??0，即16?2?0，x?24.

x 设船速为xkm／h时，总费用为y，则y? 容易知道，x?24是函数y的极小值点，也是最小值点.

960020)?()?941（元／时） 2424 所以，船速约为24km／h时，总费用最少，此时每小时费用约为941元. 当x?24时，(16?24?390x2130(3?)??14，50?x?100 5、设汽车以xkm／h行驶时，行车的总费用y?x360x 令y??0，解得x?53（km／h）. 此时，y?114（元）

新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答

（第24页共25页）

容易得到，x?53是函数y的极小值点，也是最小值点.

因此，当x?53时，行车总费用最少.

所以，最经济的车速约为53km／h；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元.

x4426、原式＝?edx??e?xdx??exdx?[?e?x]0?2?e?0?e?e?2.

?2?204x04?y?kx7、解方程组 ? 2y?x?x?得，直线y?kx与抛物线y?x?x2交点的横坐标为x?0，1?k.

x2x31111 抛物线与x轴所围图形的面积S??(x?x)dx?[?]0???.

023236121?k1?kS2 由题设得 ??(x?x)dx??kxdx

002??1?k01?k2x31?k(x?x?kx)dx?[x?]0

232(1?k)3. ?634113又因为S?，所以(1?k)?. 于是k?1?. 262说明：本题也可以由面积相等直接得到?求出k的值. 但计算较为烦琐.

1?k0(x?x2?kx)dx??1?k0kxdx??1?k0(x?x2)dx，由此

新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答

第二章 推理与证明

2．1合情推理与演绎推理 练习（P77）

1、由a1?a2?a3?a4?1，猜想an?1.

2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.

3、设VO?PQ和VO?P2Q2R2分别是四面体O?PQ11R1和O?P2Q2R2的体积， 11R1新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答

（第25页共25页）

则

VO?PQ11R1VO?P2Q2R2?OP1OQ1OR1??. OP2OQ2OR2练习（P81） 1、略.

2、因为通项公式为an的数列{an}，

若

an?1?p，其中p是非零常数，则{an}是等比数列； ????????大前提 anan?1cqn?1??q； ???????????小前提 又因为cq?0，则q?0，则nancq 所以，通项公式为an?cqn(cq?0)的数列{an}是等比数列. ????????结论 3、由AD?BD，得到?ACD??BCD的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一

个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD?BD”，而AD与BD不在同一个三角形中. 习题2.1 A组（P83）

2(n?N?). 1、an?n?12、F?V?E?2. 3、当n?6时，2n?1?(n?1)2；当n?7时，2n?1?(n?1)2；当n?8时，2n?1?(n?1)2(n?N?).

111n2????4、?（n?2，且n?N?）.

A1A2An(n?2)?5、b1b2?bn?b1b2?b17?n（n?17，且n?N?）.

AD6、如图，作DE∥AB交BC于E.

因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 又因为AD∥BE，AB∥DE. 所以四边形ABED是平行四边形.

BE 因为平行四边形的对边相等.

（第6题）

又因为四边形ABED是平行四边形. 所以AB?DE.

因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，

又因为AB?DE，AB?DC, 所以DE?DC 因为等腰三角形的两底角是相等的.

又因为△DEC是等腰三角形, 所以?DEC??C 因为平行线的同位角相等

又因为?DEC与?B是平行线AB和DE的同位角, 所以?DEC??B 因为等于同角的两个角是相等的，

又因为?DEC??C，?DEC??B, 所以?B??C 习题2.1 B组（P84）

23456n?11、由S1??，S2??，S3??，S4??，S5??，猜想Sn??.

34567n?2新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答

（第26页共25页）

C2、略. 3、略. 2．2直接证明与间接证明 练习（P89）

1、因为cos4??sin4??(cos2??sin2?)(cos2??sin2?)?cos2?，所以，命题得证. 2、要证6?7?22?5，只需证(6?7)2?(22?5)2， 即证13?242?13?410，即证42?210，

只需要(42)2?(210)2，即证42?40，这是显然成立的. 所以，命题得证. 3、因为 (a2?b2)2?(a?b)2(a?b)2?(2sin?)2(2tan?)2?16sin2?tan2?， 又因为 16ab?16(tan??sin?)(tan??sin?)?16sin?(1?cos?)sin?(1?cos?) ?cos?cos?22sin2?(1?cos2?)sin?sin? ?16?16?16sin2?tan2?， 22cos?cos? 从而(a2?b2)2?16ab，所以，命题成立.

说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.

练习（P91）

1、假设?B不是锐角，则?B?90?. 因此?C??B?90??90??180?. 这与三角形的内角和等于180°矛盾.

所以，假设不成立. 从而，?B一定是锐角. 2、假设2，3，5成等差数列，则23?2?5. 所以(23)2?(2?5)2，化简得5?210，从而52?(210)2，即25?40， 这是不可能的. 所以，假设不成立. 从而，2，3，5不可能成等差数列.

说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点. 习题2.2 A组（P91）

b1、由于a?0，因此方程至少有一个跟x?.

a 假设方程不止一个根，则至少有两个根，不妨设x1,x2是它的两个不同的根，

则 ax1?b ①

ax2?b ②

①－②得

a(x1?x2)?0

因为x1?x2，所以x1?x2?0，从而a?0，这与已知条件矛盾，故假设不成立.

新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答

（第27页共25页）

2、因为 (1?tanA)(1?tanB)?2

展开得 1?tanA?tanB?tanAtanB?2，即tanA?tanB?1?tanAtanB. ①

cosAcosB?sinAsinBcos(A?B) 假设1?tanAtanB?0，则?0，即?0

cosAcosBcosAcosB 所以cos(A?B)?0.

因为A，B都是锐角，所以0?A?B??，从而A?B? 因此1?tanAtanB?0.

tanA?tanB ①式变形得 ?1， 即tan(A?B)?1.

1?tanAtanB 又因为0?A?B??，所以A?B??2，与已知矛盾.

?4说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明.

1?tan?3、因为 ?1，所以1?2tan??0，从而2sin??cos??0.

2?tan? 另一方面，要证 3sin2???4cos2?，

只要证6sin?cos???4(cos2??sin2?) 即证 2sin2??3sin?cos??2cos2??0， 即证 (2si?n?.

c?os)?(s?in s?2?co由2sin??cos??0可得，(2sin??cos?)(sin??2cos?)?0，于是命题得证.

说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证

明的思路更清晰.

2114、因为a,b,c的倒数成等差数列，所以??.

bac 假设B??2不成立，即B??2，则B是?ABC的最大内角，

所以b?a,b?c（在三角形中，大角对大边）， 从而

11112211????. 这与??矛盾. acbbbbac所以，假设不成立，因此，B?习题2.2 B组（P91）

?2.

s21、要证s?2a，由于s?2ab，所以只需要s?，即证b?s.

b2 因为s?1(a?b?c)，所以只需要2b?a?b?c，即证b?a?c. 2 由于a,b,c为一个三角形的三条边，所以上式成立. 于是原命题成立.

新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答

（第28页共25页）

2、由已知条件得 b2?ac ① 2x?a?b，2y?b?c ② 要证

ac??2，只要证ay?cx?2xy，只要证2ay?2cx?4xy xy由①②，得 2ay?2cx?a(b?c)?c(a?b)?ab?2ac?bc，

2 4xy?(a?b)(b?c)?a?bb?a?cb?c?2ab，?a cbc所以，2ay?2cx?4xy，于是命题得证. 3、由 tan(???)?2tan? 得

sin(???)2sin?，即sin(???)cos??2cos(???)sin?. ??① ?cos(???)cos? 要证 3sin??sin(2???)

即证 3sin[(???)??]?sin[(???)??]

即证 3[sin(???)cos??cos(???)sin?]?sin(???)cos??cos(???)sin? 化简得sin(???)cos??2cos(???)sin?，这就是①式.

所以，命题成立.

说明：用综合法和分析法证明命题时，经常需要把两者结合起来使用. 2．3数学归纳法 练习（P95）

1、先证明：首项是a1，公差是d的等差数列的通项公式是an?a1?(n?1)d. （1）当n?1时，左边＝a1，右边＝a1?(1?1)d?a1，

因此，左边＝右边. 所以，当n?1时命题成立. （2）假设当n?k时，命题成立，即ak?a1?(k?1)d. 那么，ak?1?ak?d?a1?(k?1)d?d?ak?[(k?1)?1]d. 所以，当n?k?1时，命题也成立.

根据（1）和（2），可知命题对任何n?N?都成立.

n(n?1)d. 21?(1?1) （1）当n?1时，左边＝S1?a1，右边＝1?a1?d?a1，

2 再证明：该数列的前n项和的公式是Sn?na1?新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答

（第29页共25页）

因此，左边＝右边. 所以，当n?1时命题成立.

k(k?1) （2）假设当n?k时，命题成立，即Sk?ka1?d.

2k(k?1)那么，Sk?1?Sk?ak?1?ka1?d?a1?[(k?1)?1]d

2(k?1)?(k?1)a1?k[?1]d

2(k?1)k?(k?1)a1?d

2 所以，当n?k?1时，命题也成立.

根据（1）和（2），可知命题对任何n?N?都成立. 2、略.

习题2.3 A组（P96） 1、（1）略.

（2）证明：①当n?1时，左边＝1，右边＝12?1，

因此，左边＝右边. 所以，当n?1时，等式成立.

②假设当n?k时等式成立，即1?3?5???(2k?1)?k2. 那么，1?3?5???(2k?1)?(2k?1)?k2?(2k?1)?(k?1)2. 所以，当n?k?1时，等式也成立. 根据①和②，可知等式对任何n?N?都成立.

（3）略.

112、S1??1?，

1?22111111 S2???(1?)?(?)?1，?

1?22?32233111111111 S3????(1?)?(?)?(?)?1. ?1?22?33?42233441 由此猜想：Sn?1?.

n?1 下面我们用数学归纳法证明这个猜想.

111111 （1）当n?1时，左边＝S1??1??，右边＝1??1??，

1?222n?122因此，左边＝右边. 所以，当n?1时，猜想成立. （2）假设当n?k时，猜想成立，即

11111. ??????1?1?22?33?4k(k?1)k?1 那么，

1111111. ???????1??1?22?33?4k(k?1)(k?1)(k?2)k?1(k?1)(k?2)?1?新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答

（第30页共25页）

11(1?) k?1k?2

?1? 所以，当n?k?1时，猜想也成立.

根据（1）和（2），可知猜想对任何n?N?都成立. 习题2.3 B组（P96） 1、略

1k?2?11 ??1?k?1k?2k?212、证明：（1）当n?1时，左边＝1?1?1，右边＝?1?(1?1)?(1?2)?1，

6因此，左边＝右边. 所以，当n?1时，等式成立. （2）假设当n?k时，等式成立，

1即1?k?2?(k?1)?3?(k?2)???k?1?k(k?1)(k?2).

6 那么，1?(k?1)?2?[(k?1)?1]?3?[(k?1)?2]???(k?1)?1.

?[1?k?2?(k?1)?3?(k?2)???k?1]?[1?2?3???(k?1)]

11?k(k?1)(k?2)?(k?1)(k?2) 621?(k?1)(k?2)(k?3) 6 所以，当n?k?1时，等式也成立.

根据（1）和（2），可知等式对任何n?N?都成立.

第二章 复习参考题A组（P98）

1、图略，共有n(n?1)?1（n?N?）个圆圈.

n个???2、33?3（n?N?）.

3、因为f(2)?f(1)2?4，所以f(1)?2，f(3)?f(2)f(1)?8，f(4)?f(3)f(1)?16?? 猜想f(n)?2n.

4、运算的结果总等于1.

5、如图，设O是四面体A?BCD内任意一点，连结AO，BO，CO，DO并延长交对面于A?，B?，C?，D?，则

A?OB?OAO?CO?D ???1?

???AABBCCD?D用“体积法”证明： C'?OB??OAOCO?D ???D'??AABBC?CD?DB' ?VO?BCDV?VA?BCDV?O?BVVCDACDA???OCV VDAB?DAB??ODABCABCBA'D新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答 （第31页共25页）

C（第5题）

?VA?BCD?1

VA?BCD6、要证 (1?tanA)(1?tanB)?2

只需证 1?tanA?tanB?tanAtanB?2 即证 tan taA?taBn??1tAanB5 由A?B??，得tan(A?B)?1. ①

4?tanA?tanB又因为A?B?k??，所以?1，变形即得①式. 所以，命题得证.

21?tanAtanB7、证明：（1）当n?1时，左边＝?1，右边＝(?1)1?1??1，

因此，左边＝右边. 所以，当n?1时，等式成立.

（2）假设当n?k时，等式成立，

即?1?3?5???(?1)k(2k?1)?(?1)kk.

那么，?1?3?5???(?1)k(2k?1)?(?1)k?1[2(k?1)?1].

?(?1)kk?(?1)k?1[2(k?1)?1] ?(?1)k?1[?k?2(k?1)?1] ?(?1)k?1(k?1)

所以，当n?k?1时，等式也成立.

根据（1）和（2），可知等式对任何n?N?都成立.

第二章 复习参考题B组（P47）

1、（1）25条线段，16部分； （2）n2条线段；

1（3）最多将圆分割成n(n?1)?1部分.

2 下面用数学归纳法证明这个结论. ①当n?1时，结论成立.

②假设当n?k时，结论成立，

1即：k条线段，两两相交，最多将圆分割成k(k?1)?1部分

21 当n?k?1时，其中的k条线段l1,l2,?,lk两两相交，最多将圆分割成k(k?1)?1

2部分，第k?1条线段ak?1与线段l1,l2,?,lk都相交，最多增加k?1个部

分，因此，k?1条线段，两两相交，最多将圆分割成

11 k(k?1)?1?(k?1)?(k?1)(k?2)?1 部分

22新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答 （第32页共25页）

所以，当n?k?1时，结论也成立.

根据①和②，可知结论对任何n?N?都成立. 2、要证 cos4??4cos4??3

因为 cos4??4cos4??cos(2?2?)?4cos(2?2?) ?1?2sin22??4?(1?2sin22?) ?1?8si2n? ?1?8si2n?c2o?s??4?(128?sin2? cos(?12))]s?in?)?4?[12?8si?n2?( 1sin 只需证 1?8sin2?(1?sin2?)?4?[1?8sin2?(1?sin2?)]?3 由已知条件，得 sin??sin??cos?，sin2??sin?cos?， 2 代入上式的左端，得 1?8sin2?(1?sin2?)?4?[1?8sin2?(1?sin2?)] ??3?8sin?cos?(1?sin?cos?)?32sin2?(1?sin2?)

??3?8sin?cos??8sin2?cos2??2(1?2sin?cos?)(3?2sin?cos?) ??3?8si?n ?3 因此，cos4??4cos4??3

c?os?28s?in2?co?s?26?8s2in??cos? 8?sincos新课程标准数学选修2—2第三章课后习题解答

第三章 数系的扩充与复数的引入

3．1数系的扩充和复数的概念 练习（P104）

1、实部分别是?2，2，2，0，0，0； 21 虚部分别是，1，0，?3，1，0.

32、2?7，0.618，0，i2是实数；

2i，i，5i?8，3?92i，i(1?3)，2?2i是虚数； 7新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答

（第33页共25页）

2i，i，i(1?3)是纯虚数. 7?x?y?2x?3y?x?43、由?，得?.

?y?1?2y?1?y??2练习（P105）

1、A：4?3i，B：3?3i，C：?3?2i，D：4?3i，

511E：??3i，F：，G：5i，H：?5i.

222、略. 3、略.

习题3.1 A组（P106）

?3x?2y?17?x?11、（1）由?，得?.

5x?y??2y?7???x?y?3?0?x?4 （2）由?，得?

x?4?0y??1??2、（1）当m2?3m?0，即m?0或m?3时，所给复数是实数. （2）当m2?3m?0，即m?0或m?3时，所给复数是虚数.

2??m?5m?6?0 （3）当?2，即m?2时，所给复数是纯虚数.

??m?3m?03、（1）存在，例如?2?i，?2?3i，等等.

1 （2）存在，例如1?2i，??2i，等等.

2 （3）存在，只能是?2i.

4、（1）点P在第一象限. （2）点P在第二象限. （3）点P位于原点或虚轴的下半轴上. （4）点P位于实轴下方.

2??m?8m?15?05、（1）当?2，即?2?m?3或5?m?7时，复数z对应的点位于第四象限.

??m?5m?14?022???m?8m?15?0?m?8m?15?0 （2）当?2，或?2，即m??2或3?m?5或m?7时，复数z???m?5m?14?0?m?5m?14?0对应的点位于第一、三象限.

（3）当m2?8m?15?m2?5m?14，即m?6、（1）2?i； （2）?2?i.

习题3.1 B组（P55）

1、复数z对应的点位于如图所示的图形上. 2、由已知，设z?a?3i（a?R）.

新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答

（第34页共25页）

29时，复数z对应的点位于直线y?x上. 3 则 a2?(3)2?4 解得 a??1 所以 z??1?3i 3、因为 z1?12?22?5， z2?(2)2?(3)2?5 z3?(3)2?(?2)2?5 z4?(?2)2?12?5 所以，Z1

，Z2，Z3，Z4这4个点都在以原点为圆心，半径为5的圆上.

3．2复数代数形式的四则运算 练习（P109） 1、（1）5； （2）2?2i； （3）?2?2i； （4）0. 2、略. 练习（P111） 1、（1）?18?21i； （2）6?17i； （3）?20?15i； 2、（1）?5； （2）?2i； （3）5. 3、（1）i； （2）?i； （3）1?i； （4）?1?3i. 习题3.2 A组（P112）

751、（1）9?3i； （2）?2?3i； （3）?i； （4）0.3?0.2i.

612????2、AB对应的复数为(?3?4i)?(6?5i)??9?i.

???? BA对应的复数为9?i.

3、3?5i.

???? 向量BA对应的复数为(1?3i)?(?i)?1?4i.

???? 向量BC对应的复数为(2?i)?(?i)?2?2i.

???? 于是向量BD对应的复数为(1?4i)?(2?2i)?3?6i， 点D对应的复数为(?i)?(3?6i)?3?5i. 4、（1）?21?24i； （2）?32?i； （3）?3?13?113i. ?i； （4）??222224181345、（1）??i； （2）?i； （3）?i； （4）1?38i.

55656525256、由2(2i?3)2?p(2i?3)?q?0，得(10?3p?q)?(2p?24)i?0.

新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答

（第35页共25页）

?10?3p?q?0于是，有?，解得 p?12，q?26.

2p?24?0?习题3.2 B组（P112） 1、（1）x2?4?(x?2i)(x?2i).

（2）a4?b4?(a?b)(a?b)(a?bi)(a?bi), 2、略.

第三章 复习参考题A组（P116）

1、（1）A； （2）B； （3）D； （4）C.

2、由已知，设z?bi（b?R且b?0）； 则(z?2)2?8i?(bi?2)2?8i?(4?b2)?(4b?8)i.

2?4?b?02 由(z?2)?8i是纯虚数，得?，解得b??2. 因此z??2i.

4b?8?0?3、由已知，可得z1?z2?8?6i，z1z2?55?10i. 又因为

zz111z1?z255?10i5????5?i. ，所以z?12?zz1z2z1z2z1?z28?6i2第三章 复习参考题B组（P116）

1、设z?a?bi（a,b?R），则z?a?bi. 由(1?2i)z?4?3i，得(1?2i)(a?bi)?4?3i， 化简，得(a?2b)?(2a?b)i?4?3i.

?a?2b?4 根据复数相等的条件，有?，解得a?2，b?1.

?2a?b?3 于是z?2?i，z?2?i，则2、（1）

z2?i34???i. z2?i55i4 1 i1 i2 i3 i5 i6 i7 i8 1 i ?1 ?i i ?1 ?i （2）对任意n?N，有i4n?1?i，i4n?2??1，i4n?3??i，i4n?4?1.

?m?2cos?3、由z1?z2，得 ? 2?4?m???3sin? 消去m可得??4sin2??3sin?

新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答

（第36页共25页）

39?4(sin??)2?.

816 由于?1?sin??1，可得

新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答

（第37页共25页）

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