【高考调研】2015高中数学(人教A版)选修2-2课后巩固：1-3 导数的应用2

1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)(

)

A．无极大值点，有四个极小值点

B．有三个极大值点、两个极小极值点

C．有两个极大值点、两个极小值点

D．有四个极大值点、无极小值点

答案 C

2．f′(x0)＝0是f(x)在点x0处取极值的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案 B

解析 f′(x0)＝0不能保证f′(x)在x0左右两边异号，故不能保证有极值，f(x)在x0处有极值必定f′(x0)＝0.

13．函数y＝ax＋bx取得极大值和极小值时的x的值分别为0和332

则( )

A．a－2b＝0 B．2a－b＝0

C．2a＋b＝0

答案 D D．a＋2b＝0

解析 y′＝3ax2＋2bx，据题意，

10、3是方程3ax2＋2bx＝0的两根，

2b1∴－3a＝3 ∴a＋2b＝0.

4．设a<b，则函数y＝(x－a)2·(x－b)的图像可能是(

)

答案 C

解析 f′(x)＝(x－a)(3x－2b－a)．

令f′(x)＝0 (x－a)(3x－2b－a)＝0，

2b＋a得x1＝a，x2＝32b＋a∵a<b，∴a<3<b.∴x1<x2.

2b＋af′(x)>0 x3或x<a.

2b＋af′(x)<0 a<x<3函数的大致图像如右：

5．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的减区间是( )

A．(－3,0)和(3，＋∞)

C．(－∞，－3)和(3，＋∞)

答案 D

解析 ∵[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，

∴由题意知，当x<0时，[f(x)g(x)]′>0.

∴f(x)g(x)在(－∞，0)上是增函数．

又g(－3)＝0，∴f(－3)g(－3)＝0.

∴x∈(－∞，－3)时，f(x)g(x)<0；

x∈(－3,0)时，f(x)g(x)>0.

又∵f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，

∴f(x)g(x)在R上是奇函数，其图像关于原点对称．

∴当x>0且x∈(0,3)时，f(x)g(x)<0.

6．设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)． B．(－3,0)和(0,3) D．(－∞，－3)和(0,3)

(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；

(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．

解析 (1)由已知可得f′(x)＝3x2－3a.因为曲线y＝

f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，

所以 f′ 2 ＝0， 3 4－a ＝0，

f 2 ＝8， 即 8－6a＋b＝8.

解得a＝4，b＝24.

(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．

当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时f(x)没有极值点．

当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝a.

当x∈(a)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增； 当x∈(a，a)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；

当x∈a，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

此时xa是f(x)的极大值点，xa是f(x)的极小值点．函数

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