高中数学选修2-2教材分析

高中数学选修2-2教材内容分析

选修2-2 的主要内容：本书的主要内容包括“导数及其应用”、“推理与证明”、“数系的扩充与复数的引入”等三章内容.第一章是主要讲的是导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的性态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力．因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题．

第二章将介绍推理中的合情推理和演绎推理．数学发现的过程往往包含合情推理的成分，在人类发明、创造活动中，合情推理也扮演了重要角色．因此，分析合情推理的过程，对于了解数学发现或其他发现的过程是非常重要的．合情推理常用的思维方法是归纳和类比．归纳是由部分到整体、特殊到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理．与合情推理一样，演绎推理也是学生在学习和生活中经常使用的一种推理形式．特别地，数学证明主要通过演绎推理来进行．演绎推理的一般模式是“三段论”。

第三章学习的主要内容是数系的扩充和复数的概念，复数代数形式的四则运算。复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为学生进一步学习数学打下了基础。通过本章的学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。

全书约需44课时，具体课时分配如下：

第一章 导数及其应用 约24课时

第二章 推理与证明 约12课时

第三章 数系的扩充与复数的引入 约8课时

本模块的地位和内容：

在本书模块中，我们学习导数及其应用，推理与证明，数系的扩充与复数的引入 。

1. 导数是高中数学新教材中新增的知识之一,体现了现代数学思想，在研究函数性质时，有独到之处。纵观2010年各地的新课程高考试卷，大多数以一个大题的形式考察这部分内容。内容主要是与单调性、最值、切线这三方面有关。今年是我省新教材实施的第一届高考，虽然去年已然考察这方面的内容，但作为新教材的新增内容，仍应引起我们足够的重视。复习中注重导数在解决科技、经济、社会中的某些实际问题中的应用。导数这一部分知识可操作性比较强,教学中尽量避免把解题的步骤和方法直接给学生,而应发挥学生的主体作用,让学生在知识的学习过程中自己总结方法和步骤.如在学习导数的概念时，通过曲线的切线以用高一物理中的瞬时速度来引出导数的定义，学生通过这一过程的学习更能明确导数的应用。

2. “推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．推理一般指合情推理和演绎推理，证明通常包括数学中的演绎证明和实验、实践的证明．“标准”将“推理与证明”专设一章，这在我国高中数学课程中还是首次．通过本章的教学，不仅可以帮助学生进一步把握以前学过的证明方法，也可以让他们了解猜测的一般方法。在本套教科书中，“推理与证明”分别是《选修2-2》中的一章，二者在内容和要求上基本相似，但不尽相同．相似之处是都将通过生活实例和数学实例，介绍合情推理和演绎推理的涵义，以及如何利用合情推理去猜测和发现一些新结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向，利用演绎推理去进行一些简单的推理，证明一些数学结论，等等．本章还将介绍证明的两类基本方法——直接证明和间接证明，通过数学实例说明它们的思考过程和特点等．不同之处是《选修2-2》设置的例题、练习和习题的难度要求较高，而且在《选修2-2》中，学生还将了解数学归纳法的原理和简单应用．

3. 章学习的主要内容是数系的扩充和复数的概念，复数代数形式的四则运算。复数的引入是中

学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为学生进一步学习数学打下了基础。通过本章的学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。 本模块的总目标:

本书的主要内容包括“导数及其应用”、“推理与证明”、“数系的扩充与复数的引入”等三章内容.

1. 微积分的创立是数学发展中的里程碑，他的发展和广泛应用开创了向进代数学过度的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数，定积分都是微积分的核心概念，他们有极其丰富的实际北京和广泛应用。在本章中，学生将通过大量实例，经历有平均变化率到瞬时变换率刻画现实问题的过程，理解导数的概念，了解导数在探究函数的单调性，极值等性质中的作用。学生还将经历求解曲边梯形的面积，汽车行走的路程等问题的过程，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习诶积分打下基础。通过本章的学习，学生讲体会导数的思想及其丰富的内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。

2. “推理和证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括和情推理和演绎推理。和情推理是根据以后的事实和正确的结论（包括定义，公理，定理等），实验和实践的结果，以及个人的实验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳，类比是和情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中，和情推理具有猜测和发现的结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义，巩俐和定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明和实验，实践证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确使用推理规则得出结论。在本章中，学生讲通过对以学的知识的回顾，进一步体会和情推理，演绎推理以及二者之间的关系和差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明的方法（如分析法，综合法，数学归纳法）和间接证明法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯。

3. 数系的扩充和复数的引入：本章学习的主要内容是数系的扩充和复数的引入，初步概念，复数代数形式的四则运算。复数的引入时中学阶段熟悉的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的该娘有一个初步的，完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础通过本章学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。

选修2-2的重点：导数概念的实际背景,导数概念的数学表述.正确运用导数公式以及四则运算法则求一些初等函数的导数.利用导数,结合函数图象研究函数的性质，能利用导数解决某些简单的优化问题.体会解决定积分问题的基本思想方法.能利用微积分基本定理解决定积分的应用问题。归纳推理、类比推理和演绎推理.综合法，分析法和反证法的思考过程和特点.数学归纳法，对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念。复数代数形式的加，减，乘，除的运算法则，运算律，以及附属的加，减运算的几何意义。

选修2-2的难点：对导数概念及其表达式，正确区分导函数与函数在某一点处的导数; 求某些复合函数的导数时如何认清哪些是中间变量. 正确区分函数在某点附近的极值与函数在某个区间上的最值. 在解决优化问题时, 对实际问题情境的认识和理解.如何求得大和与小和,它们是否趋于同一极限. 认识原函数与导函数的区别与联系,

知道求原函数与导函数是一对互逆运算. 认识原函数与导函数的区别与联系,正确决定被积函数. 类比推理和演绎推理的基本模式. 分析法和反证法的思考过程和特点. 对数学归纳法原理本质的理解.复数的减法，除法的运算法则。由于学生对数系扩充的知识部首席，因此对了解从实数到复数数系的过程有困难，由于对理解复数是一对有序的实数不习惯，一次对复数该您的理解也有一定困难。

本模块的结构，教法和学法：

人教社A版教材选修2-2供理工科学生选用,包括“导数及其应用”、“推理与证明”、“数系的扩充与复数的引入”等三章内容。第一章 导数及其应用，第二章 推理与证明，第三章 数系的扩充与复数的引入。

第一章 导数及其应用：1.1 变化率与导，1.2 导数的计算 ，1.3 导数在研究函数中的应用，1.4 生活中的优化问题举例，1.5 定积分的概念，1.6 微积分基本定理，1.7 定积分的简单应用。

第二章 推理与证明：2.1 合情推理与演绎推理，2.2 直接证明与间接证明，2.3 数学归纳法。

第三章：数系的扩充与复数的引入：3.1.1数系的扩充与和复数的概念，3.1.2复数的几何意义， 3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义，3.2.2复数代数形式的乘除运算。

教法：1.教学资源分析.

1）教师资源：同头课的教师交流，确定重难点，及通读考试要求，精心选自练习题。

2）学情分析：这部分内容公式多，需要学生的记忆，提灵活，变化多，对学生来说是个重点。

3） 设备资源：多媒体，数学参考，资源。

2.教学对策：1. 学习导数的知识，从纵向看，要重视与前面特别是高一所学的函数知识的联系；从横向看，要重视与物理知识的联系。函数的单调性，高一学过，但使用的是初等方法，让学生将初等方法与求导的方法加以对比，就可以对学习导数的必要性有更深刻的认识了。此外，我们所学的导数是用极限方法定义的，因此，本章与前一章“极限”，联系也十分密切。在本章之前，学生已经学习过一些函数的知识。像函数的图象、指数函数、对数函数等，这些内容都是学习导数与微分的基础，将实际问题中的数量关系用函数表示出来，更是解决诸如求一些实际问题的最大值与最小值的关键所在。

2. 推理教学的重点在于通过具体实例理解合情推理和演绎推理，而不追求对概念的抽象表述。 证明的教学应引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性，对证明的技巧性不宜作过高的要求． 讲清楚数学归纳法的原理，但只需用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 注意文理差异．

学法：高中数学学法的培养是数学教学方法改革的需求，是培养学生学习能力市里的需要能更好的体现学生为主题的理念，家伙死奥引导学生恒却认识高中数学的特点，价钱数学思维的训练，转变为“以教师为主导”的学习迷失，引导学生正确欧诺个高中数学学法，以促进高中数学教学质量的提高。

第一章：导数极其应用

导数是高中数学新教材中新增的知识之一,体现了现代数学思想，在研究函数性质时，有独到之处。纵观2010年各地的新课程高考试卷，大多数以一个大题的形式考察这部分内容。内容主要是与单调性、最值、切线这三方面有关。今年是我省新教材实施的第一届高考，虽然去年已然考察这方面的内容，但作为新教材的新增内容，仍应引起我们足够的重视。复习中注重导数在解决科技、经济、社会中的某些实际问题中的应用。

教学目标：微积分的创立是数学发展中的里程碑，他的发展和广泛应用开创了向进代数学过度的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数，定积分都是微积分的核心概念，他们有极其丰富和广泛应用。在本章中，学生将通过大量实例，经历有平均变化率到瞬时变换率刻画现实问题的过程，理解导数的概念，了解导数在探究函数的单调性，极值等性质中的作用。学生还将经历求解曲边梯形的面积，汽车行走的路程等问题的过程，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习诶积分打下基础。通过本章的学习，学生讲体会导数的思想及其丰富的内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。

本章的重点：导数概念的实际背景,导数概念的数学表述.正确运用导数公式以及四则运算法则求一些初等函数的导数.利用导数,结合函数图象研究函数的性质，能利用导数解决某些简单的优化问题.体会解决定积分问题的基本思想方法.能利用微积分基本定理解决定积分的应用问题。

本章难点：对导数概念及其表达式，正确区分导函数与函数在某一点处的导数; 求某些复合函数的导数时如何认清哪些是中间变量. 正确区分函数在某点附近的极值与函数在某个区间上的最值. 在解决优化问题时, 对实际问题情境的认识和理解.如何求得大和与小和,它们是否趋于同一极限. 认识原函数与导函数的区别与联系, 知道求原函数与导函数是一对互逆运算. 认识原函数与导函数的区别与联系,正确决定被积函数.

本章课时的安排：本章教学时间约为24课时，具体分配如下：

1.1 变化率与导数 约4课时

1.2 导数的计算 约3课时

1.3 导数在研究函数中的应用 约4课时

1.4 生活中的优化问题举例 约3课时

1.5 定积分的概念 约4课时

1.6 微积分基本定理 约2课时

1.7 定积分的简单应用 约2课时

小结与复习 约2课时

本章的主要内容：

1. 导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的性态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力．因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题．平均变化率、瞬时变化率、导数、导函数、导数的几何意

义. 通过对实例的分析,让学生经历由平均变化率到瞬时变化率的认识过程.认识导数概念的核心是变化率.通过函数图象中由割线到切线的变化,认识导数的几何意义.学习求函数在某一点处的导数的方法,掌握几个常用的基本初等函数的导数公式,掌握导数的四则运算法则,并能运用导数公式以及四则运算法则求某些函数的导数.

利用导数研究函数的性质,包括利用导数确定函数的单调性,求函数的极值,确定函数

在闭区间上的最大值和最小值，通过曲边梯形的面积、变速运动的路程等问题,说明定积分产生的背景,概括计算定积分的基本步骤,提出定积分的概念、意义和符号表示.阐述微积分基本定理的背景和意义,学习常用函数的积分公式, 解决简单的定积分问题.

教法与学法：简化有关求导公式的推演过程,重视导数在研究函数以及在生活中优化问题的应用。重视导数及积分概念的产生的实际背景,淡化利用极限语言对导数概念进行形式化表述。注重概念产生的文化内涵,注意分别对人文科学和理工科的学生提出不同的要求.虽然用配方法求二次函数极值比较简单,但是它只是特殊情况下的特殊解法,并不能解决三次函数等一般函数的极值问题.而导数是解决函数极值问题从而是解决优化问题的一种通法.利用导数研究函数的单调性更加方便,快捷.从物理、几何两个侧面认识定积分产生的背景,有利于学生对概念的理解.在教学中要总结三类不同问题中的共同思想方法和步骤,有利于渗透算法的思想,也有利于认识定积分的本质,从而用极限的观点把求导的思想和求定积分的思想统一起来,有助于建立导数与积分的联系,为微积分基本定理作有益的铺垫. 定积分的值可能取正值,也可能取负值,还可能是0.当对应的曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值取正值,且等于曲边梯形的面积; 当对应的曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值取负值,且等于曲边梯形的面积的相反数；当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为0,且等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.

第二章：推理与证明

“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．推理一般指合情推理和演绎推理，证明通常包括数学中的演绎证明和实验、实践的证明．“标准”将“推理与证明”专设一章，这在我国高中数学课程中还是首次．通过本章的教学，不仅可以帮助学生进一步把握以前学过的证明方法，也可以让他们了解猜测的一般方法．“推理和证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括和情推理和演绎推理。和情推理是根据以后的事

实和正确的结论（包括定义，公理，定理等），实验和实践的结果，以及个人的实验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳，类比是和情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中，和情推理具有猜测和发现的结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义，巩俐和定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明和实验，实践证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确使用推理规则得出结论。在本章中，学生讲通过对以学的知识的回顾，进一步体会和情推理，演绎推理以及二者之间的关系和差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明的方法（如分析法，综合法，数学归纳法）和间接证明法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯。

课程学习目标： 1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．

2.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理．

3.通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．

直接证明与间接证明：1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．

2. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．

3.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题（仅对理科学生）

4. 通过对实例的介绍（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想．

本章重点：归纳推理、类比推理和演绎推理.综合法，分析法和反证法的思考过程和特点. 数学归纳法。

本章难点：类比推理和演绎推理的基本模式. 分析法和反证法的思考过程和特点. 对数学归纳法原理本质的理解.复数的减法，除法的运算法则。

课时安排：本章安排了三个小节，教学时间约需10课时。

2.1 合情推理与演绎推理 约3课时

2.2 直接证明与间接证明 约3课时

2.3 数学归纳法 约2课时

小结与复习 约2课时.

本章内容：对内容安排的说明

1.本章将介绍推理中的合情推理和演绎推理．数学发现的过程往往包含合情推理的成分，在人类发明、创造活动中，合情推理也扮演了重要角色．因此，分析合情推理的过程，对于了解数学发现或其他发现的过程是非常重要的．合情推理常用的思维方法是归纳和类比．归纳是由部分到整体、特殊到一般的推理，类比是由特殊到特殊

的推理．与合情推理一样，演绎推理也是学生在学习和生活中经常使用的一种推理形式．特别地，数学证明主要通过演绎推理来进行．演绎推理的一般模式是“三段论”．

2.数学内部规律的正确性必须通过逻辑推理的方式证明，这正是数学区别于其他学科的显著特点．本章学习两类基本的数学证明方法：直接证明与间接证明．这部分的内容实际上是对学生已学过的基本证明方法的总结，因此学生并不陌生．本章介绍了直接证明的两种基本方法：综合法和分析法，间接证明的一种基本方法：反证法．

4. 数学归纳法是理科学生学习的内容，它也是一种直接证明的方法．与以往教科书

不同的是，本章设置了相应的内容以帮助学生了解数学归纳法的原理．

教法与学法：

对教学的几个建议：1. 推理教学的重点在于通过具体实例理解合情推理和演绎推理，而不追求对概念的抽象表述．

2. 证明的教学应引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性，对证明的技巧性不宜作过高的要求．

3. 讲清楚数学归纳法的原理，但只需用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

4. 注意文理差异．

学法：1.准确把握教学要求。2.价钱相关知识的联系性，强调数学思想方法。3.恰当使用信息技术。

第三章：数系的扩充与复数的引入

本章学习的主要内容是数系的扩充和复数的概念，复数代数形式的四则运算。复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为学生进一步学习数学打下了基础。通过本章的学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。

课程目标：1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

3.了解复数的代数表示法及其几何意义。

4.了解复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。 本章的重点：复数的概念，复数的代数形式，复数的向量表示。引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念。复数代数形式的加，减，乘，除的运算法则，运算律，以及附属的加，减运算的几何意义。

本章的难点：复数的减法，除法的运算法则。由于学生对数系扩充的知识部首席，因此对了解从实数到复数数系的过程有困难，由于对理解复数是一对有序的实数不习惯，一次对复数该您的理解也有一定困难。

本章课时的安排：本章教学时间月6课时，具体分配如下：

3.1.1数系的扩充与和复数的概念 约1课时

3.1.2复数的几何意义 约1课时

3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义 约1课时

3.2.2复数代数形式的乘除运算 约1课时

小结 约1课时

本章的主要内容：

本章内容分为2节：3.1 数系的扩充和复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算。

（1）复数系是在上述系的基础上扩充儿得到的，为了帮助学生了解抚仙湖的必要性，了解实际要求和数学内部的矛盾在 数系扩充中的作用，本章从一个思考为他开始，在问题情境中简单介绍了由实数系扩到复数系的过程，这样不仅可以激发学生的学习复数的欲望，而且也可以比较自然的引入复数的学习之中。

复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是 围绕复数的代数表示展开的吗，序数单位，实部，虚部的命题，复数相等的充要条件，以及虚数，春虚数鞥概念的理解麦兜应促进对复数实质的理解，即复数手实际上一有序的实数对。

类比实数可以用数轴上的点表示，把复数在直角坐标系中表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的集合表示。用复平面内的点或平面向量表示复数，不仅使抽象的复数娱乐直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合。

（2）复数代数形式的四个运算，及复数代数形式的加法，减法，乘法和除法，重点是加法和乘法。复数加法和乘法的法则是规定的，其合理性便现在；这种规定与实数的加法，乘法的法则是一致的，而且实数的加法，乘法的有关运算仍然成立的。 教法与学法：

数系的扩充和复数的概念，重点在于基本概念的理解，了解人类数集发展的历史，培养开拓创新的意识，锻炼解决问题的能力，学会多角度思考问题，初次接触虚数，要从感性上认识把握，掌握基本原则，关于习题，关键在于把握方法，分清题型，抓住本质。

学法：1.准确把握教学要求。2.价钱相关知识的联系性，强调数学思想方法。3.恰当使用信息技术。

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