中考数学旋转相似模型专题

专题复习 动态旋转问题

图形的旋转是近几年中考必考的内容，运用旋转的全等变换以及旋转性质，证明线段相等、和差倍分关系、求线段最值以及角相等、和差倍分关系等都是近几年中考常见的题型。

破解策略

1、旋转要素： 2、旋转性质： 3、旋转基本图形：

如图，将△OAB绕点O逆时针旋转至△OA′B′，则有结论：

例1、 如图，△ABC中，∠ACB=90°, ∠CAB=30°,将△ABC绕点C旋转角度ａ，得到

△ECD,CD交AB于点P，连接AD,若△PAD为等腰三角形，则旋转角度ａ= 例2、如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，若AE=1，FC=1.5则△DEF的面积为 ．

例3、问题情境：两张矩形纸片ABCD和CEFG完全相同，且AB=CE,AD>AB.

操作发现：（1）如图1，点D在CG上，连接AC,CF,GE,AG,则AC和CF有何数量关系和位置关系？并说

相似模型（一）（讲义）

? 课前预习

1. 请证明以下结论：

①如图 1，在△ABC 中，DE∥BC，求证：△ADE∽△ABC． ②如图 2，在△ABC 中，∠B=∠AED，求证：△AED∽△ABC． ③如图 3，在△ABC 中，∠B=∠ACD，求证：△ACD∽△ABC． ④如图 4，直线 AB，CD 相交于点 O，连接 AC，BD，且 AC∥BD，求证：△AOC∽△BOD． ⑤如图 5，直线 AB，CD 相交于点 O，连接 AC，BD，∠B= ∠C，求证：△AOC∽△DOB． ⑥如图 6，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D， 求证：△ADB∽△CDA，△ADB∽△CAB．

A A D D B 图 1

A D B 图 3

B A

C E C

E B

图 2

C O C D O A B

C 图 4

A D 图 5

B D 图 6

C

1

? 知识点睛

1. 六种相似基本模型：

A A A

D D E E

D

B C B C B C DE∥BC ∠B=∠AED

∠B?∠ACD A 型 D B C B A

O O A C A D

B

D C

AC∥BD

∠B?∠C

AD 是 Rt△ABC 斜边上的高X 型 母子型

全等与旋转模型归纳 考察点1：手拉手模型

手拉手模型，亦称为共顶点等腰型，一定会出现旋转型全等。 其衍生模型有等腰对补角模型和等腰旁等角模型 模型回顾： 一 . 绕点旋转

三．等腰旁等角型

四 等腰对补角型

1. 如图，已知△ABC为等边三角形，D是BC下方一点，连AD. 若∠BDC=120°，求证：

（1）∠ADB=∠ADC=60°（2）DA=DB+DC.

2. 如图，已知△ABC为等边三角形，D是BC下方一点，连AD. 若∠ADB=60°，求证：

（1）∠ADC=60°（2）DA=DB+DC.

3. 如图，已知△ABC，AB=AC，∠ADB=∠ADC=60°，求证：（1）△ABC为等边三角形，

（2）DA=DB+DC.

考察点2：”脚拉脚”模型。构造辅助线思路是先中线倍长，再证明旋转全等。

如图AB=AC，CD=ED，∠BAC+∠CDE=180°，若P为BE中点，求证： AP?DP

如图，∠A+∠C=180°，E，F分别在BC,CD上，且AB=BE，AD=DF，M为EF中点，求证：DM⊥BM

如图，正方形ABCD，等腰Rt?BEF，?BEF=90?。G为DF中点，连接EG，C

（备战中考）江苏省2012年中考数学深度复习讲义（教案+

中考真题+模拟试题+单元测试）图形的相似

?考点聚焦

1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．

2．探索并掌握三角形相似的性质及条件，?并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．

3．掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小． 4．掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，?会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置． ?备考兵法

1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，?要注意基本图形的应用，如“A型”“X型”“母子型”等． 2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，?关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意． 3．用直角坐标系中的点描述物体的位置，?用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意训练． ?识记巩固

1．相似形：形状相同，大小不一定相等的图形称为______． 2．相似多边形的特征：对应边______，对应角______．

3．成比例线段：如果四条线段a，b

旋转提升专题 知识点一 旋转构造全等 几何变换——旋转?利用旋转思想构造辅助线 ??旋转中的基本图形（一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”) 等边三角形共顶点 共顶点等腰直角三角形 共顶点等腰三角形 共顶点等腰三角形 以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化 二利用旋转思想构造辅助线 （1）根据相等的边先找出被旋转的三角形 （2）根据对应边找出旋转角度 （3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形 三 旋转变换前后具有以下性质： （1）对应线段相等，对应角相等 （2）对应点位置的排列次序相同 （3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角?． 【例题精讲】 例1.在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P，若SABCD=25，求DP的长。 例2.如图，四边形ABCD是正方形，?ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60?得到BN，连接AM、CM、EN． ⑴求证：?AMB≌?ENB ⑵①当M点在何处时，AM?CM的值最小； ②当M点在何处时，AM?BM?CM的值最小，并说明理由

旋转提升专题 知识点一 旋转构造全等 几何变换——旋转?利用旋转思想构造辅助线 ??旋转中的基本图形（一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”) 等边三角形共顶点 共顶点等腰直角三角形 共顶点等腰三角形 共顶点等腰三角形 以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化 二利用旋转思想构造辅助线 （1）根据相等的边先找出被旋转的三角形 （2）根据对应边找出旋转角度 （3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形 三 旋转变换前后具有以下性质： （1）对应线段相等，对应角相等 （2）对应点位置的排列次序相同 （3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角?． 【例题精讲】 例1.在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P，若SABCD=25，求DP的长。 例2.如图，四边形ABCD是正方形，?ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60?得到BN，连接AM、CM、EN． ⑴求证：?AMB≌?ENB ⑵①当M点在何处时，AM?CM的值最小； ②当M点在何处时，AM?BM?CM的值最小，并说明理由

旋转提升专题 知识点一 旋转构造全等 几何变换——旋转?利用旋转思想构造辅助线 ??旋转中的基本图形（一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”) 等边三角形共顶点 共顶点等腰直角三角形 共顶点等腰三角形 共顶点等腰三角形 以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化 二利用旋转思想构造辅助线 （1）根据相等的边先找出被旋转的三角形 （2）根据对应边找出旋转角度 （3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形 三 旋转变换前后具有以下性质： （1）对应线段相等，对应角相等 （2）对应点位置的排列次序相同 （3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角?． 【例题精讲】 例1.在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P，若SABCD=25，求DP的长。 例2.如图，四边形ABCD是正方形，?ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60?得到BN，连接AM、CM、EN． ⑴求证：?AMB≌?ENB ⑵①当M点在何处时，AM?CM的值最小； ②当M点在何处时，AM?BM?CM的值最小，并说明理由

1 / 9 专题15 角含半角模型

破题策略

1． 等腰直角三角形角含半角

如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D ，E 在BC 上且∠DAE ＝45°

（1） △BAE ∽△ADE ∽△CDA

（2）BD 2＋CE 2＝DE 2． 45°E A

B C

D

证明（1）易得∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠EAB ，

所以△BAE ∽△ADE ∽△CD A ．

（2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACF ，连结EF ．

45°F

E A

B C

D

则∠EAF ＝∠EAD ＝45°，AF ＝AD ，

所以△ADE ∽△FAE （ SAS ）．

所以DE ＝ EF ．

而CF ＝BD ，∠FCE ＝∠FCA ＋∠ACE ＝90°，

所以BD 2＋ CE 2＝CF 2＋CE 2＝EF 2＝DE 2．

方法二（翻折法）：如图2，作点B 关于AD 的对称点F ，连结AF ，DF ，EF ．

45°

E A

B C D

因为∠BAD ＋∠EAC ＝∠DAF ＋∠EAF ，

又因为∠BAD ＝∠DAF ，

则∠FAE ＝∠CAE ，AF ＝AB ＝AC ，

所以△FAE ∽△CAE （SAS ）．

所以EF ＝ E C ．

2 / 9 而DF

专题19《中点模型》破解策略

1．倍长中线

在△ABC中．M为BC边的中点．

M E C

B

A

E M

C

A

B

D

图1 图2

（1）如图1，连结AM并延长至点F，使得ME＝AM．连结CE．则△ABM≌△ECM．

（2）如图2，点D在AB边上，连结DM并延长至点E．使得MF＝DM．连结CE，则△BDM ≌△CEM，

遇到线段的中点问题，常借助倍长中线的方法还原中心对称图形，利用“8”字形全等将题中条件集中，达到解题的目的，这种方法是最常用的也是最重要的方法．

2．构造中位线

在△ABC中．D为AB边的中点，

A

B D E

C C F

A

B

D

图1 图2

（1）如图1，取AC边的中点E，连结DE．则DE∥BC，且DF＝1

2

B C．

（2）如图2．延长BC至点F．使得CF＝B C．连结CD，AF．则DC∥AF，且DC＝1

2 AE．

请预览后下载！

三角形的中位线从位置关系和数量关系两方面将将图形中分散的线段关系集中起来．通常需要再找一个中点来构造中位线，或者倍长某线段构造中位线，

3．等腰三角形“三线合一”

如图，在△ABC中，若AB＝A C．通常取底边BC的中点D．则AD⊥BC，且AD平分∠BA C．事实上，

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF⊥BD 交BC 于F，连接DF，G 为DF 中点，连接EG，CG.

(1) 求证：EG=CG；

(2) 将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转 45°,如图②所示,取DF 中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3) 将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).

【答案】解：（1）CG=EG

（2）（1）中结论没有发生变化，即EG=CG．

证明：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．

在△DAG与△DCG中，

∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴△DAG≌△DCG．

∴ AG=CG．

在△DMG与△FNG中，

∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，

∴△DMG≌△FNG．

∴ MG=NG

在矩形AENM中，AM=EN．

在Rt△AMG 与Rt△ENG中，

∵ AM=EN， MG=NG，

∴△AMG≌△ENG．

∴ AG=EG

∴ EG=CG．

（3）（