数学建模讲座

学建模知识讲座

一、 数学建模思路

数学产生于实践，服务于实践，数学的学习也应该最终服务于实践，对于数学的教学，应该是“与其让学生学习数学，不如让学生学习数学化。”

几个概念：

数学化：就是运用数学思想和方法，来分析和研究客观世界的种种现象，并加以整理和组织的过程。

数学模型：就是针对或参照某种事物系统的特征或数量关系，采用形式化数学语言，概括地、近似地表示出的一种数学结构，这种结构应该是借助于数学概念、符号刻划出来的某种系统的纯数学关系结构。

数学建模：就是设计并对数学模型求解检验的过程。 对于应用问题的数学建模思路框图为：

现实世界的 问题或情况 是否符合实际 修改、深化、扩展 实际 问题 的解 简 回译、检验 化 数学方法、 计算工具

现实模型 翻译 数学模型

例一：买水果现象的数学证明 平时与大人上街实水果时，一个习以为常的，一代教诲一代的做法是：在市场上实桃子、梨子、苹果时，一般总是先从大的挑选，这种购买方法是合算的，但为什么呢？恐怕很少人会去考虑过。我们下面用建立数学模型的知识解释这种做法的合理性。

实际模型：考虑到外界对这三种水果表皮的污染，众食用卫生的角度出发，一般是去皮后食用，买这三种水果是按重量付钱的，而无论它们的大小如何，其各自的比重是一样的，则重量相等必定体积相等。因此在体积一定的条件下，当然是水果的表面积（皮）之和越小越好。

数学模型：是否重量相等的桃子、梨子、苹果，个数越少，其表面积之和越小呢？于是我们将这三种水果近似看作成球体，并且暂不考虑核对食用体积的影响来研究它。从而就三种水果中某种而言，其对应的数学模型为：

设甲、乙两堆体积相等的球，甲堆有球m个，半径分别为rnn?m）1,r2,?,rm,乙堆有球（

个，半径分别为R1,R2,?,Rn,其中Ri?max?r,2,?,n，求证：甲堆球的1,r2,?,rm?,i?1表面积之和不小于乙堆球的表面积之和。

模型求解：该模型求解实际上是在两堆体积相等的前提下即：

4433?(r13?r23???rn3)??(R13?R2???Rm) 33其中Ri?max?r,2,?,n，证明不等式： 1,r2,?,rm?,i?12224?(r12?r22???rm)?4?(R12?R2???Rn)。

下面用反证法予以证明。

222222假设：4?(r1?r2???rm)?4?(R1?R2???Rn)，则有：

222(r12?r22???rm)?(R12?R2???Rn)，而

232222(R12???Rn)(R1???Rn)?R13???Rn?R1(R2?R3???Rn)???Rn(R12???Rn?1)又因为有：RiRj?RiRj?Ri?Rj,(i,j?N,i?j)，所以有

23333(R12???Rn)(R1???Rn)?R13???Rn?(n?1)(R13?R2?R3???Rn)，即有： 33R13?R2???Rn?2233122(R1???Rn)(R1???Rn) n12?(r12???rm)(R1???Rn) n2?(r12???rm)min{R1,?,Rn} 2?(r12???rm)max{r1,r2,?,rm} 3 ?r13???rm即有：?(R1???Rn)?433343?(r13???rm)，这与题设矛盾，于是有： 32224?(r12?r22???rm)?4?(R12?R2???Rn)

模型检验：这一结果与我们实际做法吻合。

模型深化：据日常经验可视其与桃子、梨子、苹果的大小成正比，则一定重量的桃子、梨子、苹果其核亦应相等。因此买这三种水果先从最大的挑选起是不会吃亏的。按它们的大小定价也是合理的。如果它们不去皮食用，那么上述讨论无意义。且上述模型及研究对于球形去皮食用水果都是适用的。

二、 数学建模需要的数学知识

大学生数学建模竞赛活动在我国开展是近十年的事，发展却非常迅速，目前不少学校的数学、应用数学、计算数学等专业将数学建模作为必修或限定选修课程，而且一些莫斯科、

经济管理、师范等院校也将它列为选修课。哪到底数学建模需要什么数学知识呢？是否一定要一些非常高深的数学知识呢？非也，数学建模的目的是解决实际问题，大的方面分可分为初等数学和高等数学知识，而高等数学知识需要的一般是微积分知识、概率统计知识、图论、数学规划等。据不同的实际问题，使用不同的数学知识。下面用两个例子说明。

例一 物体高度的测定 大家已经知道，今年5月22日11点08分，中国重测珠峰高度测量登山队员成功登顶，随后进行了一个多小时的测量工作，获得第一组数据。准确测量结果，有望在今年8月公布。珠峰高度引起关注的原因有以下三个：第一，珠峰是世界最高峰，地球第三极。第二，长期以来，围绕珠峰高度的争论一直存在，不同历史时期、不同国家以不同手段测量珠峰，出现了不同的结果，这些数据相差最高达2米左右。第三，珠峰地区的地壳运动至今仍然非常活跃，珠峰高度的变化及相关测量数据的变动对研究地壳运动具有重要意义。如何测量珠峰高度，用什么技术？实际上其原理就是用到初等数学，我们以测量上海东方明珠电视塔的高度为例说明。

为测量上海东方明珠电视塔的高度，小明在学校操场的一直线上选择A、B、C三点，且AB=BC=60（米），分别在A、B、C三点观察塔的最高点，测得仰角为45?,54.2?,60?，小明身高为1.5（米），试问上海东方明珠电视塔的高度为多少？

D

A

B

E

C F

这类问题属初等几何问题，涉及三角形、一元二次方程、三角函数、空间图形计算，可通过几何关系求解其中高度，即DF的长度。

设塔高为h,DE?X，则h?X?EF?X?1.5，由已知条件有：

AE?X,BE?Xctg54.2?,CE?再由余弦定理可得关系式：

X 3X2X222120??X60??X2ctg54.2?33 ?XX2?120?2?60?332化简整理得： X2?72004?2ctg254.2?3,即有：X?156.75

例二 为什么田间害虫越杀越多？

生态学上称一种生物的群体为种群，当一个自然环境中有两个或两个以上种群生存时，种群之间的关系是下面三种情况之一，相互竞争、相互依存、弱肉强食。

相互竞争：兔子和羊竞争吃草 相互依存：植物和昆虫，植物可以独立生存，昆虫的授粉作用又可以提高植物的增长率，而以花粉为食物的昆虫却不能离开植物单独生存。

弱肉强食：种群甲靠丰富的天然资源生长，而种群乙则靠掠食甲为生。如地中海里的食用鱼和鲨鱼。

田间害虫越杀越多这个现象可用弱肉强食模型（Volterra模型）解释。Volterra模型产生的背景如下：意大利生物学家D?Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，从第一次世界大战期间地中海各港口捕获的几种鱼类占捕获总量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显的增加（见下表）。他知道，捕获的各种鱼的比例基本上代表了地中海渔场中各种鱼的比例。战争中捕获量大幅度下降，当然使渔场中食用鱼增加，以此为生的鲨鱼也随之增加。但是捕获量的下降为什么会使鲨鱼的比例增加而不是对食用鱼更有利呢？他无法解释这个现象，于是求助于著名的意大利数学家V.Volterra，希望建立一个弱肉强食系统的数学模型，定量地回答这个问题。

一次大战期间地中海某港口捕获鲨鱼的比例

1914 1915 1916 1917 1918 年代

百分比（%） 11．9 21．4 22．1 21．2 36．4

1919 1920 1921 1922 1923 年代

百分比（%） 27．3 16．0 15．9 14．8 10．7

Volterra模型 食饵和捕食者在时刻t的数量分别记作x1(t)和x2(t)。因为大海中资源

?1?r1x1。捕食者丰富，可以假设如果食饵独立生存则将以增长率r1按指数规律增长，即有x的存在使食饵的增长率降低，设降低的程度与捕食者的数量成正比，于是x1(t)满足方程

?1(t)?x1(r1??1x2) （1） x比例系数r1反映捕食者掠取食饵的能力。

?2??r2x2，而食饵为捕食者离开食饵无法生存，若设它自身存在时的死亡率为r2，即x它提供食物相当于使死亡率降低，或使之增长。设这个作用与食饵数量成正比，于是x2(t)满足

?2(t)?x2(?r2??2x1) （2） x比例系数?2反映食饵对捕食者的供养能力。 模型分析 从（1）、（2）的平衡点为

P0(?2?1r2r1,),P0'(0,0) （3）

从（1）、（2）中消去dt得

dx1x(r??x)?1112 dx2x2(?r2??2x1)上式的解为

r1??1x2(x1r2e??2x1)(x2e)?c （4）

（4）式表示对不同的c值（4）式确定的轨线上一族以平衡点为中心的封闭曲线，当c变小时，曲线向外扩展。

?1?0x x2 ?2?0x P0 x1

闭轨线的存在说明平衡点P0不是稳定的。x1(t),x2(t)分别在P0上下波动。我们可用

x1(t),x2(t)在一周T内的平均值 作为食饵和捕食者数量的近似值。

从（2）式有x1(t)??1x(2?r2)，x1(t)在T内的平均值为 ?2x2x1?r2r11T，类似可得，这说明了食饵和捕食者在平衡点Px(t)dt?x?120的值正

T?0?2?1好代表了它们的平均数量。

模型解释 食饵的数量取决于r2,?2，而捕食者数量取决于r1,?1，同时说明，在弱肉强食情况下降低弱者的繁殖率可以使强者减少。

下面说明战争期间捕获量下降对鲨鱼（捕食者）比对食用鱼（食饵）更有利的问题。设捕获能力的系数为e，相当于食饵的自然增长率由r1降为r1?e，捕食者的死亡率由r2增长为r2?e，用y1(t),y2(t)分别表示这种情况的食饵和捕食者的数量，从而其平均值为

y1?r2?e?2,y2?r1?e?1

战争其间捕获系数由e下降为e1，食饵z1(t)和捕食者z2(t)的平均值为

z1?r2?e1?2,z2?r1?e1?1

因为e1?e2，所以有

z1?y1,z2?y2

这说明战争期间捕获量下降食用鱼数量减少，而鲨鱼数量增加。

自然界里以农作物为主的害虫有其天敌----益虫，益虫不吃农作物只吃害虫，是捕食者，害虫是食饵。如果某种杀虫剂不仅杀害虫，也能杀益虫，长期效果看，使害虫增多，益虫减少。

三、数学建模竟赛的技巧 1、 寻找问题相关知识

2、 快速学习领会新知识的关健要点

3、 团体队员分工要明确，达成一致工作方案 4、 按竞赛论文格式按时完成论文

闭轨线的存在说明平衡点P0不是稳定的。x1(t),x2(t)分别在P0上下波动。我们可用

x1(t),x2(t)在一周T内的平均值 作为食饵和捕食者数量的近似值。

从（2）式有x1(t)??1x(2?r2)，x1(t)在T内的平均值为 ?2x2x1?r2r11T，类似可得，这说明了食饵和捕食者在平衡点Px(t)dt?x?120的值正

T?0?2?1好代表了它们的平均数量。

模型解释 食饵的数量取决于r2,?2，而捕食者数量取决于r1,?1，同时说明，在弱肉强食情况下降低弱者的繁殖率可以使强者减少。

下面说明战争期间捕获量下降对鲨鱼（捕食者）比对食用鱼（食饵）更有利的问题。设捕获能力的系数为e，相当于食饵的自然增长率由r1降为r1?e，捕食者的死亡率由r2增长为r2?e，用y1(t),y2(t)分别表示这种情况的食饵和捕食者的数量，从而其平均值为

y1?r2?e?2,y2?r1?e?1

战争其间捕获系数由e下降为e1，食饵z1(t)和捕食者z2(t)的平均值为

z1?r2?e1?2,z2?r1?e1?1

因为e1?e2，所以有

z1?y1,z2?y2

这说明战争期间捕获量下降食用鱼数量减少，而鲨鱼数量增加。

自然界里以农作物为主的害虫有其天敌----益虫，益虫不吃农作物只吃害虫，是捕食者，害虫是食饵。如果某种杀虫剂不仅杀害虫，也能杀益虫，长期效果看，使害虫增多，益虫减少。

三、数学建模竟赛的技巧 1、 寻找问题相关知识

2、 快速学习领会新知识的关健要点

3、 团体队员分工要明确，达成一致工作方案 4、 按竞赛论文格式按时完成论文

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0ht6.html