自动控制理论第四版课后习题详细解答答案(夏德钤翁贻方版)

《自动控制理论 （夏德钤）》习题答案详解

第二章

2-1 试求图2-T-1所示RC网络的传递函数。

1Cs?R1，z?R，则传递函数为： (a)z1?221RCs?11R1?CsR1?Uo(s)z2R1R2Cs?R2 ??Ui(s)z1?z2R1R2Cs?R1?R2(b) 设流过C1、C2的电流分别为I1、I2，根据电路图列出电压方程：

1?U(s)?I1(s)?R1[I1(s)?I2(s)]i??C1s ?1?Uo(s)?I2(s)?Cs2?并且有

11I1(s)?(R2?)I2(s) C1sC2s联立三式可消去I1(s)与I2(s)，则传递函数为：

Uo(s)?Ui(s)1C2s?1??1???R1?C1s??R?R1??2??Cs?Cs?1??2??1 2R1R2C1C2s?(R1C1?R1C2?R2C2)s?12-2 假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以ui为输入，uo为输出的传递函数。

(a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：对上式进行拉氏变换得到

uidudu??Ci?C0，uc?ui?u0， RdtdtUi(s)??sUi(s)?sU0(s) RC故传递函数为

U0(s)RCs?1? Ui(s)RCs(b)由运放虚短、虚断特性有：Cducui?uc?ucuu???0，c?0?0， dtR2R2R2R1联立两式消去uc得到

CRdu022??ui?u0?0 2R1dtRR1对该式进行拉氏变换得

CR22sU0(s)?Ui(s)?U0(s)?0 2R1RR1故此传递函数为

U0(s)4R1?? Ui(s)R(RCs?4)(c)Cuuducuc?u0u??c?0，且i??c，联立两式可消去uc得到

RR12dtR1/2R1/2CR1dui2u02ui????0 2RdtR1R对该式进行拉氏变换得到

CR122?sUi(s)?U0(s)?Ui(s)?0 2RR1R故此传递函数为

U0(s)R(RCs?4)??11 Ui(s)4R2-3 试求图2-T-3中以电枢电压ua为输入量，以电动机的转角?为输出量的微分方程式和传递函数。

解：设激磁磁通??Kfif恒定

Cm???s??

60Ua?s???s?LaJs2??Laf?RaJ?s?Raf?Ce?Cm??2???2-4 一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动

触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c表示电位器滑动触点的位置。另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r表示）即为该随动系统的参考输入。两电位器滑动触点间的电压差ue即是无惯性放大器（放大系数为Ka）的输入，放大器向直流电动机M供电，电枢电压为u，电流为I。电动机的角位移为?。

解：

C?s??R?s?KACm?

60??iLaJs3?i?Laf?RaJ?s2?i?Raf?Ce?Cm??s?KACm?2???2-5 图2-T-5所示电路中，二极管是一个非线性元件，其电流id与ud间的关系为

d?0.u026??。假设电路中的R?103?，静态工作点u0?2.39V，id?10??e?1?????6i0?2.19?10?3A。试求在工作点(u0,i0)附近id?f(ud)的线性化方程。

解：id?2.19?10?3?0.084?ud?0.2?

2-6 试写出图2-T-6所示系统的微分方程，并根据力—电压的相似量画出相似电路。 解：分别对物块m1、m2受力分析可列出如下方程：

?dv1m?F(t)?k2(y2?y1)?f?k1y1??1dt ?dv2?m?k2(y2?y1)2?dt?代入v1?dydy1、v2?2得

dtdt?d2y1m?F(t)?k2(y2?y1)?f?k1y1??1dt2 ?2?mdy2?k(y?y)2221?dt2?2-7 图2-T-7为插了一个温度计的槽。槽内温度为?i，温度计显示温度为?。试求传递函数

?(s)（考虑温度计有贮存热的热容C和限制热流的热阻R）。 ?i(s)解：根据能量守恒定律可列出如下方程：

C对上式进行拉氏变换得到

d??i??? dtR?i(s)??(s)

RCs?(s)?则传递函数为

?(s)1? ?i(s)RCs?12-8 试简化图2-T-8所示的系统框图，并求系统的传递函数

C(s)。 R(s)

G2

+ C(s) R(s) + + G1 G3 _ _

H1

a) H1 G4

R(s) + + + + G3 G1 G2 _ _ H2 H3

b)

图2-T-8

解：(a) 化简过程如下

G2

+ C(s) + R(s) G1 G3 _

+ H1 +

G1

+ C(s) R(s) G1+G2 G3 _

G1+H1

R(s) C(s) G3 G1+G2

1?G3(G1?H1)+ C(s)

传递函数为

R(s) G3(G1?G2)1?G3(G1?H1)C(s) G3(G1?G2)C(s)? R(s)1?G3(G1?H1) (b) 化简过程如下 G2 H1 G4 _

R(s) + + G2 G1 G3 _

1/G1 H2

H3

G1R(s) + G4+G2G1?GGH121 _ 3

H3+H2/G

G1(G2G3?G4)R(s)

1?G1G2H1?(G2G3?G4)(H2?G1H3)

传递函数为

+ C(s) C(s) C(s) G1(G2G3?G4)C(s) ?R(s)1?G1G2H1?(G2G3?G4)(H2?G1G3)2-9 试简化图2-T-9所示系统的框图，并求系统的传递函数

C(s)。 R(s)C(s) R(s) + _ 0.7 + _ 0.5 ?0.41?2s1 2s?0.3s?1+ + 0.4 Ks

解：化简过程如下 R(s) +

_

C(s) +

R(s)

系统的传递函数为

_ 0.7 + _ 12s?0.3s?1C(s) ?0.2 s?0.6Ks 0.4 0.7 Ks s?0.6 (s2?0.3s?1)(s?0.6)?0.08R(s) 0.7s?0.42s3?(0.9?0.7k)s2?(1.18?0.42k)s?0.52C(s) C?s?0.7s?0.42 ?3R?s?s??0.9?0.7k?s2??1.18?0.42k?s?0.522-10 绘出图2-T-10所示系统的信号流程图，并根据梅逊公式求出传递函数

C(s)。 R(s)H2 R(s) + + G1 + _ H1 G4 图2-T-10

+ G2 G3 + C(s) 系统的传递函数为

G1G2G3C?s???G4

R?s?1?G2H1?G1G2H1?G2G3H22-11 试绘出图2-T-11所示系统的信号流程图，并求传递函数

C1(s)C(s)和2（设R1(s)R2(s)。 R2(s)?0）

_ R1(s) +

+

R2(s) + + +

_

解：系统信号流程图如图所示。

C1(s) G1 G2 G3 H2 G4 H1 G5 G6 C2(s) 图2-T-11

题2-11 系统信号流程图

G1G2G3C1?s??R?s?1?G1G2?G4?G1G2G4G5H1H2G1G2G4G5G6H2C2?s??R?s?1?G1G2?G4?G1G2G4G5H1H22-12 求图2-T-12所示系统的传递函数

C(s)。 R(s)解：(a) 系统只有一个回环：?L1?cdh，

在节点R(s)和C(s)之间有四条前向通道，分别为：P1?abcdef，P2?abcdi，

P3?agdef，P4?agdi，相应的，有：?1??2??3??4?1

则

C(s)1nabcdef?abcdi?agdef?agdi ??Pk?k?R(s)?k?11?cdh(b) 系统共有三个回环，因此，?L1??111， ??R1C1sR2C2sR1C2s两个互不接触的回环只有一组，因此，?L2??1?1?1?? ????2?R1C1s?R2C2s?R1R2C1C2s1111，并且有??1??sC1R1sC2R1C1C2s2在节点R(s)和C(s)之间仅有一条前向通道：P1?1??1?1，则

C(s)1R2 ??P??11R(s)1??L1??L2R1R2C1C2s2?(R1C1?R2C1?R2C2)s?12-13 确定图2-T-13中系统的输出C(s)。

D1(s) R(s) + _ G1 + + + _ + D2(s) _ G2 H2 C(s) H1 + + D3(s) 图2-T-13

解：采用叠加原理，当仅有R(s)作用时，

C1(s)G1G2?， R(s)1?G2H2?G1G2H1当仅有D1(s)作用时，

C2(s)G2?， D1(s)1?G2H2?G1G2H1当仅有D2(s)作用时，

C3(s)G2， ??D2(s)1?G2H2?G1G2H1C4(s)G1G2H1 ??D3(s)1?G2H2?G1G2H1当仅有D3(s)作用时，根据叠加原理得出

C(s)?C1(s)?C2(s)?C3(s)?C4(s)?G1G2R(s)?G2D1(s)?G2D2(s)?G1G2H1D3(s)

1?G2H2?G1G2H1 第三章

3-1 设系统的传递函数为

2?nC(s) ?22R(s)s?2??ns??n求此系统的单位斜坡响应和稳态误差。 解：当输入为单位斜坡响应时，有

r(t)?t，R(s)?所以有

1 2s2?n1 C(s)?2?2s?2??ns??ns2分三种情况讨论 （1）当??1时，

s1,2?????2?1?n22???????1???nt?????1???nt? ???????2?1ee??c?t??t???22?2?n2?2?1?n????2?1????1?????????? （2）当0???1时，

s1,2????j1??2?nc?t??t?2????n?11???n2e???nt2?1??2sin?1???nt?2arctan????

??? （3）当??1时，

s1,2???nc(t)?t?设系统为单位反馈系统,有

2?n???? e??nt?1?nt??n2??2s?s?2??n? 2s2?2??n??nEr?s??R?s??c?s??R?s?系统对单位斜坡输入的稳态误差为

esr??ims?s?0s?s?2??n?12??? 222ss?2??ns??n?n3-2 试求下列单位反馈控制系统的位置、速度、加速度误差系数。系统的开环传递函数为

（1）G(s)?50K （2）G(s)?

(1?0.1s)(1?2s)s(1?0.1s)(1?0.5s)K(1?2s)(1?4s)KG(s)? （4）

s2(s2?2s?10)s(s2?4s?200)2s?0s?02（3）G(s)?解：（1）Kp?limG(s)?50,Kv?limsG(s)?0,Ka?limsG(s)?0；

s?0（2）Kp?limG(s)??,Kv?limsG(s)?K,Ka?limsG(s)?0；

s?0s?0s?0（3）Kp?limG(s)??,Kv?limsG(s)??,Ka?limsG(s)?s?0s?0s?02K； 10（4）Kp?limG(s)??,Kv?limsG(s)?s?0s?0K,Ka?lims2G(s)?0

s?02003-3 设单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)?10

s(0.1s?1)1R2t2 2若输入信号如下，求系统的给定稳态误差级数。

（1）r(t)?R0，（2）r(t)?R0?R1t，（3）r(t)?R0?R1t?解：首先求系统的给定误差传递函数

?e?s??误差系数可求得如下

E(s)1s(0.1s?1)?? R(s)1?G(s)0.1s2?s?10s(0.1s?1)?02s?0s?00.1s?s?10d10(0.2s?1)C1?lim?e?s??lim?0.122s?0s?0ds(0.1s?s?10)C0?lim?e?s??limd22(0.1s2?s?10)?20(0.2s?1)2C2?lim2?e?s??lim?0s?0s?0ds(0.1s2?s?10)3 （1）r(t)?R0，此时有rs(t)?R0,

?s(t)???rrs(t)?0，于是稳态误差级数为

esr?t??C0rs(t)?0，t?0

（2）r(t)?R0?R1t，此时有rs(t)?R0?R1t,级数为

?s(t)?R1,??rr(t)?0，于是稳态误差s?s(t)?0.1R1，t?0 esr?t??C0rs(t)?C1r （3）r(t)?R0?R1t?11?s(t)?R1?R2t，R2t2，此时有rs(t)?R0?R1t?R2t2,r22?r?(t)?R2，于是稳态误差级数为 s?s(t)?esr?t??C0rs(t)?C1r3-4 设单位反馈系统的开环传递函数为

C2?r?s(t)?0.1(R1?R2t)，t?0 2!G(s)?10

s(0.1s?1)若输入为r(t)?sin5t，求此系统的给定稳态误差级数。 解：首先求系统的给定误差传递函数

?e?s??误差系数可求得如下

E(s)1s(0.1s?1)?? 2R(s)1?G(s)0.1s?s?500s(0.1s?1)?0s?0s?00.1s2?s?500d500(0.2s?1)1C1?lim?e?s??lim?s?0dss?0(0.1s2?s?500)2500C0?lim?e?s??limd2100(0.1s2?s?500)?1000(0.2s?1)298C2?lim2?e?s??lim?s?0dss?0(0.1s2?s?500)35002?以及

rs(t)?sin5t?s(t)?5cos5tr?r?s(t)??25sin5t?则稳态误差级数为

C??esr?t???C0?2?25???sin5t??C1?5???cos5t 2????4.9?10?4???sin5t??1?102???cos5t

3-6 系统的框图如图3-T-1a所示，试计算在单位斜坡输入下的稳态误差的终值。如在输入端加入一比例微分环节（参见图3-T-1b），试证明当适当选取a值后，系统跟踪斜坡输入的稳态误差可以消除。

R(s) C(s) 2 + ?n _ s(s?2??)na)

R(s) 1?as+ _ b) 图3-T-1

C(s) ?2ns(s?2??n)解：系统在单位斜坡输入下的稳态误差为：esr?2??n，加入比例—微分环节后

C?s???R?s??1?as??C?s??G?s?2??1?as??n1?as?G?s?C?s??R?s??2R?s?21?G?s?s?2??ns??ns2??2??a?n??nsE?s??R?s??C?s??R?s?

s2?2??ns??n2R?s??1s22??a?nesr?limsE?s??s?0?n可见取a?2??n，可使esr?0

3-7 单位反馈二阶系统，已知其开环传递函数为

2?n G(s)?s(s?2??n)从实验方法求得其零初始状态下的阶跃响应如图3-T-2所示。经测量知，Mp?0.096，

tp?0.2s。试确定传递函数中的参量?及?n。

解：由图可以判断出0???1，因此有

Mp?exp(?tp???1??2)?100%

?1??2?n代入Mp?0.096，tp?0.2可求出

???0.598 ???n?19.5883-8 反馈控制系统的框图如图3-T-3所示，要求

（1）由单位阶跃函数输入引起的系统稳态误差为零。 （2）整个系统的特征方程为s?4s?6s?4?0 求三阶开环传递函数G(s)，使得同时满足上述要求。 解：设开环传递函数为

32R(s+ _ G(sC(s图3-T-3

C(s)K ?32R(s)s?k1s?k2s?k3s3?k1s2?k2s?k31根据条件（1）esr?lim?3?0可知：k3?0； 2s?01?G(s)s?k1s?k2s?k3?K32根据条件（2）D(s)?s?4s?6s?4?0可知：k1?4，k2?6，K?4。

所以有

G?s??4 2s?s?4s?6?3-9 一单位反馈控制的三阶系统，其开环传递函数为G(s)，如要求 （1）由单位斜坡函数输入引起的稳态误差等于2.0。 （2）三阶系统的一对主导极点为s1,s2??1?j1。 求同时满足上述条件的系统开环传递函数G(s)。 解：按照条件（2）可写出系统的特征方程

(s?1?j)(s?1?j)(s?a)?(s2?2s?2)(s?a)?s3?(2?a)s2?(2?2a)s?2a?0

将上式与1?G(s)?0比较，可得系统的开环传递函数

G(s)?2a 2s?s?(2?a)s?(2?2a)?根据条件（1），可得

Kv?12a ?0.5?esr2?2a解得a?1，于是由系统的开环传递函数为

G(s)?2 2s?s?3s?4?3-10 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为

G(s)?K

s(?s?1)试求在下列条件下系统单位阶跃响应之超调量和调整时间。 （1）K?4.5,??1s （2）K?1,??1s （3）K?0.16,??1s 解：系统单位阶跃响应的象函数为

C(s)?R(s)G(s)?K

s2(?s?1) （1）将K?4.5，??1s代入式中可求出?n?2.12rad/s，??0.24，为欠阻尼系统，因此得出

Mp?46%，ts?7.86s(2%)，5.90s(5%)

（2）将K?1，??1s代入式中可求出?n?1rad/s，??0.5，，为欠阻尼系统，因此得出

Mp?16.3%，ts?8s(2%)s，6s(5%)

（3）将K?0.16，??1s代入式中可求出?n?0.4rad/s，??1.25，过阻尼，无最大超调量。因此只有ts?15s。

3-11 系统的框图如图3-T-4所示，试求当a=0时,系统的之值。如要求，是确定a的值。 （1）当a=0时， 则系统传传递函数为G(s)?所以有??0.354。

（2）?n不变时，系统传函数为G(s)?8，其中?n?8?22，2??n?2，

s2?2s?88，要求??0.7，则有2s?(8a?2)s?82??n?2(4a?1)，所以可求得求得a?0.25。

3-12 已知两个系统的传递函数，如果两者的参量均相等，试分析z=1的零点对系统单位

脉冲响应和单位阶跃响应的影响。 1. 单位脉冲响应 (a) 无零点时

c?t??（b）有零点z??1时

?n1??2e???ntsin1??2?nt,?t?0?

2?1???n????nt2??,?t?0? c?t??esin1???t?arctgn?1???n?1??2??比较上述两种情况，可见有零点z??1时，单位脉冲响应的振幅较无零点时小，而且产生

1?2??n??n??n21??2?n相移，相移角为arctg。

1???n2．单位阶跃响应 (a) 无零点时

c?t??1?（b）有零点z??1时

11??2e???nt2?1??2sin?1???nt?arctg?????,?t?0? ??c?t??1?1?2??n??n1??222?1??e???ntsin?1??2?nt?arctg??n?????,?t?0? ??加了z??1的零点之后，超调量Mp和超调时间tp都小于没有零点的情况。

3-13 单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。假设未加入外作用信号时，系统处于零初始状态。如果不考虑扰动，当参考输入为阶跃函数形式的速度信号时，试解释其响应为何必然存在超调现象？

单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。假设未加入外作用信号时，系统中存在比例-积分环节

K1??1s?1?，当误差信号e?t??0时，由于积分作用，该环节的输出保持不变，故

s系统输出继续增长，知道出现e?t??0时，比例-积分环节的输出才出现减小的趋势。因此，系统的响应必然存在超调现象。

3-14 上述系统，如在r?t?为常量时，加于系统的扰动n?t?为阶跃函数形式，是从环节及物理作用上解释，为何系统的扰动稳态误差等于零？如扰动n?t?为斜坡函数形式，为何扰动稳态误差是与时间无关的常量？

在r?t?为常量的情况下，考虑扰动n?t?对系统的影响，可将框图重画如下

图A-3-2 题3-14系统框图等效变换

C?s??K2sN?s? 2s??2s?1??K1K2??1s?1?根据终值定理，可求得n?t?为单位阶跃函数时，系统的稳态误差为0，n?t?为单位斜坡函数

时，系统的稳态误差为

1。 K1从系统的物理作用上看，因为在反馈回路中有一个积分环节，所以系统对阶跃函数的扰动稳态误差为零。在反馈回路中的积分环节，当输出为常量时，可以在反馈端产生一个与时间成正比的信号以和扰动信号平衡，就使斜坡函数的扰动输入时，系统扰动稳态误差与时间无关。

3-15 已知系统的特征方程如下，试用劳斯判据检验其稳定性。

s4s3（1）劳斯表有 s2183240630 则系统系统稳定。 303s4s3121240 劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，

s1s0

（2）劳斯表有 s2s1s0?1282系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。

s5s4s3（3）劳斯表有 2ss1s013161910?66 劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，

10101210系统系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。

s6s5s4（4）劳斯表有 s3132343459648464 系统处于稳定的临界状态，由辅助方程

812s2s1s0A?s??2s4?6s2?4可求得系统的两对共轭虚数极点s1,2??j;s3,4??j2。

3-16 根据下列单位反馈系统的开环传递函数，确定使系统稳定的K值的范围。

（1）K>0时,系统稳定。 （2）K>0时，系统不稳定。 （3）0

系统的特征方程为 D(s)?2?s3?(??2)s2?(K?1)s?K?0

K(s?1)请在以K为横坐

s(?s?1)(2s?1)列写劳斯表

s3s2s1s0(??2)(K?1)?2?K?0

??22???2(??2)(k?1)?2?k??2kk?1k ，得出系统稳定应满足的条件

由此得到和应满足的不等式和条件

0???

2 6

3 4

4 3.3

2(K?1),K?1,??2

K?15 3

9 2.5

15 2.28

30 2.13

100 2.04

根据列表数据可绘制K为横坐标、?为纵坐标的曲线，闭环系统稳定的参数区域为图A-3-3中的阴影部分。

图A-3-3 闭环系统稳定的参数区域

3-18 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)?K(s?5)(s?40) 试求系统的3s(s?200)(s?1000)临界增益Kc之值及无阻尼振荡频率值。

根据单位反馈系统的开环传递函数得到特征方程

s5?1200s4?200000s3?ks2?45ks?200k?0

列写劳斯表

s5s4s3s2112002.4?108?k12001.7544?108k?k22.4?108?k7.787?109k2?45k3?0.96?1016k1.7544?108k?k2200k200000k5.4?10k?200k1200445k200k0

200ks1s0根据劳斯判据可得

?2.4?108?k?0?1200??1.7544?108k?k2?0? ?2.4?108?k?7.787?109k2?45k3?0.96?1016k??0821.7544?10k?k???200k?0系统稳定的K值范围为

1.22?106?K?1.7535?108

当K1?1.22?10、K2?1.7535?10时，系统有一对共轭虚数极点，此时产生等幅振荡，因此临界增益Kc?1.22?106以及Kc?1.7535?108。

根据劳斯表列写Kc?1.22?106时的辅助方程

681.7544?108?1.22?106?(1.22?106)22s?200?1.22?106?0 862.4?10?1.22?10解得系统的一对共轭虚数极点为s1,2??j16，系统的无阻尼振荡频率即为16rad/s。 Kc?1.7535?10时的辅助方程

81.7544?108?1.7535?108?(1.7535?108)22s?200?1.7535?108?0 882.4?10?1.7535?10解得系统的一对共轭虚数极点为s3,4??j338，系统的无阻尼振荡频率为338rad/s。

第四章

4-2设已知单位反馈系统的开环传递函数如下，要求绘出当开环增益K1变化时系统的根轨迹图，并加简要说明。 （1）G?s??K1

s?s?1??s?3?0?与???，3?上有根轨迹，渐近线 系统开环极点为0，—1，—3，无开环零点。实轴??1，相角?a??60?,?180?，渐近线与实轴交点?a??1.33，由

dK1?0可得出分离点为dS（?0.45,j0），与虚轴交点?j3?K1?12?。常规根轨迹如图A-4-2所示。

图A-4-2 题4-2系统（1）常规根轨迹

（2）G?s??K1 2s?s?4?s?4s?20??0?上有根轨迹，?a??45,?135，?a??2，分离点 方法步骤同上，实轴??4，????2,j0?与??2?j2.5?，与虚轴交点?j10?K1?260?。常规根轨迹如图A-4-3所示。

令A(?)=1得剪切频率

?c?4.08s?1,相角裕度PM=3.94deg。

1 2s(1?s)5-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)?用MATLAB绘制系统的伯德图，确定L(?)?0的频率?c，和对应的相角?(?c)。 解：命令如下： >> s=tf('s');

>> G=1/((s*(1+s)^2)); >> margin(G2);

程序执行结果如上，可从图中直接读出所求值。

5-6 根据下列开环频率特性，用MATLAB绘制系统的伯德图，并用奈氏稳定判据判断系统的稳定性。 （1）G(j?)H(j?)?10

(j?)(0.1j??1)(0.2j??1)解：命令如下： >> s=tf('s');

>> G=10/(s*(0.1*s+1)*(0.2*s+1)); >> margin(G);

如图，相角裕度和增益裕度都为正，系统稳定。 （2）G(j?)H(j?)?2 2(j?)(0.1j??1)(10j??1)解：命令如下： >> s=tf('s');

>> G=2/((s^2)*(0.1*s+1)*(10*s+1)); >> margin(G);

如图，增益裕度无穷大，相角裕度-83，系统不稳定。

5-7 已知最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线如图所示，试写出系统的开环传递函数，并汇出对应的对数相频曲线的大致图形。 （a） 解：低频段由20lgK?10得，K?10

?=2s?1处，斜率下降20dB/dec,对应惯性环节

10。

0.5s?11。

0.5s?1由上可得，传递函数G?s??相频特性?(?)??arctg0.5?。 汇出系统的相频特性曲线如下图所示。

（b） 解：低频段斜率为-20dB/dec,对应积分环节。

1s?=2s?1处，斜率下降20dB/dec,对应惯性环节

1。

0.5s?1在剪切频率?c?2.8s?1处，

K?c1?0.5?c22?1，解得K?4.8

传递函数为：G(s)?4.8

s(0.5s?1)1； 2s（c） 低频段斜率为-40dB/dec,为两个积分环节的叠加

?1?0.5s?1处，斜率上升20dB/dec,对应一阶微分环节2s?1； ?2?2s?1处，斜率下降20dB/dec,对应一阶惯性环节

传递函数形式为：G(s)?1

0.5s?1K(2s?1)

s2(0.5s?1)22图中所示Bode图的低频段可用传递函数为K/s来描述，则其幅频特性为K/?。取对数，得L1(?)?20lgK?20lg?2。

同理，Bode图中斜率为-20dB/dec的中频段可用K1/s来描述，则其对数幅频特性为

L2(?)?20lgK1?20lg?。由图有，L2(?c)?0dB,则有K1??c。

再看图，由L1(?1)?L2(?1)可解得K??1??c?0.5 综上，系统开环传递函数为G(s)?（参考李友善做法）

系统相频特性：?(?)??180?arctg2??arctg0.5? 曲线如下：

0.5(2s?1)

s2(0.5s?1)

5-8 设系统开环频率特性的极坐标图如图5-T-2所示，试判断闭环系统的稳定性。 (a) 解：系统开环稳定，奈氏图包围（-1，0j）点一次，P≠0，所以闭环系统不稳定。 (b) 解：正负穿越各一次，P=2（N+-N-）=0，闭环系统稳定。 (c) 闭环系统稳定。 (d) 闭环系统稳定。

2e??s5-9根据系统的开环传递函数G(s)H(s）绘制系统的伯德图，并确?s(1?s)(1?0.5s)定能使系统稳定之最大?值范围。

?1??0时，解：经误差修正后的伯德图如图所示。从伯德图可见系统的剪切频率?c?1.15s，

在剪切频率处系统的相角为

?(?c)??90??arctg?c?arctg0.5?c??168.9?

由上式，滞后环节在剪切频频处最大率可有11.1的相角滞后，即

?180????11.1?

解得??0.1686s。因此使系统稳定的最大?值范围为0???0.1686s。

5-10 已知系统的开环传递函数为

G(s)H(s）?K

s(1?s)(1?3s)试用伯德图方法确定系统稳定的临界增益K值。 解：由G?s?H?s??1K知两个转折频率?1?rad/s,?2?1rad/s。令

3s?1?s??1?3s?K?1，可绘制系统伯德图如图所示。

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