自动控制理论第三版课后习题答案（夏德钤翁贻方版）第2～5章

《自动控制理论 第3版》习题参考答案

第二章

2-1 (a)

U2?s?R1R2CS?R2R2R1CS?1???

RRU1?s?R1R2CS?R1?R2R1?R212CS?1R1?R2(b)

U1?s?1 ?U2?s?R1R2C1C2s2?(R1C1?R1C2?R2C2)s?12-2 (a)

U?s?RU2?s?RCs?1U?s?R?R1???1? (b) 2 (c) 2???1?1Cs?1? U1?s?RRU1?s?RCsU1?s?R?4?Cs?142-3 设激磁磁通??Kfif恒定

Cm???s??

60Ua?s???s?LaJs2??Laf?RaJ?s?Raf?Ce?Cm??2???2-4

C?s??R?s?KACm?

60??iLaJs3?i?Laf?RaJ?s2?i?Raf?Ce?Cm??s?KACm?2???2-5 id?2.19?10?3?0.084?ud?0.2? 2-8 (a)

?G1?G2?G3G1?G2G3?G4?C?s?C?s? (b) ??R?s?1??G1?H1?G3R?s?1?G1G2H1??G2G3?G4??H2?G1H3?R(s) + 2-9 框图化简中间结果如图A-2-1所示。

0.7_ + + 1s2?0.3s?10.161.2?2sC(s) Ks

图A-2-1 题2-9框图化简中间结果

C?s?0.7s?0.42 ?3R?s?s??0.9?0.7k?s2??1.18?0.42k?s?0.522-10

G1G2G3C?s???G4

R?s?1?G2H1?G1G2H1?G2G3H22-11 系统信号流程图如图A-2-2所示。

图A-2-2 题2-11系统信号流程图

C1?s?G1G2G3R?s??1?G1G2?G4?G1G2G4G5H1H2C

2?s?G?1G2G4G5G6H2Rs??1?G1G2?G4?G1G2G4G5H1H22-12

(a)

C?s?1R?s??1?cdh?abcdef?agdef?abcdi?adgi?C?s?R?s??R2R 1C1R2C2s2??R1C1?R2C1?R2C2?s?12-13 由选加原理,可得

C?s??11??HG?G1G2R?s??G2D1?s??G2D2?s??G1G2H1D3?s??

11?H2?G2

第三章

3-1 分三种情况讨论 (a) 当??1时

s1??????2?1???2n,s2??????1??n??????2?1????????????2?1???ntc?t?t?2?1?nt????e??e????? 21?2?2n2??2n?????2?1????1??(b) 当0???1时

s1?????j1??2??n,s2?????j1??2??nc?t??t?2?2???nt21?2?2??nt??n?e?cos1???nt?n1??2?e?sin1??2?nt

n?t?2??1???sin?nt?2?1?2???1??2??nt?arctg?2n1???en?1?2?2??(c) 当??1时

s1,2???n

c?t??t?22??e??nt??1??n?n?t?n?2?(b)

设系统为单位反馈系统,有

Er?s??R?s??c?s??R?s?s?s?2??n? 22s?2??n??ns?s?2??n?12? ??s2s2?2??ns??n2?n系统对单位斜坡输入的稳态误差为 esr??ims?s?03-2 (1) Kp?50,Kv?0,Ka?0 (2) Kp??,Kv?K,Ka?0

(3) Kp??,Kv??,Ka?KK,Ka?0 (4) Kp??,Kv?102003-3 首先求系统的给定误差传递函数

?e?s??误差系数可求得如下

E(s)1s(0.1s?1)?? R(s)1?G(s)0.1s2?s?10s(0.1s?1)?02s?0s?00.1s?s?10d10(0.2s?1)C1?lim?e?s??lim?0.122s?0s?0ds(0.1s?s?10)C0?lim?e?s??limd22(0.1s2?s?10)?20(0.2s?1)2C2?lim2?e?s??lim?0s?0s?0ds(0.1s2?s?10)3(1) r(t)?R0，此时有rs(t)?R0,

?s(t)??rr?(t)?0，于是稳态误差级数为 sesr?t??C0rs(t)?0，t?0

(2) r(t)?R0?R1t，此时有rs(t)?R0?R1t,?s(t)?R1,??rr(t)?0，于是稳态误差级数为 s?s(t)?0.1R1，t?0 esr?t??C0rs(t)?C1r(3) r(t)?R0?R1t?为

11?s(t)?R1?R2t，?R2t2，此时有rs(t)?R0?R1t?R2t2,r，于是稳态误差级数r?s(t)?R222?s(t)?esr?t??C0rs(t)?C1r3-4 首先求系统的给定误差传递函数

C2?t?0 r?s(t)?0.1(R1?R2t)，2!?e?s??误差系数可求得如下

E(s)1s(0.1s?1)?? R(s)1?G(s)0.1s2?s?500s(0.1s?1)?02s?0s?00.1s?s?500d500(0.2s?1)1??C1?lim?s?lim?es?0s?0ds(0.1s2?s?500)2500C0?lim?e?s??limd2100(0.1s2?s?500)?1000(0.2s?1)298??C2?lim?s?lim?es?0s?0ds2(0.1s2?s?500)35002??

rs(t)?sin5t?s(t)?5cos5tr?r?s(t)??25sin5t稳态误差级数为

C??esr?t???C0?2?25???sin5t??C1?5???cos5t 2????4.9?10?4???sin5t??1?102???cos5t3-6 系统在单位斜坡输入下的稳态误差为 esr?加入比例—微分环节后

2??n

C?s???R?s??1?as??C?s??G?s??1?as?G?s?R?s???1?as??C?s??R?s?1?G?s?s?2??s??s??2??a???sE?s??R?s??C?s??R?s?

2n22nn2ns?2??ns??n2n2R?s??1s22??a?nesr??imsE?s??s?0?n可见取a?2??n，可使esr?0

3-7

??0.598,?n?19.588

4

ss2?4s?63-8 G?s????3-9 按照条件（2）可写出系统的特征方程

(s?1?j)(s?1?j)(s?a)?(s2?2s?2)(s?a)?s?(2?a)s?(2?2a)s?2a?0将上式与1?G(s)?0比较，可得系统的开环传递函数

32

G(s)?2a

s?s2?(2?a)s?(2?2a)?根据条件（1），可得

Kv?解得a?1，于是由系统的开环传递函数为

12a ?0.5?esr2?2aG(s)?2

s?s2?3s?4?

?1?M3-10

?2?Mpp?46.6%,ts?7.99s?2%?,(?n?2.12rad/s,??0.24)?16.3%,ts?8s?2%?,(?n?1rad/s,??0.5)?3?ts?15s,(?n?0.4rad/s,??1.25)，过阻尼系统，无超调。

3-11 （1）当a = 0时，??0.354,?n?22。

（2）?n不变，要求??0.7，求得a = 0.25 3-12 1. 单位脉冲响应 (a) 无零点时 c?t???n1??2e???ntsin1??2?nt,?t?0?

（b）有零点z??1时

2?1???n?2??,?t?0? c?t??esin1???t?arctgn?1???n?1??2??比较上述两种情况，可见有z??1零点时，单位脉冲响应的振幅较无零点时小，而且产生相移，相移角为

1?2??n??n??n2???nt1??2?n。 arctg1???n2．单位阶跃响应 (a) 无零点时

c?t??1?11??2e???nt2?1??2sin?1???nt?arctg?????,?t?0? ??（b）有零点z??1时

c?t??1?1?2??n??n1??222?1??e???ntsin?1??2?nt?arctg??n?????,?t?0? ??加了z??1的零点之后，超调量Mp和超调时间tp都小于没有零点的情况。

3-13 系统中存在比例-积分环节

K1??1s?1?，当误差信号e?t??0时，由于积分作用，该环节的输出保持不变，故系s统输出继续增长，知道出现e?t??0时，比例-积分环节的输出才出现减小的趋势。因此，系统的响应必然存在超调现象。

3-14 在r?t?为常量的情况下，考虑扰动n?t?对系统的影响，可将框图重画如下

N(s) + _ KK22s??s?1?s??22s?1?C(s) ????KK??111?1?1s1sss图A-3-2 题3-14系统框图等效变换

C?s??K2sN?s?

s2??2s?1??K1K2??1s?1?1 。 K1根据终值定理，可求得n?t?为单位阶跃函数时，系统的稳态误差为0，系统的稳态误差为n?t?为单位斜坡函数时，

从系统的物理作用上看，因为在反馈回路中有一个积分环节，所以系统对阶跃函数的扰动稳态误差为零。在反馈回路中的积分环节，当输出为常量时，可以在反馈端产生一个与时间成正比的信号以和扰动信号平衡，就使斜坡函数的扰动输入时，系统扰动稳态误差与时间无关。 3-15 （1）系统稳定。

（2）劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。 （3）劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统不稳定。

（4）系统处于稳定的临界状态，由辅助方程A?s??2s4?6s2?4可求得系统的两对共轭虚数极点

s1,2??j;s3,4??j2。须指出，临界稳定的系统在实际中是无法使用的。

3-16 （1）K>0时,系统稳定。 （2）K>0时，系统不稳定。 （3）0

32列写劳斯表，得出系统稳定应满足的条件 由此得到?和K应满足的不等式和条件

(??2)(K?1)?2?K?0

??20???2(K?1),K?1,??2

K?19 2.5

15 2.28

30 2.13

100 2.04

K ?

2 6

3 4

4 3.3

5 3

根据列表数据可绘制K为横坐标、?为纵坐标的曲线，闭环系统稳定的参数区域为图A-3-3中的阴影部分。

图A-3-3 闭环系统稳定的参数区域

3-18 根据单位反馈系统的开环传递函数

G?s??32K(s?3) 2s(s?2s?2)得到特征方程s?2s?(K?2)s?3K?0，列写劳斯表

s3s2s1s0124?KK2?K3K

根据劳斯判据可得系统稳定的K值范围 0?K?4

当K?4时系统有一对共轭虚数极点，此时产生等幅振荡，因此临界增益Kc?4。

2根据劳斯表列写Kc?4时的辅助方程 2s?12?0

解得系统的一对共轭虚数极点为s1,2??j6，系统的无阻尼振荡频率即为6rad/s。

第四章

4-2（1）G?s??K1

s?s?1??s?3?分离点(?0.45,j0)，与虚轴交点?j3?K1?12?。常规根轨迹如图A-4-2所示。

图A-4-2 题4-2系统（1）常规根轨迹

（2）G?s??K1 2s?s?4?s?4s?20??分离点??2,j0?,??2?j2.5?，与虚轴交点?10?K1?260?。常规根轨迹如图A-4-3所示。

图A-4-3 题4-2系统（2）常规根轨迹

4-3（1）G?s??K1

s2?s?2?分离点为?0,j0?；常规根轨迹如图A-4-4（a）所示。从根轨迹图可见，当K1?0便有二个闭环极点位于右半s平面。所以无论K取何值，系统都不稳定。

图A-4-4 题4-3系统常规根轨迹

（2）G?s??K1?s?1? 2s?s?2? 分离点为?0,j0?；常规根轨迹如图A-4-4（b）所示。从根轨迹图看，加了零点z??1后，无论K取何值，系统都是稳定的。

4-7 系统特征方程为

s2??1???s?1?0

以?为可变参数，可将特征方程改写为

1??ss2?s?1?0

从而得到等效开环传递函数

Geq(s)??ss2?s?1

根据绘制常规根轨迹的方法，可求得分离点为??1,j0?，出射角为?P??150?。参数根轨迹如图A-4-8所示。

图A-4-8 题4-7系统参数根轨迹

（1） 无局部反馈时???0?，单位速度输入信号作用下的稳态误差为esr?1；阻尼比为??0.5；调节时间为

ts?6s?5%?

（2） ??0.2时，esr?1.2，??0.6，ts?5s(5%)

比较可见，当加入局部反馈之后，阻尼比变大，调节时间减小，但稳态误差加大。

（3） 当??1时，系统处于临界阻尼状态，此时系统有二重闭环极点s1,2??1。 4-9 主根轨迹如图A-4-9所示。系统稳定的K值范围是0?K?14.38。

图A-4-9 题4-9系统主根轨迹

Ke??s4-10 G?s?H?s??

s主根轨迹分离点?????1?,j0?；与虚轴交点?j，临界K值。主根轨迹如图A-4-10所示。

2?2????

图A-4-10 题4-10系统主根轨迹

4-11（1）G?s?H?s??K?1??s?s的根轨迹如图A-4-11所示。

图A-4-11 G?s?H?s??K?1??s?s根轨迹

K???1??（2）Gs?H?s????2s??

s?????1?2s?? 分离点???2??1?2???,j0?；会合点??2?1?2?,j0??；与虚轴交点?j2??????????如图A-4-12所示。

图A-4-12 G?s?H?s??K?1?(?/2)s?s?1?(?/2)s?根轨迹 K值为2?。根轨迹

；临

（3）G?s?H?s??K

s??s?1?分离点????1??，根轨迹如图A-4-13所示。 ??2?,j0?

图A-4-13 G?s?H?s??K根轨迹

s??s?1?讨论：当?较小时，且K在某一范围内时，可取近似式

K。若?较大，取上述近似式误差就大，此时应取近似

s??s?1????K?1?s??2?。 式

???s?1?s??2?4-12 系统的根轨迹如图A-4-14所示。

图A-4-14 题4-12系统的根轨迹

4-13 当0?a?A-4-15所示。

111时，有两个分离点，当a?时，有一个分离点，当a?时，没有分离点。系统的根轨迹族如图

999

图A-4-15 题4-13系统的根轨迹族

第五章

5-1 (1)G?s??1

s?s?1?G?j???1?1??25.0

?G?j????900?arctg??

G?j?? ?G?j??

0.5 1.79 -116.6

?1.0 0.707 -135

?1.5 0.37 -146.3

?2.0 0.224 -153.4

?10.0 0.0095

?0.039 -168.7

-174.2

?系统的极坐标图如图A-5-1所示。

图A-5-1 题5-1系统（1）极坐标图

(2) G?s??1

?1?s??1?2s? 1??21?4?2?G?j????arctg??arctg2?G?j???1?

G?j?? ?G?j??

0 1 0

?0.2 0.91 -15.6

?0.5 0.63 -71.6

?0.8 0.414 -96.7

?1.0 0.317 -108.4

?2.0 0.172 -139.4

?5.0 0.0195 -162.96

?系统的极坐标图如图A-5-2所示。

图A-5-2 题5-1系统（2）极坐标图

(3) G?s??1

s?s?1??2s?1? ?1??21?4?2?G?j????900?arctg??arctg2?G?j???1?

G?j?? ?G?j??

0.2 4.55 -105.6

?0.3 2.74 -137.6

?0.5 1.27 -161

?1 0.317 -198.4

?2 0.054 -229.4

?5 0.0039 -253

?系统的极坐标图如图A-5-3所示。

图A-5-3 题5-1系统（3）极坐标图

(4) G?s??1 2s?1?s??1?2s? ?21??21?4?2?G?j????1800?arctg??arctg2?G?j???1?

G?j?? ?G?j??

0.2 22.75

?0.25 13.8

?0.3 7.86 -227.6

?0.5 2.52 -251.6

?0.6 0.53 -261.6

?0.8 0.65 -276.7

?1 0.317 -288.4

?-195.6 -220.6

系统的极坐标图如图A-5-4所示。

图A-5-4 题5-1系统（4）极坐标图

5-2 (1) G?s??1

?j???1?j??系统的伯德图如图A-5-5所示。

图A-5-5 题5-2系统（1）伯德图

(2) G?s??1

?1?j???1?j2??系统的伯德图如图A-5-6所示。

图A-5-6 题5-2系统（2）伯德图

(3) G?s??1j??1?j???1?j2??

系统的伯德图如图A-5-7所示。

图A-5-7 题5-2系统（3）伯德图

(4) G?s??1?j???1?j???1?j2??2

系统的伯德图如图A-5-8所示。

图A-5-8 题5-2系统（4）伯德图

5-3 G?s??1

s?0.1s?1??0.5s?1?G?j???1?1?(0.1?)21?(0.5?)22.0 3.5

3.0 1.77

?

?G?j????900?arctg0.1??arctg0.5??

G?j?? ?G?j??

0.5 17.3

?1.0 8.9

?1.5 5.3 -135.4

?5.0 0.67

??10.0 0.24

?-106.89 -122.3 -146.3 -163 -184.76 -213.7

系统的极坐标图如图A-5-9所示。

图A-5-9 题5-3系统极坐标图

系统的伯德图如图A-5-10所示。

图A-5-10 题5-3系统伯德图

相角裕度??0.7?,增益裕量GM?3.55dB 5-4 （1）G?j???1，此为非最小相位环节，其幅频、相频特性表达式为 j??1 1??2?G?j????1800?arctg?该环节的伯德图如图A-5-11所示。

G?j???1

图A-5-11 题5-4伯德图

（2）惯性环节G?j???1是最小相位的，其幅频、相频特性表达式为 j??11??2

?G?j????arctg?该环节的伯德图如图A-5-11点划线所示。由图可见，两个环节具有相同的幅频特性，相频特性有根本区别。 5-7 (a) G?s??G?j???110，系统的相频特性曲线如图A-5-12所示。

0.5s?1

图A-5-12 题5-7G?s??10相频特性曲线

0.5s?1(b) G?s??3.92，系统的相频特性曲线如图A-5-13所示。

s?0.5s?1?

图A-5-13 题5-7G?s??3.92相频特性曲线

s?0.5s?1?(c) G?s??0.5?2s?1?，系统的相频特性曲线如图A-5-14所示。 2s?0.5s?1?

图A-5-14 题5-7G?s??0.5?2s?1?相频特性曲线 s2?0.5s?1?5-8 (a) 闭环系统不稳定。 (b) 闭环系统稳定。 (c) 闭环系统稳定。 (d) 闭环系统稳定。

2e??s5-9 G?s??

s?1?s??1?0.5s???0时，经误差修正后的伯德图如图A-5-15所示。从伯德图可见系统的剪切频率?c?1.15rad/s，在剪切频

率处系统的相角为

?(?c)??90??arctg?c?arctg0.5?c??168.9?

由上式，滞后环节在剪切频处最大率可有11.1的相角滞后，即

?180????11.1?

解得??0.1686s。因此使系统稳定的最大?值范围为0???0.1686s。

图A-5-15 题5-9系统伯德图

5-10 由G?s?H?s??图A-5-16所示。

1K知两个转折频率?1?rad/s,?2?1rad/s。令K?1，可绘制系统伯德图如

3s?1?s??1?3s?

图A-5-16 题5-10系统伯德图

确定?(?)??180所对应的角频率?g。由相频特性表达式

??(?g)??90??arctg0.33?g?arctg?g??180?

可得 arctg1.33?g21?0.33?g?90?

解出

?g?3?1.732rad/s

在图A-5-16中找到L(?g)??2.5dB，也即对数幅频特性提高2.5dB，系统将处于稳定的临界状态。因此

20lgK?2.5dB?K?5-11 由L(0.1)?0dB知K?1；

由L(1)??3dB知??1是惯性环节由

4为闭环系统稳定的临界增益值。 31的转折频率； s?1? 从1增大到10，L(?)下降约23dB，可确定斜率为?20dB/dec，知系统无其他惯性环节、或微分环节和振

荡环节。

e??s由?(0.1)?0和?(1)??83知系统有一串联纯滞后环节e。系统的开环传递函数为 G?s?H?s??

????s?由?(1)?arctg1?180??????83解得??0.66s。可确定系统的传递函数为 G?s?H?s??e?0.66s?s?1? 5-12 系统的开环传递函数为 G?s?H?s??0.1Ks?0.1s2?s?0.001? 系统稳定的增益范围0?K?0.1。

?s?1?

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