2018年高考真题 - 理科数学(全国卷II)+Word版含解析

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2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（全国卷II）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：

选D.

点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合

A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A

【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 详解： 当当当

时，时，时，

； ； ；

，

，则中元素的个数为

所以共有9个，选A.

点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.

3. 函数的图像大致为

A. A B. B C. C D. D 【答案】B

【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：

舍去D;

，

所以舍去C；因此选B.

点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足

，

，则

为奇函数，舍去A,

A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B

【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为所以选B.

点睛：向量加减乘：

5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为

A. 【答案】A

B. C. D.

【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解：

因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.

点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.

6. 在A.

中， B.

，

C.

， D.

，则

【答案】A

【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB. 详解：因为所以

，选A.

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 7. 为计算

，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项. 详解：由中应填入

，选B.

得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框

点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.

8. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如等于30的概率是

A. B. C. D. 【答案】C

【解析】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.

详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有

种方法，因为

，选C.

，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和

方法，故概率为

点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

9. 在长方体

中，

，

，则异面直线

与

所成角的余弦值为

A. B. C. D. 【答案】C

【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.

详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则所以

,

,

因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 10. 若

在

是减函数，则的最大值是

A. B. C. D. 【答案】A

【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值 详解：因为所以由因此点睛：函数(1)

. (2)周期

得，

，从而的最大值为，选A.

的性质： (3)由

求对称轴， (4)由

求增区间;

由11. 已知A.

是定义域为

求减区间. 的奇函数，满足

．若

，则

B. 0 C. 2 D. 50

【答案】C

【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为

是定义域为

的奇函数，且

，

或

点睛：确定圆的方程方法

．

(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值． 20. 如图，在三棱锥

（1）证明：（2）若点在棱

中，平面

；

为

，求

与平面

所成角的正弦值．

，

，为

的中点．

和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于

的方程组，从而求出

上，且二面角

【答案】（1）见解析（2）

【解析】分析：(1)根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论，(2)根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果. 详解：（1）因为连结且由由

.因为，

知知

. . 平面

.

的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系

，为，所以

的中点，所以，且.

为等腰直角三角形，

（2）如图，以为坐标原点，.

由已知得设设平面由

，则

的法向量为

得

.

，可取.

取平面的法向量.

，

所以.由已知得.

所以.解得（舍去），.

所以所以

与平面

.又，所以.

所成角的正弦值为.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 21. 已知函数

（1）若（2）若

．

，证明：当在

时，

；

只有一个零点，求．

【答案】（1）见解析（2）

详解：（1）当设函数当而

时，，故当

时，

，则，所以时，

．

等价于．

．

单调递减．

在，即

．

（2）设函数在（i）当（ii）当当所以故①若②若③若

只有一个零点当且仅当时，时，时，在

；当

单调递减，在是，即，即，即

在，，，

在只有一个零点．

没有零点；

． 时，单调递增．

．

的最小值． 在在

没有零点； 只有一个零点； ，所以

在

有一个零点，

，由于

由（1）知，当故

在

在

时，，所以

在

有两个零点． ．

．

有一个零点，因此

综上，只有一个零点时，

点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.

(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22. [选修4－4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系

中，曲线的参数方程为

（为参数），直线的参数方程为

（为参数）.

（1）求和的直角坐标方程；

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为【答案】（1）当

【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分直角坐标方程，根据参数几何意义得详解：（1）曲线的直角坐标方程为当当

时，的直角坐标方程为时，的直角坐标方程为

．

与

两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的，即得的斜率．

时，的直角坐标方程为

，求的斜率．

，当

时，的直角坐标方程为

．（2）

之间关系，求得．

，

（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程

．①

因为曲线截直线所得线段的中点又由①得

，故

在内，所以①有两个解，设为，，则

，于是直线的斜率

．

．

点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则

(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α). (2)|M1M2|＝|t1－t2|.

(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0. 23. [选修4－5：不等式选讲] 设函数 （1）当

．

时，求不等式

的解集；

.(t是参数，t可正、可负、可为0)

，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.

（2）若【答案】（1）

，求的取值范围．

,(2)

【解析】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为取值范围． 详解：（1）当

时，

可得（2）而由

可得的解集为等价于

，且当或

． ．

时等号成立．故

等价于

．

．

，再根据绝对值三角不等式得

最小值，最后解不等式

得的

，所以的取值范围是

点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．

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