2018年东北三省三校高三第一次模拟考试数学(文)试题+扫描版含答

2018年三省三校一模考试

文科数学答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.C 2.A 3.B 4.C 5.D 6.B 7.D 8.B 9.C 10.C 11.C 12.A

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13． l//?或l?? 14． ??5,?2? 15．丙 16．22 三、解答题（本大题共70分） 17.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）当n?2时，an?Sn?S1n?1?(23n+1?2)?17(23n?2?2)?23n?27 4分

当n?1时，a1?S1?2=23?1?2，符合上式 5分 所

an?n?23n?N. 分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn?log223n?2=3n?2, 7分

所以

1b?1b???1?1?1???1? 1b22b3bnbn?11?44?7(3n?2)(3n?1)13[(1?14)?(14?17)???(1111n3n?2?3n?1)]?3(1?3n?1)?3n?1． …12分

18.（本小题满分12分） 解：(Ⅰ)

从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为

710………………

以

………6

……………(

?使用手机支付的人群中的青年的人数为

分

7?60?42人， ………210则使用手机支付的人群中的中老年的人数为60?42?18人，所以2?2列联表为:

使用手机 支付

不使用手机 支付 合计

………4分

58 42 100 16 24 40

青年 42 中老年 18 合计

60

100(42?24?18?16)21800K的观测值k?=?8.867 ………6分

58?42?60?4020328.867?7.879，P(K2?7.879)?0.005， ………7分

故有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”. ………8分

(Ⅱ) 这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量

为5的样本中： 使用手机支付的人有5?60?3人，记编号为1,2,3 100不使用手机支付的人有2人，记编号为a,b， ………9分 则从这个样本中任选2人有

(1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(2,3)(2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共10种 其中至少有1人是不使用手机支付的

(1,a)(1,b) (2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共7种， ………11分

故P(A)?分

7. ………121019.（本小题满分12分）

S （Ⅰ）证明：∵SO?平面ABC，∴SO?AC，

又∵点M是圆O内弦AC的中点，

?AC?MOF ………3分

，

又

E A M C O B SOMO?O ………4分

平

面

?AC?S ………5分

（Ⅱ）∵SO?平面ABC，SO为三棱锥S?OCB的高，

111?VS?OCB?VO?SCB???1?1?2? ………7分

323而VO?EFBC与VO?SCB等高，

S?ESFS?SCB∴

1?SE?SFsin?ESF2?2?， 1?SC?SBsin?CSB523S四边形EFBC?S?SCB ………10

5分

因

此

，

3311VO?EFBC?VO?SCB??? ………12分

5535

20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

e?c2， ?a212当M为椭圆C的短轴端点时，?MF1F2的面积的最大值为1??2c?b?1?bc?1， 而a?b?c?a?2,b?1

222x22故椭圆C标准方程为：?y?1 ………

23分

（Ⅱ）设B(x1,y1),E（x2,y2),A(x1,?y1)，且x1?x2，

a2x?c=2，?P(2,0)

由题意知BP的斜率必存在，设BP：y?k(x?2)，代入x22?y2?1得 (2k2?1)x2?8k2x?8k2?2?0

??0得k2?12 xx8k28k2?21?2?2k2?1,x1?x2?2k2?1 分

x1?x2?AE斜率必存在，AE：y?y?y21?y1x(x?x1) 2?x1由对称性易知直线AE过的定点必在x轴上，则当y?0时，得

x?y1(x2?x1)?xy1x2?y2x1k(x1?2)x2?k(x2?2)x1y?y1??y?12y12k(x1?x2)?4k8k2?28=2x2??2?k21x2?2(x1?x2)2k2?12k2?1x?x??1 12?48k22k2?1?4分 即在k2?12的条件下，直线AE过定点（1，0）. 分

………6

7分

………11………12………

21. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）f?(x)??12x?a.

3当a?0时，f(x)??4x在R上单调递减；

2当a?0时，f?(x)??12x?a?0，即f(x)??4x?ax在R上单调递减； ………2分

23当a?0时，f?(x)??12x2?a.

x?(??,?3a6)时，f?(x)?0，f(x)在(??,?3a6)上递减； x?(?3a6,3a6)时，f?(x)?0，f(x)在(?3a3a6,6)上递增； x?(3a6,??)时，f?(x)?0，f(x)在(3a6,??)上递减； 4分

综上，当a?0时，f(x)在R上单调递减；

当a?0时，f(x)在(??,?3a6)上递减； 在

(?3a36,a6)上

递

增

；

(3a6??,减. ………5分 （Ⅱ）∵函数f(x)在[?1,1]上的最大值为1. 即对任意x?[?1,1]，f(x)?1恒成立。 亦即?4x3?ax?1对任意x?[?1,1]恒成立。 变形可得，ax?1?4x3.

当x?0时，a?0?1?4?03即0?1，可得a?R； 分

当x?(0,1]时，a?1x?4x2.则a?(1x?4x2)min ………上)递

………7118x3?12令g(x)??4x，则g?(x)??2?8x?.

xxx2当x?(0,)时，f?(x)?0，当x?(,1)时，f?(x)?0.

因此，g(x)min?g()?3，∴a?3. ………9分

当x?[?1,0)时，a?12121211?4x2.则a?(?4x2)max xx118x3?12令g(x)??4x，则g?(x)??2?8x?. 2xxx当x?[?1,0)时，f?(x)?0，

因此，g(x)max?g(?1)?3，∴a?3. ………11分

综上，a?3∴a的取值集合为{3}. ………12分

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 做答时请写清题号.

22. (本小题满分10分） 解：（Ⅰ）

?=4cos?，当??0时，有?2=4?cos??x2?y2?4x

?)在曲线C1上，(0,)即是在直角坐标系中的原点（0,0）满足方程

22 当??0时，点(0,?x2?y2?4x，

故

曲

2线

C1的直角坐标方程为

x2?y2?4x即

?x?2?曲

?y2?4. ………3分

线

C2：

3x?y?33?0. ………5分

1?x?3?t,?2?2（Ⅱ）将?代入x2?y2?4x得t?t?3?0，

?y?3t,??2??1?4?3?13?0， …

……8分

故方程有两个不等实根t1,t2分别对应点P,Q，

?AP?AQ=t1?t2?t1?t2??3?3，A?=3. P………10A分

Q23.（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）2x?5?2x?1?x?1等价于

???x?5???1?x?5??x?1?2或?22或??2?2x?5?2x?1?x?1??5?2x?2x?1?x?1??5?2x?2x?1?x?1分别解得x?52 或无解或x??12 综

上

：

不

等

式

的

解

集

??xx??1或x?5??. ………5分

?22?（Ⅱ）f(x)?2x?5?2x?1?(2x?5)?(2x?1)?6

当且仅当

(x2?5x?)?(2即?12?x?52时

f(x)有最6， ………8分

?a?1?6??6?a?1?6??5?a?7a???5,7?. ………10分

即

为

小值

即

1?x?3?t,?2?2（Ⅱ）将?代入x2?y2?4x得t?t?3?0，

?y?3t,??2??1?4?3?13?0， …

……8分

故方程有两个不等实根t1,t2分别对应点P,Q，

?AP?AQ=t1?t2?t1?t2??3?3，A?=3. P………10A分

Q23.（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）2x?5?2x?1?x?1等价于

???x?5???1?x?5??x?1?2或?22或??2?2x?5?2x?1?x?1??5?2x?2x?1?x?1??5?2x?2x?1?x?1分别解得x?52 或无解或x??12 综

上

：

不

等

式

的

解

集

??xx??1或x?5??. ………5分

?22?（Ⅱ）f(x)?2x?5?2x?1?(2x?5)?(2x?1)?6

当且仅当

(x2?5x?)?(2即?12?x?52时

f(x)有最6， ………8分

?a?1?6??6?a?1?6??5?a?7a???5,7?. ………10分

即

为

小值

即

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