河南专升本_模拟_高数(共五套)

高等数学模拟试题（一）

说明：考试时间120分钟，试卷共150分.

一、单项选择题（每小题2分，共50分.在每个小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后的括号内.）

1．已知f(x)的定义域为[-1,2]，则函数F(x)?f(x?2)?f(2x)的定义域为 ( ) (A)[?3,0] (B) [?3,1]

(C) [?11,1] (D) [?,0] 22x2sin2．limx?0sinx1x= ( ) (A) 无穷 (B) 不存在 (C) 0 (D) 1

x?0?x?1?1,?3．设f(x)?? 则x=0是函数f(x)的 ( ) x?0,x?0?(A)可去间断点 (B) 无穷间断点 (C)连续点 (D) 跳跃间断点

44．方程x?x?1?0，至少有一个根的区间是 ( ) 1122(C) (2,3) (D) (1,2)

(A)(0,) (B) (,1)

5．f(x)?(x?x0)??(x)其中?可导，则f?(x0)? ( ) (A) 0 (B) ?(x0) (C)??(x0) (D) ? 6．设f(x)?xsinn1(x?0)且f(0)?0，则f(x)在x=0处 ( ) xnx?0(A)仅当limf(x)?limxsinx?01?f(0)?0时，才可微 x(B)在任何条件下都可微 (C) 当且仅当n>1时才可微 (D) 因sin1在x=0处无定义，所以不可微 x7.设f(x)在[a,?)上二次可微，且f(a)?0,f?(a)?0,f??(x)?0(x?a)，则方程f(x)?0在[a,?)上

( )

(A) 没有实根 (B)有多个实根

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(C) 有且仅有一个实根 (D)无法判断是否有实根

8．下列函数在[?1,1]上满足罗尔定理条件的是 ( ) (A)y?1 (B) y?1?x x(C)y?x(x2?1) (D) y?ln(1?x) 9．设函数f(x)有连续的二阶导数，且f?(0)?0,limx?0f??(x)?1，则 ( ) x(A) f(0)是函数的极大值 (B) f(0)是函数的极小值

(C) (0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点

(D) f(0)不是f(x)的极值，(0,f(0))也不是曲线y?f(x)的拐点

10．若d?f(x)??d?g(x)?，则下列各式中不成立的是 ( ) ??(A)f(x)?g(x) (B) f?(x)?g?(x) (C)d?f(x)??d?g(x)? (D) d11．由曲线y?

??f?(x)dx??d??g?(x)dx?

1

，直线y?x,x?2所围成图形面积为 ( ) x

2211(A)?(?x)dx (B) ?(x?)dx

1x1x222211(C) ?(2?)dy??(2?y)dy (D) ?(2?)dx??(2?x)dx

1111xy12．I?(A)?120x3?2x2?xdx，则求该积分时正确的做法是I= ( )

102?20x?1?x?dx (B) ?x?x?1?dx????x?1?x?dx??21x?x?1?dx

(C) ?200x?1?x?dx (D) ???????0x?x?1?dx

????13．对于非零向量a,b满足a?3b?7a?5b,a?4b?7a?2b，则向量a,b夹角为 ( )

?? (B) 64??(C ) (D)

32(A) ?y2?z2?2x?014．曲线?在xOy平面上投影曲线方程为 ( )

?z?3?y2?2x?y2?2x?9(A) ? (B) ?

z?0??z?0?y2?2x?y2?2x?9(C ) ? (D) ?

?z?3?z?3第 2 页 共 28 页

15．函数f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数存在是f(x,y)在该点连续的 ( )

(A) 充分条件但不是必要条件 (B) 必要条件但不是充分条件 (C ) 充要条件 (D) 既不是充分条件也不是必要条件 16．函数z?ln41的定义域为 ( ) ?arcsin2222x?yx?y(A) 1?x2?y2?4 (B) 1?x2?y2?4 (C ) 1?x2?y2?4 (D) 1?x2?y2?4 17．改变

(A)

?dx?12x22?xf(x,y)dy积分次序得 ( ) ?10dy?422?y5yf(x,y)dx (B) ?dy?0122?y2?yf(x,y)dx+?dy?14142y5yf(x,y)dx f(x,y)dx (C )

?dy?02?yf(x,y)dx (D) ?dy?012f(x,y)dx+?dy?218．设D：x2?y2?R2，则

(A)

??Dx2?y2dxdy? ( ) ??Rdxdy??RD3 (B) ?2?0d??rdr??R2 0R(C )

?2?0d??R02?R23rdr??R (D) ?d??R2dr?2?R3 003219．简单闭曲线C所围区域D的面积为 ( ) 11xdx?xdyydy?xdx (B) 2?c2?c11 (C ) ?ydx?xdy (D) ?xdy?ydx

2c2c1n1?)，则级数 ( ) 20．设un?(?1)ln(n (A) (A) ?un?1?n与?un?1?2n收敛 (B) 2n?un?1?n与

?un?1?2n都发散

2n(C ) ?un?1??n收敛而?un?1?发散 (D) ?un?1?n发散而

?un?1?收敛

21．设级数a收敛（a为常数），则有 ( ) ?nn?1q(A)q?1 (B) q?1 (C ) q??1 (D) q?1 22．级数

?nen?1??nx的收敛域是 ( )

(A) x??1 (B) x?0 (C ) 0?x?1 (D) ?1?x?0

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23．微分方程y???2y??x的特解应设为y?? ( )

(A) Ax (B) Ax?B (C ) Ax?Bx (D) Ax?Bx?C

24．过函数y?f(x)的图形上点(0,?2)的切线为：2x?3y?6且该函数满足微分方程y???6x，则此

函数为 ( ) (A) y?x2?2 (B) y?3x2?2 (C ) 3y?3x3?2x?6?0 (D) y?x?3222x 325．微分方程xdy?ydx?y2eydy的通解为 ( ) (A) y?x(ex?C) (B) x?y(ey?C)

(C ) y?x(C?e) (D) x?y(C?e) 二、填空题（每小题2分，共30分）

1． 设f(x)为连续奇函数且f(2)?1，则limf(x)? ______________. x??2xy2． lim(1?3x)x?01sinx?______________.

3． 曲线y?x?ex在点（0，1）处的切线斜率k?_________________________. 4． 函数f(x)?x3?x在[0，3]上满足罗尔定理的??_______________. 5． 函数f(x)?x?2cosx在[0,32?2]上的最大值为_______________. 6． 曲线f(x)?x?3x?2x?1的拐点为_________________________. 7． 设f(x)?sinx?cos2x，则f(27)(?) ___________________. 21x?18． 不定积分：?edx?___________________. d2sin2xdx?____________________. 9． dx?110．设???0e?tdt?2?2，则???1x20e?xdx= _______________________.

11.将xOz平面内曲线z?5x绕x轴旋转一周，生成的旋转曲面的方程为 ______________________________. 12．由方程：ex?y?xyz?ez确定的隐函数z?z(x,y)的偏导数

n?z= ______________. ?xxn13．幂级数1??(?1)2的收敛域为____________.

nn?1?第 4 页 共 28 页

?

(?1)nxn14．级数?的和函数S(x)为________________. n2n?015．若d[e?xf(x)]?exdx，则f(x)?________________. 三、计算题（每小题5分，共40分） 1．求limsin6x?6x.

x?02x3dy. dx22．设y?xx?2xxx，求

x23．求积分??(x)dx，其中f(x?1)?ln2，且f[?(x)]?lnx.

x?24lnx4．求定积分?1dx.

x4?z?z5．设z?f2(x,xy)，其中f具有一阶连续的偏导数，求,. ?x?y6．计算

?10dx?x2e?ydy.

x2127．将f(x)?ex?2x展开为（x+1）的幂级数并求其收敛域. 228． 求微分方程：2x(yex?1)dx?exdy?0的通解. 四、应用题（每小题7分，共21分）

1． 用a元钱购料，建造一个宽与深相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料费为底面单位面积的材料费的1.2倍，求水池的长与宽各多少米，才能使水池的容积最大？ 2．由曲线y?x3和直线x?2,y?0围成一平面图形，试求： （1）该平面图形的面积；

（2）该平面图形绕y轴旋转一周的旋转体体积. 3．求微分方程cosydy?siny?ex的通解. dx12x?ln(1?x). 2

五、证明题（9分） 证明：当x>0时，有x?

答 案

一、单项选择题 1. D 2. C 3. A 4. D 5. B 6. C 7. C 8. C 9. C 10. A 11. B 12. B 13. C 14. B 15. D 16. A 17. B 18. C 19. D 20. C 21. D 22. B 23. C 24. C 25. D 二、填空题

1．-1 2．e 3．2 4. 2 5.

3?6?3 1x?16．(1,1) 7．0 8．?e229．0 10. ? 11. y?z?5x

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?C

50. 若z?f(e2siny,x2?y2)，f具有连续的二阶导数，求51. 求

?xe??D2?ｚ?ｚ. ,?x?y?y2dxdy，其中D为x2?y2?9.

3n2n52. 求幂级数?x的收敛域（要考虑区间的端点）.

n?1n?1?53.求微分方程(1?x2)y??2xy?2x2的通解. 四、应用题（每题７分，共14分）

54. 曲线y?0,x?8,y?x2围成曲边三角形OAB，在曲边OB上求一点，过此点作y?x2的切线，使该切线与直线段OA、AB所围成的三角形面积为最大，求该点的坐标.

55. y?sinx,x?[0,?]与x轴所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转，试分别求其旋转体的体积. 五、证明题（６分）

56. 设函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且f?(x)?0，记F(x)?证明：在（a,b）内F(x)单调递减.

1xf(t)dt. ?ax?a第 16 页 共 28 页

高等数学模拟试题（四）

说明：考试时间120分钟，试卷共150分.

一、单项选择题（每小题2分，共60分.在每个小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后的括号内.）

2??ln(x?1),1?x?21. 设函数f(x)??，则f(x)的定义域为

2??9?x,2?x?3 （ ）

A.1?x?3 B.1?x?3 C.1?x?2或2?x?3 D.x?1或x?3

?xx2.设f(x)为奇函数，则F(x)?f(x)(2?2)为

（ ）

A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.无法确定 3. 若lim(1?)?2，则常数k＝

x???kxx （ ）

A.e B.e C.ln2 D.?ln2

4. 设函数f(x)和g(x)在点x0处不连续，而函数h(x)在点x0处连续，则函数（ ）在x0处必不连续. A.f(x)?g(x) B.f(x)g(x) C.f(x)?h(x) D.f(x)h(x) 5. 若f(x)是奇函数，且f?(0)存在，x?0是函数F(x)?2f(x)的 x （ ）

A.跳跃间断点 B.可去间断点 C.连续点 D.以上都不对 6. 设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)?f(b)，但f(x)不恒为常数，则在(a,b)内 A.必有最大值或最小值 B.既有最大值又有最小值

C.既有极大值又有极小值 D.至少存在一点使?，得f?(?)?0 7. 设f(x)为可导函数且满足limx?0 （ ）

f(1)?f(1?x)??1，则f?(1)?

2x （ ）

A.2 B.－1 C.1 D.－2 8. 设函数f(x)具有2008阶导数，且f(2006)(x)?[f(x)]2,则f(2008)(x)?

（ ）

2A.2f(x)f?(x) B.2[(f?(x))?f(x)f??(x)] 2C.[(f?(x))?f?(x)f??(x)] D.f(x)f??(x)

9. 曲线y?4x?1 2(x?1) （ ）

A.只有垂直渐近线 B.只有水平渐近线

C.既有垂直渐近线又有水平渐近线 D.既无垂直渐近线又无水平渐近线 10.曲线y?x?24x?6x的凹区间为

42 （ ）

A.（?2,2） B.(??,0) C.（0,??） D.(??,??)

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?t2d2y?x?11.由参数方程? （ ） 2确定函数y(x)的二阶导数2为

dx?y?1?t?1111A.?3 B.3 C. D.?

tttt12.函数f(x)?x3?2x在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理中?的值为 A.

（ ）

1223 B. C. D. 2323113. 若f(x)?ktan(2x)的一个原函数为ln(cot2x)，则k＝ 3A.

（ ）

2233 B.? C. D.? 3322lnx?c，则?xf?(x)dx? 14. 若?f(x)dx? （ ） x1?lnx11?2lnxxlnx?x?c?c?c ?cA. B. C. D.x2xx15. 下列积分不为0的是

A.

??

1 ?1 2? （ ）

????cosxdx B.?2?sinxcosxdx C.?e?xdx D.?2sinxdx

?2?1?(sinx)2

（ ）

16. 下列式子中不成立的是 A.C. ?0

?0

??212lnxdx??(lnx)dx B.?2sinxdx??2xdx

1230ln(1?x)dx??xdx D.?exdx??(1?x)dx

00022217. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则?

baf(x)dx??f(t)dt的值

ab （ ）

A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不确定 18. 广义积分 A.收敛于???2dx x2?x?2 （ ）

231ln2 B.收敛于ln2 C.收敛于ln2 D.发散 3232219. 方程：x?y?z?0在空间直角坐标系内表示的二次曲面是（ ）旋转抛物面. A.球面 B.圆锥面 C.旋转抛物面 D.圆柱面 20. limsin(x?y)?

x?1(x?y)(x?y)y?1 （ ）

A. 0 B .-1 C.1 D. 2 21．若fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0，则函数f(x,y)在点(x0,y0)处

（ ）

A.有极值 B.无极值 C.不一定有极值

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D.有极大值

22. 方程x?y?z?ez确定了z?z(x,y)，则A.

?z?z?＝ ?x?y （ ）

1111 B. C. D. eze2z?1(x?y?z?1)2x?y?z?1h?023. 设f(x,y)在点(a,b)处有偏导数存在，则limf(a?h,b)?f(a?h,b)?

h （ ）

A.0 B.fx(2a,b) C.fx(a,b) D.fx(a,b) 24. 设I?A.C.

?dx?0y442xxf(x,y)dy,交换积分次序后，I?

4

y24?yy （ ）

?40dy?y2f(x,y)dx B.?dy?0104f(x,y)dx ?40dy?1f(x,y)dx D.?dy?y2f(x,y)dx 4425. 把积分A.C.

?a0dy?a0a2?y20f(x,y)dx化为极坐标形式为

2? cos? （ ）

??2?0d??f(rcos?,rsin?)rdr B.?d??0asin?0f(rcos?,rsin?)dr

?20?0d??0f(rcos?,rsin?)rdr D.?2d??f(rcos?,rsin?)rdr

0aA(1,0),B(1,1),D(0,1)为顶点的正方形的正向边界，26. 设L为以点O(0,0)，则x2ydy?xy2dx＝（ ）

?LA .1 B.2 C.3 D. 0 27.级数

?(un?1?n?vn)发散，则?un与?vn必定

n?1n?1??? （ ）

A.都发散 B.一个发散一个收敛 C.至少有一个发散 D.具有相同的敛散性 28. 当（ ）时，级数?[n?11n?p?11]收敛. n(p?1)A.p?1 B.p?2 C.p?0 D.0?p?2 29.设幂级数?a(x?2)nn?1?n在x?6处收敛，则该级数在x??3处

（ ）

A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.敛散性不定

230.当二阶微分方程(1?y)y???2(y?)?0降阶时，令p?y?，则需将y??转化为

（ ）

A.dpdpdpdp B.x C. D.p dxdxdydy二、填空题（每题２分，共30分）

31.设f(x)为(??,??)上的奇函数，且满足f(1)?a,f(x?2)?f(x)?f(2)，则f(2)?_________. 32.设f(x)?11?e1xf(x)?limf(x)?_________. ，则lim??x?0x?0第 19 页 共 28 页

2

33.曲线y?cosx在横坐标为x??处的切线方程为_________. 34.函数f(x)?x4?2x2?5在区间[?2,2]上的最大值为_________. 35函数f(x)?x2?cosx的单调增区间为________.

2336.若F?(x)?f(x)，则(x?1)f(x?3x?1)dx?________.

?37.设x?x121f(t)dt?e?x?，则f(1)?________.

e38.设f(x)??39.广义积分

1?x,0?x?1，则?f(x?1)dx?________.

?1?1,1?x?2???2dx?________. 2x(lnx)x2y2z240.方程2?2?2?1所代表的曲面是xOy面上的曲线________绕x轴旋转一周而成的.

acc2241.已知z?ln1?x?y，则dz|(1,1)?________.

42.

1?x2?(y?2)2?4??d??________.

43.已知级数

?(2?n?1?1) (un?0)收敛，则limun?________. n??unex?e?x44.函数f(x)?关于x的幂级数展开式为_______. 21?x?x45.已知y??xe是微分方程y???2y??3y?e的一个特解，则该方程的通解为_______.

4三、计算题（每题５分，共４０分） 46. 计算limcos(sinx)?1. x?03x247. 已知xy3?3x2?(x?1)y?1，求y?(0).

2x48.设xf(x)dx?e?c，求??1dx. f(x)49.计算?|x(2x?1)|dx. 0150.已知exyz?z?sinxy?6,求dz. 51.计算二重积分

???1?D1x2?y2d?，其中D为x2?y2?1.

(2x?3)n52.求幂级数?的收敛区间（要考虑区间的端点）.

2n?1n?153.设f(x)可微，

?[2f(t)?1]dt?f(x)?1，求f(x).

0x第 20 页 共 28 页

四、应用题（每题７分，共１４分）

54.某产品的产量依赖于两种生产要素投入量，当两种生产要素投入量依次为x,y时，产量为

z?20?x2?10x?2y2?5y.已知两种生产要素单价依次为1和2，产品的单价为5，求最大利润.

?x2,0?x?255.已知平面图形由y?0,y?3与y??围成，求此图形的面积，并求其绕y轴旋转所得旋转

6?x,x?2?体的体积.

五、证明题（６分）

56.设f(x)在区间[0,1]上连续，在区间(0,1)内可导，且f(0)?1,f(1)?0. 证明:在(0,1)内至少存在一点，使f(?)??f?(?)?0.

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高等数学模拟试题（五）

说明：考试时间120分钟，试卷共150分.

一、单项选择题（每小题2分，共60分） 1.( )

A.(-1,0)∪(0,3) B.[-1,0）∪(0,3) C.（-1,0] ∪(0,3] D.(0,3) 函

数

f(x)=ln(3-x)+arctan

x?1x的定义域是

ex?12.函数y=x在定义域内是 ( ) e?1A.有界的偶函数 B.无界的偶函数 C.有界的奇函数 D.无界的奇函数 3.极限limx??x?sinx= ( ) x2

A.2 B.1 C.0 D.不存在 4.当x→0时,x-tanx是x的 ( ) A.低价无穷小 B.高阶无穷小 C.等价无穷小 D.同阶非等价无穷小 5.设f(x)=??2x?a,x?0?e(sinx?cosx),x?0x在(-∞,+∞)内连续,则a= ( )

A.-1 B.0 C.1 D.2 6.设函数f(x)在x=0点具有二阶导数,且f(0)=0,f′(0)=1,f〞(0)=3,则极限limx?0f(x)?x= 2x( )

3 D. ∞ 2f(1)?f(1?x)7.设周期函数f(x)在(-∞,+ ∞)内可导,周期为4,又lim=-1,则曲线y=f(x)在点

x?02xA.0 B.1 C.(5,f(5))处的切线斜率为 ( ) A.1 B.0 C.-1 D.-2 2?x?f(t)??dy8.设?,其中f可导,且f′(0)≠0,则= ( ) 3ty?f(e?1)dx?t?0A.3 B.2 C.1 D.0 9.函数y=

x ( ) 21?xA.在(-∞,+∞)内单调增加 B.在(-∞,+∞)内单调减少

C.在(-1,1)内单调增加,其余区间内单调减少 D.在(-1,1)内单调减少,其余区间内单调增加 10.

设

函

数

f(x)=

x3?x,则曲线y=f(x)

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( )

A.仅有水平渐近线 B.仅有垂直渐近线 C.既有水平渐近线又有垂直渐近线 D.无渐近线

11.曲线y=xarctanx的图形 ( ) A.在(-∞,+∞)内是凹的 B.在(-∞,+∞)内是凸的

C.在(-∞,0)内为凸,在(0,+∞)内为凹 D.在(-∞,0)内为凹,在(0,+∞)内为凸 12.方程x-3x+1=0在区间(0,1)内 ( ) A.无实根 B.有唯一实根 C.有两个实根 D.有三个实根 13.设函数f(x)在x=0的某领域内连续,且f(0)=0, limx?03

f(x)=2,则f(x)在点x=0处

1?cosx( )

A.不可导 B.可导,且f′(0)≠0 C.取得极大值 D.取得极小值 14.设f(x)的导函数是sinx,则f(x)的一个原函数为 ( ) A.1+sinx B.1-sinx C.1+cosx D.1-cosx 15.设f(x)连续,则

3??3x[f(x)+f(-x)-x]dx= ( ) A.-18 B.-9 C.9 D.18 16.设f(x)连续,且

?tf(x?t)dt?1?cosx,则?0x?20f(x)dx? ( ) A.0 B.1 C.-1 D.-2 17.积分

??0tsintdt? ( ) A.2π B.π C.?? D.

4218.下列广义积分收敛的是 ( ) A.???2??lnx????lnx1dx B.?dxdx C. D. lnxdx 2??222xxlnxx19.直线l:??x?3y?2z?1?0与平面π:4x-2y+z-2=0的位置关系为 ( )

2x?y?10z?3?0?A.直线l平行于平面π B.直线l在平面π上 C.直线l垂直于平面π D.直线l与平面π斜交 20.设f(x,y)?x2?(y2?1)tanx,则fx(1,1)? ( ) yA.2 B.1 C.0 D.-1 21.设z?arctanA.C.

x?y,则dz= ( ) x?y11(xdy?ydx)(xdy?ydx) B.

x2?y2x2?y211(xdy?ydx)(xdy?ydx) D.2222x?yx?y第 23 页 共 28 页

x?2z22.设z?esin,则? ( )

y?x?y(2,1)?x?e2?2?A.0 B. 2 C. 2 D. ?

e?e23.二次积分A.

?20?ydx·edy? ( ) ?x221111(1?e?2) B. (1?e?2) C. (e?2?1) D. (e?1) 222224.化积分为极坐标形式,则

??2a0dx?2ax?x20(x2?y2)dy? ( ) 2?2aA.

??d??2?22acos?0rdr B. ?d??r3dr 300?C.

?20d??2acos??0rdr D. ?d??2022acos?01r3dr 13·x?…,|x|? ,则?8f(x)dx? ( ) 25.设f(x)?1?2·3x?3·3·x+…+n·031234A. B. C. D.

555522n?1n?1xn26.幂级数?n的收敛区间(不包括端点)为 ( ) n?13?n?A.(-1,1) B.(?,) C.(-3,3) D.(-∞,+∞) 27.下列数项级数中,绝对收敛的是 ( ) A.1133?(?1)n?1?n?1?11n?1 B.?(?1)· ·3ln(n?1)n?1n?1nn?1C.?(?1)· D.?(?1)·

n?1nn?1n?1n?1?28.微分方程ydx?(x2?4x)dy?0的通解为 ( ) A.(x?4)y?Cx B. xy?C(x?4) C. (y?4)x?Cy D. yx?C(y?4) 29.微分方程xy???3y??0的通解为 ( )

4444C2C22y?Cx? B. 1xx2C2C22C. y?C1?2 D. y?C1x?2

xxA.y?C1x?30.微分方程y???y?e?1的一个特解应具有的形式为 ( ) A.ae?b B. axe?b C. ae?bx D. axe?bx 二、填空题（每小题2分，共30分）

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xxxxx

1.若limx?0f(x)?2,则limf(x)? .

x?0x2.从极限角度把间断点分类，点x=0是函数f(x)?t?d2y?x?e? . 3.设?，则2tdx??y?esint11的 间断点.

1?ex24.设方程y=1-ln(x+y)确定一隐函数y=y(x)，则dy= . x21在[?,1]上的最小值是 . 5.函数y?1?x26.曲线y?3x4?4x3的拐点是 . 7.设|a|=5,|b|=1,

1x=

?，则|2a-3b|= . 38.lim(1?xy)? .

x?0y?09.设区域D:0?x?1,0?y?4,则??D3xdxdy? . 210.设L是取正向的圆周x2?y2?9，则曲线积分(2xy?2y)dx?(x?4x)dy? . ?11.设f?(lnx)?1?x,则f(x)? . 12.如果级数

nc(x?1)在x??1处收敛，而在x=3处发散，则它的收敛域为 . ?nn?0?13.设函数f(x)?cos2x,则f(10)(0)? . 14.如果数项级数?un?1?n收敛，则级数?un?1?n?10的敛散性为 . 15.以y?C1ex?C2e?3x为通解的常系数二阶线性齐次微分方程为 . 三、计算题（每小题5分，共40分）

ex?etanx1.求lim. x?0xtan2x2.求y?(1?x)3.求4.求

2sinx的导数dy. dx?10x?14?x2dx. ?x?arctanxdx.

y5.设z?f(u,x,y),u?xe，其中f可微，求

?z?z,. ?x?y第 25 页 共 28 页

6.计算

22.其中D是由抛物线y?2x与直线y=x围成的平面闭区域. (x?y)dxdy??D7.将函数f(x)?1展开成（x-1）的幂级数. 2x?x?68.求微分方程xy??(1?x)y?e2x在0?x???内的通解.

四、应用题（每题7分，共14分）

1.欲建一无盖的长方体容积，已知底部造价为每平方米3元，侧面造价为每平方米1元，现计划用 36元钱造一个容积最大的容器，求它的尺寸.

2.曲线y?x2(x?0)与其上某点A处的切线及x轴所围成的面积恰为的旋转体的体积.

五、证明题（共6分） 证明：2xarctanx?ln(1?x)

21，求该图形绕x轴旋转所成12答 案 一、单选题

1.B 2.C 3.B 4.B 5.C 6.C 7.D 8.A 9.C 10.C 11.A 12.B 13.C 14.B 15.A 16.B 17.B 18.B 19.C 20.A 21.C 22.C 23.B 24.D 25.A 26.C 27.B 28.A 29.C 30.B 二、填空题

1.0 2.第一类 3.e?t(cost?sint) 4.?6.(0,0)及(,?x1dx 5.0

1?x?y2316) 7.103 8.1 9.3 10.-18π 2710

11.x?e?C 12.[-1,3) 13.-2 14.收敛 15.y???2y??3y?0 三、计算题 ex?etanxetanx(e1.【解析】 原式=lim=limx?0xtan2xx?0x3x?tanx?1),(etanx?1,x?0)

ex?tanx?1x?tanx,(e~x?tanx) =lim3x?0xx?tanx?10,(型) =lim3x?0x01?=limx?012cos2x?lim1?cosx?(?1)??1.

x?03x23x2cos2x6第 26 页 共 28 页

2

2.【解析】 两边取对数：lny=sinx·ln(1+x),∴

∴y′=y[cosx·ln(1+x)+

3.【解析】 原式=∫

2

1sinx2

?2x, y′=cosx·ln(1+x)+21?xy2x?sinx2x?sinx2sinx2

]=(1+x)(cosx·ln(1+x) +).

1?x21?x2x4?x2dx??111xxdx???d(4?x2)?arcsin??4?x2?arcsin?C,

24?x2224?x21111x212124.【解析】 原式=?arctanx?d(x)?x?arctanx??dx

00201?x2221?1111?x2?1?1=??dx??(x?arctanx)??. 0224201?x242?5．【解析】

?z?f?u?f?fy?f?????e??ey?fu(u,x,y)?fx(u,x,y), ?x?u?x?x?u?x?z?f?u?f?f?f?????xey??xeyfu(u,x,y)?fy(u,x,y), ?y?u?y?y?u?y?0?x?26.【解析】 如右图所示,积分区域D可表示为：?， x?y?2x?于是

??(x?y)dxdy??dx?D0222xx(x?y)dy=?(2x?x?x3?022521226. x)dx?2217.【解析】 函数 f(x)=11?11? ???(x?3)(x?2)5?x?3x?2??111?? x?115x?11?1?23=?1?111???????5?(x?1)?2(x?1)?3?10n?1?x?1(x?1)2?1?x?1(x?1)2(x?1)nn(x?1)=-??1????????1?????(?1)?????? 2n2n10?232233?15???1?11nn= (?(?1)?)(x?1),(|x?1|?2) ?n?15n?02n?138.【解析】 原方程可化为：y′+y=[?q(x)·e

∫p(x)dx

1?x1y?e2x, 于是，其通解为： xx-∫p (x)dx

dx+C]e

12x?=[?e?ex四、应用题

1?xxdx?C]e

??1?xdxx=[?edx+C]e

x

x-lnx

1exe2x?[e+c]·e·=C·.

xxxx

x

1.【解析】 设长方形的三棱长分别为x,y,z,则体积V=xyz, 又3xy+2(yz+xz)=36,

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令 f(x,y,z,λ) =xyz+λ(3xy+2yz+2xz-36)

?fx?f?y令??fz?f???yz?3?y?2z??0?xz?3?x?2z??0?xy?2?y?2x??0?3xy?2yz?2xz?36?02

2 求解得：x=2,y=2,z=3.

于是，用36元所造的具有最大容器的尺寸是长2米，宽2米，高3米.

2.【解析】 设A点坐标为（a.a）,过A点的切线方程为：y-a=2a(x-a), aaa1a322于是与x轴交点为(,0),则： ?xdx??a(2ax?a)dx?, 212?0122于是a=1,进而V=π

?10xdx???1(2x?1)dx?22

412?30. 五、【证明】 令f(x)=2x·arctanx-ln(1+x),则f′(x)=2arctanx+又f″(x)=

2x2x??2arctanx, 1?x21?x22, 进而 f′(0)=0,f″(0)=2>0,∴ x=0点是f（x）的最小值点. 1?x22∴ 对任意的x∈(-∞,+ ∞),有f(x）≥f (0)=0,∴ 2xarctanx≥ln(1+x).

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