高三数学4月高考模拟试题 理 新人教A版

山东省邹城市第一中学高三4月高考模拟

数学（理）试题

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、设a是实数，且

1?ai?R，则实数a?（ ） 1?iB．1

C．2 D．?2

x2y2－＝1表示双曲线”的（ ） k－3k＋3

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

A．?1

2、若k?R，则“k>3”是“方程

A．充分不必要条件 C．充要条件

3．已知a,b,a?b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0?logmab?1，则m的取值范围是

A．m?8 C．1?m?8

B．m?1

D．0?m?1或m?8

?????4．设平面?的一个法向量为n1??1,2,?2?，平面?的一个法向量为n2???2,?4,k?，若

?//?，则k＝ （ ）

A．2

B．4

C．－2

D．－4

5．已知函数f（x）的导函数的图像如左图所示，那么函数f（x）的图像最有可能的是（ ）

6．用数学归纳法证明不等式

11113??L??(n?2)时的过程中，由n?k到n?1n?22n24n?k?1时，不等式的左边。。。。。。。。。。。。。。。（ ）

12(k?1) 11?B．增加了两项 2k?12(k?1)A．增加了一项

- 1 -

C．增加了两项D．增加了一项

111?，又减少了一项 2k?12(k?1)k?111，又减少了一项

k?1 2(k?1)x2x22?y?1?m?1?和双曲线?y2?1?n?0?有相同的焦点F1,F2,P是它们的7．已知椭圆mn一个交点，则?F1PF2的形状是 ????． （ ）

A．锐角三角形 C．钝角三角形

B．直角三角形

D．随m,n的变化而变化

8．两人进行乒乓球比赛,先赢三局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形（各人输赢 局次的不同视为不同情形）共有?????．（ ）

A．30种

B．20种

C．15种

D．10种

9．n个连续自然数按规律排成下表，根据规律，2011到2013，箭头的方向依次为（ ）

A．↓→

B．→↓

C．↑→

D．→↑

10．若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数f（x）的图象上;②P,Q关于原点对称,则称点对（P,Q）是函数f（x）的一个“友好点对”（点对（P,Q）与点对（Q,P）为同一

?2x2?4x?1,x?0?个“友好点对”）．已知函数f（x）=?2则f（x）的“友好点对”有（ ）

?x,x?0?e个．

A．0

B．1

C．2

D．4

二、填空题：（本大题5小题，每小题4分，共20分，把答案填在相应的位置上）

2?x2,x?[0,1],11．设f(x)?? 则?f(x)dx等于 ____________________________．

0?2?x,x?(1,2].12．椭圆中有如下结论：椭圆

x2a2?y2b2?1(a?b?0)上斜率为1的弦的中点在直线

x2a2xa

2?yb2?0上，类比上述结论得到正确的结论为：双曲线?y2b2?1(a,b?0)上斜率为1

- 2 -

的弦的中点在直线 ______ 上。 13．曲线y?12?3?x?2x在点?1,??处切线的倾斜角为 ____________________ 2?2?x2y2x2y2??1的焦点相同，那么双曲14．已知双曲线2?2?1的离心率为2，焦点与椭圆

ab259线的方程为_____________________．

15C5?C5?6,15．观察等式

159C9?C9?C9=27?23,C?C?C?C?2?2,1591317C17?C17?C17?C17?C17?215?27,1135139131313115??由以上等式推测到一个一般的结

1594n?1论：对于n?N*，C4?C?C???Cn?14n?14n?14n?1=_____________．

三、解答题（16、17、18、19每题13分，20、21每题14分，总共80分）

16．（本小题满分13分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对?25，55?岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

组数 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 低碳族的人数 120 195 100 占本组的频率 0.6 ?25,30? ?30,35? ?35,40? ?40,45? ?45,50? p 0.5 0.4 0.3 a 30 - 3 -

第六组

?50,55? 15 0.3 （1）补全频率分布直方图并求n,a,p的值；

（2）从年龄段在?40，50?的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活

动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在?40，45?岁的概率。 17．（本小题13分）某家具厂生产一种儿童用组合床柜的固定成本为20000元，每生产一组该组合床柜需要增加投入

100

元，已知总收益满足函数：

?12??x?400x(0?x?400)，其中x是组合床柜的月产量． R(x)??2?(x?400)?80000 （1）将利润y元表示为月产量x组的函数；

（2）当月产量为何值时，该厂所获得利润最大？最大利润是多少？（总收益=总成本+利

润）

18．（本小题满分13分）如图，在四面体A?BCD中，AD?平面BCD，BC?CD，CD=2，AD=4。M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC。

（1）证明:PQ//平面BCD；

（2）若异面直线PQ与CD所成的角为45?，二面角C-BM-D的大小为?，求cos?的值。

19．（本小题满分13分）已知ai＞0（i=1，2，?，n），考查

①a1?1?1； a111?)?4； a1a2

②(a1?a2)( - 4 -

③(a1?a2?a3)(111??)?9．归纳出对a1，a2，?，an都成立的类似不等式，并a1a2a3用数学归纳法加以证明．

x2y2220．（本小题满分14分）已知椭圆C:2?2?1（a?b?0）的短轴长为2，离心率为．过

ab2点M（2,0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点,O为坐标原点．

（1）求椭圆C的方程；

????????（2）求OA?OB的取值范围；

（3）若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点．

21．本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中，

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

若点A(a,b)(其中a?b)在矩阵M???sin? cos??? 对应变换的作用下得到的

???0点为B(?b,a)，（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵;（Ⅱ）求曲线C：x+y=1在矩阵N=???12

2

?cos??sin??1??2?所对应0?变换的作用下得到的新的曲线C'的方程。

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

（Ⅰ）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长

??x?2?5cos?度单位已知直线的极坐标方程为??(??R)，它与曲线?(?为参数）相交于

4??y?1?5sin??两点A和B， 求|AB|;

（Ⅱ）已知极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，若直线C1的极坐标方程为：

?cos????????x?1?cos?，曲线C（?为参数），试求曲线C2关于?22的参数方程为：??y?3?sin?4??直线C1对称的曲线的直角坐标方程

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

（Ⅰ）已知函数f?x??x?3,g?x??m?2x?11, 若2f?x??g?x?4?恒成立，求实数m的

- 5 -

取值范围。

（Ⅱ）已知实数x、y、z满足2x2?3y2?6z2?a(a?0),且x?y?z的最大值是1，求

a的值．

山东省邹城市第一中学高三4月高考模拟 数学（理）试题参考答案

1．B 2．A 3．A 4．B 5．A 6．C 7．B 8．B 9．B 10．C

5x2y2xy???1??011．12．13．45 14．15．24n?1?(?1)n?22n?1

6 412a2b2

0.3?0.06. 16．（1）第二组的频率为1-（0．04+0．04+0．03+0．02+0．02）×5=0．3．所以高为5

120200?200，频率为0．04×5=0．2．所以n??1000。 0.60.2195?0.65。 又题可知，第二组的频率0．3，第二组人数为1000?0.3?300，所以p?300第一组人数为

0第四组的频率0．03×5=0．15，所以第四组人数为100?a?150?0.4?60。????????????6分

0.?151所以，

（2）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60：

[40,45)岁中有4人，30=2：1，所以采用分层抽样法抽取6人， [45,50)岁中有2人，设[40,45)[45,50)岁中的2人为m,n,则选取2人作为领队的有岁中的4人为a,b,c,d．（a,b）, （a,c）,

（a,d）, （a,m）, （a,n）, （b,c）, （b,d）, （b,m）, （b,n）, （c,d）, （c,m）, （c,n）, （d,m）, （d,n）, （m,n）,共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有（a,m）, （a,n）, （b,m）, （b,n）, （c,m）, （c,n）, （d,m）, （d,n），共8种．所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为 P?

8．????????????13分 15- 6 -

17．（1）由题设，总成本为20000?100x，????????????2分

?12??x?300x?20000,0?x?400则y??2????????????7分

?x?400?60000?100x,（2）当0?x?400时，y??1(x?300)2?25000， 2当x?300时，ymax?25000；????????????????10分 当x?400时，y?60000?100x是减函数， 则y?60000?100?400?20000?25000．

∴当x?300时，有最大利润25000元．????????????13分 18．

法一：（1）如图，连AP并延长交BD于E，连CE，过M作MN//BD交AP于N，则AN=NE，NP=PE。故AP=3PE，从而PQ//CE。因PQ?平面BCD，CE?平面BCD，故PQ//平面BCD；

（2）过C作CF⊥BD于F，作CR⊥BM于R，连FR。因AD⊥平面BCD，故平面ABD⊥平面BCD，故CF⊥平面ABD，因此CF⊥BM，从而BM⊥平面RCF，所以∠CRF=?即为二面角C-BM-D的平面角。因PQ//CE，故∠DCE=45?，因此CE即为∠BCD的角平分线。由（1）易知DE=2MN=2EB，故DC=2BC，从而BC=1，CF?1?21?222?25。由题易知BC⊥平面ACD，故BC⊥CM。由题

CM?22，故CR?1?221?8?CF322110?。所以sin??，从而cos??。 ?CR31010101,0,1）。 2- 7 -

法二：如图建立空间直角坐标系，则C（0,0,0），D（2,0，0），A（2,0,4），M（2,0,2），Q（

????????（1）设B(0,y,0)，则P?1,y2,1?，因此QP??12,y2,0?。显然DA??0,0,4?是平面BCD

????????的一个法向量，且QP?DA?0，所以PQ//平面BCD；

????????2????????1y????????QP?CD??????得y?1，（2）由（1）QP?CD?1，|QP|?，|CD|?2，故由cos450????44|QP||CD|???????????因此B?0,1,0?，从而BD??2,?1,0?，BM??2,?1,2?。设m??x1,y1,z1?是平面BMD的法

????2x1?y1?0向量，则?，取x1?1得m??1,2,0?。设n??x2,y2,z2?是平面BMC的法向

?2x1?y1?2z1?0?????y1?0m?n10量，则?，取x1?1得n??1,0,?1?。故cos??|???|?．

2x?y?2z?010|m||n|?11119．结论：（a1+a2+?+an）（

1112

++?+）≥n?（4分）

ana1a2证明：①当n=1时，显然成立；??????????（6分） ②假设当n=k时，不等式成立， 即：（a1+a2+?+ak）（

1112

++?+）≥k????????????? （9分）

aka1a2那么，当n=k+1时， （a1+a2+?+ak+ak+1）（

1111++?++）

akak?1a1a2=（a1+a2+?+ak）（

1111111++?+）+ak+1（++?+）+（a1+a2+?+ak）+1

akaka1a2a1a2ak?1≥k+（

2

2

ak?1a1aaaa+）+（k?1+2）+?+（k?1+k）+1 a1ak?1a2ak?1akak?1≥k+2k+1

- 8 -

=（k+1）

即n=k+1时，不等式也成立．?（12分）

由①②知，不等式对任意正整数n成立．?（13分） 20．（1）易知b?1，e?c2

a?22得a2?2c2?2a2?2b2,故a2?2．

x2?y2?1． 故方程为2（3分）

（2）证明：设l：y?k(x?2)，与椭圆C的方程联立,消去y得

(1?2k2)x2?8k2x?8k2?2?0．由△＞0得0?k2? 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1?x2?8k2221． 221?2k,x1x2?8k?21?2k．

????????∴OA?OB?x1x2?y1y2

?x1x2?k2(x1?2)(x2?2)?(1?k2)x1x2?2k2(x1?x2)?4k2

10k2?27?5?= 221?2k1?2k771?7， ，∴?221?2k23故所求范围是[?2,)． （8分）

2?0?k2?（3）由对称性可知N(x2,?y2)，定点在直线AN：y?y1?x轴上．

y1?y2(x?x1)，令y?0得: x1?x216k?42y1(x1?x2)x1y2?x2y12x1x2?2(x1?x2)1?2k21?2k2x?x1?????1, 2y1?y2y1?y2x1?x2?48k1?2k2?16k2?4 ∴直线l过定点(1,0)． （13分）

21．（1）本题主要考查矩阵乘法、逆矩阵与变换等基本知识，考查运算求解能力， 满分7分． ?a???b??acos??bsin????b??????解：（Ⅰ）法一：M? ，即?b??a??asin??bcos??????a?? ，????????1分所以?????????acos??bsin???b?cos??0, 得 ????????3分 ???asin??bcos??a,?sin??1.

- 9 -

即M=?

?0?1??1?1 ，由MM????10??00??01??1得M??? 0?．??????4分 1???1?法二：同法一可求得M=?

0?1?0?1?因为 =1?0 , detM??1001??

?M?1?01??? ?． ???4分 ??10?1??x'?y矩阵N对应的线性变换为?2,??????????5分??y'?x?x?y'（Ⅱ）?? ,????????????6分y?2x'?代入x2?y2?1得4x2?y2?1??????7分（2）解：（Ⅰ）直线和圆的直角坐标方程分别为y?x和(x?1)2?(y?2)2?5????1分 则圆心为C（1，2），半径R= 5，???????????????????2分 从而C到直线y=x的距离d=

1?212?122 ???????????????3分 21?32????????????4分 2?由垂径定理得，|AB|=2R2?d2?25?（Ⅱ）解：曲线C1可化为：

22?cos???sin??2,即x?y?2???5分 22曲线C2是以（1,3）为圆心，1为半径的圆?????????6分 （1,3）关于直线x?y?2的对称点（-1，1）故所求曲线为圆

?x?1?2??y?1??1?????7分

2（3）解：（Ⅰ）函数f?x?的图象恒在函数g?x?图象的上方，

即?x?R,2f?x??2x?3?g?x?4??m?2x?4?11?m?2x?7, ????1分 从而有m?2(x?7? x?3） ???????????2分 由绝对值不等式的性质知 2（x?7?x?3)?2x?7?(x?3)=20 因此，实数m的取值范围为(??,20] ???????????3分

- 10 -

（Ⅱ）解：由柯西不等式：

?????1?21212?111?2x?(3y)?(6z)???()?()?(?2x??3y??6z)2 ????222?????2?36??236???（5分）

因为2x2?3y2?6z2?a(a?0), 所以a?(x?y?z)2，

因为x?y?z的最大值是1,所以a?1，

当2x?3y?6z时，x?y?z取最大值，????????????6分 所以a?1． ??????????????7分

- 11 -

（Ⅱ）解：由柯西不等式：

?????1?21212?111?2x?(3y)?(6z)???()?()?(?2x??3y??6z)2 ????222?????2?36??236???（5分）

因为2x2?3y2?6z2?a(a?0), 所以a?(x?y?z)2，

因为x?y?z的最大值是1,所以a?1，

当2x?3y?6z时，x?y?z取最大值，????????????6分 所以a?1． ??????????????7分

- 11 -

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