数学建模：世博会票价和评价

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摘要

本文是关于2010年上海世博会期间门票价格制定和日参观人数预测的问题。上海世博会从2010年5月1号至10月31号，为期184天，整个会期将会吸引大批游客前来参观，为了综合考虑世博会的经济效益与社会效应，我们需要制定一个合理的票价系统，平衡客流量与门票收入。

问题一中，为了对现行的票价系统建立数学模型，我们分析了影响票价的十个因素，分别是：是否是指定日，是否是优惠票，是否是夜票，是否是三次票，是否是七次票，是否受消费水平的影响，是否能缓解客流高峰，是否是预售第一期门票，是否是预售第二期门票，是否是预售第三期门票。通过回归分析，建立了票价与十个因素之间线性回归模型：

y=161.8947+104.5263x1-68x2+0x3+313.6842x4+813.6842x5

+0x6-71.8947x7-28.2105x8-18.2105x9-7.3684x10;

问题二中，首先我们知道影响日参观人数的因素很多且具有不确定性，在已知5,6,7,8月份的日参观人数的前提下，为了预测9月10号至9月14号的日参观人数，我们对已知数据进行预处理，筛选出6月1号—7月31号，8月7号—8月28号这83天的数据建立灰色系统预测模型，求出递推公式，从而得出9月10号至9月14号的日参观人数及预计总参观人数，预计门票总收入分别为： 9月10号 9月11号 9月12号 9月13号 9月14号 预计总参预计门票观人数 总收入 44.2744 44.2833 44.2922 44.3010 44.3099 7449.4 71.514 万人 万人 万人 万人 万人 万人 亿元 问题三中，为了评价世博会的利弊，我们建立模糊综合评判模型，选用了以“非常有利，比较有利，利弊相等，弊大于利”为评语的评语集，以“政治，经济，科技文化，社会生活”为因素的因素集，最终得到综合评价向量：

B=(0.33330.33330.19050.1429)

由最大隶属原则得出世博会的举办整体非常有利，提高了我国的国际地位，促进了经济的发展和科技文化的进步，但同时也存在一定的弊端，造成区域经济发展过快，拉大了城市之间的差距，对人们生活造成了一定的负面影响。

问题四中，为了兼顾世博会期间的参观人数和门票收入，我们重新制订了票价系统，调整部分票价，增加一些票种：家庭票，并扩大了优惠人群：普通劳动者，以期达到更好的效果。

关键字：

多元线性回归 灰色系统预测 模糊综合评判 定价系统 Matlab

一．问题重述

1.背景资料

世界博览会(WORLD EXPO，简称“世博会”)是由一个国家的政府主办，有多个国家或国际组织参加，以展现人类在社会、经济、文化和科技领域取得成就的国际性大型展示会。

世博会是一次展现人类文明与发展的盛会，各个国家在展区设立展馆来向世界人民展示本国的文化，通过国家之间的交流，达到相互促进，相互了解的目的，从而促进世界的和平与稳定。而作为第一个举办世博会的发展中国家，上海世博会将给中国的发展与强大带来诸多积极影响。

2010年上海世博会会期从5月1日到10月31日，一共184天。主题是：“城市，让生活更美好。” 它包含了五个分主题：城市与经济发展关系、城市与可持续发展关系、城乡互动关系、城市与高科技发展关系、城市与多元文化发展关系。要求更适宜居住的环境，更高质量的生活，这是人类新世纪的梦想。她体现了以人为本的理念，真实的反映了人类对城市发展前景的希望和渴求。

2.建模需要处理的问题

●上海世博会门票定价的原则是： ① 门票基准价格使绝大多数参观者能够承受； ② 对特殊群体予以适当优惠； ③ 鼓励提前购买，鼓励有组织地参观，鼓励团体购买； ④ 以区别价格平衡参观客流，起到削峰填谷的作用。 ●上海世博会门票的种类是：

上海世博会门票设个人票和团队票两大类，共11种。个人票分为指定日票、平日票和当日票，其中指定日票分指定日普通票和指定日优惠票两种；平日票分平日普通票、平日优惠票、3次票、7次票和夜票五种；当日票分当日普通票和当日优惠票两种；团队票分普通团队票和学生团队票两种。上海世博会不设赠票，除入园时身高1.2米以下（含1.2米）儿童免票外，其他参观者均须购票入园。

●解决下列问题：

问题一： 根据现行的定价系统，给出确定票价的数学模型。

问题二：从网上获取每天参观人数，建立每天参观人数的预测模型，并对9月10日-14日的参观人数进行预测，以及整个世博会期间的参观总人数和门票收入进行预测。

问题三： 基于以上结果，建立相关模型，对举办这次上海世博会的利与弊给出分析和讨论。

问题四： 为了兼顾整个世博会期间的参观总人数和门票收入，设计你的票价定价模型，并给出合理化建议。

二．问题分析

上海世博会期间，必将吸引中国乃至世界其他国家人民前来参观，为了兼顾前来参观的总人数和整个世博会期间的门票收入，我们必须考虑如何建立一个合

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理适当的票价系统，平衡会展的社会效应与经济效益。同时，为了全面了解世博会的会展情况，我们需要预测与统计每天的人流量，从而保证此次盛会能够顺利圆满举行。

问题一：

我们需要分析影响门票种类与门票价格的各个因素，以及这样区分票价与票种的目的，意义，最后考虑各个因素对票价的影响程度，建立多元线性回归模型。 问题二：

这是一个时间序列的预测问题，我们知道影响参观人数的因素很多，且各个因素的随机性很大，很难综合考虑每个因素来对未来的世博会参观人数进行预测，因此，我们考虑建立灰色系统预测模型，对已知数据做处理，通过求解模型预测9月10号至9月14号的参观人数。 问题三：

基于问题一与问题二，我们可以预测世博会期间的参观总人数和门票收入，为了对世博会利弊综合分析，我们考虑设定几个指标，然后进行模糊综合评判。 问题四：

为了兼顾整个世博会期间的总参观人数和门票收入，我们要制定一个合理的定价系统，争取吸引更多的游客参观世博，使得世博会的社会效应更加普及，增加世博会的人文关怀。但同时，也必须考虑世博会的经济效益，票价要适当，合理，实现社会效应与经济效益的平衡。

三．模型假设

1.由于团体票价不明确，问题一中仅考虑个人票的定价模型。 2.影响票价的各个因素相立。

3.问题一中影响票价的随机因素e?N(0,s)。

4.假设世博会期间的平均门票价格为96元/人。 5.假设消费者水平对19种票价均有影响。

6.由于对身高低于1.2m的儿童免费，因此世博会总人数估计和总门票收入估计忽略此因素。

2四．符号假定

1.x1,x2,?,x10表示世博会期间影响票价的十个因素。 2.P表示世博会期间的参观总人数的预测值。 3.W表示世博会期间的总门票收入的预测值。

4.v表示模糊综合评判的评语集，v1,v2,v3,v4表示对世博会利弊的评语。 5.u表示模糊综合评判的因素集，u1,u2,u3,u4表示世博会的四个影响因素。 6.R表示模糊综合评判的评判矩阵。 7.B表示模糊综合评判的综合评判向量。 8.b表示回归系数向量。

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五．模型的建立及求解

5.1问题一 5.1.1模型建立

世博会的门票分个人票与团体票，因为团体票的价格不明确，所以本题只是建立个人票的定价模型。

个人门票共九种，分别是指定日普通票，指定日优惠票，平日普通票，平日优惠票，三次票，七次票，夜票，当日普通票，当日优惠票。分析题意及客观事实，得出影响门票价格的十种因素，分别是：是否为指定日票，是否是优惠票，是否是夜票，是票为三次票，是否是七次票，是否受消费水平的影响，是否能缓解客流高峰，是否是预售第一期门票，是否是预售第二期门票，是否是预售第三期门票。

接下来，把十种因素看做0—1变量（是为1，不是为0），我们假设这十种因素与门票价格之间存在多元线性关系，建立多元线性回归模型，运用MATLAB工具箱中的REGRESS()求解该模型，通过分析程序运行结果，分析原假设是否成立，进而分析十种因素与门票价格之间关系。 建立多元线性回归模型：

y=b0+b1x1+b2x2+?b8x8+b9x9+b10x10+e；

其中，

y表示预测目标，即各类门票的价格;xi表示影响因素，i=1?.10;

bi,i=0?10表示多元线性回归模型的回归系数;e表示随机误差项，代表各种

随机因素对y的影响的总和，且服从正态分布，e?N(0,s)。

根据查得的各类门票价格和设定的0—1变量： 门票价格的样本观测值：

y=( 200 120 160 100 160 100 400 900 90 170 130 180 140 190 110 150 90 400 900)

10种因素对票价的0-1向量：

x1=（1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0）;

x2=（0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0）; x3=（0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0）; x4=（0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0）; x5=（0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1）;

x6=（1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1）;

x7=（1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1）; x8=（0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0）;

x9=（0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0）;

x10=（0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1）;

2?i，i=0?10。 利用最小二乘法可以得到各个回归系数b的估计值b

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则回归分析模型为

?0+b?1x1+b?2x2+?b?9x9+b?10x10； ?=by5.1.2模型的求解

编写多元线性回归模型的程序，在MATLAB软件的工作区中运行该程序，得出各

个回归系数及相应回归系数的置信区间，各个残差及相应的残差的置信区间，和用于检验线性回归的统计量，具体运行结果见附录。 下面是程序运行得到的部分数据 表一. 回归系数的估计值 b= 161.8947 104.5263 -68.0000 0 313.6842 813.6842 0 -71.8947 -28.2105 -18.2105 -7.3684 表二. 用于检验线性回归的统计量 stats(拟合优度，F统计量值，F统计量对应的概率P，误差方差) 1 3524.5 0 38.7 由表可知拟合优度为1，说明多元线性回归方程完全拟合了样本观测值；F统计量为3524.5，且F>F0.05(10,8)=2.306,说明了各个因素与门票价格之间的线性效果是显著的。因为P<0.05，回归模型成立。

将回归系数阵b中的数据带入原方程，得出该模型的多元线性回归分析模型：

y=161.8947+104.5263x1-68x2+0x3+313.6842x4+813.6842x5

+0x6-71.894x77-28.2x180-518.x92-105x103684 7.即现行的定价系统下的门票定价模型。

5.2问题二

首先搜集资料得到从5月1号至8月31号世博会的每日参观人数，分析这123天的日参观人数可得出，世博会每日的参观人数具有不稳定性，从5月1日到5月31日，每日参观人数呈现增长趋势，而6，7，8月份参观人数基本呈现

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