高等数学2（下册）试题答案以及复习要点汇总（完整版）

高等数学（下）试卷一

一、 填空题（每空3分，共15分）

11z??x?yx?y的定义域为 （1）函数

（2）已知函数

z?arctany?z?x，则?x

2yy2（3）交换积分次序，

?20dy?f(x,y)dx＝

（4）已知L是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则

?(x?y)ds?

L（5）已知微分方程y???2y??3y?0，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分）

?x?3y?2z?1?0?（1）设直线L为?2x?y?10z?3?0，平面?为4x?2y?z?2?0，则（ ） A. L平行于? B. L在?上 C. L垂直于? D. L与?斜交

（3）已知?是由曲面4z?25(x?y)及平面z?5所围成的闭区域，将柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.

22222(x?y)dv????在

?2?0d??rdr?dz0023502r235 B.

?2?0d??rdr?dz002?22500435

D.

三、计算题（每题8分，共48分）

C.

?2?0d??rdr?5dz?0d??rdr?dzx?1y?2z?3x?2y?1z????LL1210?1211的平面方程 1、 求过直线:且平行于直线：

?z?z222、 已知z?f(xy,xy)，求?x， ?y

3、 设

D?{(x,y)x?y?4}，利用极坐标求

222x??dxdyD

2x2f(x,y)?e(x?y?2y)的极值 4、 求函数

?x?t?sint?(2xy?3sinx)dx?(x2?ey)dy?5、计算曲线积分L， 其中L为摆线?y?1?cost从点

O(0,0)到A(?,2)的一段弧

xy?1的特解 ?xy?y?xe6、求微分方程 满足 x?1考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 1 页 共 24 页

四.解答题（共22分）

22xzdydz?yzdzdx?zdxdy????22z?x?y?，其中由圆锥面与上半

1、利用高斯公式计算

22z?2?x?y球面所围成的立体表面的外侧 (10?)

?n?1n(?1)?n?13n?12、（1）判别级数的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6?）

（2）在x?(?1,1)求幂级数n?1

?nx?n的和函数（6?）

高等数学（下）试卷二

一．填空题（每空3分，共15分）

4x?y2z?ln(1?x2?y2)的定义域为 ； （1）函数

xy（2）已知函数z?e，则在(2,1)处的全微分dz? ；

（3）交换积分次序，?e1dx?lnx0f(x,y)dy2＝ ；

（4）已知L是抛物线y?x)点B(1,1上点O(0,0与之间的一段弧，则

?Lyds? ；

（5）已知微分方程y???2y??y?0，则其通解为 .

二．选择题（每空3分，共15分）

?x?y?3z?0?（1）设直线L为?x?y?z?0，平面?为x?y?z?1?0，则L与?的夹角为（ ）；

???A. 0 B. 2 C. 3 D. 4

?z?33z?3xyz?az?f(x,y)（2）设是由方程确定，则?x（ ）；

yzyzxzxy2222A. xy?z B. z?xy C. xy?z D. z?xy

（3）微分方程y???5y??6y?xe的特解y的形式为y?（ ）；

2x2x2x2x(ax?b)e(ax?b)?ce(ax?b)xe(ax?b)?cxeA. B. C. D.

2x??考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 2 页 共 24 页

???2222x?y?z?a（4）已知?是由球面所围成的闭区域, 将?三次积分为（ ）； A

dv在球面坐标系下化成

?0a?2?0?0d??2sin?d??rdr0a2 B.

?2?0d??2d??rdr02?

a0C.?2?0d??d??rdr00??a D.?0d??sin?d??r2dr0?

2n?1nx?n（5）已知幂级数n?12，则其收敛半径

（ ）.

1A. 2 B. 1 C. 2 D.

得分

阅卷人 2

三．计算题（每题8分，共48分）

5、 求过A(0,2,4)且与两平面?1:x?2z?1和?2:y?3z?2平行的直线方程 .

?z?zx?yz?f(sinxcosy,e)，求?x， ?y . 6、 已知

7、 设得分 D?{(x,y)x?y?1,0?y?x}，利用极坐标计算

2222??arctanDydxdyx .

8、 求函数f(x,y)?x?5y?6x?10y?6的极值. 9、 利用格林公式计算

222?L(exsiny?2y)dx?(excosy?2)dy，其中L为沿上半圆周(x?a)?y?a,y?0、从A(2a,0)到O(0,0)的弧段.

3yy???(x?1)2x?16、求微分方程 的通解.

四．解答题（共22分）

1、（1）（6?）判别级数n?13n的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；

?xn?(?1,1)?4（2）（）在区间内求幂级数n?1n的和函数 .

?(?1)n?12nsin?????(12)2、利用高斯公式计算?的下侧

2xdydz?ydzdx?zdxdy22z?x?y(0?z?1)?，为抛物面

高等数学（下）模拟试卷三

考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 3 页 共 24 页

一． 填空题（每空3分，共15分）

1、 函数y?arcsin(x?3)的定义域为 .

(n?2)2lim22、n??3n?3n?2= .

2y?ln(1?x)，在x?1处的微分dy? . 3、已知

?4、定积分

1?1(x2006sinx?x2)dx? .

dy?57y?2y?x?3x?05、求由方程所确定的隐函数的导数dx .

二．选择题（每空3分，共15分）

x2?1y?2x?3x?2的 间断点 1、x?2是函数

（A）可去 （B）跳跃

（C）无穷 （D）振荡

1?x2、积分= .

(A) ? (B)??

(C) 0 (D) 1

3、函数y?e?x?1在(??,0]内的单调性是 。 （A）单调增加； （B）单调减少；

（C）单调增加且单调减少； (D)可能增加;可能减少。

x?10x2dx?4、

1xsintdt的一阶导数为 .

??5、向量a?{1,?1,k}与b?{2,?2,?1}相互垂直则k? .

（A）3 （B）-1 （C）4 （D）2

三．计算题（3小题，每题6分，共18分）

（A）sinx （B）?sinx （C）cosx （D）?cosx

2x?3x?1)x??2x?11、求极限

x?sinxlimx32、求极限x?0

dyxy?lncose3、已知，求dx

lim(考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 4 页 共 24 页

四．计算题（4小题，每题6分，共24分）

?t2?x?2?d2y?y?1?t21、已知?，求dx x2、计算积分?2cosxdx

?3、计算积分

10arctanxdx24、计算积分0

五．觧答题（3小题，共28分）

1、(8?)求函数y?3x?4x?1的凹凸区间及拐点。

42?2?x2dx?1x?0??1?xf(x)??2?1x?0f(x?1)dxx?1???(8)01?e?2、设求

22y?xy?x所围图形的面积；(6?) 3、（1）求由及

（2）求所围图形绕x轴旋转一周所得的体积。(6?)

考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 5 页 共 24 页

z?0,z?3,x2?y2?1所围区域的整个表面的外侧。

3、判别下列级数的敛散性：

???n1n(?1)(2)4sin??n(1)lnn3n?2n?1 五、求解下列各题（共21分,每题7分）

1f(x,y)?3x2?6x?y3?2y2?131、求函数的极值。

dy?y?exy?1的特解。

2、求方程dx满足x?0x3、求方程y???5y??6y?(x?1)e的通解。

高等数学（下）模拟试卷七

一． 填空题（每空3分，共24分）

1z?2222(x?y)25?x?y1．二元函数的定义域为

21yt?1?yt?35的通解为 2．一阶差分方程

3．z?xy的全微分dz? _ z?arctan4．ydx?xdy?0的通解为 ________________

?zy??xx，则5．设______________________

6．微分方程y???2y??5y?0的通解为

7．若区域D?(x,y)|x?y?4，则

??22???2dxdy?D

1?n2n?08．级数的和s=

二．选择题：（每题3分，共15分）

1．f?x,y?在点?a,b?处两个偏导数存在是f?x,y?在点?a,b?处连续的 条件

（A）充分而非必要 （B）必要而非充分

（C）充分必要 （D）既非充分也非必要

2．累次积分?

考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 11 页 共 24 页

10dx?x0f(x,y)dy改变积分次序为

(A) ?（C）

10dy?f(x,y)dx01 （B）? （D）

10dy?x01f(x,y)dx

3x?10dy?y20f(x,y)dx?10dy?2f(x,y)dxy3．下列函数中， 是微分方程y???5y??6y?xe（A）y?(ax?b)e23x3x3x的特解形式(a、b为常数)

3x （B） y?x(ax?b)e（C）y?x(ax?b)e （D） y?ae 4．下列级数中，收敛的级数是 n??（A） n?12n?1 （B） n?12n?1 （C）

?z?222x?y?z?4z?x5．设，则 ?1?(?3)n?2n （D） n?1?(?1)n?nn?1?

xxxx?(A) z (B) 2?z (C) z?2 (D) z

得分 三、求解下列各题（每题7分，共21分）

x?z?z z?u2lnv,而u?,v?3x?4y,阅卷人 y1. 设，求?x?y

3n?nn22. 判断级数n?1?的收敛性 3.计算

xe??D2?y2dxdy，其中D为x?y?1所围

22区域

四、计算下列各题（每题10分，共40分）

1y??y?lnxx1. 求微分方程的通解.

2.计算二重积分

?I????x?y?dxdyD，其中D是由直线y?x,x?1及x轴围成的平面区域.

32f(x,y)?y?x?6x?12y?5的极值. 3.求函数

xn?2nn?4n?14.求幂级数

的收敛域.

高等数学（下）模拟试卷一参考答案

一、填空题：（每空3分，共15分）

考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 12 页 共 24 页

4xydxf(x,y)dy122??0x21、 {(x,y)|x?y?0,x?y?0} 2、x?y 3、

x?3x4、2 5、y?C1e?C2e

?二、选择题：（每空3分，共15分） 1.C2.D3.C4A5.D 三、计算题（每题8分，共48分）

1、解： A(1,2,3)????s1?{1,0,?1}s2?{2,1,1} 2?

???ij?kn?s1?s2?120?1?i?3j?k11??? 6?

?平面方程为 x?3y?z?2?0 8?

v?x2y 2? ?z?z?u?z?v?????f1??y2?f2??2xy ?x?u?x?v?x 6?

?z?z?u?z?v?????f1??2xy?f2??x2?y?u?y?v?y 8?

0?r?2， 3? 3、解：D:0???2?2、解： 令u?xy2?232xdxdy?rcos?drd???????DD2?0cos2?d??r3dr02?4? 8?

2x2?f(x,y)?e(2x?2y?4y?1)?0?x1?2x(,?1)f(x,y)?e(2y?2)?0?y4．解： ? 得驻点2 4?

A?fxx(x,y)?e2x(4x?4y2?8y?4),B?fxy(x,y)?e2x(4y?4),C?fyy(x,y)?2e2x 6?

11f(,?1)??e?A?2e?0,AC?B2?4e2?0?极小值为22 8?

?P?Q?2x?,?2yP?2xy?3sinx,Q?x?e?x 5．解：，有?y曲线积分与路径无关 2? 积分路线选择：L1:

y?0,x从0??，L2:x??,y从0?2 4?

L1L2?L(2xy?3sinx)dx?(x2?ey)dy??Pdx?Qdy??Pdx?Qdy?200

8?

??3sinxdx??(?2?ey)dy?2?2?e2?7考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 13 页 共 24 页

6．解：

y??11y?ex?P?,Q?exxx 2?

?P(x)dx??dxdxP(x)dxx?x?x[?Q(x)edx?C]?e[?eedx?C]11?通解为

y?e? 4?

11?[?ex?xdx?C]?[(x?1)ex?C]x x 6?

1y?[(x?1)ex?1]y?1x代入x?1，得C?1，?特解为 8?

四、解答题

1、解：

22xzdydz?yzdzdx?zdxdy????(2z?z?2z)dv????zdv?????? 4?

????r3cos?sin?drd?d?? 6?

方法一： 原式＝方法二： 原式＝

?2?0?d??4cos?sin?d??020r3dr?1?2 10?

?2?0d??rdr?012?r2rzdz?2??r(1?r2)dr?0?2 10?

n?1?un?131nn?1nn?1lim?lim???1??n?1un?(?1)n??3nn?1n??un3n?13n32、解：（1）令收敛， 4?

?n??(?1)n?1n?13绝对收敛。 6? n?1（2）令

s(x)??nx?x?nxn?1?xs1(x)nn?1n?1?xn?1??? 2?

?

x0s1(x)dx???nxdx??xn?n?10n?1xx1?s1(x)?()??1?x1?x(1?x)2 5?

?s(x)?x(1?x)2x?(?1,1) 6?

高等数学（下）模拟试卷二参考答案

一、填空题：（每空3分，共15分）

1、 {(x,y)|y?4x,0?x?y?1} 2、edx?2edy 3、

22222?10dy?yf(x,y)dxee

考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 14 页 共 24 页

1(55?1)x4、12 5、y?(C1?C2x)e 二、选择题：（每空3分，共15分） 1. A 2.B3. B 4.D5. A 三、计算题（每题8分，共48分）

1、解： A(0,2,4)????n1?{1,0,2}n2?{0,1,?3} 2?

i???j?ks?n1?n2?10012??2i?3j?k?3??? 6?

xy?2z?4??31 8? ?直线方程为?22、解： 令u?sinxcosyv?ex?y 2?

?z?z?u?z?v?????f1??cosxcosy?f2??ex?y ?x?u?x?v?x 6?

?z?z?u?z?v?????f1??(?sinxsiny)?f2??ex?y?y?u?y?v?y 8?

3、解：

D:0????40?r?1， 3?

?1y?24???arctandxdy???r?drd????d??rdr?00x64 8? DD??fx(x,y)?2x?6?0??fy(x,y)?10y?10?0 得驻点(3,?1) 4? 4．解： ?A?fxx(x,y)?2,B?fxy(x,y)?0,C?fyy(x,y)?10 6?

?A?2?0,AC?B2?20?0?极小值为f(3,?1)??8 8?

xP?esiny?2y,5．解：Q?excosy?2，

?Q?excosy,?x2?

?P?excosy?2,有?y 取A(2a,0),OA:y?0,x从0?2a 4?

?Q?P2?(?)dxdy?2dxdy??a??Pdx?Qdy??Pdx?Qdy???x?yOADD ?L 6?

Pdx?Qdy222?OA?a ?原式＝－＝?a?0??a 8?

考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 15 页 共 24 页

31P??,Q?(x?1)2x?16．解： 2?

?通解为

y?e??P(x)dx[?Q(x)e?12P(x)dxdx?C]?e?x?1dx1[?(x?1)e32??x?1dx1dx?C] 4?

32?(x?1)[?(x?1)dx?C]?(x?1)[(x?1)2?C]3 8?

四、解答题

n?1un?123lim?lim??1n???n??un?3un?(?1)n?12nsinn2nsinn334? 1、解：（1）令

????n??2sinn??(?1)n?12nsinn3收敛， n?13绝对收敛 6? n?12n?1sin?xns(x)??n?1n（2）令

?

n????x1?s(x)??????xn?1?1?x， 2? n?1?n?n?1??s(x)??s?(x)dx?s(0)??ln(1?x)0x2、解：构造曲面

??1:z?1,上侧

?1 4?

??2xdydz?ydzdx?zdxdy???2xdydz?ydzdx?zdxdy????(2?1?1)dv?4???dv?4???2?011 2?

0d??rdr?2dz?8?1(1?r2)rdr?2?0r? 4? 6? 8?

?I?2????2xdydz?ydzdx?zdxdy?1 10?

?2????dxdy??Dxy

12?

高等数学（下）模拟试卷三参考答案

考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 16 页 共 24 页

一．填空题：（每空3分，共15分）

?2??2?10,??0,??X?1且x?01.；2.a；3. 2dx；4.0；5. ?3?或?3? 二．选择题：（每空3分，共15分） 1.A;2.D;3.A;4.A;5.C. 三．计算题：

1.

?lim?1?kx?x?01?(?k)?kx??1?kx?2?k4??e?k2?

2? 2.

??limx?01cosxsint2dtx3?(?sincos2x)(?sinx)?limx?03x24???2?2?

1lnsindy11?1??excos??2?1dxx?x?sinx 3.

四．计算题：

1lnsin11??2excotxx

dydx?yey?x?03?x?0eyy??y?xy??02?;x?0,y?01?; 1.

2.原式

?xarcsinx??x11?x2x?0；

1d(1?x2)2?dx2??xarcsinx??2?21?x2

32?xarcsinx?1?x2?c?322?

32?0 3. 原式 4.原式五．解答题: 1

2???(sinx)cosxdx??2(sinx)dsinx???(sinx)dsinx3??023a?41?5

??d(3a2?x2)?23a2?x23?0???3a2?x2???03a2??3a?3a2?3a1?。

．

1?1?2t46a12a1?1?y??,t?2,k??,x?,y?,切线:4x?3y?12a?0,法线：3x-4y+6a=01?t2355 2.

1lna?lnb1设f(x)?lnx,x?b,a?,a?b?02?,lna?lnb?(a?b),b???a2?,???aa?bb3.

12?考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 17 页 共 24 页

（1）

S??20?x4?32?xdx????4?0822??42?

82?25????364?2Vy????4?y3?dy???4y?y3?2???05?05??? （2）、

高等数学（下）模拟试卷四参考答案

一．填空题：（每空3分，共15分）

1?21x1241.2?x?4；2.3；3. dx；4. 3；5. 2?5y。 二．选择题：（每空3分，共15分）

1. C；2. D；3. B；4. B；5. C。

6三．1.

3??1????lim?2x?x??1?1??2x??x3??3??1??1?5??2x?2x??23???lim?e???2x?(?2)x??11???1???1??2x???2x?2sin2x22?3?2x3?32

1?cosx2?12??lim?2x?03x26 2.x?03xdy1??(?sinex)?ex3???excotexx 3.dxcose 四．

?lim

3?

12?21dyt2?y??,2?tdxt 1.

222??t?32?；

2?2.

??xdsinx?xsinx??sinx?2xdx101?xsinx?2xcosx?2sinx?c?12024?

1ln(1?x2)2???xarctanx??x?dx??201?x42 3.

?2???4??2?ln22?2

1? 4.

x?2sint1?,??20??sin2t?22cost?2costdt??t??2?2。 ??0五．解答题

考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 18 页 共 24 页

y??12x3?12x2,y???36x2?24x,2?22?x1?0,x2?为拐点，3?2??2?4???，0、，??为凹区间，?????0，? 为?3??3? 1.

凸区间

2.

?1,x?1?1211?xx?f(x?1)??,(2?)??dx?dx(2)?lne?1x01?ex?1,x?1??1?ex?1?ln(1?e)?2ln2(2?)

102??ln(1?ex)10?lnx1(2)

3.（1）、

??10?3x3?224??22x?xdx??x??3?0?3?1??1231?

2? （2）、

Vx????x?x4?dx01?x2x5?4???????25?0?3?102?

高等数学（下）模拟试卷五参考答案

一、填空题：（每空3分，共21分）

x2?y2x2?y2??(x,y)x?y,y?02xedx?2yedy12、

， 、

，3、0,4、2?，

5、?01dy?eeyf(x,y)dx，6、条件收敛，7、y??cosx?c（c为?常数），

二、选择题：（每空3分，共15分）1、A，2、D，3、A，4、D，5、B

zF(x,y,z)?lnz?e?xy???1? 三、解：1、令F?zyz??x??xFz1?zez ???4?

Fy?zxz???z?yF1?zez ???7?

1,?2,3????2? 2、所求直线方程的方向向量可取为?考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 19 页 共 24 页

x?1yz?2???23???7? 则直线方程为：1?3、原式

四、解：1、令

???4?

?? ???7?

0??d??r3dr402P(x,y)?y2?ex,Q(x,y)?2xy?5x?sin2y,???(D?P?Q?2y,?2y?5?y?x???3?

原式

?Q?P?)dxdy?x?y???6?

?20? ???8?

2、(1) 此级数为交错级数 ???1?

nn?1(n?1,2,??) ???4?

故原级数收敛 ???6?

(2) 此级数为正项级数???1?

因

n??lim1n?01 ，

?1(n?1)2n?113lim??12n??3n3n 因 ???4? 故原级数收敛 ???6?

2f(x,y)?3x?3?0，fy(x,y)?3?y?0得驻点(1,3),(?1,3) ???2? x1五、解：、由

在(1,3)处

A?fxx(1,3)?6,B?fxy(1,3)?0,C?fyy(1,3)??1

2AC?B?0,，所以在此处无极值 ???5? 因

在(?1,3)处

A?fxx(?1,3)??6,B?fxy(?1,3)?0,C?fyy(?1,3)??12

因AC?B?0,A?0，所以有极大值

f(?1,3)?152???8?

2、通解

y?[?e?xe?dx?c]e?dx?x?1dx ???3?

?xeyx?0?ce?x ???6? ?c?2

?xy?(x?2)e特解为 ???8?

3、1)其对应的齐次方程的特征方程为 r2?2r?8?0

有两不相等的实根r1?2,r2??4

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所以对应的齐次方程的通解为 y?c1e 2)设其特解y(x)?ae 将其代入原方程得

*x2x?c2e?4x（c1,c2为?常数） ???3?

?5aex?2ex,a??25

2y*(x)??ex5???6? 故特解

3)原方程的通解为y?c1e?c2e

2x?4x2?ex5???7?

高等数学（下）模拟试卷六参考答案

一、 填空题：（每空3分，共21分）

12222??(x,y)x?1?y?x?12xcos(x?y)dx?2ycos(x?y)dy, 321、， 2、，、

?20204、22，5、?，6、绝对收敛，7、y?x?c（c为?常数），

二、选择题：（每空3分，共15分）1、B，2、B，3、B，4、D，5、D 三、解：

31、令F(x,y,z)?z?3xyz?5???2?

d??f(r2)rdr1F?zyz??x?2?xFzz?xy ???4?

Fy?zxz???2?yFzz?xy ???6?

2、所求平面方程的法向量可取为?2,1,3????2?

则平面方程为：2(x?1)?y?3(z?2)?0???6?

03、原式01?3 ???6?

??dx?(x2?y2)dy1x???4?

四、解：1、令

原式

P(x,y)?x2?y,Q(x,y)??(x?siny),121?P?Q???1?y?x???3?

??(x?0)dx??(1?siny)dy00???6?

?cos1?53 ???7?

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2、令P?x,Q?y,R?z???2?

原式

????(??P?Q?R??)dv?x?y?z???5?

???7? ? ?9????8?

3、(1) 此级数为交错级数 ???1?

111?lim?0n??lnn 因 ，lnnln(n?1)(n?2,3??) ???4?

故原级数收敛 ???5?

(2) 此级数为正项级数???1?

n?143lim??1n???34nsinn3 因 ???4? 故原级数发散 ???5?

2f(x,y)?4y?y?0f(x,y)?6x?6?0yx五、解：1、由，得驻点(?1,0),(?1,4)

???3?

A?fxx(?1,0)?6,B?fxy(?1,0)?0,C?fyy(?1,0)?4在(?1,0)处

2AC?B?0,A?0，所以有极小值f(?1,0)??2 ???5? 因

????3dv4n?1sin?在(?1,4)处

A?fxx(?1,4)?6,B?fxy(?1,4)?0,C?fyy(?1,4)??4

2AC?B?0,，所以在此处无极值 ???7? 因

2、通解

y?[?exe??1dxdx?c]e?dx ???3?

x?(x?c)e ???5? yx?0?c?1,

xy?(x?1)e特解为 ???7?

3、1)对应的齐次方程的特征方程为 r2?5r?6?0 , 有两不相等的实根r1?2,r2?3

2x3x所以对应的齐次方程的通解为 y?c1e?c2e（c1,c2为?常数） ???3?

2)设其特解y(x)?(ax?b)e

*x152ax?3a?2b?x?1,a?,b?24 将其代入原方程得

15y*(x)?(x?)ex24???6? 故特解

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3)原方程的通解为y?c1e2x?c2e3x15?(x?)ex24???7?

一．填空题：（每空3分，共24分）

2t3y?C?()?y?1yt(x,y)|0?x?y?25??yxdx?xlnxdy 351. 2. 3.

yx22y?e(C1cos2x?C2sin2x) 7.8?8. 2 y?Cx1?xy 4. 5. 6.

22二．选择题：（每题3分，共15分）

1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 三．求解下列微分方程（每题7分，共21分）

?z?z?u?z?v2x3x2???2ln(3x?4y)?2?x?u?x?v?xy(3x?4y)y1.解： ………(4分) ?z?z?u?z?v?2x24x2???3ln(3x?4y)??y?u?y?v?yy(3x?4y)y2 ………(7分)

3n?1(n?1)?2n?13nn?2n3. 解：??eDx2?y2dxdyu2.解：limn?1?limx??ux??n?(5分)=? 2? 0d??erdr??(5分)01r2四．计算下列各题（每题10分，共40分）

1.解：原方程的通解为1 2?13r2=?ed? ??1???(6分) 0022所以此级数发散????(7分) ??(e?1)??(7分)

y?e1??dxx?[?lnxe??xdx1dx?c] ???(6分)1=x[?lnxdx?C]?x[?lnxdlnx?C]x1?x[(lnx)2?C]?????????(10分)2

2. 解：???x?y?dxdy=?dx?D 01x 0?x?y?dy??(6分)

1? 131?x1=??xy?y2?dx??x2dx???(10分) 0 022?02?考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 23 页 共 24 页

??fx(x,y)??2x?6?03.解： 得驻点(3，2)和(3，-2)????(4分)?2f(x,y)?3y?12?0??yfxx(x,y)??2,fxy(x,y)?0,fyy(x,y)?6y在点(3，2)处，A=-2，B=0，C=12，AC?B2=-24<0，故点(3，2)不是极值点????????(7分)在点(3，-2)处，A=-2，B=0，C=-12，AC?B2=24>0，且A<0，2)是极大值点，极大值f(3,?2)?30??????(10分) 故点(3，4.解：此幂级数的收敛半径：R=limn??anan?112nn4?lim?4??(6分)n??1(n?1)24n?1x?4时幂级数变为?1是收敛的p-级数2nn=1??(-1)nx??4时幂级数变为?2绝对收敛?????????????(8分)n=1nxn 所以?2n收敛域为[-4，4]????????????????(10分)n?4n?1

?

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