信号分析概念

第一章 绪论

1.1 信号与系统

信号是消息的表现形式，消息则是信号的具体内容。 所谓电信号，一般指随时间而变化的电压或电流，也可以是电容的电荷，线圈的磁通以及空间的电磁波等等。、电信号与非电信号，可以比较方便地互相转换。在实际应用中常常将各种物理量如声被动、光强度、机械运动的位移或速度等转变为电信号，以利传输。经传输后接收端再将此信号还原成原始的消息。

随着信号传输理论与技术的发展，又出现了所谓“信号处理”的新课题。什么是传号处理?这可以迎解为对信号进行某种加工或变换。加工或变换的目的是：削弱信号中的多余内容；滤除混杂的噪声和干扰；或者是将信号变换成容易分析与识别的形式便于估计和选择它的特征参量。近年来，由于高速数字计算机的运用，大大促进了信号处理研究的发展。而信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。

信号传输与信号处理有着密切的联系，但又形成了相对独立的学科体系。它们共同的理论基础是信号分析与系统分析。信号与系统分析的理论研究将服务于解决信号传输与信号处理方面的实际问题。

所谓“系统”就是由若于相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。

1.2 信号的描述及其分类

描述信号的基本方法是写出它的数学表达式，此表达式是时间的函数，绘出函数的图像称为信号的波形。对于各种信号，可从不同角度进行分类。 1） 确定性信号与随机信号

若表示为一确定的时间函数，对于指定的某一时刻，可确定一相应的函数值，这种信号称为确定性信号或规则信号。 2） 周期信号与非周期信号 3）连续时间信号与离散时间信号

1.3 信号的分解

为便于研究信号传输与信号处理的问题，往往将一些信号分解为比较简单的(基本的)信号分量之和，犹如在力学问题中将任—方向之力分解为几个分力一

样。可以从不同角度将信号分解。 (一)直流分量与交流公量

信号平均值即信号的直流分量。从原信号中去掉直流分量即得信号的交流分量。没原信号为f(t)分解为直流分量fD与交流分量fA(t)，表示为

若此时间函数为电流信号，则在时间间隔T内流过单位电阻所产生的平均功率应等于

在推导过程中用到fDfA(t)的积分等于零。由此式可见、一信号的平均功率等于直流功率与交流功率之和。 (二)偶分量与奇分量 偶分量的定义为

奇分量的定义为

任何信号都可分解为偶分量与奇分量两部分之和。因为任何信号 总可写成分量，也即

显然，上式中第一部分是偶分量，第二部分是奇

上图示出信号分解为偶分量与奇分量的二个实例。

用类似的方法可以证明：信号的平均功率等于它的偶分量功 串与奇分量功率之和。 (三)脉冲分量

一个信号可近似分解为许多脉冲分量之和。这里，又分为两种情况、一是分解为矩形窄脉冲分量，如图（a)，窄脉冲组合的极限情况就是冲激信号的叠加；另一种情况是分解为阶跃信号分量之叠加，见图(b)。

信号分解为脉冲分量之叠加

（a）

(四)实部分量与虚部分量 (五)正交函数分量

第二章 汽车振动信号的分形分析

汽车运行过程中, 其各部件所受的激励相当复杂, 表现出来的振动信号也是复杂的。以往的信号分析中, 人们已经用常规的频谱分析技术进行了若干研究, 并取得了若干成绩。人们也曾用小波分析技术研究过汽车运行过程中振动信号的非平稳特征,探索了一种新的分析方法。但对于更为复杂的信号特征, 就难以用以往的方法来描述.本文试图用分形理论对汽车的实际振动信号进行分析研究,探索汽车更本质、更复杂的振动特征. . 分形表示不规则、分数的、破碎、断裂的意思。它是以复杂事物为研究对象。其哲学基础是系统或整体中的每一个元素或局部都在一定程序上反映与体现着整体系统的特性与信息, 即通常讲的自相似性。分形理论在描述自然界的复杂现象中已经取得了若干成绩, 成为当代前沿科学之一, 特别是在物理学、化学、分子生物学和计算机图形学方面, 分形理论得到成功的应用。在机械信号分析与评

估中, 也有人开始进行研究, 但在实际工程的振动信号分析中,还研究甚少。本文就是在以往研究的基础上, 结合已有的小波分析研究基础, 对汽车振动信号用分形方法进行研究。

1 分形理论在机械信号分析中的主要应用

从初等数学、高等数学以及泛函数角度讲,所描述的事物的维数可以为N , 但这个N 却限制为取正整数。由于分形正处于继续发展阶段, 没有一个统一的定义, 往往笼统地把取非整数值的维数称为分形维数。分形理论被广泛应用到自然科学的各个领域, 按照其研究对象不同, 分形的应用基本上分为两大类: l) 系统的空间分布复杂性的描述; 2 ) 系统随时间演化复杂性的描述。

机械振动信号的分形特性研究即属于后者。实际测定分形维数的方法, 大致分为5 种:

l) 改变观察尺度求维数; 2 ) 根据测度关系求维数; 3 ) 根据相关函数求维数;

4 ) 根据分布函数求维数;出来的振动信号也是复杂的。以往的信号 5) 根据频谱求维数。

应用于机械振动信号分析中比较适用的方法

有1 )、4 )、5 )3 种。其中尺度法的基本分析方法是:

如果用长度为r 的线段去度量曲线, 并把测得的线段总数记作N(r),则不改变基准长度r时,N(r)也要变化。一般地, 如果某曲线具有

N(r)?r-D

（1）

关系, 则可称D为这一曲线的维数。其中r为测量尺度,N(r)为以r为测量尺度时所得的测量结果。与Hausdorff维数一致, 用下式计算曲线的维数。 （2） D?limlnN(r)析(( (（2） ( r?0 这个方法不仅适用于曲线和点的分布, 也适用于像河流这样有大量分岔的图形, 所以是个很有用的方法。在一般意义上, 由式(2) 所描述的分形维数,若函数N(r)不是非常特殊的函数型( 幂) 情况下, 该式右边不能成为常数, 所以不能定义通常的分形维数。对式（1）进行扩展,使其能在非幂型情况下也能定义分形维数。其方法是, 求式( 2)右边的双对数, 并定义此时等式左边仍为分形维

（3）

ln(1/r)

数 D(r)??dlnN(r) dlnr则D(r)便是在点上定义的斜率。式（3）即是扩展了分形维数, 称为广义分形维数。

如果把所研究的对象分为M 个小区域,设第i个小区域线度大小为ri分形体生长界面在该小区域的生长几率为N不同小区域生长几率不同,可用于不同标度指数来表征，即对于

N(ri)?ri?i(i?1,2,3,?,M), lnNln(Nr(ir))（4） ?i?lim??limr ln(r ) （ （ r i （ （ （?0 ln(r i )则则

iii?0i 中, 人们已经用常规的频谱分析技术进行了若 lnN(ri)?i?limri?0ln(ri),称为局部分维。式(4) 表明,?i是表征分形体某小区域的分维数其值的大小反映了该小区域生长几率的大小。由于小区域数目很大,所以可以得到一个由不同小区域中的a 、组成的无穷序列构成的谱, 并用f(a)表示。具有这种情况的分形叫作多重分形叫。f(a)和?是描述多重分形的一套参数,被称为奇异谱。多重分形可充分显示出小波分解中各层和各频段信号的分维数及其奇异谱。 稳特 绩。人们也曾用小波分析技术研究过汽车运行过程中振动信号的非平征〔‘ 」探索了一种新的分析方法但对于更为复杂 , 。的信号特征就难以用以往的方法来描述本文试 , 。图用分形理论对汽车的实际振动信号进行分析研 究探 , 索汽车更本质更复杂的振动特征、。 分形 表 示不规则分数的破碎断裂的意思、、、。 它是以复杂事物为研究对象其哲学基础是系统 。或整体中的每一个元素或局部都在一定程序上反 映与体现着整体系统的特性与信息即通常讲的 , 自相似性分形理论在描述自然界的复杂现象中 。已经取得了若干成绩成为当代前沿科学之一特 , , 别是在物理学化学分子生物学和计算机图形学 、、方面分形理论得到成功的应用’ 在机械信号基础是系统与体现着整体系统的特性与信息即通常讲的 , 。

, 自相似性分形理论在描述自然界的复杂现象中 。已经取得了若干成绩成为当代前沿科学之一特 , , 别是在物理学化学分子生物学和计算机图形学 、、方面分形理论得到成功的应用’ 在机械信号 , 。分析与评估中也有人开始进行研究汽车运行过程中其各部件所受的激励相当复 , , 杂表现出来的振动信号也是复杂的以往的信号 , 。分析中人们已经用常规的频谱分析技术进行了若 , 干研究并取得了若干成绩人们也曾用小波分析 , 。技术研究过汽车运行过程中振动信号的非平稳特 征〔‘ 」探索了一种新的分析方法但对于更为复杂 , 。的信号特征就难以用以往的方法来描述本文试 , 。

由前面理论分析可知,分维数越小,信号越简单;分维数越大, 表明信号越复白噪声的分维数远高于直线和正弦信号的分维杂, 表示不规则性和随时间变化的波动程度大。一般情况下, 一维信号的分维数在1-2之间。对于简单规则信号,如直线、正弦信号等,其分形维数等于信号的拓扑维数,接近或等于1。而对于白噪声信号,其信号非常复杂,分维数近于2。图1给出了用logr?logN(r)曲线表示的分维数。可看出,前两者是相平行的两条斜直线,后者近乎于一条水平直线。可见数。它们的分维数计算结果与分维表示图上的直线斜率吻合。

2 汽车振动信号的分形分析

首先对采集的某类吉普车在50km/h车速时的振动信号进行分形分析。图2(a)是采集的振动信号,可见它有相对较大的复杂度,且十分不规则。分析结果如图2(b)。与直线和正弦信号相比,其分维数明显较大。但是与白噪声信号的分维数相比, 其数值要小。如果用logr?logN(r)曲线表示,其负斜率较小。

过汽车运行过程中振动信号的非平稳特 征〔‘ 」探索了一种新的分析方法但对于更为复杂 , 。的信号特征就难以用以往的方法来描述本文试 , 。图用分形理论对汽车的实际振动信号进行分析研 究探索汽车更本质更复杂的振动特征, 、。

在车速为60 km/h的吉普车振动信号分析中,首先用二进小波变换,把信号分解到不同分解层上,从而在不同层上得到不同频段的信号。选取某些层上的频，进行分形分析,结果如图3所示。值得注意的是,在图3（a)中,第2层小波分解逼近信号的分维表示明显弯曲,出现两个分维数。如果取两段不同分析长度r,则得到两个分维数d1?1.224和d2?1.695。这说明,在第2层小波分解中,信号具有两个复杂度成份。或者更直接地说,在第2 层小波分解中, 信号内部有简单信号,也有复杂信号,这与小波分解的概念是一致的。

3 复杂汽车振动信号的分形分析

有时,某些振动信号的特征是相对复杂的。在对汽车传动系进行振动测试分析时,发现信号具有明显的复杂特征。对某汽车传动系进行振动模态测试, 采集的振动加速度信号如图4(a)所示,其幅值频谱也比较乱,如图4(b0所示。这意味着其信号的复杂程度较高。

首先对信号进行二进小波分解,前两层细节信号分解结果如图5所示。对它们进行分形分析,结果发现,各层信号的分形分析图接近一致,且具有多个分维数。由于信号采集时,汽车传动系是处于整车联结状态,各部分部件之间都互相影响。 同时

,该车传动系联结结构不合理,处于故障状态,所以,多个分维数共存是正常现象。但是,这样就难以对不同频段信号进行分析。为方便起见,我们采集了离合器壳上某点的信号,并对信号进行功率谱分析,然后对感兴趣的频段进行小波分解,取得其局部频段的频域图,然后进行分析。我们选取如图6所示功率谱图中l 号点谱峰，作为感兴趣频段。对谐波小波分解的信号图进行信号重的信号其分形分析结果见。图 。

为便谐波小波分解的信号图进行信号重 构得到一个近似的低频正弦信号叠加了一个较 , 高频的信号其分形分析结果见图为便 。。于比较把离合器壳原始振动信号的分形分析结 , 果同时给出如图可看出离合器壳的原 , 。, 始振动信号的分维数几乎与白噪声接近表明其 , 复杂程度相当比较把离合器壳原始振动信号的分形分析结 , 果同时给出如图可看出离合器壳的原 , 。, 始振动信号的分维数几乎与白噪声接近表明其 , 复杂程度相当

对谐对波小波分解的信号图进行信号重把离合器壳原始振动信号的分形分析结

果同时给出如图可看出离合器壳的原 , 。, 始振动信号的分维数几乎与白噪声接近表明其 , 复杂程度相当

对谐波小波分解的信号（图7）进行信号重构，得到一个近似的低频正弦信号叠加了一个较高频的信号。其分形分析结果见图8（a)。为便于比较，把离合器壳原始振动信号的分形分析结果同时给出，如图8（b）。可看出，离合器壳的原始振动信号的分维数几乎与白噪声接近，表明其复杂程度相当高。

4 结论

本文在给出分形的一般概念后，首先对模拟信号进行了分形分析，然后对实际汽车振动信号进行了分形研究。结合小波分析方法，对汽车的振动信号进行了分形分析，得到如下结论：

1）对某轿车的运行振动信号进行分形分析结果表明，其信号相对比较复杂。然后对该信号进行二进小波分解，发现第2层小波分解逼近信号的分维表示明显弯曲，出现两个分维数，信号具有两个复杂度成分。信号内部有简单信号，也有复杂信号。

2）对汽车的离合器壳的复杂振动信号进行分形分析，发现其存在多个多个分维数，并且通过二进小波分解后，其分维数仍相当复杂。只有进行谐波小波分解并对频率分值点附近信号进行提取再重构后，其分形维数才降下来，但仍有两个分维数。

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