工程问题

第九讲

工程问题（一）

知识要点 工程问题又称工作问题，是分数应用题的一个特例。与整数

的工作问题一样，都是研究工作总量、工作效率和工作时间之间的关系。所不同的是，工作总量与工作效率不是具体数，而是用抽象的分率表示，一般用单位“l”表示工作总量，工作效率则用完成总量所需时间的倒数来表示。其基本关系式为：

工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率 工作效率和×合干时间=工作总量 工作总量÷工作效率和=合干时间 工作总量÷合干时间=工作效率和 其他常用数量关系：工作效率和=1÷合干时间

工作总量-已干工作量=剩余工作量

典型例题 例1．有一批零件，由师傅独做需14天完成，如果和徒弟合做10

天可以完成。如果徒弟独做，需多少天才能完成任务?

【思路分析】这个题是求徒弟的工作时间。总工作量看成“l”，将徒弟的工作效率求出，就可以求出他的工作时间。我们可以求出师傅的工作效率，也可以求出师徒合作的工作效率，徒弟的工作效率也 就可以求出了。

1 解：师傅的工作效率：

141 师徒合作的工作效率：

10111徒弟的工作效率：-=

1014351 徒弟的工作时间：l÷=35(天)

35 答：徒弟35天能独立完成。

练一练 1

一项工程，甲队单独干，8天完成；乙队单独干，10天完成。两队先合l天，剩下的由甲队来干，还需多少天干完?

11例2．一份稿件，甲4小时抄完它的，乙3小时抄完它的，这

54份稿件若由甲、乙二人合抄，需几小时抄完?

【思路分析】先把甲、乙的工作效率求出，就可以求出合作工作效率，然后求合作时间。

111 解：甲4小时抄甲1小时抄； 乙3小时抄，乙1小时抄

52041。 121122?? 合作的工作时间：1÷=7.5(小时) 合抄1小时：

20121515答：二人合抄7.5小时可以抄完。

练一练2

一项工程，由甲、乙两个工程队合作要20天完成，由甲工程队单独做要用30天；现在先由两队合作4天，余下的工程由乙队单独做，还要多少天才能完成?

例3．一项工程，甲独做需12小时，乙独做需18小时，若甲先做1小时，然后乙接替甲做l小时，再由甲接替乙做1小时??两人如此交替工作，完成任务共用多少小时?

111 【思路分析】甲乙合干完整个工程的时间为：1?(?)?7（小

12185时）

111 所以甲乙各自独立工作7小时后，还剩：1-(?)?7? 的工作

12183611111?（小时），所以，完成任务共用7×2+=14量，轮甲做还需?3612333（小时）

1 答：完成任务时共用14小时

3练一练3

一件工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成，如果按甲、乙、甲、乙??的顺序交替工作，每次一小时，那么需要多少时间完成?

例4．生产一批零件，单独完成，甲需要10小时，乙需要l 5小时，丙需要20小时。现由三人合作，中途甲因事停工几小时，结果6小时才将工作完成。问甲停工几小时?

【思路分析】假设甲不休息，三人都做了6小时，这样所干的工作总量就会超过“1”，而超出的工作总量就是甲在停工时干的，用多的工作量÷甲的工作量=甲停工的时间

1111解法一：[(??)×6-1]÷ =3(小时)

15102010113解法二： 甲干的工作量：1-（?)?6?

15201031 甲的工作时间：÷=3(小时)

1010 甲停工的时间：6－3=3(小时)

答：甲停工3小时。

用假设法求超过的工作量，找出对应的原因，从而求出停工时间

练一练4

某筑路队要修一段高速公路，甲队独修20天完工，乙队独修30天完工。现在两队合修，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天，一共用了16天完成。那么乙队休息了多少天?（高新一中，交大附中试题）

1例5．一件工作，甲干3天，乙干5天可完成；甲干5天，乙干3

21天可完成。问：甲、乙合干需几天完成?

3【思路分析】在解决工程问题时，一般的思路都是要分别求出个人的工作效率，然后再进行计算，但是，本题中，如果从条件入手，分别

求出甲、乙两人的工作效率比较复杂。如果把“甲干3天，乙干5天可

11完成，甲干5天，乙干3天可完成” 合并起来，可以得到一个新的

23115条件“甲干8天、乙干8天可以完成这项工作的（?)?，也就是

2365甲、乙合干8天可以完成，这样就可以求出甲、乙的工作效率之和。

6115解 甲、乙合干8天可以完成工作总量的+=，甲、乙两人的

236555工作效率之和为÷8=，合作完成这项工作就需要1÷=9.6

64848（天）

合并与转化，在应用题中是非常多见的，尤其在一些条件比较复杂或隐蔽的题目中使用较多。合并条件、分析条件、转化问题．用相关量代替，把隐蔽的条件找出来，将隐藏的问题各个击破，最后解决问题。

练一练6

甲工作3天，乙工作5天，完成总工作量的作3天，完成总工作量的

例6．一件工作，甲、乙合作6天完成；乙、丙合作10天完成；甲、丙合作3天，乙再做12天也可以完成。乙独做多少天完成?

【思路分析】这道题目的条件十分不明晰，根据这些条件解决问题似乎无从下手。题目中给出的都是两队的工作效率之和，还有更复杂的三队协同作业。在这里，要充分运用题目的有关联的条件，将甲、乙合作，乙、丙合作往甲、丙合作这个条件上“靠”，将甲、乙合作与乙、丙合作的天数改为3天，以此为突破口，解决这个问题。

解 “一件工作，甲、乙合作6天完成；乙、丙合作10天完成”可

11以求出甲、乙的工作效率之和为，乙、丙的工作效率之和，那么，

610334?，甲、乙合作3天，乙、丙再合作3天，可完成这件工作的?6105这个条件可以看作是“甲、丙合作3天，乙再单独做了6天，

4 可以完成这项工作的”。由题意知，剩下的乙干完还需12-6=6

52。甲工作5天，乙工33，求乙独作所需时间。 44（天），所以，乙独做需要6÷（1-）=30（天）。

5 练一练7

一项工程，甲、乙二人合作5天完成，乙、丙二人合作4天完成，乙先做6天，剩下由甲、丙合作2天完成。若乙单独做，完成工程需要多少天?

1例7．甲乙丙三人合修一堵围墙。甲乙合修6天完成了，乙丙合

31修2天完成了余下工程的，剩下的再由甲乙丙三人合修5天完成。共

4领得报酬180元，按工作量分配工资，甲乙丙各得多少?

【思路分析】本题的关键是求出甲乙丙三个人各自的工作效率。再根据他们各自的工效与工作天数求出各自的工作量，再按比例进行分配。

11解：甲乙工效和：÷6=

318111 乙丙工效和：(1-)×?2=

3124111 甲乙丙三人工效和：(1-??2)?5?

312101111 甲工作量：(?)?

10126011 甲工资：180×=33(元)

601114 丙工作量：(?)?7?

10184514 丙工资：180×=56(元)

45 乙工资：180-33-56=9l(元)

答：甲工资是33元．乙工资是91元，丙工资时56元。

能力训练 A级

1．某工厂原计划10小时完成的工作，8小时就全部完成了，他们工作效率比原计划提高了（ ）

(A)20％ (B)12％ (C) 25％ (D) 80％

2．加工一批零件，甲独做需要20天完成，乙独做需要30天完成，甲、乙两人合作，完成任务时甲比乙多生产了36个，问这批零件共有多少个？

3．一批服装,甲独做需4天完成，乙独做需6天完成,如果两个同时加工，________天完成，到完成任务时,甲比乙多做了30套,那么这批服装有__________件.

4．有一池水，单开甲管4小时可把水池注满，单开乙管6小时把池水放完。如果两管同时开2小时后，水池还能装3.5立方米的水，这个水池的容水量是多少立方米？

5．一个水池装有一跟进水管和一根排水管，单开进水管5小时可将空池注满；单开排水管，7小时可以放完一池水，如果一开始是空池，打开进水管1小时后打开排水管，那么再过多长时间内将有半池水？

6．一件工作，甲单独干要6小时完成，乙单独干要10小时完成，如果按甲，乙，甲，乙??的顺序每次各工作1小时，那么共需要几小时完成？（04年师大附中试题）

7．一件工程，甲，乙两人合作8天可以完成；乙，丙两人合做6天可以完成，丙，丁两人合作12天可以完成，那么甲，丁两人合做多少天可以完成？ （04年师大附中试题）

8．一件工作单独完成甲队需要10天，乙队需要15天，丙队需要20天，三队一起干，甲队中途撤走，结果一共用了6天，甲队实际干了多少天？

9．游泳池有甲,乙丙三个注水管.如果单开甲管需要20小时注满水池;甲乙两管合开需要8小时注满水池;乙,丙两管合开需要6小时注满水池.那么单开丙水管需要几小时注满水池.

10．份工作，单独由甲做需5小时，单独由乙做需15小时，要求两人4小时完成，且尽量少合作，那么乙做了几小时?

B级

11．一件工作，甲，乙合做要18天完成，现甲先做了20天后，又由乙独做15天刚好完成，全部工程有甲，乙独做各需几天完工？

12．甲、乙、丙三人用油漆合刷一栋小楼的门窗。甲、乙合刷5天11完成了，乙、丙合刷2天完成余下的，然后甲、丙两人合刷了5天

34才完工。整个工程劳务费是600元，问乙应得多少劳务费？

13．一批零件，由甲、乙两人合作30天完成。甲先干22天，两人再合作12天，剩下的乙单独还要干16天才完成全部工作。又知甲每天

比乙少生产4个零件，问照这样完成任务时，乙共做了多少个零件？

14．一项工程，甲、乙两人合作12天可以完成。现在甲先做6天

19后，又由乙独做10天，只完成了这项工程的。剩下的工程让甲单独

30做，还要多少天完成？

15．一项工程，甲队要12天完成，乙队要10天完成，丙队做15天完成。现在，甲，乙，丙合作5天完成，，其间丙队休息了2天，问乙队休息了几天?

16．一项工程，甲单独完成要90天,甲单独完成要30天，乙单独完成要45天。现由甲、乙、丙三人合作完成此工程。在工作过程中甲休息了2天，乙休息了3天，丙没有休息，最后把这项工程完成了。问这项工程前后一共用了多少天?

17．蓄水池装有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要注满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单

1开乙管需要4小时单开丁管需要6小时，现知池内有池水，如果按

6甲、乙、丙、丁?的顺序轮流各开一小时，问多长时间后，水开始溢出水池？

第十讲

工程问题（二）

典型例题

例1．一项工程，甲、乙俩人合作，36天完成；乙，丙俩人合做45天完成。现在甲、乙、丙合做15天后，余下的工程再由乙独做30天完成，问乙单独完成这项工程需要多少天?

11 【思路分析】甲、乙合作工效是，乙、丙合作工效是，那么，

4536如果设乙工效是x，则甲、丙工效都可以用x表示。将甲、乙、丙的工作量相加，等于整个工作量1，就可以列出方程，从而求出乙的工效，也就求出了乙单独工作的时间。

还可以用第二种方法解：甲、乙、丙合作15天，乙再单独做30

天，可以看成．甲，乙合作15天，乙，丙合作15天，乙在单独干15天。甲、乙合作工效知道，乙、丙合作工效知道，就可以求出合做所完成的工作量，然后求出剩下的工作量。则乙15天的工作量就知道了，再求乙的工效和工作时间。

1 解法一：设乙工效是x，则由于甲、乙合作工效是，

3611 甲工效是：－x；乙、丙合作工效是，甲、乙、丙合

453611作工效是-x+

4536 他们所干的总工作量等于1，列方程：

111(-x+)×15+30x=1,x=；

4560361乙单独完成工作量1用时：1÷=60天

60 解法二：将问题看成甲、乙合作15天，乙、丙合作15天，乙再单独干15天。

11 甲、乙合作l天完成，乙丙合作l天完成，还剩下：1-4536111×15-×15= 45436111 乙15天完成，l天完成÷15= 即乙60天完成1。

4460 答：乙单独完成需要60天。

练一练1

一个水池，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4

小时灌满。如果乙管先开6小时，还需要甲、丙两管同时开2小时才能灌满、(这时乙管关闭)，那么乙管单独开灌满水池需几小时？

例2．一项工程，甲、乙、丙合作6小时可以完成。如果甲工作6

2小时，乙、丙合作2小时，可以完成这项工程的；如果甲，乙合作3

32小时，丙做6小时，也可以完成这项工作的。这项工作如果由甲、

3乙、丙独做，各要几小时完成?

【思路分析】甲工作6小时，乙、丙合作2小时，可以完成这项工程

2，可以看作甲做了4小时，甲、乙、丙又合作2小时，共完成这项32211工程的，则甲的工作效率是(-×2)÷4=；甲、乙合作3小时，

336122丙做6小时，也可以完成这项工作的，可以看作丙做了3小时，甲、

322乙、丙又合作3小时，共完成这项工程的，则丙的工作效率是(-33111111×3)÷3=；那么乙的工作效率是--=，所以，这项工程618612183611由甲做要l÷=12天完成，由乙做要1÷=18天完成，由丙做要

12181l÷=36天完成。

36 点评 本题关键是将甲、乙、丙分开来工作的部分，能够合起来想，看作三人合作了全工程的几分之几，再由另外一人又工作了几分之几，这样就可以求出另外一人的工作效率。

例3．六一儿童节就要到了，六年级的同学决定在文艺表演前布置礼堂。如果单独布置，一班要用10小时，二班要用12小时，三班要用15小时。现在一、三班合作若干小时后，二班的同学也加人了进来。三个班合作2小时后，一班同学去买礼物，剩下的任务二、三班用了2小时完成。求三个班各工作了多长时间?

【思路分析】通过题意我们可以了解到，整个工作是分成三个部分完成的：一、三班工作了若干小时；三个班共同工作了2小时；二，三班合作了2小时。三部分的工作量之和就是单位“1”。

的

例4．一项工程，甲、乙、丙合做15天完成，如果丙休息4天，乙就要多做2天，或者由甲、乙合做多做l天，这项工程甲、乙合做需要

多少天?

【思路分析】这个题要重点分析甲、乙、丙三人工作效率的关系。“如果丙休息4天，乙就要多做2天”这句话的意思可以看成丙4天的工作量，乙2天完成，从而可以求出乙、丙工作量的关系。如果丙休息4天，甲、乙就要合做多做1天。即丙4天的工作量、是甲、乙合作l天的工作量。由此可以得出甲、乙、丙三人工作效率的关系。

解：丙4天的工作量相当于乙两天的工作量，丙的工作效率是乙的1。 2甲，乙合做一天相当于乙2天的工作量，因此。，甲一天的工作

量与乙相等，甲、乙的工作效率相等。

12 甲工效+乙工效+丙工效=，求得甲工效=乙工效=

157524 甲工效+乙工效=×2=

757543 甲、乙合作完成任务，合作时间是：l÷=18(天)

4753 答：这项工程甲、乙合作需18天。

4例5．一件工作，若单独完成，则甲可比规定时间提前2天完成。而乙需超过规定时间3天才能完成。现在甲、乙两人合作2天后，剩下的继续由乙单独做，恰好在规定时间完成。若甲、乙二人一直合作，那么完成这件工作需几天时间?（交大附中，高新一中招生题）

【思路分析】甲乙合作2天，可以认为甲2天干的活正好补上乙超过规定时间3天的活，这样乙正好在规定时间完成任务。 甲2天工作量=

22乙3天工作量，乙1天工作量是甲天工作量。乙工效=甲工效×有了

33上面工作效率的关系，就可以求出甲、乙工效，然后求出规时间，后面的问题就可以迎刃而解。

解法一：设规定时间是x，则

甲工效×(x-2)=乙工效×(x+3)

2 甲工效×(x-2)= ×甲工效×(x+3) x=12

311 甲工效=，乙工效=

101511 1÷(+)=6(天)

1015解法二： 甲效：乙效=3：2，甲时：乙时=2：3 由于甲单独完成的时间与乙单独完成的时间相差3+2=5天，所以，甲独做的时间 5÷

（3-2）×2=10天，乙独做的时间为5÷（3-2）×3=15天。

11甲工效=，乙工效=

101511 1÷(+)=6(天)

1015答：如果甲、乙二人合作，6天可完成任务。

例6．王师傅计划用2小时加工一批零件，当还剩下160个零件

1时，机器出现故障，效率比原来降低了，结果比原计划推迟20分钟完

5成任务，这批零件有多少个?

【思路分析】 因为原工作时间是2小时=120分钟，生产零件个数：原工作效率×120。所以，要求出原工作效率。我们要从生产160个零件的情况出发。如果不出现故障，160=原效率×原时间。出现故障后，

4160=新效率×新时间。新效率=原效率×，新时间=原时间+20。将这些

5关系联合起来使用，就可以求出原效率和原时间，进而求出零件个数。

解法一：设原来生产160个零件用x，则现在用时x+20

160=x×原效率

4160=（x+20）新效率=（x+20）×原效率×

54所以，x=(x+20)×，x=80 原效率=2，即1分钟生产2个零件，2

5小时=120分钟可以生产：120×2=240(个)

解法二：原效:新效=5:4 原时:新时=4:5

用原来的速度生产160个零件时间：20÷（5-4）×4=80分，原效率 160÷80=2个/分。

2×60×2=240个。 答：这批零件有240个。

2※例7. 某项工程，由甲、乙两队承包，2天可以完成，需支付工

53厂款1800元；由乙、丙两队承包，3天可以完成，需支付工程款1500

46元；由甲、丙两队承包，2天可以完成，需支付工程款1600元。现在

7决定将工程承包给某一个队，确保工程在一个星期内完成，且支付的工程款最少，那么所支付的工程款是多少元？

25解：甲、乙工效 1÷2=

51267? 72034 乙，丙工效： 1÷3?

415574411?)?2?? 甲独干：1÷=4天 甲效： （+

1220151544同理：乙、丙独干需6天、10天

54甲、乙合干1天：1800??750元 ；乙、丙合干1天：1500??4001215元

7?560元； 甲、丙合干1天：1600?20甲干1天得（750+400+560）÷2-400=455元

乙干1天得750-455=295元, 丙干1天得560-455=105元 甲4天付455×4=1820元, 乙6天付295×6=1770元 丙10天付105×10=1050元 所以应该选乙，应该支付1770元

甲，丙工效 1÷2练一练2

甲，乙，丙三个村合修一条水渠，修完后甲村可灌溉面积是丙村的

323倍，乙村可灌溉面积的等与甲村可灌溉面积的。三个村原来决定

43按可灌溉面积的比派出劳动力，后来由于丙村抽不出劳动力，经协商丙村应付出的劳动力由甲，乙两村分担，丙村付给甲乙两村工钱共1200元，结果甲村共派出劳动力45人，乙村共派出劳动力35人，完成了修渠任务。问甲乙两村各应分得工钱多少元？

※例8. 甲，乙合做一项工作，由于配合得好，甲的工效比原来提11高了，乙的工效比原来提高。甲，乙两人合作6小时后，完成全工

105213作的。第二天乙又独做6小时，还留下这件工作的尚未完成。如果

530这件工作由甲一人做完要多少小时?

2 【思路分析】甲，乙两人合做6小时完成全工作的，甲、乙合作时

5212的工作效率和是÷6=。第二天乙又独做6小时完成的是1--515513111=，所以乙单独做时工作效率是÷6=，与甲合作时，乙的工作

630636111111×（1+）=，甲的工作效率就是-=，那么甲单

515303036301111独做时工作效率就是÷(1+)=，甲一人做完要l÷=33天。

10333033点评：本题关键是要根据两人合作时的工作效率和，求出两人单独做时的工作效率。

※例9. 甲工程队每工作5天必须休息1天，乙工程队每工作6天必须休息2天。一项工程，甲工程队单独做需62天，乙工程队单独做需5l天，两队合作需要多少天?

【思路分析】甲6天工作5天，62÷6=10??2，实际工作52天，每

1天完成；乙8天工作6天，51÷8=6??3，3，实际工作39天，每天

521完成。6和8的最小公倍数是24．即在24天里，甲工作20天，乙工

36201811??作18天，共完成。剩下的工作量由甲、乙完成还需要5239131111333(1?)?(?)?3天，这样一共需要24+3=27天。

135239777 点评 本题关键是先确定甲、乙每天的工作量，再找出他们共同完成的周期，即最小公倍数的天数中两队的工作量，最后再算出剩下还需要完成的天数。

效率就是

练一练3

(2002全国小学数学奥林匹克决赛)甲工程队每工作6天休息一天，

乙工程队每工作5天休息两天。一件工程，甲队单独做需要97天，乙队单独做需要75天。如果两队合做，从2002年3月3日开工，_______月________日可完工。

能力训练 A级

1．甲、乙两队共同工作12天可以完成某一工程，如果甲工作2

1天，乙工作5天，他们只能完成全部工程的。甲单独完成全部工程要

4多少天?

2.一件工程甲做6时，乙做12时可完成，甲做8时，乙做6时也可以完成，如果甲做3时后由乙接着做，那么还需要多少时间才能完成？

3．某工程由甲单独做63天，再由乙单独接着做28天可以完成，由甲单独做42天，乙接着做56天可以完成，如果甲先做21天后，再由乙

单独接着做，还需要多少天？

4．姐、弟二人打印一批稿件，姐姐单独打印需要的时间是弟弟所需

32要时间的，姐姐先打印了这批稿件的后，接着由弟弟单独打印，用

8524小时打印完。问姐姐打印了多少时间？

5. 一件工作，甲、乙合做需要4小时完成，乙、丙合做需要5小时完成，现在先由甲、丙合做2小时后，余下的乙还需6小时完成，乙单独做要多少小时完成?

6．一项工程，甲、乙二人合作5天完成，乙、丙二人合作4天完成，乙先做6天，剩下由甲、丙合作2天完成。若乙单独做，完成工程需要多少天？

7．一件工程，甲、乙合作16天完成，乙、丙合作24天完成，甲、丁合作1天能完成工程的几分之几？

8. 某工程如果由甲、乙、丙队合作用18天完成，由乙，丙、丁队合作用15天完成，由甲、乙、丁队合作用12天完成，由甲、丙、丁队合作用20天完成，由甲队单独做用多少天完成?

9．一项工作，甲，乙单独做分别需要24天和32天。如果按照甲做1天，乙接着做2天，甲再接着做3天，乙再接着做4天??完成这件工作需要多少天？

B级

110．甲，乙、丙三人合修一堵墙，甲、乙合修6天完成了，乙、

31丙合修2天完成剩下的，然后再由甲、乙、丙二人合修5天完成任

4务。现领工资1800元，按工作量分配，甲、乙、丙三人各得多少元?

11. 完成一项工作，甲独做可以比规定时间提前3天完成，而乙独做则要超过规定时间5天才能完成。如果甲、乙两人先合作3天，剩下的工作继续由乙单独做，那么刚好在规定时 间内完成，求甲、乙两人合作多少天完成？

12．甲、乙、丙三队要做A、B两项工程，B工程的工作量比A工程

1的工作量多，甲、乙、丙三队单独完成A工程所需时间分别是20天、

424天、30天，为了同时完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙二队共同做B工程，经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程，那么，丙队与甲队合作了几天？

13. 某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队合作，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了多少天?

114. 甲,乙,丙三人共同完成一项工程,5天完成了全部工程的,然

3后甲休息了3天，乙休息了2天，丙没有休息.如果甲一天的工作量是丙一天工作量的3倍,乙一天的工作量是丙一天工作量的2倍,那么这项工作从开始算起多少天完成?

15. 一项工程,甲独做需10天,乙独做需15天.如果两个人合作,工

49作效率就要降低,甲只能完成原来的,乙只能完成原来的,现在要8

510天完成这项工程,两个合做天数尽可能少,那么两个人要合做多少天?

16．一项工程，甲、乙、丙三人合作需13天，如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作要多做1天。问这项工程由甲独做需要多少天?(西工大附中入学题)

※17. 抽干一口井，在无渗水的情况下，用甲抽水机要20分钟，用乙抽水机要30分钟。现因井底渗水，且分钟渗水量相等，用两台抽水机合抽18分钟正好抽干。如果单独用甲抽水机抽水，多少分钟把水干？

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