辽宁省沈阳二中2017届高三上学期12月月考试卷 数学理科 Word版含

2016—2017学年度上学期12月阶段测试

高三（17届） 数学理科试题

命题：高三数学备课组

说明：1、测试时间：120分钟 总分：150分

2、客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上

第Ⅰ卷（60分）

一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的）

1.设集合P?{3,log2a}，Q??a,b?，若P?Q?{0}，则P?Q?（ ） A.?3,0? B.?3,0,2? C.?3,0,1? D.?3,0,1,2? 2．若奇函数f（x）的定义域为R，则有（ ）

A．f（x）＞f（-x） C．f（x）≤f（-x） C．f（x）·f（-x）≤0 D．f（x）·f（-x）＞0

3．若a,b是异面直线，且a∥平面? ，那么b与平面??的位置关系是（ ） A．b∥? B．b与??相交

C．b?? D．以上三种情况都有可能 4.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（ ）

?????? （B）y?sin2x???? 66??????????（C）y?cos?4x?? （D）y?cos?2x??

3?6???（A）y?sin?x?225.已知等比数列{an}的前n项和Sn?2n?1，则a12?a2等于（ ） ?…?an1 A．(2n?1)2 B．(2n?1)

31 C．4n?1 D．(4n?1)

36．若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角是（ ） A．

B．

C．

D．

7．设变量x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最小值为（ ）

A． ﹣7 B． ﹣6 C． ﹣1 D． 2

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8．下列函数中在上为减函数的是（ ）

A．y=﹣tanx B．

C．y=sin2x+cos2x D．y=2cos2x﹣1

9.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16?20?，则r?( ) （A）1 （B）2 （C）4 （D）8

10.已知三个互不重合的平面?、?、?，且

????a,????b,????c，给出下列命题：①若a?b,a?c，则b?c；②若

a?b?P，则a?c?P；③若a?b,a?c，则???；④若a//b，则a//c．其中正确

命题个数为（ ）

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

11．已知点P为函数f（x）=lnx的图象上任意一点，点Q为圆[x﹣（e+）]2+y2=1任意一点，则线段PQ的长度的最小值为（ ） A．

B．

C．

D．e+﹣1

12．已知f（x）=x（1+lnx），若k∈Z，且k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，

则k的最大值为（ ）

A． 3 B. 4 C． 5 D． 6

第Ⅱ卷（90分）

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分， 共20分）

2??log3(x?1)(x?0)13.f(x)??x?1，则f(10)?f(?1)?_____??2(x?0)14.若a,b?0,a?b?5，则a?1+b+3最大值为________

15．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为

体ABCD外接球表面积为______．

，此时四面

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16 ．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切

，则

线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为原点，若双曲线的离心率为 ．

三．解答题（本大题共6小题,满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?3sin(?x)?2sin2?x2?m(??0)的最小正周期为3?，当x?[0,?]时，

函数f(x)的最小值为0. （Ⅰ）求函数f(x)的表达式；

（Ⅱ）在△ABC，若f(C)?1,且2sin2B?cosB?cos(A?C),求sinA的值 18. （本小题满分12分）

2?设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn,满足4Sn?an?1?4n?1,n?N,且a2,a5,a14构成等比数列. (1) 证明:a2?4a1?5; (2) 求数列?an?的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n,有19. （本小题满分12分）

如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD?平面ABCD，SD=2a，AD?的点，且DE??a(0???2)

（Ⅰ）求证：对任意的??(0,2]，都有AC?BE （Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为?，直线BE与平面ABCD所

1111?????. a1a2a2a3anan?122a点E是SD上

成的角为?，若tan?gtan??1，求?的值.

20. （本小题满分12分）

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已知点F为抛物线C:y2?4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A,B两点，若点P的纵坐标为m(m?0)，点D为准线l与x轴的交点．

（1）求直线PF的方程；

（2）求?DAB的面积S范围；

PADOFxy????????????????（3）设AF??FB，AP??PB，求证???为定值

21. （本小题满分12分） 设函数f?x??1?e.

?xlB(Ⅰ)证明:当x＞-1时,f?x??(Ⅱ)设当x?0时,f?x??x; x?1x,求a的取值范围. ax?1

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 作答时请在答题卡涂上题号. 22. （本小题满分10分）

1x2已知P(1,)是椭圆?y2?1内一定点，椭圆上一点M到直线x?y?25?0的24距离为d.(1)当点M在椭圆上移动时，求d的最小值；(2)设直线MP与椭圆的另一个交点为N,求PM?PN的最大值。23. （本小题满分10分）

已知x,y,z?R?,且x?y?z?1.(1)若2x2?3y2?6z2?1,求x,y,z的值。222（2）若2x?3y?tz?1恒成立，求正数t的取值范围。

2016—2017学年度上学期12月阶段测试

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高三（17届） 数学理科试题答案

选择填空

1.C 2.C 3.D 4.D 5.D 6.C 7. A 8.B 9.B 10.C 11.C 12. B 13. 3 14. 32 15．5π 16．17．解：f(x)?．

1?cos(?x)??m?2sin(?x?)?1?m.………2分

262?2?3?,解得??. 依题意函数f(x)的最小正周期为3?,即?32x??)?1?m. …………4分 所以f(x)?2sin(363sin(?x)?2?

（Ⅱ）f(C)?2sin(2C?2C??)?1?1,?sin(?)?1. 3636而?6?2C?5?2C?????,所以??.解得C?.????8分3663622在Rt?ABC中,?A?B??2,2sin2B?cosB?cos(A?C),?1?5.????10分2

?2cos2A?sinA?sinA?0,解得sinA??0?sinA?1,?sinA?5?1.????12分24a1?5 2218．解：(1)当n?1时,4a1?a2?5,a2?4a1?5,?an?0?a2?22(2)当n?2时,4Sn?1?an?4?n?1??1,4an?4Sn?4Sn?1?an?1?an?4

222an?1?an?4an?4??an?2?,?an?0?an?1?an?2 [

2?当n?2时,?an?是公差d?2的等差数列.

2?a2,a5,a14构成等比数列,?a5?a2?a14,?a2?8??a2??a2?24?,解得a2?3,

2由(1)可知,4a1?a2?5=4,?a1?1

2?a2?a1?3?1?2? ?an?是首项a1?1,公差d?2的等差数列.

?数列?an?的通项公式为an?2n?1.

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(3)

1111111 ??????????a1a2a2a3anan?11?33?55?72n?12n?1????1??1??11??11??11??????1??????????????2??3??35??57??2n?12n?1??? 1?1?1???1??.?2?2n?1?219．解：19. （Ⅰ）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD。

?SD⊥平面ABCD，?BD是BE在平面ABCD上的射影，?AC⊥BE

（Ⅱ）解法1：如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE= ?,

?SD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD, ?SD⊥CD。

又底面ABCD是正方形，? CD⊥AD，而SD? AD=D，CD⊥平面SAD.

连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE， 故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CDF=?。 在Rt△BDE中，?BD=2a，DE=?a?tan??在Rt△ADE中, ?AD?从而DF?DE?? BD22a,DE??a,?AE?a?2?2 AD?DE?AE2?a??22

CD?2?2?在Rt?CDF中，tan??. DF?由tan??tan??1，得

?2?2?.?1??2?2?2??2?2. ?2由??(0,2]，解得??2，即为所求.

????????????证法2：以D为原点，DA,DC,DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如

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图2所示的空间直角坐标系，则

D（0，0，0），A（2，0，0），B（2a，2a，0），C（0，2a，0），E（0，0?a），

?????????AC?(?2a,2a,0),BE?(?2a,?2a,?a) ?????????AC?BE?2a2?2a2?0??a?0，

即AC?BE。 （I） 解法2：

????????????由（I）得EA?(2a,0,??a),EC?(0,2a,??a),BE?(?2a,?2a,?a)????????设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由n?EA，n?EC得

?????2x??z?0,??n?EA?0,?即取z?2，得n(?,?,2)。 ????????n?EC?0,??2y??z?0,????????易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为DS?(0,0,2a)与DC?. （0，2a,0）????????????DC?n?DS?BE?. ?sin?????,cos?????????????22DS?BEDC?n??42??2?0

?tan??tan???????2?sin??cos????2?4??2?2?2??2?2.

由于??(0,2]，解得??2，即为所求。

20.解：（1）由题知点P,F的坐标分别为(?1,m)，(1,0)，

于是直线PF的斜率为?m， 2m(x?1)，即为mx?2y?m?0． 2所以直线PF的方程为y??（2）设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，

?y2?4x,?2222由?得mx?(2m?16)x?m?0， m?y??(x?1),?22m2?164m2?16所以x1?x2?，x1x2?1． 于是|AB|?x1?x2?2?．

m2m2

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点D到直线mx?2y?m?0的距离d?2|m|m?42，

114(m2?4)2|m|4所以S?|AB|d?. ?41?22222mmm?4因为m?R且m?0，于是S?4， 所以?DAB的面积S范围是(4,??)．

????????????????（3）由（2）及AF??FB，AP??PB，得

(1?x1,?y1)??(x2?1,y2)，(?1?x1,m?y1)??(x2?1,y2?m)，

于是??1?x1?1?x1，??（x2??1）. x2?1x2?1所以????1?x1?1?x12?2x1x2???0． x2?1x2?1(x2?1)(x2?1)所以???为定值0． 21.解：(I)当x??1时,

f(x)?xx当且仅当e?1?x. x?1xx令g(x)?e?x?1.则g'(x)?e?1. 当x?0时g'(x)?0,g(x)在?0,???是增函数; 当x?0时g'(x)?0,g(x)在???,0?是减函数.

于是g(x)在x=0处达到最小值,因而当x?R时,g(x)?g(0),即e?1?x. 所以当x??1时,f(x)?xx. 、 x?1(II)由题设x?0,此时f(x)?0. 当a?0时,若x??1xx,则?0,f(x)?不成立; aax?1ax?1当a?0时,令h(x)?axf(x)?f(x)?x,则

f(x)?x当且令当h(x)?0. ax?1h'(x)?af(x)?af'(x)?f'(x)?1

?af(x)?axf(x)?ax?f(x).

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(i)当0?a?1时,由(I)知x?(x?1)f(x), 2h'(x)?af(x)?axf(x)?a(x?1)f(x)?f(x), ?(2a?1)f(x)?0,

h(x)在?0,???是减函数,h(x)?h(0)?0,即f(x)?(ii)当a?

x. ax?11

时,由(I)知x?f(x). 2

h'(x)?af(x)?axf(x)?ax?f(x),

?af(x)?axf(x)?af(x)?f(x) ?(2a?1?ax)f(x).

2a?1x. 时,h'(x)?0,所以h(x)?h(0)?0,即f(x)?aax?11综上,a的取值范围是[0,].

2当0?x?22.(1)dmin?10(2)2 211123.(1)x?,y?,z?.(2)t?6

236

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