矩阵的意义

理解矩阵（一）

2006-04-02 00:30 54984人阅读 评论(145) 收藏 举报

前不久chensh出于不可告人的目的，要充当老师，教别人线性代数。于是我被揪住就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。很明显，chensh觉得，要让自己在讲线性代数的时候不被那位强势的学生认为是神经病，还是比较难的事情。

可怜的chensh，谁让你趟这个地雷阵？！色令智昏啊！

线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。

事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。

大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。比如说：

* 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？

* 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？

* 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？

* 矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？

* 对于矩阵转置运算AT，有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗？

* 为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”？这里的“相似”是什么意思？ * 特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax =λx，一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的究竟是什么？

这样的一类问题，经常让使用线性代数已经很多年的人都感到为难。就好像大人面对小孩子的刨根问底，最后总会迫不得已地说“就这样吧，到此为止”一样，面对这样的问题，很多老手们最后也只能用：“就是这么规定的，你接受并且记住就好”来搪塞。然而，这样的问题如果不能获得回答，线性代数对于我们来说就是一个粗暴的、不讲道理的、莫名其妙的规则集合，我们会感到，自己并不是在学习一门学问，而是被不由分说地“抛到”一个强制的世界中，只是在考试的皮鞭挥舞之下被迫赶路，全然无法领略其中的美妙、和谐与统一。直到多年以后，我们已经发觉这门学问如此的有用，却仍然会非常迷惑：怎么这么凑巧？ 我认为，这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。上述这些涉及到“如何能”、“怎么会”的问题，仅仅通过纯粹的数学证明来回答，是不能令提问者满意的。比如，如果你通过一般的证明方法论证了矩阵分块运算确实可行，那么这并不能够让提问者的疑惑得到解决。他们真正的困惑是：矩阵分块运算为什么竟然是可行的？究竟只是凑巧，还是说这是由矩阵这种对象的某种本质所必然决定的？如果是后者，那么矩阵的这些本质是什么？只要对上述那些问题稍加考虑，我们就会发现，所有这些问题都不是单纯依靠数学证明所能够解决的。像我们的教科书那样，凡事用数学证明，最后培养出来的学生，只能熟练地使用工具，却欠缺真正意义上的理解。

自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。然而数学公理化的一个备受争议的副作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失。数学家们似乎认为直觉性与抽象性是矛盾的，因此毫不犹豫地牺牲掉前者。然而包括我本人在内的很多人都对此表示怀疑，我们不认为直觉性与抽象性一定相互矛盾，特别是在数学教育中和数学教材中，帮助学生建立直觉，有助于它们理解那些抽象的概念，进而理解数学的本质。反之，如果一味注重形式上的严格性，学生就好像被迫进行钻火圈表演的小白鼠一样，变成枯燥的规则的奴隶。

对于线性代数的类似上述所提到的一些直觉性的问题，两年多来我断断续续地反复思考了四、五次，为此阅读了好几本国内外线性代数、数值分析、代数和数学通论性书籍，其中像前苏联的名著《数学：它的内容、方法和意义》、龚昇教授的《线性代数五讲》、前面提到的Encounter with Mathematics（《数学概观》）以及Thomas A. Garrity的《数学拾遗》都给我很大的启发。不过即使如此，我对这个主题的认识也经历了好几次自我否定。比如以前思考的一些结论曾经写在自己的blog里，但是现在看来，这些结论基本上都是错误的。因此打算把自己现在的有关理解比较完整地记录下来，一方面是因为我觉得现在的理解比较成熟

了，可以拿出来与别人探讨，向别人请教。另一方面，如果以后再有进一步的认识，把现在的理解给推翻了，那现在写的这个snapshot也是很有意义的。 因为打算写得比较多，所以会分几次慢慢写。也不知道是不是有时间慢慢写完整，会不会中断，写着看吧。

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今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。

首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。

总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。

我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；2. 这些点之间存在相对的关系；3. 可以在空间中定义长度、角度；4. 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动，

上面的这些性质中，最最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构（关系），并不是说有了这些就算是空间。而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是关键的性质。只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。

认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。

因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。

下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是： 1. 空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？ 2. 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？

我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当的给出答案。线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例子： L1. 最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以x0, x1, ..., xn为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量ai其实就是多项式中x(i-1)项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线性无关就可以。这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说，提一下而已。

L2. 闭区间[a, b]上的n阶连续可微函数的全体，构成一个线性空间。也就是说，这个线性空间的每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数，根据魏尔斯特拉斯定理，一定可以找到最高次项不大于n的多项式函数，使之与该连续函数的差为0，也就是说，完全相等。这样就把问题归结为L1了。后面就不用再重复了。

所以说，向量是很厉害的，只要你找到合适的基，用向量可以表示线性空间里任何一个对象。这里头大有文章，因为向量表面上只是一列数，但是其实由于它的有序性，所以除了这些数本身携带的信息之外，还可以在每个数的对应位置上携

带信息。为什么在程序设计中数组最简单，却又威力无穷呢？根本原因就在于此。这是另一个问题了，这里就不说了。

下面来回答第二个问题，这个问题的回答会涉及到线性代数的一个最根本的问题。 线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。那么，线性变换如何表示呢？很有意思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。

简而言之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。

是的，矩阵的本质是运动的描述。如果以后有人问你矩阵是什么，那么你就可以响亮地告诉他，矩阵的本质是运动的描述。（chensh，说你呢！）

可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看成是n x 1矩阵吗？这实在是很奇妙，一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示。能说这是巧合吗？如果是巧合的话，那可真是幸运的巧合！可以说，线性代数中大多数奇妙的性质，均与这个巧合有直接的关系。 （待续）

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140楼 fyswords 2012-07-06 16:30发表 [回复]

直观很重要，没有感性认识直接抽象太难理解了。多谢楼主

139楼 Kaa1el 2012-07-05 18:11发表 [回复]

建议看看foundations of mathematics, 如数理逻辑(处理句与句关系)和集合论(处理个体), 100%的数学可以用命题逻辑谓词逻辑和公理化集合论来构造. 不够用?(因为哥德尔不完备性定理)

给集合论加公理!(例如范畴论的Tarksi-Grothendieck公理用来处理inaccessible cardinals). 所以几乎所有的数学概念其实都是一个个集合, 数字咯空间咯函数咯关系咯变换咯通通是一个个特殊的集合而已...

我们是可以给数学概念一个个形象的物理解释, 但不是所有的都能这么做, 毕竟所有的概念都只是抽象符号变换, 想通这一点数学就容易学很多.

138楼 guoshuai1314 2012-03-24 11:02发表 [回复]

学习一门学科，就要从形上把握，数学这门学科在我的思想中，一直都是形象的

137楼 guoshuai1314 2012-03-24 11:00发表 [回复]

孟老师提到的对于矩阵转置运算AT，有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗？ 这个问题应该没有直观的理解。。。

再说了，提出问题来不解决那不是让我认为你是个只会扯D的人吗？

那个相似矩阵的直观理解其实是非常简单的，有幸看到我解释的人幸运了。下面我开始说： 描述一个线性变换我们需要两个要素,一个是基，另一个是线性变换A，A右乘P是变为了在原基下新基的线性变换，左成P-1是将基变换为新基，这样就完全变化为了新基下的线性变换。

136楼 a4441021 2012-01-18 18:20发表 [回复]

写的很好,确实下功夫了.

135楼 shifangda 2011-11-16 19:10发表 [回复]

看完第一篇我就泪流满面了！男生们一下子集中起了注意力。我们的线代教授是女的，我明明需要一头猪的照片，她非要用800字作文来写那头猪，口头禅是“这个要记牢了！”“考试会经常用到它”云云。硬着头皮算是勉强做得出题，可我做它干甚啊！！！我相信有很多新生就在这样的课堂上自己杀掉了自己的求知欲。我也快了

134楼 huxiongge 2011-10-24 12:59发表 [回复]

写的真好

133楼 tonggs1983 2011-10-01 00:51发表 [回复]

收藏 132楼 super_chris 2011-09-01 19:40发表 [回复]

一下午的时间看完了三篇，收获很大。虽然有些地方还是觉得稍显模糊。谢谢您的文章。总之很和我的口味。

131楼 cqsjnhustccrdi 2011-08-24 10:01发表 [回复]

写的太好了，深有体会，当时学矩阵论的时候完全是硬塞，根本不知道其现实意义是什么，到后来学结构动力学的时候才知道原来矩阵论是这么用的，但是基础都已经忘光了，关键就在于学矩阵论的时候是鹦鹉学舌，根本没有理解其本质代表了什么

130楼 fancsky 2011-08-10 13:52发表 [回复]

我觉得醍醐灌顶，看来我还是的无看看gilbert strang的视频 129楼 aaafan 2011-04-18 16:20发表 [回复] 搞什么150字限制，脑残的csdn。 128楼 aaafan 2011-04-18 16:19发表 [回复] [引用] [举报]

第四、这样的尝试是非常好的，得到很多网友支持和赞同最大的原因是数学教学的落后，尤其是教材的落后。这一点matrix67最近的博文有解释。

127楼 aaafan 2011-04-18 16:19发表 [回复]

第二、作者的眼界还是比较窄的，矩阵和transformation之间的联系，以及这种联系在图形学上的应用，都早已经有了很好的解释和例子。

第三、建议那些看到这篇文章仍然觉得醍醐灌顶的人，可以去看看mit教授gilbert strang教授的视频，绝对不会让你们失望的。

126楼 aaafan 2011-04-18 16:19发表 [回复]

曾经我看到这篇文章也觉得醍醐灌顶，茅塞顿开。

离我看这篇文章大概过去三年了，现在我来反思当初的感受。

第一、国内的线性代数教学实在是太烂了，有多少人是跟我一样从行列式、逆序数学起的。。。

125楼 cjaizss 2011-02-09 14:42发表 [回复]

数学是分层次的，是先有直觉的理解，再有抽象的升华。在数学分析中，开集并非最基础概念。但到了泛函/拓扑呢？开集作为最基本概念了。什么叫基础概念？那对于数学来说，实际上是在本学科中不需要解释的概念。这一点，对于数学没有深入了解的人可能不太理解。 只是，我真不希望半瓢水也出来误人子弟。

124楼 cjaizss 2011-02-09 14:24发表 [回复]

我的天啊，你真的不要误人子弟了。我求求你了。 不懂数学就算了，不懂数学还要出来乱说，真该掌嘴

123楼 lxduan 2010-10-23 16:05发表 [回复]

感谢楼主对用矩阵描述运动的解释。但是楼主罗列的好几个蓝色字体的问题并没有在（一）、（二）和（三）有针对性的具体阐述。很想听听楼主对这些巧合的看法。谢谢

122楼 kolen3 2010-10-02 13:28发表 [回复]

有独特的视角，有独立的思考，有大师的风范！

121楼 wenyang1989 2010-09-30 22:03发表 [回复]

思想很深刻，诚如作者所说，是数学家牺牲掉了直觉。

其实很多人认为，数学要靠直觉引导方向。魏尔斯特拉斯的讨论班上不相信直觉，只相信论证，不知道是不是对数学的这种只认证明的“务实态度”起了推动作用。

丘成桐先生就钦佩物理学家的直觉，其实在牛顿莱布尼茨创立微积分时，物理数学还不分家，到现在数学几乎脱离直观，估计也跟数学家追求的“纯粹”有关。

可是，对于数学工作者而言，能把先人的工作理解弄懂就很费事了，所以将本来也许很清楚的数学中概念的来源忽略掉，应该也可以理解。现在楼主以及很多与楼主类似的人，希望补上这个缺憾，无疑是件极有意义的事。

120楼 匿名用户 2010-06-23 14:58发表 [回复]

说真的，这篇文章糟透了。语言叙述的繁琐先不管，内容编排上根本是混淆了很多概念。所以，不适合初学者阅读。就把国内的《工程数学线性代数》看看，还有把高中课本上的向量那章认真看看。

最好再看下集合论（就是计算机系的《离散数学》），或者了解下C++的类和操作符重载。

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这里我简单讲一下，狭义的向量，矩阵，广义的向量。（这三个不是一种东西！）

- 狭义的向量，就是具有方向和大小的量，它是几何量，可以复习一下高中物理和数学。 - 矩阵就是一个2维数组。可以对矩阵做一些运算，如+, - , *

- 广义的向量，用C++及泛型的语言来说，是具有某种规格(先不管是什么规格)的接口的类。 狭义的向量符合这个规格，是广义的向量的一种。

- 线性变换：就是线性函数，即函数 F 满足 F(kx) = kF(x) 以及 F(x+y)=F(x)+F(y)

- 狭义的向量的线性变换：就是对狭义的向量做线性变换，即一个线性函数，它的参数和返回值都是狭义的向量。

- 广义的向量的线性变换：就是对广义的向量做线性变换，即一个线性函数，它的参数和返回值都是广义的向量。

矩阵的一些性质，在形式上和狭义的向量，广义的向量，以及广义(狭义)的向量线性变换的某些性质相同，

所以人们往往借用矩阵来表示它们。 此外还有一点，人们常常混淆以下概念：

n个实数， 1*n 或 n*1 个实数组成的矩阵，狭义的向量，狭义的向量的坐标 并且，它们都可以被称为是欧式空间（R^n）。

Re: kissbaby2010 2012-07-07 09:45发表 [回复]

很明显你的思想境界跟作者差的有一万八千里那还是侮辱了这个词，回去好好准备考试吧回复匿名用户：

Re: netskl2423 2010-09-28 22:37发表 [回复]

回复匿名用户：这不是对数学概念的阐述，是对一种事物的思考

119楼 匿名用户 2010-06-15 18:45发表 [回复]

太精辟了！

118楼 匿名用户 2010-06-08 16:58发表 [回复]

膜拜啊！

大学出来都有5年了，到今天才有Space这么个概念

117楼 匿名用户 2010-04-10 17:34发表 [回复]

有感于有先生的作品，觉得对我帮助非常大，我一直也想把复杂的证明归并为感性的认知，学习就是这么一个过程，真的很高兴看到这篇文章，相见恨晚！！！ 116楼 wildbearbaby 2010-04-05 12:49发表 [回复]

我是做数据挖掘的，矩阵的应用也是无处不在

，自己也一直想对矩阵理解的更深一些，但不知如何入手， ，孟老师的这篇文章真是精华啊，谢谢了

115楼 xiehongan123 2010-03-30 20:38发表 [回复]

114楼 cxx1121 2010-03-28 21:48发表 [回复] 大赞啊！ 113楼 匿名用户 2010-03-13 10:14发表 [回复] 112楼 匿名用户 2010-02-11 11:53发表 [回复] 醍醐灌顶，非常感谢，希望能多看到楼主的文章。

111楼 lisp21 2009-01-10 12:46发表 [回复]

博主在主贴中开始提到的问题，即“逆序数”的概念，在下面这个视频里面有一个很好的说明， http://v.youku.com/v_playlist/f1862776o1p5.html

按照李尚志老师的说法，“（向量）空间为体，矩阵为用”，矩阵的引入，从解方程组的角度，也极其自然。

同济这本书现在好像也不把行列式放在最前头了，但是要说明行列式的逆序数定义法，要从二元，三元行列式入手，而对二元，三元行列式的最直观的理解，其实是从空间解析几何和矢量代数里面来的。

李老师说的很好，矢量是什么？满足关于加法和数乘的那八点运算规定的集合的元素都可称为

矢量。故，三维笛卡尔坐标系（人类所熟知的）中的矢量，不过是一种特殊的矢量。

由于线性方程的系数构成行向量，而且也可以进行加法和数乘（三种初等变换是同解变形），故也可称为矢量。

n次多项式的集合同样组成向量空间。

他们之间还可以构成同构。故搞清楚了一个，其他空间也就搞清楚了。

函数也可组成向量空间。如福立叶级数，小波基，其实都可认为是某个线性空间的基。

如此，则向量空间的八条其实就规定了向量。向量是无须作定义的。

同济的书那种写法，如果老师水准不够的话，学生根本不能领会其中精义的。他们原意可能是不想讲的太深，结果却适得其反。

李尚志老师这种讲法，是从线性方程组入手的，从具体的例子出发，各种概念（线性相关，rank）,理论（线性空间，变换），算法（高斯消去）的motivation都一清二楚。这其实才真正体现了理论建立的实际过程。才符合人们认知的规律。

李尚志的行列式引入我觉得是最本质的，看了之后，觉得很爽。

我还看了一下MIT Strang的线性代数的Video，如果论到逻辑的清晰性，应该说可能还不如李尚志的讲法。但是两者毫无例外都是从线性方程组开始讲的。

说句题外话，过去数学发展的历史难道不都是如此？都是从具体的问题出发。伟大的问题导致伟大的理论产生。只是由于法国那批布尔巴基的成员倡导公理化之风后，才把教材给弄成了那个样子，真是造孽。

110楼 lisp21 2009-01-04 10:08发表 [回复]

其实什么东西都是越基础的越难讲清楚。孟兄的文章不失为一种很好的尝试。

比如“时间”，这个似乎人人都理解的概念还需要霍金写一本书来谈，或许，还没有谈清楚。

我是搞视觉的。跟孟兄一样，有点考据癖。矢量这个概念，我查了很多英文书，定义大概有100多种，但是也是众说纷纭。

在视觉里面，三维重建里面最近所谓分层重建的办法比较成功。后来Yi ma，Heyden等从微分几何，代数几何的角度说的比较本质了。

建议孟兄看看这本书，

http://www.cis.upenn.edu/~jean/gbooks/geom2.html 这本书的第二章，

http://www.cis.upenn.edu/~cis610/geombchap2.pdf我觉得写得颇为本质。

说到底，牛顿，莱布尼茨当初建立微积分的时候，对分析的很多东西也都不透彻了解（所以牛顿被贝克莱主教问得比较狼狈）。但这并不影响他们的伟大。

或许无穷小这个东西，到了现在，算是有个比较靠谱的说法。但说起来，对于无穷大，今天人类的认知又有几何呢？当年Cantor不是还被当作神经病了么？

从本质意义上，或许不定义是对的。总有一些东西是无法用语言界定的。比如一本字典，总得有些字汇不能加以定义，只能借助直观的说明。所谓公理化的方法也是如此，希尔伯特不是对点，线，位置这些东西就没有定义吗。

我个人觉得，不加定义恰是一个优势。如果给矢量一个定义，如有向线段，那该如何理解泛函中的那些“矢量”？正因为不加定义，而只规定对象上的一些运算，故而线性空间才能无处不在。这背后是范畴论和同构的观念了。

中国的周易从某种意义上就是这么一个动力系统。金木水火土都没有定义，而只有一些直观的表现。比如，女人是水做的，。。。

其实面向对象的思维模式，正暗合数学里面的算子理论。。。

109楼 songkuiyan 2008-12-31 09:57发表 [回复]

同感

在准备研究生考试，线形代数看了好几遍，不知道在说什么，读了这遍文章茅塞顿开

108楼 insulted 2008-09-01 16:36发表 [回复]

这么好的文章今天才看到，相见恨晚就是我现在的心情！ 107楼 peimichael 2008-08-07 13:18发表 [回复]

顶一下，好文章！

大学期间我就是你说的那种学着觉得特抽象，然后开始抄作业的人。

结果在复习考研的过程中又认真看了线性代数，发现搞懂了之后真的很有意思。

其实我内心是很喜欢数学的，都是这些枯燥抽象的数学教材让我总觉得它很虚，只告诉你怎么做，却不告诉你为什么这么做。

很多老师最喜欢说“知其然还要知其所以然”，但是几乎所有教科书都对所以然绝口不提，就算老师自己都未必明白，叫我们学生怎么能完全把握住这个东西？ 好文收藏。

106楼 stargazer15 2008-05-28 00:39发表 [回复]

楼主真应该去当大学老师,学生会喜欢你的 105楼 minszch 2008-05-27 07:02发表 [回复]

今天才看到这么好的认识！感谢版主。

我也是数学迷，上大学时曾经也算是数学高手，学线性代数时真有此感，好文真痛快！ 还有对复变函数的认识，也存在抽象和直觉的问题啊。看到过霍金有虚时间，虚同实是垂直的，虚是客观存在，二元数，多元数，是否又是向量的概念，当然这种是正交的。盼望孟老师有高论啊

104楼 minszch 2008-05-27 07:01发表 [回复]

今天才看到这么好的认识！感谢版主。

我也是数学迷，上大学时曾经也算是数学高手，学线性代数时真有此感，好文真痛快！ 还有对复变函数的认识，也存在抽象和直觉的问题啊。看到过霍金有虚时间，虚同实是垂直的，虚是客观存在，二元数，多元数，是否又是向量的概念，当然这种是正交的。盼望孟老师有高论啊

103楼 minszch 2008-05-27 07:00发表 [回复]

今天才看到这么好的认识！感谢版主。

我也是数学迷，上大学时曾经也算是数学高手，学线性代数时真有此感，好文真痛快！ 还有对复变函数的认识，也存在抽象和直觉的问题啊。看到过霍金有虚时间，虚同实是垂直的，虚是客观存在，二元数，多元数，是否又是向量的概念，当然这种是正交的。盼望孟老师有高论啊

102楼 minszch 2008-05-27 06:59发表 [回复]

今天才看到这么好的认识！感谢版主。

我也是数学迷，上大学时曾经也算是数学高手，学线性代数时真有此感，好文真痛快！ 还有对复变函数的认识，也存在抽象和直觉的问题啊。看到过霍金有虚时间，虚同实是垂直的，虚是客观存在，二元数，多元数，是否又是向量的概念，当然这种是正交的。盼望孟老师有高论啊

101楼 minszch 2008-05-27 06:50发表 [回复]

深刻！这种认识到底是要自己来悟，还是应有老师来早点开窍呢？ 100楼 yilinjun 2007-11-10 17:54发表 [回复]

好啊，教材要是这么写能学不好吗？ 多谢，期待下一章！

99楼 BlueDog 2007-11-07 16:50发表 [回复]

观君文一篇，胜读十年书。 98楼 n_q_r 2007-11-07 11:00发表 [回复]

线性代我数我就不数了。。。

97楼 Tom_fay 2007-11-05 20:15发表 [回复]

线性代数给我的感觉是概念多, 公式多, 但规律性强. 以前家里穷, 没有机会上大学, 我是自学考试毕业的, 我也学了线性代数, 考了3 次才考66分... 96楼 guoguofish 2007-07-29 16:03发表 [回复] 好文，中国就缺楼主这样的热心人！！！ 95楼 guoguofish 2007-07-29 15:34发表 [回复]

好文章，中国就缺你这样的，热心的人才！！！

94楼 Union 2007-06-18 20:21发表 [回复]

楼主你的高尚情操太让人感动了。能见到楼主这样的性情中人，无疑是我这辈子最大的幸运。让我深深感受到了人性的伟大。楼主的帖子，就好比黑暗中刺裂夜空的闪电，又好比撕开乌云的阳光，一瞬间就让我如饮甘露，让我明白了永恒的真理在这个世界上是真实存在着的。只有楼主这样具备广阔胸怀和完整知识体系的人，才能作为这真理的唯一引言者。看了楼主的帖子，让我陷入了严肃的思考中，我认为，如果不把楼主的帖子顶上去，就是对真理的一种背叛，就是对谬论的极大妥协。因此，我决定义无返顾的顶了！

93楼 小黑 2007-06-09 22:50发表 [回复]

好文章啊!唤醒了中国的一代人,中国因有你而骄傲!呵呵 92楼 mycicisky 2007-04-15 03:25发表 [回复]

线性是一个晚上看书蒙过的。。。-_-!!愧杀我也！希望数学老师能看到这篇文章 顶就一个字！

91楼 lx 2006-10-31 16:34发表 [回复]

很好的文章啊！加油！！ 90楼 sjf 2006-10-19 23:25发表 [回复]

想请教一下:矩阵的乘法中"矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？"在实践中发挥巨大的功效可以具体谈谈吗??非常感兴趣!!!!

89楼 uoice 2006-09-29 17:22发表 [回复]

只能说是好文。3D中，一直不太了解矩阵运算的具体含义，比如空间中转置结果是什么。就是想知道这个“直觉性”。看LZ下篇。

88楼 wwww 2006-09-16 15:36发表 [回复]

请教：如何证明：A(ATA+s)-1AT证明近似等于单位阵，s为小量，ATA秩亏

87楼 wjesse 2006-08-29 11:08发表 [回复]

楼主出发点是好的,但是观其文,感觉最后还是落入书本上的教育方式.最好可以用现实中的具体事物说明.那样更为形象.

86楼 大风起兮 2006-07-26 20:26发表 [回复]

做图象压缩算法的却一直不能理解DCT，很长时间一直在寻找的东西，竟然在不禁意发现，谢谢！
85楼 ...... 2006-07-24 21:45发表 [回复] ............ 84楼 小皮 2006-07-18 19:02发表 [回复]

我也一直对矩阵存在着巨大的疑惑。
等学完矩阵论后，疑惑才逐渐减少。
但看完孟言：向量是对象，矩阵是运动，又感觉以前理解的还不到位

83楼 小明 2006-07-18 20:20发表 [回复]

线性代数的功能只有在学到后续的许多应用学科才体现出来，为什么会这么困难？因为我们正常对一门学科的理解是从现有的知识上而来的，而线性代数的出现超越了我们日常的经验范围。所以困难，但当我们有了后续的应用学科，我们反而好理解了。

82楼 流浪汉 2006-06-27 04:10发表 [回复]

请孟老师继续讲讲行列式的定义，奇排列
偶排列是什么来头？行列式的值的运算为什么那样规定？

81楼 zzw 2006-06-05 10:59发表 [回复]

好东西,直觉性!经典! 80楼 WIND BOUND 2006-05-29 10:13发表 [回复]

孟老师讲得是很好，但我们除了高等数学和线性代数其他的那些概念都没学过，就是觉得线性代数概念特别多，不象高等数学那样一节课就讲一个重点。
我们不是搞数学研究的，对于线性代数不要求讲得那么深，主要就是知道如何应用，再顺便应付一下考试就够了，那我们又应该从什么样一个角度去理解矩阵等概念呢？

79楼 无心人 2006-05-26 17:22发表 [回复]

我觉得线形代数从线形问题来

即解决多元一次方程组

然后归结到一般性的不规则线形方程组
即简化为矩阵

没有那么神秘阿

各位多想了

PS: 大学一年级数学一个100，一个98 二年级差点栽在线性代数上倒不是多难是繁杂的运算很不适应

78楼 xuesheng 2006-05-14 11:35发表 [回复]

最理想的教材是那一本呢？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？ 77楼 Al.Pacino 2006-05-04 13:23发表 [回复]

非常好,快写下篇吧 76楼 Tinner 2006-05-02 16:18发表 [回复]

听君一席话，胜读十年书！

75楼 哈哈 2006-04-30 18:06发表 [回复]

如何用最高效率的语言；在一个相当短的时间内，让尽可能多的人明白发言人的意思，也是一门学问。

学生常常抱怨听不懂教授讲的数学课。

因为生活经历的不同，所导致严重的交流障碍。

老师希望用空间这个生活中近乎通用的概念来帮我们理解矩阵的概念。
但我还是似懂非懂。

教与学有微妙的关系，教的枯燥导致厌学，学得不够，导致听不懂，也导致枯燥，导致厌学。

其实会与不会，能与不能，只有一考方知。
因此，只要考题，真的敢出得不能凭死记硬背蒙混过关，教与学的质量才能显著提高。

黄沙百战穿金甲，不破楼兰誓不还。

74楼 八弗 2006-04-30 13:34发表 [回复]

“标新立意”的价值在哪里？
作为一种思辨无可厚非，但不要过分追捧

实实在在才是真，不然会误人子弟

73楼 freebsd 2006-04-29 23:22发表 [回复]

像我这样英文学得很差的人都觉得英文线性代数书籍+wikipedia+google比任何中文书籍好得多.错觉?幻觉?

72楼 moyeah 2006-04-28 16:40发表 [回复]

好 71楼 beyondsee 2006-04-27 22:33发表 [回复] 看了这么好的文章，不会对不起LZ啊。孟老师最后讲到一个向量也可以看成是N*1，反过来一个矩阵也可以看成更高层次的向量，其实所在层次没有关系，重要的是对象之间的关系。这里我想到了软件设计中的泛型，还想到了整个世界的逻辑。

不错的的科普文章，建议大家把孟老师的文章和以前学过的线形代数结合阅读，温故而知新，也许会有新的收获。

70楼 孔步 2006-04-26 19:10发表 [回复]

大二上学期时，考线代前，几乎什么都不会，因为上课我根本没听过课。于是看了一天一夜（几乎没睡觉），把书上的每一题都做了一遍，结果考了85。其实当时我就发现线代很好学，但有好多东西却无法理解，直到现在也是这样。我们现在学的测量平差，线代几乎贯彻始终，但是为什么要用线代来表达？老师没说清楚，我们也不怎么明白，只是知道用线代几乎可以解决平差的所以问题。

69楼 李涛 2006-04-26 13:03发表 [回复]

我想学矩阵，但不知从哪儿学起，帮帮我，

68楼 junefish 2006-04-24 10:18发表 [回复]

期待中 67楼 gogo 2006-04-23 14:48发表 [回复] 望楼主再接再厉
期待。。。。。。。。。。。。
66楼 碎浪鸟 2006-04-22 13:01发表 [回复]

为myan的idea喝彩！

可是，国人却有这样一个心理，对于一个新的idea，第一想法通常是“挑刺”——和经典对比，找出这个idea的不完善之处（以能够突出自己的“重要性”、“比别人强啊”）。所以，我们几百年才能出一个像王选院士这样的大家（自信、执着，并不断完善自己学科体系的学者），因为社会的大环境充斥着一种“苛求”的气氛：你要么一下子做到“完美无缺”，要么就“嘿嘿……”

希望myan再接再厉！！！

65楼 optimization 2006-04-22 22:18发表 [回复]

文章很好，能启发思考。我是学数值优化的，矩阵是我们使用的重要工具，在我们的研究中很有用，我也一直很有兴趣，期待新文章。 64楼 Ivony 2006-04-22 21:50发表 [回复]

我觉得高等数学比较难的原因还有一点！

就是高等数学是西方人发明的，其中就包含了很多西方人思考问题的方式。

这个因素导致的最直接的问题数学名词的翻译，我们无法从行列式、矩阵这样的名词中知道这到底是在说个什么东西。

中文的最小单位是字，中文发展到今天，已经不太可能再创造新的字出来。
只会创造新的词。

矩阵这样的东西，
就只能按照其书写的样子来命名。
一堆数字摆成个矩形。
从字面上只能这样理解。


还有很多乱其八糟的名词，把数学搅的一塌糊涂……
尤其是那些外国人的名字还真是怪
拉格朗日、欧几里得……

63楼 超越 2006-04-22 00:20发表 [回复]

我不想多说，除了好和好之外，还是好。收藏是不用多说了。我开始学线代没多久，兴趣很浓厚，学得还可以，但就是一些很微妙，甚至不知道怎么说得问题得不到解决，也许就是这里所说的“直觉性吧”，看了之后，虽不算全都弄明白了（事实上，没有谁能对矩阵和行列式之间的关系有个系统的认识吧），但使我对矩阵形成了一种比较系统的认识。我尤其欣赏孟岩老师提出的“矩阵的本质是运动的描述”这一观点，实在是妙。还有文章中其他一些观点也十分精彩。我更喜欢这里对数学问题的讨论形成的氛围。非常期待老师的下一篇，绝对支持。我又学习到知识了。

62楼 ahu 2006-04-19 23:02发表 [回复]

题的问题还行

61楼 老谢 2006-04-15 09:39发表 [回复]

我刚开始学线性代数，简直就是不知所云，再加上我们的线代老师又说不明白。我对线代可是头大阿。

60楼 Bird 2006-04-12 17:04发表 [回复]

我在补习空间，矩阵，转换的时候，为了能得出一个直觉的解释，可以说是想爆了脑袋啊^^

可以看出BYN兄有很深厚的数学背景，但对于大多数开发者，绝大部分的数学问题，尽管很有趣，但我们实在没有太多的心力来深入学习和研究。

59楼 jeffrey 2006-04-12 10:09发表 [回复]

孟老师的文章很精彩，byn的讨论也很精彩，当然chensh的故事也非常精彩：），期待下文 58楼 pchtj 2006-04-10 17:03发表 [回复] 尤其在计算机领域里，数学，当然包括线性数学及其重要！支持搂主继续，我对此很想学习 57楼 kmlxk 2006-04-10 09:30发表 [回复] 好东西要收藏、留名、狂顶

顶过再看，再看～！ 56楼 leo 2006-04-10 09:18发表 [回复]

好文，后面的讨论也非常好
让人受益匪浅
期待继续
惭愧啊，自己的大学时间都荒废了

55楼 liangzi 2006-04-08 09:34发表 [回复]

不过矩阵的本质描述运动，我曾经也这样认为，是看书做题的时候很自然的得出来的。
但现在又对这个想法有点迷惑了。呵呵

54楼 liangzi 2006-04-08 09:27发表 [回复]

赞一个!!! 53楼 pjf506 2006-04-07 10:17发表 [回复] "另外也确实有抛砖引玉的想法，想提出一种新的讨论数学的思路。"——既然如此就要谦虚一点，不要辩解太多。。
52楼 Solstice 2006-04-07 11:04发表 [回复] 明明大家是在讨论问题，到你眼里就成了“辩解”？！ 51楼 INmyan 2006-04-05 16:49发表 [回复] 继续关注,好文,更好的是态度 50楼 Shellyong 2006-04-06 10:16发表 [回复] 希望楼主再接再厉
真是一篇好文！ 49楼 Solstice 2006-04-05 14:42发表 [回复]

我学得不深，莫非是平移后的 sinc 函数？

48楼 byn 2006-04-05 13:21发表 [回复]

to myan:
谢谢你的回复。

首先我要向你表示歉意：我昨天晚上写得有些话太刻薄了，请见谅。

1. 从度量空间开始？
恐怕离题万里，读者没兴趣了解。
[byn] 从

上下文来看，给读者的印象是“拓扑空间”好像是所有空间的基础。实际上，泛函分析就是从度量空间开始讨论的。如果说离题万里，那么拓扑空间好像也没有在此文章中做后继讨论。我想把讨论定义在有限维线性空间的基础上是比较合适的（也比较符合这里大多数人的数学背景）。

3.读者不明白，就不愿意看，不愿意想，你写得再伟光正，又有什么用呢？
[byn]那么在文章中所有“空间”的前面加上“线性”二字可不可以呢？这样做对数学功底不深的人不会造成任何理解上的影响，从严谨性上讲又好很多。你文章的思路是要从欧式空间推广到更一般的空间，但是这一步迈得似乎有些太大了。（个人意见）

最后谈一点我的看法，就当凑个热闹：
我觉得研究生期间有两门数学课是必须要学的（必修的数值分析和概率论与数理统计之外）：一门是泛函分析，另外一门是矩阵论。

矩阵论的重要性工作时间长了就能慢慢体会到，但是大家一般对泛函分析不太了解，所以也就很难认识到其重要性了。事实上，泛函分析虽然很抽象，很难直接应用到工作当中去，但是可以帮助我们对很多问题有一个更本质的认识。举两个例子：说到采样，大家的第一反应肯定是一个词“2倍”（采样定理）。学得比较扎实的，可能还会把为什么是2倍解释清楚。但我对采样的理解是：采样实际上是在进行正交分解，采样值不过是在一组正交基下分解的系数。如果原信号属于该组正交基所张成的线性子空间，那么该信号就能无失真的恢复（满足采样定理）。学过信号处理的朋友，你知道这组正交基是什么吗？:)第二个例子是关于为什么傅里叶变换在线性系统理论中如此重要？答案可能五花八门，但我认为我的理解是比较深入的：原因是傅里叶基是所有线性时不变算子的特征向量（和本文联系起来了）。这句话解释起来比较费工夫，但是傅里叶变换能和特征向量联系起来，大家一定感觉很有趣吧。

47楼 myan 2006-04-04 21:41发表 [回复]

to byn:
首先感谢你提出的意见。有些地方批评的很对，我会在以后改写是采纳。各条意见分别答复如下：

1. 从度量空间开始？
恐怕离题万里，读者没兴趣了解。

2. 关于“第3条”
这句话我的表达不严谨，应该是说“不是所有的空间都具备”。

3. 关于空间的定义
在这个《理解矩阵》的系列里，我试图用一种新的“启发式”的方法来讨论数学，这种方法不是一开始就要说绝对正确的话，不是以不犯错误为目的，而是以有益于读者理解为目的，为了直觉性，我不惜一开始犯一些错误，比如给出一些数学概念的不那么严格、但是容易理解的定义，然后在后面的过程中不断地修正这个定义，最后到达“正确”。你会看到，我在《理解矩阵（二）》中已经修正了矩阵的意义。还没有完，在第三部分中我会再次修正其意义，以后可能还要再修正一次，才会达到让任何人跳不出错的地步。我当然可以一开始就给出一个绝对正确的定义，抄书就是了，最容易不过。但是直觉性就不存在了，读者也就理解不了了。

同样的，空间的定义也会在后面的系列中修正。事实上，把空间定义为容纳运动的容器肯定是不严谨的，你说的度量空间不能容纳运动，我还能找到一些不能容纳运动的空间，比如概率论里有样本空间，也不能容纳运动。但是没关系，现在先这样说，对于习惯了三维空间的普通读者来说容易理解，以后再进一步抽象，人家也就跟得上了。如果一上来就拿非常抽象的概念说事，你有信心读者能明白么
？读者不明白，就不愿意看，不愿意想，你写得再伟光正，又有什么用呢？

当然，我应该在整个系列开始的时候说明这一点，免得别人看了一半就以为明白了，把半成品当成宝。这是我的疏忽，感谢你指出。

4. 关于你举的这个例子
注意你的矩阵[0, 0; 2, 1]是奇异矩阵，奇异矩阵代表一种奇异变换，在这里我希望尽快建立关于矩阵知识的主干，不想一开始引入那么多的细节和特殊情况。请参看《理解矩阵（二）》中我的说明。并请体谅。

这是个blog，不是学术文章，我本人不是数学科班出身，以前数学烂得要死，现在的水平也非常有限，写这个东西也是一时兴起，另外也确实有抛砖引玉的想法，想提出一种新的讨论数学的思路。

46楼 myan 2006-04-05 08:41发表 [回复]

to INmyan:
你的想法可能太具体，所以很难想得通。不过追求直觉思路跟我是一致的。

转置是个不容易说清的问题，我有一个解释，但是自己不是很有把握，让我再想想吧。

行列式就更不容易说清了，好在有本书上谈过这个问题，但还是不容易说清楚。我会在后面的文章里试着说说这个事。

谢谢。

45楼 INmyan 2006-04-05 00:39发表 [回复]

我谈下我对刚才的2个提问的想法,烦请帮我指正下是否合适,或者是否正确:

假设有3个质点,每个质点又有3个衡量量分别是:
(1)自身内部的分子热运动(这个有点不合适,你能想个更好的吗)
(2)自身速度
(3)受到其它2个质点的万有引力的合力

那么,转置之后,变成了无法解释的情况
如果转置之后的行列式变成特殊形式的行列式,如:范德蒙特行列式
可能会出来一个"-"(负号),而可能会得到行列式的结果值(它又代表
了什么意义??-----仅仅得到: 系数行列式结果不为0,所以可以使用行列式来研究线性方程组吗??)

-------------------------
顺便再提一个问题:
为什么当D!=0时,可以通过研究行列式来研究线性方程组,这种转化好像就解释不通了.

44楼 INmyan 2006-04-04 23:30发表 [回复]

问几个问题:
(1)当一个n*n的方阵的系数矩阵D!=0的时候,可以使用行列式来解,假设是3*3的的情况下,行列式为什么可以转置??
(2)转置之后为什么能和原来的相等(这个相等表示的是什么意思??)这个能否解释一下??
我更希望您从直观或者"直觉"的角度解释一下,而不是数学的角度
谢谢!

43楼 byn 2006-04-04 20:07发表 [回复]

[myan]首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。
[byn]请从度量空间开始吧。度量空间可以是没有任何结构的。

[myan] 而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是关键的性质。
[byn]其它的空间怎么不具备？内积空间就定义了长度和角度。怎么不是关键的性质？问问教分析的老师，学学泛函分析，看看角度的概念在内积空间中关键不关键？

[myan] 只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。
[byn] 我定义一个度量空间如下：桌子和桌子的距离定义为1，椅子和椅子的距离定义为1，桌子和椅子的距离定义为0。（这个定义是符合度量空间的要求的）。这个空间没有任何的结构，请问容纳了什么运动？

[myan] 线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。
[byn]直接从欧氏空间就简单的推广到线性空间未免大胆了一点。比如说：无穷维的线性空间虽然存在着基，但是几乎无法知道它是什么（这里的“几乎无法知道”是数学上的概念），所以是无法把它表达为向量形式的。当然，我们做工程的人平时接触的都是有限维空间，在有限维这个前提下，上面这句话我认为是正确的。但是既然这里是在讨论数学问题，这么写就不太合适了。

[myan] 很有意思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个

向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。
[myan] 如果是这样，我想请问：一个二维欧式空间，从点[1，2]移动到点[0，4]，这个运动可以用矩阵[2，-1；0，2]实现，也可以用矩阵[0，0；2，1]实现。请问到底哪一个矩阵代表了这个运动呢？如果如你：所说空间中的运动是指从一个点运到另外一个点，这两个矩阵所代表的运动又有什么不同呢？或者说，为什么相同的运动会有不同的矩阵表示呢？

42楼 wenxin 2006-04-04 19:39发表 [回复]

写得不错，赞! 41楼 guoxu1231 2006-04-04 17:44发表 [回复] .......................... 40楼 wised 2006-04-04 17:38发表 [回复]

《线性代数》是最漂亮的数学形式之一，我很喜欢，也觉得很有用，第二有用的就是《概率》和《统计》。
至于能否学明白，只好看各人的资质和听天由命了。
对于数学的学习，一旦学不明白，努力基本上是没有用的。即使在数学家中，也没有例外，如小平邦彦就是学不会解微分方程。

39楼 XVSDF 2006-04-04 17:25发表 [回复]

记得一位没有一点社会背景，但现在很富足的朋友讲过：
没有多少知识并不可怕，这可能是由于家庭的因素、或者社会大环境，
或者年幼时的无知，没有好好学习等等原因所造成的……
没有多少能力并不可怕，能力是经过一段时间的努力之后所积累、所造就的；
这一切统统没有关系，唯一重要的是——您要学会思考!思考致富！快去看看http://haidongqing.9soho.com

38楼 Liu JunSong 2006-04-04 14:11发表 [回复]

数学是一门非常抽象的科学,世界上任何的科学,一旦成为学科,就必然有其专业性,对于不接触这种行业的人来说,无异于天书.要学习数学,就必须先掌握他的特有语言和约定;用一种比喻来试图简化这种困难程度,本质上来说是很难做到的.
我个人任务,与其将精力如此分散,面面俱到地泛泛讨论问题,还不如针对一个专门题目,认认真真进行探讨有真正的效果.

37楼 刘泽围 2006-04-04 10:17发表 [回复]

收藏！谢谢了，朋友

36楼 风雨骑士 2006-04-04 12:47发表 [回复] >>矩阵的本质是运动的描述

在线性空间这个大背景下，这么说是挺“直觉”的，但离开了这个背景，这句话就值得商榷。 35楼 myan 2006-04-04 11:38发表 [回复] 谢谢风雨骑士和 windinn_ 指出笔误！

已经修改。 34楼 windinn_ 2006-04-04 11:25发表 [回复] (AB)-1应该等于B-1A－1
可能打字有误 33楼 风雨骑士 2006-04-04 11:23发表 [回复] >>对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = A-1B-1

反了吧，应该是(AB)-1 = B-1A-1 32楼 cnzhangzhen 2006-04-03 21:11发表 [回复] 王惠芬的，应该 31楼 cnzhangzhen 2006-04-03 21:10发表 [回复] 奇怪了，大家当年高代考试是怎么过的呢
印象中有本张筑生的习题集不错。 30楼 cybercake 2006-04-03 20:20发表 [回复] 我从来没有对别人的Blog发表过评论。今天是第一次。

一如楼上某君的说法，因为“不适应大学的学习方式”，当年我的《线代》一塌糊涂。直到现在都只停留在最初级的矩阵运算上。

无论如何请楼主继续下去，这篇文章的意义不亚于写一本教科书啊！

29楼 nybon 2006-04-03 19:58发表 [回复]

谢谢您的文章

28楼 suso 2006-04-03 18:11发表 [回复]

感谢LZ的大作，确实为思考活动之结晶。中国就缺少这样的“科普”人才啊，大道理大家都“懂”，懂吗？都不懂也，就是缺少“知觉”性的思考，与现实本质的联系思考。LZ的续作可否发到我邮箱：suso@qq.ocm
感激不尽！

27楼 lxz 2006-04-03 15:06发表 [回复]

中国写书的那些学者多些这样的思维就好了 26楼 blue gene 2006-04-03 14:45发表 [回复]

非常赞同你的关于知觉性的论述，我和你有相同的看法。我最近也在看很多的线性代数的书籍，也在思考类似的问题，非常希望你能写下去，不管你的认识是否一定正确，但我觉得我受益匪浅。

25楼 绛夊緟 2006-04-03 09:09发表 [回复]

能把数学概念都抽象成简单的生活常识,这就是悟

24楼 荻荻 2006-04-03 12:40发表 [回复]

令我茅塞顿开！！老师加油！！

23楼 xxx 2006-04-03 13:03发表 [回复]

我一向是比较吝惜我的称赞的，不过这一次想破例一次。

孟岩喜欢思考，说句实在话，孟岩这篇文章的结论我在几个月前就得出了。但令我非常惊讶的是：为什么你的思考结论为什么和我的结论竟然是如此的高度一致，而且连思考的具体过程都是如此的一致，看来人脑的思维的确具有某种惯性和共性。

22楼 chensh 2006-04-03 10:50发表 [回复]

我要那么说会死得更惨:)

21楼 anonymous 2006-04-02 19:23发表 [回复]

看了之后似乎明白了一些，但要说具体明白了什么……还是有些模糊。归根到底还是现代科学发展太慢啊，也许到了遥远的未来，空间跳越成为家常便饭时，这些东西才能有个直观的表现吧-_-

20楼 loss of certainty 2006-04-03 10:47发表 [回复]

建议看看《数学：确定性的丧失》后，再来谈数学。 19楼 myan 2006-04-03 11:52发表 [回复]

to chensh：
反正你就是一个死，不如死的壮烈一点。

to loss of certainty：
这本名著谁敢不买一本啊，不过目前还没时间精读。但是据我粗略浏览，此书主要是向公众解释数学的几次危机，并且最终目的是解释数学公理体系的不完备性，也就是哥德尔定理，这是全书的核心。这本书对于人们加强对数学的state of the art的理解很有意义，但是要说不看这本书，就不能谈数学，我觉得有点过。尽管公理体系是不完备的，也就是说数学是不确定的，但是不妨碍数学在实际应用中取得巨大的成功。我从不敢自认为懂数学，所有的着眼点都在于数学应用方面，因此暂时不会受到数学的不确定性的骚扰。

18楼 alexanderxyh 2006-04-02 22:32发表 [回复]

说的不错，研究生考试刚过，加上线代又是我的兴趣，所以这些概念还是很清楚的
作者把矩阵想象到了描述运动
把能harbor运动这种trait看作是空间的特性
实在是别有洞天

另外，在下还有俗见想补充：
哲学有云：大千世界统一于物质，物质的本质又是运动不息
数学-博大而又精深者也，然则亦归属于物质，必然为运动所刻画

17楼 ******* 2006-04-02 20:22发表 [回复]

老魔头还能写出这样出彩的东西~刮目相看啊~ 16楼 xuewu 2006-04-02 20:15发表 [回复] 大一我很喜欢这种直观的思考，仅靠证明的东西总是感到不实在，每当从直观上认识一个问题才感到数学的乐趣。 15楼 Big Ben. 2006-04-02 16:45发表 [回复]

听孟老师一席话，真是茅塞顿开

14楼 cxj3000 2006-04-02 20:10发表 [回复]

非常期待孟岩老师继续写完！学了这么长时间的线性代数了，但总是感觉不得要领~这些疑惑也是我一直想知道的~~第一部分就写的很好，希望能尽快看到续集~ 13楼 高代不过关 2006-04-02 16:36发表 [回复] 期待大学开始我的高代就挂了这是我一生的痛阿 12楼 ^_^鐪嬮浜?Url= 2006-04-02 16:20发表 [回复]

to seraph
3D 如果要模拟现实,你可去看分型

11楼 dot99 2006-04-02 13:16发表 [回复]

矩阵对我来说，曾经是，并且目前为止，一直是一个莫名其妙的东西...
10楼 hongqing 2006-04-02 16:03发表 [回复]

写的很棒:
孟岩老师可不可以推荐几本有意义的原版书,或者网站

9楼 lihuibin 2006-04-02 13:02发表 [回复]

好，写得好，矩阵是运动真的是一语惊醒梦中人，看这篇文章太值得了。期待后面更精彩的描述 8楼 onlyxuyang 2006-04-02 15:52发表 [回复] 很好的文章,希望能写完

孟岩老师加油啊!~!!! 7楼 seraph 2006-04-02 15:20发表 [回复]

呵呵，矩阵是运动，我是做3D图形的，在图形学里面，所有的变换都是矩阵乘法，可以算是线性代码的一个直观解释吧

6楼 leexiaofeng 2006-04-02 10:39发表 [回复]

写得很好，我学线性代数或者甚至整门数学课程时就被这类“直觉性”问题困扰。一个公式被证明出来了，我总觉得不可思议，硬是想要从直觉性的去理解他，有一些公式、定理成功了，但是大部分失败了。过多的失败使我放弃了理解数学，这样几年下来数学已经被忘了。

看了这篇文章，醍醐灌顶，要重新学习数学了！楼主坚持下去啊！

5楼 adherent 2006-04-02 13:28发表 [回复]

“直觉性”！非常经典的论述，大一的时候学现代就曾经拼命的想找到那种对一大堆公式的直觉感触，哈哈，说来惭愧，当时的努力最终在一种孤独中败阵。 4楼 softy 2006-04-02 03:47发表 [回复] 我大学线性代数考试满分,感觉不错
可后来竟然有其他数学科目挂了 3楼 dd 2006-04-02 11:30发表 [回复]

2. 这些点之间存在相对的关系
4. 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动

4 应该是 2 的特殊情况吧。

2楼 bloodwolf 2006-04-02 09:54发表 [回复]

只学过基本的线性代数，考的很不好。对于许多科目都是，我觉得有用的，才有耐心学下去，否则的话只要求考试过了就可以了。正如大大所说的，一开始就把我带到云里雾里，全是枯燥乏味的公式，它不认识我，我也不认识，也不认为它有什么用处。我觉得兴趣是学习的最好动力，而现在的很多书只是说教。

1楼 BunnyQ 2006-04-02 09:30发表 [回复]

我大一时的线形代数挂了起早贪黑上自习看了半个月考了55分
没挂的人告诉我你把例题和习题都做熟悉了定理背过了就很容易拿高分了.

没有人告诉我文中那许多为什么只告诉我这么做就是对的后来被我归结为没有适应大学的学习方法.. = =b

理解矩阵（二）

2006-04-03 14:01 39779人阅读 评论(154) 收藏 举报

接着理解矩阵。

上一篇里说“矩阵是运动的描述”，到现在为止，好像大家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候，总会有人照本宣科地告诉你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学。大家口口相传，差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人，好像也不多。简而言之，在我们人类的经验里，运动是

一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径，这就带来了连续性的概念。而连续这个事情，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。古希腊人的数学非常强，但就是缺乏极限观念，所以解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论）搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的，所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分，才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理。

不过在我这个《理解矩阵》的文章里，“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点，经过一个“运动”，一下子就“跃迁”到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们日常的经验的。不过了解一点量子物理常识的人，就会立刻指出，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到。但是不管怎么说，“运动”这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是“跃迁”。因此这句话可以改成： “矩阵是线性空间里跃迁的描述”。

可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语——变换，来描述这个事情。这样一说，大家就应该明白了，所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。再比如说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。附带说一下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因，很多书上都写着“为了使用中方便”，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的。又扯远了，有兴趣的读者可以去看《计算机图形学——几何工具算法详解》。

一旦我们理解了“变换”这个概念，矩阵的定义就变成： “矩阵是线性空间里的变换的描述。”

到这里为止，我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。不过还要多说几句。教材上一般是这么说的，在一个线性空间V里的一个线性变换T，当选定一组基之后，就可以表示为矩阵。因此我们还要说清楚到底什么是线性变换，什么是基，什么叫选定一组基。线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有： T(ax + by) = aT(x) + bT(y)， 那么就称T为线性变换。

定义都是这么写的，但是光看定义还得不到直觉的理解。线性变换究竟是一种什么样的变换？我们刚才说了，变换是从空间的一个点跃迁到另一个点，而线性变换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。这句话里蕴含着一层意思，就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变，只要变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就一定是线性变换，也就一定可以用一个非奇异矩阵来描述。而你用一个非奇异矩阵去描述的一个变换，一定是一个线性变换。有的人可能要问，这里为什么要强调非奇异矩阵？所谓非奇异，只对方阵有意义，那么非方阵的情况怎么样？这个说起来就会比较冗长了，最后要把线性变换作为一种映射，并且讨论其映射性质，以及线性变换的核与像等概念才能彻底讲清楚。我觉得这个不算是重点，如果确实有时间的话，以后写一点。以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换，就是在同一个线性空间之内的线性变换。也就是说，下面所说的矩阵，不作说明的话，就是方阵，而且是非奇异方阵。学习一门学问，最重要的是把握主干内容，迅速建立对于这门学问的整体概念，不必一开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况，自乱阵脚。 接着往下说，什么是基呢？这个问题在后面还要大讲一番，这里只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了。注意是坐标系，不是坐标值，这两者可是一个“对立矛盾统一体”。这样一来，“选定一组基”就是说在线性空间里选定一个坐标系。就这意思。

好，最后我们把矩阵的定义完善如下：

“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。” 理解这句话的关键，在于把“线性变换”与“线性变换的一个描述”区别开。一个是那个对象，一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中，一

个对象可以有多个引用，每个引用可以叫不同的名字，但都是指的同一个对象。如果还不形象，那就干脆来个很俗的类比。

比如有一头猪，你打算给它拍照片，只要你给照相机选定了一个镜头位置，那么就可以给这头猪拍一张照片。这个照片可以看成是这头猪的一个描述，但只是一个片面的的描述，因为换一个镜头位置给这头猪拍照，能得到一张不同的照片，也是这头猪的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描述，但是又都不是这头猪本身。

同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。

但是这样的话，问题就来了如果你给我两张猪的照片，我怎么知道这两张照片上的是同一头猪呢？同样的，你给我两个矩阵，我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换呢？如果是同一个线性变换的不同的矩阵描述，那就是本家兄弟了，见面不认识，岂不成了笑话。

好在，我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质，那就是： 若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间满足这样的关系： A = P-1BP

线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来，这就是相似矩阵的定义。没错，所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。按照这个定义，同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点，不过能让人明白。

而在上面式子里那个矩阵P，其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系。关于这个结论，可以用一种非常直觉的方法来证明（而不是一般教科书上那种形式上的证明），如果有时间的话，我以后在blog里补充这个证明。

这个发现太重要了。原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊！难怪这么重要！工科研究生课程中有矩阵论、矩阵分析等课程，其中讲了各种各样的相似变换，比如什么相似标准型，对角化之类的内容，都要求变换以后得到的那个矩

阵与先前的那个矩阵式相似的，为什么这么要求？因为只有这样要求，才能保证变换前后的两个矩阵是描述同一个线性变换的。当然，同一个线性变换的不同矩阵描述，从实际运算性质来看并不是不分好环的。有些描述矩阵就比其他的矩阵性质好得多。这很容易理解，同一头猪的照片也有美丑之分嘛。所以矩阵的相似变换可以把一个比较丑的矩阵变成一个比较美的矩阵，而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性变换。

这样一来，矩阵作为线性变换描述的一面，基本上说清楚了。但是，事情没有那么简单，或者说，线性代数还有比这更奇妙的性质，那就是，矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。理解了这些内容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。 这个留在下一篇再写吧。

因为有别的事情要做，下一篇可能要过几天再写了。

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?上一篇：理解矩阵（一）

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151楼 z550946941 2012-07-05 16:24发表 [回复]

读过此文章之后的感觉是，矩阵作为线性空间里变换的描述，让我感觉所谓空间就像一个浑身是刺的大刺猬(可能这个比喻不太恰当)，但是当你从不同的角度去看的时候又会发现它是何等的光滑圆润，小弟不懂那么高深的数学，上面写的只不过是度过该文之后的一些想法，勿喷小弟

150楼 z550946941 2012-07-05 16:03发表 [回复]

[plain] view plaincopy 1. 矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，

不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。理解了这些内容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。

在博主文章的这段描述里，那我是不是可以理解为在同一个线性空间中选定一个基a，点A跃迁另一个地方的时候，会对应当前线性空间中的另外一个基b，那是不是可以认为点A只有一个，基a与基b只是某个基在围绕点A运动(或者说某个坐标系在围绕点A运动)呢？

149楼 youqika 2012-04-12 01:18发表 [回复]

那些喷的不是在炫耀自己多牛叉就是在装13。

148楼 htiaotiao 2012-01-07 10:51发表 [回复]

写得真不错，感觉颠覆了以以往的认识，不过还是有些小小的问题。

首先，我记得书本上一个空间到另一个空间的“跃迁”好像有另一个名字叫“映射”，而“变换”只是“映射”中特殊的一种。

还有对于你提出的“跃迁”这种想法真的很好不过我觉得像线性变换之所以那样定义为线性变换是因为满足T(ax + by) = aT(x) + bT(y)这个关系式同时也就满足了线性关系。

147楼 huxiongge 2011-10-24 13:01发表 [回复]

我觉得深入浅出 希望大牛能再写几篇

最好是概率统计方面的东东，哈哈

146楼 cqsjnhustccrdi 2011-08-24 12:53发表 [回复]

真是太浅显易懂了，楼主真的很有才，我一直在找这么一篇文章，把抽象和现实联系在一起，现在的教程都通篇一律的推导，看得我头都大了，还不知道是个什么意思，有什么实际意义，感觉就想天数，搞数学的人是不是都喜欢跟实际脱节以显得自己高深？还好有楼主的这篇文章，这才叫高人，真正懂矩阵的人。

145楼 googya 2010-10-03 18:05发表 [回复]

当时学线代的时候，就有过这样的疑惑：矩阵是什么，意义是什么，有什么实际的用途(如何在恰当的地方引入）。我想只有把这些东西弄得有些眉目了，学起来才会更容易，用起来才会更自如，随着使用，不断的加深理解。教材上说的基本上都是正确的，但是如果教材写的再好，学习者仍然一知半解，那么这样正确的东西对学习者而言没有任何意义，相反会使学习者的学习兴趣下降甚至怀疑自己的智商！多么可笑的一件事情！教就教好，搞的别人一知半解还不如不教！

144楼 匿名用户 2010-06-15 18:51发表 [回复]

还没开始学线代，却有缘先看了这个贴子，感谢感谢！143楼 匿名用户 2010-06-13 21:21发表 [回复] 142楼 xiehongan123 2010-03-30 21:01发表 [回复] 141楼 yanonsoftware 2007-11-06 12:28发表 [回复]

看到这里已经受益匪浅了~! 终于把图形学的知识和线性代数里面的知识融会贯通了! 好久没有这种感觉了!

140楼 JJWorm 2007-11-06 10:52发表 [回复]

一直也喜欢在数学的公式中去找答案,去发现直观意义. 在贴子中,发现了原还有许多同样的朋友. 但更重要的收获,是在回复中一些朋友启发到. 直觉可能不是数学的全部. 直觉不是数学的终点, 确定性不是数学的本原.那么数学你到底是要做什么的啊........... 要崩溃了. 我从小一直以为世界本质是美好的, 一切最终是追寻着真善美的目标. 但现实一再告诉我们, 假设有上帝, 那么它不一定会是真善美的代言人. 一切的一切都指向的是\存在\为了存在没有任何标尺. 数学也是世界的一部分, 那么它也不会有责任去真善美. 再美好的直观解释让我能激动一时,更多的是失落.

139楼 JJWorm 2007-11-06 10:34发表 [回复]

你说的直观是不是现实空间中的后天经验，那么这涉及到一个问题数学到底是现实的抽象，还是柏拉图的世界，也就是遗世独立，现实只是它的一个粗糙的影射。这涉及到哲学上的问题，想不明白，也没有答案。但如果这个问题不解决，那么你的直观是否是先验的判断，是不能得出结论的啊。直观不一定是生活中的直观，它可能本身就是人心对真理的直觉。

aha100 发表于2006-04-08 13:15:00 IP: 10.11.153.*

我觉得如果把运动分为运动结果和运动过程比较好.作者最好不要用运动一词,因为运动包含了开始,过程和结果.当然你开始时候就说了\运动的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化\但看的时候有点别扭. 改成运动方式好点.

另——所谓直观与抽象的区别。我想不能刻意追求直观，直观只能是在理论的某一部分，当然直观是什么也是个问题，是指与现实世界的联系吗，这是一部分，但不是很大一部分。如果对数学学得好，并不是一定要懂这些联系的，但却必须对数学符号所描述的联系有很清楚的理解。 数学只是在一些先验的假设基础上再去研究这些假设之间的关系而已，当然借用的是我们的逻辑。这我想是罗素写《数学原理》的想法吧（很抱歉，没看过，只是对哲学有些了解。）。 我想说的是直观不是数学研究的重要部分，最多是一个生活的启发，或者满足某些人喜欢对事物来龙去脉搞清楚的兴趣。因为数学更是逻辑本身的体现。

如果你一定要问数学有什么直观的意义，那有时候是可以的，有时候却可以说只是我这样定义了而已。（好象有点哲学的味道） 不知道我把我的想法解释清楚了没有。

138楼 GlietBoy 2007-11-05 23:49发表 [回复]

老岩又可以当数学家了。对其中的数学定义和表示法的表述，本人觉得不好。老岩同志，下次，希望您写的东西，能表述准确些，而不是刚入大一新生。呵呵。

希望用语准确些，科学毕竟不是小儿吵架,特别数学。我的大学高等代数老师有一句在系里有名的名言：“数学是要以理服人的！”

137楼 oyd 2007-11-05 16:32发表 [回复]

孟岩先生：

对于什么是线性变换的你的那个通俗说法：

“而线性变换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。”

我反而看了之后更糊涂。倒不如T(ax + by) = aT(x) + bT(y)直白。虽然这个式子的含义我也没太懂，但由此我至少知道线性变换是有这么一个性质的。

而你的这个解释，我就只好理解成线性变换就是线性空间中的变换，这不说了跟没说一样吗？

或者至少你举一个非线性变换的例子，再通过对比来说明一下线性变换的本质，不然我还是只有一个公式化的认识。

136楼 hannah_s 2007-09-07 11:17发表 [回复]

受益匪浅！请一定要继续写下去。 135楼 win. 2007-08-14 13:33发表 [回复]

真是知己啊!你写的文章好像一盏明灯,把我从生涩,无头绪的数学公式说教的昏暗世界解脱出来,我是学工科的,但是往往在学习某一门课程时无论什么都想思考出它的真谛与实质,随着所学的知识越来越多,思考的就越多,但是捆扰我的就越多,真的,往往对事物的本质探究的多了,就要把它上升到一种哲学的范畴,往往被别人看作不是问题的问题也可能也要努力思考出它的本质,我

很佩服作者的勇气和能力,很多人在学习自然科学时是把它仅仅做为知识,或者是工具去学习,但是自然科学的学习中蕴涵着犹如佛教中\悟\一样的过程,我这么说并不是说自然科学是迷信,但是在学习自然科学中真有种\只可意会,不可言传\的感觉,这种感觉就是我们对实质的感悟,它并不是完全理性的,而是建立在理性基础上的对事物实质大彻大悟的感性理解.而作者正是在努力用文字的形式去传达这种对这门学科的最真实最直接的感悟,太好了,真的希望看到你的下文和其他文章!!

134楼 dahuatttt 2007-08-06 14:01发表 [回复]

一年多了，就是没有下文了。。。

呼唤孟岩继续写下去

133楼 mycicisky 2007-04-15 04:07发表 [回复]

半夜看完醍醐灌顶的感觉嘿嘿以后有机会接着上学学（先攒够银子：） 突然想到当年高中数学老师甄老师曾给我们讲过：“数学是世界上最美的语言！” （呵呵也许是甄老师的老师讲给老师的话经典！）

132楼 mycicisky 2007-04-15 03:59发表 [回复]

过客不留名发表于2006-04-08 01:28:00 IP: 58.67.30.* 写给楼上的<过客不留名>

整个哲学体系里面，我只看过几本存在主义，几本尼采，基本没看懂，我对哲学几乎一无所知，我很羞愧。

我只是一个 programmer on the street

你虚心的问我：么和现实世界有关系，我告诉你，物理、化学、生物，医学，都和现实有关系

你虚心问我：什么是现实世界，我告诉你，你所在的空间就是现实世界

它满足 1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2 + 1/t^2 = 0 (这个方程记不准确了)

知识是灌水的唯一源泉

---------------------------------------------------------------------

请问物理、化学、生物，医学这几门那个能离开数学独立存在？!

131楼 我的 2006-11-22 15:01发表 [回复]

我是想来看实际应用的,要交作业的,看了半天,没有能让我抄一点的东西..................晕死 130楼 pc的情人 2006-09-14 15:01发表 [回复]

我一直认同，数学意义在于其表征现实世间的某种内涵。如果不能找到内涵所在，纯粹的逻辑符号没有意义。对于线性代数，我跟作者一样，一直思考其中的内涵所在，特别是关于特征值和特征相量的思考。特征值我只能在二次型和协方差中才能找到理解的基点。作者的理解方式给我另外一种理解方式。网上有很多你的文章转贴，终于找到原作者了，谢谢你的用心。希望再能看到作者的其他文章。

129楼 bart 2006-08-30 18:57发表 [回复]

不错的文章，我基本是看了你的这篇文章后才学好线代的。
你再来一篇关于复变函数和积分变换的吧。

128楼 qiuryaq 2006-08-10 08:19发表 [回复]

矩阵的一些运算现象，如(AB)^T = B^T A^T, (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1},是由其所定义的运算
规则所决定的，没有什么可以奇怪的。

X, X', X'' 是向量，e, e', e'' 是相应的基。

A: X -> X'; A^(-1): X' -> X; A^T: e' -> e;

B: X' -> X''; B^(-1): X'' -> X'; B^T: e'' -> e';

AB: X -> X''
(AB)^-1: X'' -> X = X'' -> X' -> X (B^-1) (A^-1)
(AB)^T: e'' -> e = e'' -> e' -> e (B^T) (A^T)

127楼 qiuryaq 2006-08-10 08:27发表 [回复]

我认为矩阵变换这个词很好，干什么要叫运动呢？ 上面所发是我看了孟岩老师文章后想出的，也不知对不对。

126楼 wizard13 2006-07-28 17:57发表 [回复]

受益良多
非常期待下文。。。
其实直观的理解问题，一直是我初中，高中时所追求的。以前老师讲解题目，我觉得别扭的一定会深入的研究下去，有时就让我发现老师讲错，有时就一直证明到自己把问题理解的足够自然。最记得有一次，我上数学课对老师前面讲解的一个问题提出质疑，说她（女老师）讲错了，她火了，因为我经常提一些这样的疑问，结果她坚决不理睬我，对我的质疑置之不理，当面全班人的面，还让我旁边的班长站起来硬说我是错了。哈哈，可是我提问之前已经给班长看过我的证明了。结果班长站起来就选择沉默，低着头。。。。哈哈

125楼 xuedingxiang 2006-07-19 09:34发表 [回复]

"线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。"
期待对赋范线性空间，内积空间，希尔伯特空间的精辟阐述。

124楼 xuedingxiang 2006-07-19 09:27发表 [回复]

感谢MYAN.

123楼 xuedingxiang 2006-07-19 09:26发表 [回复]

连续读了两篇文章，对矩阵的概念有了新的认识，特别是矩阵是线性空间里变换（运动，跃迁）的描述，我认为是比较新奇的。

122楼 Don 2006-07-15 22:00发表 [回复]

看了您的文章:理解矩阵，受益匪浅
在这里向您请教关于Quaternion的问题:
我想知道Quaternion何以能表示一个旋转？
我怀疑Quaternion和相似矩阵，特征向量，特征值有一定的关系
因为他们都有一种相同的表达式 qPq-1

是这样吗？

期待您的回复
谢谢
blog.csdn.net/dingounan
Inside Out: Camera

121楼 KAKA 2006-06-12 12:23发表 [回复]

To 孟某：

It's a explicit template instantiation declaration to export the STL class instantiation from the DLL

It exports the cos function for complex<double>, not about template partial specification.

不是什么“特化”，也不是什么“特别优化”

120楼 zrw_hunter 2006-06-01 22:49发表 [回复]

TO myan:

汗,我本来就是读者之一....只是看了以后,觉得想理解理解,自己就在那里面悟了悟了...全是个人的体会...

我真的还没想去查一些东西...觉得你在这方面比我专业多了...不过我会尝试一下...只是时间太忙了.

119楼 myan 2006-06-01 20:02发表 [回复]

to zrw_hunter:
我觉得你对于|A|的解释是在用古拉丁语解释古希腊语，越解释读者越糊涂，最好的结果不过是你自己一个人闷爽。当然我相信你是明白了一些的，不过建议你应改试着用更简单的观念来解释行列式。

给你一个提示：行列式的确是反映线形变换前后的一种量的比较关系，但是到底是什么量呢？请查一些经典的矩阵论文献。

118楼 zrw_hunter 2006-06-01 09:14发表 [回复]

To CCC

哈哈,我比你混得好多了. 工作几年,二套房子在手,年年薪十万. 去年本行业的第一次注册,本人也过了.

决定不跟你说了.浪费.

不喜欢耍小聪明的人.

117楼 CCC 2006-05-31 22:59发表 [回复]

刚工作吧。随意攻击别人、肮脏地说话，只说明自己的品质暴露，还"我IP变了"，另外你是要考研吧，真可怜。。。

116楼 Zrw_hunter 2006-05-31 18:47发表 [回复]

首先我告诉你,我不是河南人.老家山西,湖北上学,郑州工作.
其次我告诉你,河南一亿人,你丢下去也就是中下等.

最后告诉你:我IP变了. 115楼 Zrw_hunter 2006-05-31 11:31发表 [回复] 期待下文......

像CCC这样的食品分解器,不值得在这里出现.

114楼 CCC 2006-05-31 12:36发表 [回复] 河南人吧，理解。。。 113楼 Zrw_hunter 2006-05-31 11:17发表 [回复]

修正一下:

"|A|表示矩阵A所对应特征向量在相应线性变换前后总矢积的线比系数(或是缩放系数),其中经由代数重数不等于几何重数的所得特征向量要视为重合."

112楼 Zrw_hunter 2006-05-31 11:03发表 [回复]

跟欧阳锋炼九饮真精一样,想了好多东西,自己也悟出不少...但就像说梦话...其中之一是:

"|A|表示矩阵A所对应特征向量总矢积的线比,其中代数重数不等于几何重数的所得特征向量要视为重合."

:),,,妈妈呀,我都快迷了......

111楼 Zrw_hunter 2006-05-30 22:52发表 [回复]

从坐标的旋转想开去,感觉矩阵好理解些.其它也是...... 110楼 Zrw_hunter 2006-05-30 18:34发表 [回复]

过瘾,不错.真的.虽然有不同意思,但要明白,造就一个瓷器本身远比发现它上面的斑点要难得多.......我最近在想几个低级的问题,一直没有理解.就像楼主所言,现在编书的本身头脑也是一处混沌...比如:
一:关于行列式与矩阵的深刻关系是什么?具体一点,为什么二者运算法则根本不同,而|A|=0能断定A不满秩?|A|=0的情况下,A尽有哪些可能?是不是只有下面的可能?{1.某行(列)全0; 2.某行(列)可以由其它若干行(列)线性表示?};如果是,如何证明或是理解? 虽然可以从写字母出发来说明,但还是不直观...比如,A满秩可逆=>可以分解为多个初等矩阵p1p2p3...=>|A|=|p1p2p3...|=|p1|*|p2|.../=0
所以"A满秩=>|A|/=0"; 逆否,==;|A|=0=>不满秩".

109楼 Zrw_hunter 2006-05-30 19:01发表 [回复]

具体问题二:

为什么各特征值相乘=|A|;∑[特征值]=∑[对角元]??? 内中有何妙玉?

108楼 勇泽 2006-05-28 12:38发表 [回复]

宏观的我们都解释不清楚,还去讨论微观的,宏观运用好就足以解决大部分问题了.等我么能熟练鱼鹰宏观在去研究微观的.

107楼 myan 2006-05-21 14:03发表 [回复]

to wjl:
清华大学影印出版的《数学拾遗》是这方面一本不错的小书。而最近高教出版社引进的俄罗斯数学教材中，《函数论与泛函分析初步》是讲函数论的一本不错的书。

总的来说，国外的书在这方面好一些，但是大部分著作仍然还是很干涩的。

我正准备阅读另一本重要的矩阵方面的著作，期望能刷新自己的一些理解。所以《理解矩阵》的最后一部分可能会拖一段时间才出来。

谢谢你的关注。

106楼 wjl 2006-05-20 20:06发表 [回复]

我现在还在学习矩阵论，很希望能看到后续的文章。

孟老师可否推荐几本讲矩阵、空间、数学分析、函数分析的书？能够像《理解矩阵》这种文章一样讲述数学原理背后的来龙去脉。中英文皆可。

读《理解矩阵》，受益非浅，《理解矩阵1》里用蓝字提出的那几个问题正是长久以来困惑我的。正如孟老师所说，一般数学教科书习惯以抽象的方式来解释矩阵中的各种概念、把它们之间的来龙去脉付诸与一堆数学证明。作为工科学生（我在上交大读计算机），我非常不接受这种生硬的诠释方式。

105楼 wjl 2006-05-20 19:55发表 [回复]

我现在还在学习矩阵论，很希望能看到后续的文章。

孟老师可否推荐几本讲矩阵、空间、数学分析、函数分析的书？能够像《理解矩阵》这种文章一样讲述数学原理背后的来龙去

脉。中英文皆可。

读《理解矩阵》，受益非浅，《理解矩阵1》里用蓝字提出的那几个问题正是长久以来困惑我的。正如孟老师所说，一般数学教科书习惯以抽象的方式来解释矩阵中的各种概念、把它们之间的来龙去脉付诸与一堆数学证明。作为工科学生（我在上交大读计算机），我非常不接受这种生硬的诠释方式。

104楼 newbee 2006-05-17 13:26发表 [回复]

曾经也向孟老师一样感悟线数，至今记忆犹新的就是对秩的理解，求秩的过程其实就是在消除冗余，而这种冗余性放在线性方程组里来看是最好理解的，继而明白了初等变换的目的，极大无关组的意义。感觉线数有些概念有个很好的切入的话，其他的一通百通，个人觉得线数是一种耦合很高的体系

103楼 hutoo 2006-05-16 23:37发表 [回复]

写的很好。在碰撞中理解思想，结果本身就是变化的。希望能整理出书偶要买：） 102楼 狂想的蛇 2006-05-17 01:04发表 [回复]

很感谢能潜心整理出这么深刻的道理！

101楼 刘泽围 2006-05-15 18:42发表 [回复]

什么时候出第3篇啊？！！！强烈期待啊！！！！ 100楼 vivian 2006-05-14 21:19发表 [回复]

很好！希望能多欣赏到你的文章

99楼 ismile 2006-05-14 10:24发表 [回复]

"做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因，很多书上都写着“为了使用中方便”，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的。"
这个4×4仿射变换的矩阵实际上就是齐次矩阵，一种三维向四维变化方法。楼主要讲清楚

98楼 大虾 2006-05-08 21:55发表 [回复]

楼上的各位大虾都是猪头,受不住,哇哈哈 97楼 doggyzone 2006-05-07 21:48发表 [回复]

很喜欢myan关于猪的那个比方。不知道这样扩展一下所谓线性变换的概念大家喜欢不喜欢：
用照相机照一头猪，你把照相机从一个地方移到另一个地方，然后把猪向相反的方向移动相同的距离，得到的照片还是一样的，这就叫线性变换:)

96楼 Armstrong_wang 2006-05-07 14:56发表 [回复]

孟岩对矩阵还这么有研究，佩服啊！上学期考矩阵论，硬是背了一些公式和习题才考了c+。真是不喜欢数学啊

95楼 moonzhao 2006-05-07 17:16发表 [回复]

都是最基本的知识

94楼 hehe 2006-04-27 00:21发表 [回复]

楼主将矩阵用运动来加以描述是一个不错的想法
不过依然有一些缺陷
1. 楼主自己对运动的含义进行了扩展,
但是在对读者建立直观概念的时候实际上又用到了传统的运动概念,
有点偷换概念的嫌疑
2. 矩阵产生的线性变换大多是在不同的空间之间,将这个也推广为运动,有点 ...
另外, 个人感觉, 矩阵是来源于线性方程组, 从这个角度入手应该更加直观
至于,对于相似性的解释, 还是相当不错的

93楼 Francsescoli 2006-04-24 11:51发表 [回复]

“伟大的物理学家都是伟大的数学家，数学中的各个模型、公公式式都是物理学家提出来的，目的是为了验证或表述物理现象或试验，因为在他之前没有相当的数学理论可用来解释...”。这是我们的物理老师教给我们的一句话，我觉得很有启发。myan老兄认为如何啊？

92楼 刘典 2006-04-23 17:41发表 [回复]

"真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。"

太感谢孟老师了，如果上天给我一次请您吃饭的机会我会请您去北京最好的饭店吃一顿！！！

91楼 xixi 2006-04-23 01:13发表 [回复]

理解矩阵（二）

非常喜欢这样的文章, 看完后又有重学线性的想法, 要是我在大学里能有这样的老师多好啊(或看到这篇文章). 不多说了, 看书去. 90楼 意识电路 2006-04-16 22:41发表 [回复]

tomyan；您“为了试验一种新的描述知识的方法，就是认识——修正不断循环上升的过程，而不是像教科书上那样一上来就讲真理，不管别......”
“但是我觉得他似乎将把数学中很多“巧合”看成是理所当然的，世界是建立在偶然巧合上的，或者是上帝的兴致所至。我不太能接受这个观念。人接受不接受的了。”

“人类认识问题必然是从特殊到一般，从具体到抽象，从错误到不这样的真理，脱离开其形成的思考实践，就是一句毫无意义的废话”


对于不易理解的事物形成理解，这本身就是真理发展的过程。,可以肯定的是人类目前的认知能力还不能确定事物之间普遍联系的相互关系。所以只好把可以确定的部分强硬的规定起来。这样的行为显然不被具有独立思想的大脑所接受，所有思想着的大脑也从来不接受所谓“上帝”强权的愚弄与欺骗。但截止于目前所谓“巧合”中的必然还未被揭发出来。我认为是诸多问题的不被意识理解的总原因。愿理解您的意愿，支持你的行动。但仅限于数学的理解我也可以告诉您这是无望的。理解是事物统一必然的思想出发和终极归宿。

89楼 东阳 2006-04-16 18:33发表 [回复]

我的这位老师是叫我数学分析的，他能够把很多东西串起来讲，所以他的学生对他是很崇敬的.我经常问他一些其他的数学问题，受益匪浅。我想有事每个人站的角度不同，得出的结论也自然不同，没有必要把自己的看法强加给别人，求同存异，和而不同，我觉得才是王道啊。
小子无知，诸君莫怪

88楼 东阳 2006-04-16 18:26发表 [回复]

你的这种想法——对本文受众更好的理解问题提供一种可行的方式，我同意，而且本身就是一个受益者.但是从另一个角度来看，作为教科书，并不能按你这种方式来写，他必须告诉人们数学的严谨和数学的美，从教科书的角度看，它对读者的要求是比较高的，如果读者能将一本教科书吃透，也就足够了，单对数学的深层次的理解并不是一朝一夕的事，用我老师的话来说，它需要用文火来慢慢熬，才能熬出味道来.我十分赞同你这样的一种理解问题的模式，但理解问题的模式并不只有一种。很幸运的是，因为我不是学微积分，而是数学分析，现在数学分析和线性代数，两门课的很多东西现在都能够串起来，所以感觉很棒。但是之前一段时间却学得很郁闷，正是对一些公式定理的不能理解导致的，但现在还是一样有了感觉了。对于初学者，建立一种直观的联系是很有必要的，但是不必过分强调，因为很多东西并不能直接从直观上看，过分追求直观可能导致牵强附会.直观的解释作为一种启发式的东西，仍然是价值巨大的.
支持您继续写下去！

87楼 myan 2006-04-16 10:41发表 [回复]

to 东阳：
我丝毫不怀疑大部分合格的数学老师都对矩阵以及其他数学对象的意义进行过深入的思考，但同样也毫无疑问的是，无论他们是怎么思考的，他们的教学方式却仍然是按照大

纲要求一板一眼的来进行。这当然有很多正当的理由，不过这些理由的存在也就构成了我写这种文章的理由。我写这个东西的根本目的，是为了试验一种新的描述知识的方法，就是认识——修正不断循环上升的过程，而不是像教科书上那样一上来就讲真理，不管别人接受不接受的了。这种态度背后是一种蛮横，潜台词是：保证数学的伟光正形象要比教育本身的目的更重要，你们学不会是你们笨，而数学的形象必须始终光辉夺目。这不是教育者的心态，这是宗教家的心态。

坦率地说，我对于你的老师给出动的答案并不十分满意。当然，这肯定不是因为你的老师水平的问题，他作为专业数学教师，水平肯定跟我不能同日而语。但是我觉得他似乎将把数学中很多“巧合”看成是理所当然的，世界是建立在偶然巧合上的，或者是上帝的兴致所至。我不太能接受这个观念。我知道矩阵的若干意义，但是希望能知道是不是其中有一个意义是根本的，其他的意义都是派生的。当你这样看一个对象它是这样的，而那样看对象就成了另外一个样子的时候，你一定会希望弄清楚这个对象本质是什么样子的，而不是就此止步，把秘密留给上帝。

这个系列还没有写完，这是因为在写的过程中，在与读者交流的过程中，在继续阅读和学习的过程中，我又有些体会，但是还不成熟，总结不出来。但是我的基本思路不会变，写东西的目的要让人理解，而不是让自己爽。人类认识问题必然是从特殊到一般，从具体到抽象，从错误到不那么错误。象“矩阵就是一堆数”这样的真理，脱离开其形成的思考实践，就是一句毫无意义的废话。

86楼 东阳 2006-04-16 08:40发表 [回复]

我将孟老师的几个问题请教我的老师,给的答复是这样的:
能思考一些东西，很好. 但不能太过于执着。重要的是理解定义。有的问题的答案直接来自于
定义。
矩阵是什么？
1. 矩阵只是一堆数，如果不对这堆数建立一些运算规则。
2. 矩阵是一列向量，如果每一列向量列举了对同一个客观事物的多个方面的观察值。
3. 矩阵是一个图像，它的每一的元素代表相对位置的像素值，
4. 矩阵是一个线形变换，它可以将一些向量变换为另一些向量。
所以要回答“矩阵是什么”，取决于你从什么角度去看它。折也从某种意义上说明了为什么矩
阵有那么大的应用性。
一系列的同维向量，可以组成一个矩阵，同样，一些同阶数的矩阵可以构成一个张量（你可以
称之为三维矩阵）。
行列式来自于表示线形代数方程组解的表示（克莱姆法则).不必对其太过于神往。行列式的理
论意义大于实际意义，实际上，行列式的实际应用价值不大，实际计算有数值上的问题与困难
。
当你明白行列式的具体定义时，你自然明白为什么不能定义一个非方矩阵的行列式。
矩阵的分块，只是为了便于运算。分块不能使随意的，如果要进行矩阵的乘法或加法运算。
矩阵的一些运算现象，如(AB)^T = B^T A^T, (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1},是由其所定义的运算
规则所决定的，没有什么可以奇怪的。
行列式也有类似的规则，如：|AB| = |A||B|。
如果将矩阵看作为一个线形变换，则特征向量是矩阵的一个“不变”量。
这里所谓的不变量是指变换前后的两个向量是平行的（在平行意义下的不变方向）。矩阵对这
样的向量的变化结果，是对这个向量作数乘。在这个意义下，矩阵就“等价于”这个数。具有
这种特性的向量刻画了矩阵本身的一些几何特点。

Re: feixiangjjg 2011-01-01 19:15发表 [回复]

回复东阳：

我的一点浅浅的理解：

数学本身就是从生活中直观的东西悟出来的，人们应该很难

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pqno.html