几类特殊矩阵的可逆性及其逆矩阵

对几类特殊矩阵的逆矩阵问题进行了研究,讨论了它们可逆的条件,分析了这些矩阵与其逆矩阵之间的关系,并给出了其逆矩阵的特征或求逆矩阵的公式.

第 2卷第 1期 9 220 0 8年 1 2月

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几类特殊矩阵的可逆性及其逆矩阵邵选民(苏州市职业大学教育与人文科学系，江苏苏州 2 50 ) 1 14

摘

要：对几类特殊矩阵的逆矩阵问题进行了研究，讨论了它们可逆的条件，分析了这些矩阵与其逆矩阵之间的关系，并给出

了其逆矩阵的特征或求逆矩阵的公式.关键词：矩阵；逆幂零矩阵；数矩阵整

中图分类号： 5 .1文献标志码：文章编号：0 8- 94 20 ) 2— 0 5— 3 O1 12 A 10 7 7 (0 8 1 0 0 0收稿日期：0 8— 3— l 2 0 0 2

作者简介：邵逸民(9 3一)安徽安庆人， 17,苏州市职业大学教育与人文科学系讲师.

1预备知识矩阵的逆问题是矩阵论的重要问题，逆矩阵求

用同样的方法可证明 ( ) 2.

定理 2设 1阶矩阵的各行各列中有且只有 1 .一

在矩阵理论中占有重要地位，文献[—] 1 2给出了几种求逆矩阵的方法.在求矩阵的逆矩阵的过程中，我们发现几类特殊矩阵与其逆矩阵之间不仅有密切联系，而且有特殊的结构或形式.因而，对此进行研究是有一定意义的，所得结论对进一步学习高等代数也有很好的借鉴作用.本文用 F表示数域，表示矩 阵 A的转置， E表示 n阶单位矩阵， A表示矩阵用 A的逆矩阵，其他未加说明的概念、术语及符号均见文献[] 3. 引理 1 Woduy公式 )设 A是/阶可逆矩 ( obr 7 .阵， b∈F为常数，, n t e是维列向量，则L

个元素是 1一，或 1其余均为 0则 A可逆且 A=,一 证明矩阵 A A,…中的每一个矩阵的各， A,

A, 其中 k是正整数. 行各列中只有一个元素是 1一1其余均为0但这或，,样的不同的矩阵只能是有限个，故存在正整数 J, .,使A=, ,‘ (≠ )不妨设>由条件知， Al, I 等 于 1一1所以A可逆， A=E令 k=一或，且 , 为正整数， A则=E,即矩阵 A是周期矩阵，且A~: ~.

对于形如口 E+bt其中= e, a~ A

,, EF的口b

(+6

=A-一 1

2主要结论定理 1设/ 7,阶矩阵A是幂零矩阵(即有正整数 m,使得 A=0)则 ,( ) 0≠ 0, a 1若则 E+M可逆，且 (E+b~=0 1一02A+03+…+口 A)" E"b - -,bA -( ) a r A;一1 -b o ( ) B=E+2 2设 A+3+4。+…+m 。贝 A A A _,0可逆， B一=E一2+A .且 A

矩阵的可逆性，文献[] 5进行了研究，出了一个求得逆公式.这里将其推广，得到了如下结论：

定理 3设矩阵 C=D+p,中 D= 其da(。d,,是/阶可逆的对角矩阵， igd,… d) 1, PEF为

常数，, 是维列向量， C若可逆， C则也具有矩阵 G的形式 . 证明设=( 1 2…,’=( 1b, a,,口), b,2…,b) 为/维列向量， Z利用 Woduy公式， obr得C一： D~一1+ D ~

证明 ( )设 A是矩阵 A的任一特征值， I则 A=0即 A=0于是，口≠ 0时， E+6≠ ,,当 I a AI0从而，E+b逆，, a A可且 ( E+b ) a—a A+口 2+…+口 A (一 E一b一bA ( ) a% A )=E,一1 - 且 ( E+6 )=0 1 p口 A一 -E一02A+口。+…+ - b一A

D~: D+ q

。’

,

其中

q=一——

1 p丁i+ 0 Z" i b

,

=

(,2 , 0,

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’… )=,… ’, (,’’ z’ 声’ 薏 d笔一，…

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