矩阵可逆的若干判别法

重庆三峡学院毕业设计（论文）题目：矩阵可逆的若干判别法

专业：数学与应用数学

年级：2009级

学号：200906034129

作者：姜清亭

指导老师：涂正文

完成时间：2013年5月

目录

摘要........................................................................... I Abstract ...................................................................... II

1 引言 (1)

2 基础知识 (1)

2.1 基本概念 (1)

2.2 矩阵可逆的性质 (3)

3 矩阵可逆的若干判别方法 (3)

3.1定义法 (3)

3.2 行列式判别法 (4)

3.3 伴随矩阵判别法 (4)

3.4 初等变换判别法 (5)

3.5 秩判别法 (7)

3.6 线性方程组判别法 (7)

3.7 哈密顿—凯莱定理求逆矩阵 (10)

3.8 特征值判别法 (10)

3.9 利用Gauss-Jordan法求逆矩阵 (11)

4 常见矩阵的可逆性 (13)

5 其他逆矩阵的求法 (16)

5.1 秩判别法求逆矩阵 (16)

5.2 用分块矩阵求逆矩阵 (17)

5.3 拼接新矩阵 (18)

5.4 -矩阵判别法 (19)

5.5 用相除法判断循环矩阵可逆 (20)

5.6 矩阵多项式求逆矩阵 (22)

小结 (22)

致谢 (23)

参考文献 (23)

I

矩阵可逆的若干判别方法

姜清亭

（重庆三峡学院数学与统计学院数学与应用数学专业2009级重庆万州 404100）

摘要: 对线性代数和代数学而言，矩阵既是一个主要研究对象又是一个重要工具, 而可逆矩阵是矩阵运算理论的整体中不可或缺的一部分. 在矩阵理论中, 可逆矩阵所占据的地位是不可替代的, 在坐标轴旋转变换公式的矩阵表示、线性变换、线性方程组等理论研究中，它均具有重要意义. 而且在许多有关数学、物理，经济的实际问题中，常常需要通过建立合适的数学模型转化为相关的线性代数和代数学问题等, 从而可逆矩阵也是解决实际问题比较常用的工具之一.

关键词：矩阵; 逆矩阵; 初等变换; 伴随矩阵

I

Reversible matrix discriminant method

JIANG Qing-ting

(Grade 2009, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and Statistics Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, Chongqing 404100 )

Abstract: As for linear algebra and algebra, matrix is not only a main research object but also a important tool. However, the invertible matrix is a indispensable part of the matrix manipulation theory. And in the matrix theory, invertible matrix takes a irreplaceable role and it has a lot of significance in axis rotation transformation formula of matrix representation, linear transformation and linear system of equations and so on. What’s more, in math, physics and economics, it usually needs to establish a suitable math model to change into problem which relates to linear algebra. Therefore, the invertible matrix is a very common and useful tool which is used to deal with practical issue.

Key words:Matrix; Inverse Matrix; Elementary Transformation; Adjoint Matrix

II

2013届数学与应用数学专业毕业设计（论文）

第 1 页 共 23页 1 引言

矩阵理论是线性代数的一个主要内容, 也是处理实际问题的重要工具, 而可逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有重要地位. 英国数学家西尔维斯特、凯莱在研究线性方程组时先后引入矩阵的概念. 凯莱于1858年在《矩阵论的研究报告》中定义了两个矩阵相等、相加以及数与矩阵的数乘等运算和运算律并随后定义了转置阵、对称阵等概念; 现在矩阵作为高等代数, 这一伟大数学图腾的重要分支之一, 在日常生活、学习、工作中都发挥了卓越的工具作用.而可逆矩阵是矩阵理论的一个基础支流, 基于自身的性质特点，为更高层次矩阵问题的解决提供了便利，更是丰富了矩阵的理论内容. 现今矩阵的发展十分迅速，如今它已经成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科的重要工具, 广泛地被应用于数学、物理、经济等领域.

2 基础知识

2.1 基本概念

定义[1]

1 n 阶方阵A 称为可逆的，如果存在n 阶方阵B ，使得

AB BA E ==, （1） 其中E 是n 阶单位矩阵.

定义]1[2 如果B 适合（1），那么B 就称为A 的逆矩阵，记作1-A . 定义]1[3 设ij A 是矩阵??????

? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 21

2222111211中元素的代数余子式，矩阵 ??????? ??=*nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111,

称为A 的伴随矩阵.

定义]2[4 设n n ij a A ?=)(, 称矩阵A 的行向量组的秩为A 的行秩, 矩阵A 的列向量组的秩为A 的列秩，矩阵A 的行秩等于矩阵A 的列秩, 统称为矩阵A 的秩, 记为秩()A 或()r A .

定义]

3[5 矩阵的三类初等行变换：

(1)对调矩阵中某两行(列)的位置, 记为j i r r ?)(j i r r ?；

(2)用以非零常数乘以矩阵的某一行(列), 记为i i kr r ?)(i i kr r ?；

(3)将矩阵的某一行（列）乘以数k 后加到另一行（列）上去，记为

j i i r kr kr +?)(j i i r kr r +?.

姜清亭：矩阵可逆的若干判别法

第 2 页 共 23页 定义]3[6 对单位矩阵n I 施加以第一类、第二类、第三类初等变换后得到的矩阵分别称为第一类、第二类及第三类初等矩阵.

第一类初等矩阵ij p 表示将单位阵的第i 行与第j 行对换后得到的矩阵：

??????????

? ??=101101 ij p . 注意 ij p 也可以由单位矩阵的第i 列与第j 列对换后得到的矩阵. 第二类初等矩阵)(c p i 等于将常数)0(≠c c 乘以单位阵的第i 行（或i 列）而得到的矩阵：

???????

? ??=11)( c c p i .

第三类初等矩阵)(c T ij 表示将单位阵的第i 行（第j 列）乘以c 后到第i 行（第j 列）上得到的矩阵：

??????????? ?

?=11011)( c c T ij .

定义]3[7

对A 施加一系列初等变换, 它变为B , 则称A 与B 等价. 定义]

19[8 称n 方阵C 为循环矩阵, 如果 ??????

? ??=---0221210

11210c c c c c c c c c c c c C n n n ,

也记) , , ,(C C 110-=n c c c irc , 它的各行是由第一行) , , ,(110-n c c c 逐个移动一位而最右端元素转回到最左端所得.

定义[20]9

如果n 阶矩阵A 满足E A A T =(即T A A =-1), 则称A 为正交矩阵.

2013届数学与应用数学专业毕业设计（论文）

第 3 页 共 23页 2.2 矩阵可逆的性质

性质]2[1 若A 为可逆阵，则11A A

-=. 性质]3[2 若A 为可逆阵，则A A k ,1

-(k 为任意一个非零的数)都是可逆阵, 且 ()11A A --=, ()()1110kA A k k

--=≠. 性质]2[3 ()

111AB B A ---=, 其中A , B 均为n 阶可逆阵. 性质]2[4 ()()''11--=A A

. 性质]2[5 A A A *

-=1.

性质]

1[6 A 是一个n s ?矩阵，如果P 是s s ?可逆矩阵，Q 是n n ?可逆矩阵，那么 ()()()AQ r PA r A r ==. 3 矩阵可逆的若干判别方法

3.1定义法

设A 是数域P 上的一个n 阶方阵, 如果存在P 上的n 阶方阵B , 使得E BA AB ==,则称A 是可逆的, 又称B 为A 的逆矩阵. 当矩阵A 可逆时, 逆矩阵由A 惟一确定, 记为1-A .

例 1 已知n 阶矩阵A 满足0322=-+E A A . 证明E A 4+可逆并求出()1

4-+E A . 证明:由

0322=-+E A A ,

可得

()()E E A E A 524-=-+，

从而

()E E A E A =??? ??+-

+525

14， 所以存在一个矩阵 E A B 5

251+-=, 使()E B E A =+4， 由定义知E A 4+可逆, 且

()E A B E A 5

25141+-==+-. 注：利用定义凑的方法, 当条件中有矩阵方程时, 通过矩阵运算规律从矩阵方程中凑出E AB =(或E BA =)的形式, 从而可得B A =-1. 这种方法实际上是通过直接找到矩阵的逆, 进而根据矩阵可逆的定义来证明矩阵可逆的, 它多适用于简单矩阵和非具体矩阵.

姜清亭：矩阵可逆的若干判别法

第 4 页 共 23页

3.2 行列式判别法

引理 矩阵A 可逆A ?是方阵且0A ≠(非退化)?矩阵A 可逆的充分必要条件是

0≠A , A 可逆.

证明：必要性, 设m n ij a A ?=)(, A 是可逆的, 则A 的各列是n 个线性无关的m 维向量,这迫使m n <. 另一方面,m n ij a A ?-=)(1也是可逆, 这又迫使n m ≤, 因而m n =, 故A 是方阵. 当0≠=A d , 由E A A d A d A =??

?

??=???

??**11可知, A 可逆,且*-=A d A 11.

充分性, 如果A 可逆, 那么有E AA =-1. 两边取行列式, 得1||||1

=-A A , 因而0≠A ,即A 非退化, 故A 可逆.

例 2 判断矩阵????

? ??-=2150321263A 是否可逆.

解：先将第一行中的公因子提出, 可得

2

150324

213||-?=A ,

,18

9

870

421 18

9

032

421 2

1

5

032

421

D 1

21

325----=---=-=--r r r r 令 于是

5418

98

7=----=

D

因此，0162543≠=?=A , 故A 可逆.

注：此定理判断矩阵可逆很容易, 只是求逆矩阵非常的麻烦, 适用于求低阶矩阵（二阶、三阶）的逆矩阵的情况.

3.3 伴随矩阵判别法

引理 若A 可逆?存在*=

A A

B 1, 使得E BA AB ==, 即*

-==A A

A B 11,. 注 ①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵. 注意()

n

n ji A A ?*=元素的位置及符号. 特别地, 对于2阶方阵???

?

??=2221

1211

a a a a A ，其伴随矩阵???? ??--=*

1121

1222

a a

a a A 即伴随矩阵具有“主对元素互换, 次对角元素变号”的规律. ②对于分块矩阵???

?

??D C B A 不能按上述规律求伴随矩阵.

2013届数学与应用数学专业毕业设计（论文）

第 5 页 共 23页 例 3 设矩阵????

? ??=343122321A , 判断A 是否可逆. 若可逆, 求1-A .

解： 由02≠=A , 知A 可逆, 而

,6 ,6 ,2 ,3 ,22221131211-===-==A A A A A

2 ,5 ,4 ,233323123-==-==A A A A ,

于是 1 132 264113536 53 222 222 111A A A -*-??-?? ? ? ?==--=-- ? ? ?- ???-?

?. 注：计算*A 需要2n 个1-n 阶行列式，还需要计算A , 计算量较大, 且容易出错; 因此

用公式法求矩阵的逆矩阵一般适用于低阶矩阵或较简单的高阶矩阵, 以及理论问题. 如二阶、三阶矩阵就适用该法, 四阶及其以上阶数不适宜用该方法. 此外该题也可用初等行（列）来计算.

3.4 初等变换判别法

引理 对矩阵A 施行初等行（或者列）变换得到的矩阵B , 则B 可逆?A 可逆. 即是

()()

1-??→?A E E A 行变 或????? ?????→?????? ??-1A E E A 列初等变换.

证明：设用初等行或列变换, 将A 变为B , 因为初等变换是等价变换, 从而不改变A 的秩, 所以A 与B 秩相等, 故A 与B 有相同的可逆性, 从而B 可逆等价于A 可逆. 命题得证.

注: 对于阶数较高（3≥n ）的矩阵, 采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便. 在用上述方法求逆矩阵时, 只能施行初等行（列）变换.

例 4 已知 ????

? ??=521310132A , 求矩阵A 的逆矩阵.

解: 法一 用初等行变换求A 的逆矩阵.

()????

? ??→????? ??→?001010100132310521100010001521310132 31r r E A

????? ??--→????? ??---→+-21101010060031052120101010091031

0521 321

3r r 2r r

姜清亭：矩阵可逆的若干判别法

第 6 页 共 23页

???????

?

??

----

-→?????? ?

?

--

→----?31 6

161

100123 21

01034 6136100131 6

1611000 1

3101 0 0 52133r 2r 2313

32r 5r r r 6

1r , 所以

???????

? ??----

-=-31 6

16

1123 21

34 613

611A . 法二 用初等列变换求A 的逆矩阵.

??????????

?

?------→?????????? ??→??

??? ??--13101 0 00

1 513

438310

1 100010

001521

3101323132r r 3r r E A ????????????

??-----→????????

????

??--

---→+--4183 81 43 818

3

10 1 43813 8

7 0 1 0

0 0 1

283 10810 10 1 9813 461 300 1 2123133r r 6r r r r ???????????

? ??-----→??????????

??

?

??---→---?31 6

161123 2

1

34 613611 0 0 0 1 0 0 0 1 31 8

3 8

1 1818334 0 1

1

813 87 0 1 0 0 0 1

3

231381387r r r r r 34r 3, 所以

2013届数学与应用数学专业毕业设计（论文）

第 7 页 共 23页 ???????

? ??-----=-31 6161123 21 34 61361 1A . 注: 在事先不知道n 阶矩阵是可逆的情况下, 可直接用此方法, 也可用0≠A 来判断A 可逆. 如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0, 则意味着A 不可逆. 另外用初等行变换法求1

-A 时, 对()E A 只能施行一系列初等行变换, 而不能用初等列变换. 同理对????

? ??E A 只能施行一系列初等列变换, 而不能用初等行变换.

3.5 秩判别法

引理 n 阶方阵A 可逆?

()n A r =. 证明: 充分性, 由A 可逆, 知0||≠A , 再由矩阵秩的定义可得()n A r =. 所以由A 可逆可推得()n A r =.

反过来, 必要性也显然成立.

例 5 已知101210325A ?? ?= ? ?--??

, 判断矩阵是否可逆. 解：???

?

? ??-→????? ??--→????? ??----+200210101220210101523012101231213223r r r r r r . 从而)(A r =3, 故矩阵A 可逆.

3.6 线性方程组判别法

1.齐次线性方程???

????=+++=+++=+++000 22,221122,222212122,1212111n n n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a

, 即0=AX (其中A 为该齐次方程组的系数矩阵）只有零解?A 可逆.

证明：用n ααα , , ,21 分别代表系数矩阵各列, 则齐次方程组可写成

02211=+++n n x x x ααα ,

方程组只有零解,即

01====n x x x ,

姜清亭：矩阵可逆的若干判别法

第 8 页 共 23页 从而n ααα , , ,21 线性无关，而n ααα , , ,21 线性无关的充要条件为A 可逆.

故命题得证.

2.非齐次线性方程, 22112222212111212111???????=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

即O AX =（其中A 为该方程组的系数矩阵）有唯一解?A 可逆.

证明：用n ααα , , ,21 分别代表系数矩阵各列，即

)1( )(21n j a a a a T nj j j j ≤≤= ,

则方程组可以写成向量形式

βααα=+++n n x x x 2211, 由0≠=A D , 知 12,, , n ααα 成n n ij a A ?=)(的一组基, 故n n ij a A ?=)(每个向量β都可以写成12, , , n ααα 的线性组合的形式，即

βααα=+++n n x x x 2211,

且系数12, , ,n x x x 由β唯一决定. 换句话说, 命题中的方程组有唯一解. 反过来若方程组有唯一解, 则必然有0D A =≠, 否则方程组无解或有无穷多解.

引理 根据上(下)三角矩阵的逆矩阵仍是上(下)三角矩阵, 且上(下)三角矩阵的逆矩阵的主对角元分别为上(下)三角矩阵对应主对角元的倒数, 于是可设出逆矩阵的对应元素; 又由E AA =-1两端对应元素相等, 依次可得只含有一个待求元素的方程,进而求得待求元素的值, 得到其逆矩阵. 此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵.

例 6 已知齐次线性方程组?????=++=++=++00032

13213221x x x x x x x x x λλλλ, 将其系数矩阵记为A , 若存在三阶

矩阵0≠B 使得0=AB , 求λ及B

解：根据题目中0 ,0=≠AB B , 显然得知方程组0=AX 存在非零解, 于是

0=A , 即()01111100101111122

313

2=-=---=--λλλλλλλλλλr r r r , 因为 1=λ, 而

T A A ==1

111111

11,

又由0=AB 知0=T T A B , 可见方程组0=X B T 存在零解（T A 存在非零列）, 于是

2013届数学与应用数学专业毕业设计（论文）

第 9 页 共 23页 0==T B

B .

所以 1=λ,0=T B . 例 7 求??????

? ?

?=4121031200210001A 的逆矩阵. 解：设 ????????

? ?

?=-41031002100014342413231

211X X X X X X A , 因为 E AA =-1,

所以

??????

? ??=??????? ??????????? ?

?1000010000100001412103120021000141031002100014342413231

21X X X X X X , 于是 210212121-=?=+

X X , 12104134343-=?=+X X , 6103123232-=?=+X X , 2

1032313231-=?=++X X X , 24

50212424342-=?=++X X X , 41424341112048X X X X +++=?=. 所以

姜清亭：矩阵可逆的若干判别法

第 10 页 共 23页

????????

? ??-----=-4112124

58

1 031 6121

00 21 2100 0 1 1

A .

3.7 哈密顿—凯莱(Hamilton-Caley)定理求逆矩阵

哈密尔顿一凯莱定理：设A 是数域P 上的n 阶矩阵

n n n n n a a a a A E f +++++=-=---λλλλλλ12211)(

为A 的特征多项式，则

()011

1=++++=-=--E a A a A

a A A E A f n n n n

λ,

于是，

()E a A a A a A n n n n

1211

11----+++-

= , 故

(

)

E a A a A a A n n n n

1211

11----+++-

= . 例 8 已知???

?

? ??---=111232422A , 求1-A .

解：A 的特征多项式

()107423++-=-=λλλλλA E f ,

由Hamilton-Caley 定理知：

()0107423=++-=E A A A A f ，

所以

()

?

???

?

??--=+-=-100542016251017410121

E A A A .

3.8 特征值判别法

引理 矩阵A 可逆的充要条件是它的特征值不等于零.

2013届数学与应用数学专业毕业设计（论文）

第 11 页 共 23页 例 9 判断320222021A -?? ?=-- ? ?-??

是否可逆. 解:

)

5)(2)(1( 120222023

=--+=---=

-λλλλλλλA E

解得特征值为5, 2, ,1==-=λλλ 所以矩阵A 可逆.

3.9 利用Gauss-Jordan 法求逆矩阵

引理 设Y ,X 是n 维向量, 矩阵A 可逆, 且AX Y =, 若BY X =, 则B A =-1.

证明：已知AX Y =，那么我们有 ,21221

222211121121??????? ????????? ??=??????? ??n n n n n n n x x x a a a a a a a a a y y y

于是 ,22112222121212121111???????+++=+++=+++=n nn n n n n n n n x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y

进而 ,22112222121212121111???????+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y b y b y b x y b y b y b x y b y b y b x 所以

,212

1222211121121??????

? ????????? ??=??????? ??n nn n n n n n y y y a a a a a a a a a x x x

故

姜清亭：矩阵可逆的若干判别法

第 12 页 共 23页 1XB YA B -===

例 10 已知非齐性方程组,102282113321

321321?????=++=++=++x x x x x x x x x 求方程组的解.

解： 因为方程组对应的系数矩阵A 和右端向量矩阵B 分别为

13111211, B=822110A ???? ? ?= ? ? ? ?????

,

所以

AX B =,

进而得

12313111211822110x x x ?????? ??? ?= ??? ? ??? ???????

, 因为

()????

? ??------→????? ??→--10214001215000113110012201011200113112322 r r r r E A

????? ??-----→????? ??-----→+-?-1021401100103311011 02140110 0100 01 13 1 21223

23r r r r r r ????? ??----→????? ??-----→+-?+542100110010211001542100110010331101 31332

3r r r r 4r r 所以

????

? ??----=-5421102111A ,

又因为1

X A B -=, 所以

2013届数学与应用数学专业毕业设计（论文）

第 13 页 共 23页 12311211011824510x x x --?????? ? ???=- ? ??? ? ???-??????

可解得 1231, x 2, x 4x ===.

4 常见矩阵的可逆性

4.1 单位矩阵??????

? ?

?=100010001 E 是可逆的.

证明：因为E

EE =显然成立, 故根据矩阵可逆的定义可知单位矩阵E 可逆, 进而知道E E E k =, 所以k E 也是可逆的.

4.2 令对角矩阵??????

? ??=c b a A 000000, 若它的主对角线上的元均不为零, 则A 可逆. 证明：记

??????? ??=c b a A 000000, ??????? ??=---111000000 c b a B

,

因为E BA AB ==, 故根据矩阵可逆的定义可知, A 是可逆的.

4.3 数量矩阵??????

? ??=a a a A 000000可逆.

证明：因为aE A =,而单位矩阵E 是可逆的, 由矩阵可逆的性质2()111

---=A k kA 知()E a E a aE A 1111

1-----===, 故A 可逆.

4.4 分块矩阵

4.4.1 设m m ij c C ?=)(,n n ij d D ?=)(, 且D C ,可逆, 则

姜清亭：矩阵可逆的若干判别法

第 14 页 共 23页 (1)准对角矩阵???? ??D O O C 可逆, 且???

? ?

?=???? ??---111D O O C D O O C ; (2)???? ??O D C O 可逆，且???

? ??=???? ??---O C D O O D C O 111.

证明：(1)因为D C ,可逆, 故存在11,--D C , 使得 E D O O C D O O C D O

O C D O O C =???? ?????? ??=???? ?????? ??----1111

, 故???

? ??D O O C 可逆，且有 ???

? ??=???? ??---111D O O C D O O C ,

类似地，我们可以证明???

? ??O D C O 可逆，且有

???

? ??=???? ??---O C D O O D C O 111.

4.4.2 设n m ij s S ?=)(, n n ij n m ij d c C ??==)(D ,)(且D C ,可逆，则

(1)若分块矩阵???? ??E O S E 与???

? ??E S O E 可逆，则 ???? ??-=???? ??-E O S E E O S E 1;???

? ??-=???? ??-E S O E E S O E 1.

(2)分块矩阵???

? ??D O S C 可逆，则

???

? ??-=???? ??-----11111D O SD C C D O S C .

证明：(1)对任意()ij m n Q a ?=, 有???? ??+=???? ??????

??E O Q S E E O Q E E O

S E 成立， 特别地, 若令S Q -=, 则有： ???

? ??-=???? ??-E O S E E O S E 1;

同理，可得:

2013届数学与应用数学专业毕业设计（论文）

第 15 页 共 23页 ???

? ??-=???? ??-E S O E E S O E 1.

(2)因为

???? ??=???? ?????? ?

?---E O S C E D O S C D O O C 111

,???

? ?????? ??=???? ??----E O S C E D O O C D O S C 1111,

所以 ???

? ??-=???? ?????

? ??-=???? ??---------111111111D O SD C C D O O C E O S C E D O S C . 4.5 当)(j i j i <>时, 有0=ij a , 矩阵)(ij a A =称为上三角形矩阵, 可逆上三角形矩阵的逆仍是上三角形矩阵.

证明:令????? ?

?=nn n a a a A 0111, 设????? ??=nn n n b b b b B 1111是A 的逆, 即E BA AB ==,比较AB 和E 的第一列元素：

,0,

0,

0,

111,11,11,122222221211112121111n nn n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a =+=+++=+++=----

因为0≠A , 所以,0 , ,0 ,02211≠≠≠nn a a a 进而0211,11====-b b b n n . 同理可以比较其它列, 得j i >时,0=ij b , 所以B 是上三角形矩阵, 故可逆上三角形矩阵的逆仍是上三角形矩阵.

注: 此结论对下三角形矩阵也是成立的.

4.6 正交矩阵A 是可逆的, 且T A A =-1

. 例 11 已知???????

? ??------=97 94949491 98949891 A 为一对称正交阵, 求A 的逆矩阵. 解： 因为A 为正交阵，由定义知E AA T =，故

姜清亭：矩阵可逆的若干判别法

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???????

? ??----

--

==-97 949

49491 98

949891 1T A A , 所以

???????

? ??----

--

=-97 949

49491 98

949891 1A 4.7 线性空间中，一组基到另外一组基的过渡矩阵是可逆的. 4.8 线性空间中，任意一组基对应的度量矩阵是可逆的.

5 其他逆矩阵的求法

5.1 秩判别法求逆矩阵

若n 阶矩阵的秩为n , 则矩阵可逆; 利用初等行变换将矩阵化为行阶梯型矩阵求其秩, 看是否等于矩阵的阶数或者计算矩阵的各级子式, 从阶数最高的子式开始, 找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式, 则这个子式的阶数就是矩阵的秩. 再利用伴随矩阵、初等变换、哈密顿—凯莱定理等求逆矩阵.

例 12 已知???

?

?

??-=02121

3112A , 判断A 是否可逆; 若可逆, 求出逆矩阵. 解： ??????

?

?--→????

? ??-→????? ??-→????? ??----?730 02 7 00 211502700211122130210212131122375r r 1312312r r 3r

r r r ，

因为3)(=A r , 所以A 可逆. 而

11121321224, 2, 7, 2, 1A A A A A ===-=-=-,

235A =,131=A ,321A =-,133-=A , 所以

2013届数学与应用数学专业毕业设计（论文）

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1421 3

3342 11211211

33337517

51 3

3

3A -??-

?-?? ? ?

?=--=-- ? ? ?

-- ??? ?-- ???

5.2 用分块矩阵求逆矩阵

设A 、B 分别为P 、Q 阶可逆矩阵，则

???? ?

?-=????

??-----11111

B O CB A A B O

C A ;???

?

?

?-=????

??-----11

111

B CA B O A B

C O A ; ???? ?

?=????

??---111

B O O A B O O A ;???

?

?

?=????

??---O A B O O B A O 111

.

例 13 已知???

???

?

?

?-=00110021120

02500A , 求1

-A .

解： 将A 分块如下：???

?

??=??????

?

? ??-=O A A O A 2100110021120

02500 因为

???

?

??-=???? ??=1 121 ,122521A A , 所以

111112125A A A -*-??=

= ?-??, ???

? ??-==*-11213112212A A A , 进而有

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