函数的微分和逆矩阵求法

函数的微分和逆矩阵求法

数学102班：张学亮 指导教师：连铁艳 （陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021）

一、1.一元函数的高阶微分

定义1 设函数y?f(x)在点x0的某领域U(x0)内有定义，给变量x在x0处一个增量?x，

且xo??x?U(x0)时，相应地函数有增量

?y?f(x0??x)?f(x0)，

如果其增量可表示为

?y?A?x?o(?x)，

其中A不依赖于?x，则称函数y?f(x)在点x0处一阶可微，并称A?x为函数y?f(x)在点x0处的一阶微分，记作dy，即

dy|x?x0?A?x。

可证 A=f'(x0) 即

dy|x?x0?f'(x0)dx。

定义2 设函数y?f(x)在点x0的某领域U(x0)内有定义，给变量x在x0处一个增量?x，且xo??x?U(x0)时，相应地函数有增量

?y?f(x0??x)?f(x0)

如果其增量可表示为

?y?A?x?B2!??x?2?o(?x)，

2其中A，B不依赖于?x，则称函数y?f(x)在点x0处二阶可微，并称A?x，B(?x)为函数

y?f(x)在点x0处的一阶微分、二阶微分，记作dy,dy，即

dy|x?x0?A?x，dy|x?x?B(?x)。

0222可证

A?f'(x0),B?f''(x0)

即

dy|x?x0?f'(x0)dx，dy?f''?x0?dx。

22根据以上形式，我们可以借助第五章的泰勒公式来定义函数的更高阶的微分

定义3 设函数y?f(x)在点x0的某领域U(x0)内有定义，给变量x在x0处一个增量?x，且xo??x?U(x0)时，相应地函数有增量

?y?f(x0??x)?f(x0)

如果其增量可表示为

?y?A1?x?A22!??x?2???1

Ann!??x?n?o??x?，

n

其中A，B不依赖于?x，则称函数y?f(x)在点x0处n阶可微，并称dy??tantdxdy?2(?tant)'(acost)'?sect223dx?tantdx2222为函数y?f(x)在点x0处的一阶微分、二阶微分……n阶微分，

dx?tantdx??3acostsint记作dy,d2y，……，dny即

dy|x?x0?A1?x,dy|x?x0?A2(?x)，……，dy|x?x0?An(?x)。

22nn又根据函数f(x)在x?x0点的泰勒公式

f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?f''(x0)2!(x?x0)???2f?n??x0?n!f?n??x?x0?n?o?xn?，

?n得

?y?f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?f''(x0)2!(x?x0)????2?x0?n!?n??x?x0?n?o??x

即

A1?f'?x0?,A2?f''?x0?，……，An?f?x0?

?n?所以

dy|x?x0?f'(x0)dx，dy?f''?x0?dx，……，d22?n?y|x?x0?f?x0?dxn。

注：

1．在泰勒公式中x?x0与?x是等价的。

2．因为o??x?是??x?的高阶无穷小量，所以，在等式的右边加或减去一个o??x?都不会影响到的精确度。

nnn2、微分的运算法则

1．d??f?x??g?x????df?x??dg?x?；

2．d??f?x??g?x????g?x?df?x??f?x?dg?x?；

?f?x??g?x?df3．d???gx?????x??f?x?dg?x? ?g?x??0?； 2g?x?dydxdydududx?f'?g?x??g'?x?4．复合函数的微分

???

?dy?f'?g?x??g'?x?dx

3、参数方程的微分

在找到高阶微分的又一定义及讨论了复合函数的高阶微分后，我想讨论一下参数方程的微分。

解参数方程

2

{

的二阶微分。

解：因为，

dydx?y'?x???t?,y???t?

?'?t??'?t?，

所以，

dy?y'dx ?1?

??'?t??'?t?2dx，

2dy?d(y'dx)?y''dx?y'd(dx) ?2?

?

?''?t??'?t???'?t??''?t?(?'?x?)3dx?2?'(t)?'(t)dx。

2利用矩阵可逆的定义求逆矩阵

引理：设F是一数域，对于A?Fn?n，如果存在B?Fn?n，使得AB?BA，则A可逆且A?1?B。 证明 由逆矩阵的定义可得

利用伴随矩阵求逆矩阵

引理：设A?Fn?n，若det(A)?0,那么A?1?1det?A?A*.

?5例： 设A????12??求A的逆矩阵． 8?*解 因为det?A??42?0，所以A是可逆的，又A??4211421??21? 5??42??8?1?2?1?1*A?A.可得，由?5?det?A?A?1???????? 利用分块矩阵求逆矩阵

?A引理1 如果方阵A、D可逆，那么分块矩阵T1???O?1O??可逆，且其逆矩阵为D?T1?A?1???OO?. ?1?D?3

引理2 如果方阵B、C可逆，那么分块矩阵可逆，且其逆矩阵为T2?1?O???1?BC??. O?C??可逆，B??1?A引理3 如果r方阵A和s阶方阵B都是可逆，且r?s?n，那么n阶方阵P???O?1且其逆矩阵为P例 求矩阵

?A?1???O?ACBB?1?1?1??. ?? 2 -1 31 -23???-3 2 -19 14?的逆矩阵． A??? 0 0 3 -4??? 0 0 -2 3 ??解 将矩阵A进行分块得

?A1A???OB??2A?其中1??C???3?1??31,B???2???19?23??3,C???14???2?4??. 3?t???1又因为de?A?2???31??3?1,C???2??20?e?t?C,?d1矩0阵,A1、C都是可逆的，且所以

1??31??2???19?23??3??14??24???65???3???83?76??.?97?A1?14??2?1?1.?ABC??则有1??3??3那么矩阵A可逆，且

? 2 1 -65 -76????1?1?A1BC?? 3 2 -83 -97?. ???1C?? 0 0 3 4??? 0 0 2 3 ???A1?1A???O

利用初等变换求逆矩阵

引理4在通过行（列）初等变换把可逆矩阵A化为单位矩阵I时，对单位矩阵I施行同样的初等变换，就得到A的逆矩阵A?1

引理5如果用有限次行、列初等变换可以将可逆矩阵A化为单位矩阵I，且设用其中的行变换将单位矩阵I化成C，用其中的列变换将单位矩阵化成B，那么A?0?例 设A??1?1?0101??0,设求A?1. ?1???1?BC.

4

0?0 0 1|1 ? 0???? 1 0解 ?A,I??1 1 0|0 ?????1 0 1|0 ? 0? 1????1 0 1|0 0 1??1 0 0|-1 0 1?????0 1 0|0 1 -1?0 1 0|1 1 -1. ?????0 0 0|1 0 0??0 0 0|1 0 0??????-1 0 1???? 1 1 -1. ??? 1 0 0???1 00 0 1 | 01 ? 0 1 1? ?1| 0 ???1 1? 0 | 0 1 1- 1 | 0 ? 1 0-1???? ?1| 1 ? 0 0 00 0 1 | 10 00 ???于是，A?1

求矩阵多项式的逆的方法

引理 设A为一个n阶方阵，C为复数域，f?x?，g(x)?P?x?，且f(A)?0.则g?A?可逆的充分条件为

g(A))?1??x使得u(x)f(x)??f?x?,g?x???1;此时有u?x?,v?x??Pv(x)g(x?)且1,?v(A).

例 已知n阶方阵A满足A2?A，证明A?E可逆，并求(A?E)?1.

证明 令f(x)?x2?x,g(x)?x?1,由于(f(x),g(x))?1且f(A)?0，故g(A)?A?E可逆，又因1*f(x)?(2?x)g(x)?2,故g(A)(2E?A)?2E,从而g(A)?1?E?12A.

参考文献：

1 陈传璋 金福临 朱学炎.数学分析（上册）.高等教育出版社，1983，7

2 吴良森 毛羽辉 韩士安.数学分析学习指导书.高等教育出版社，2004,8

3 数学分析习题集解，吉米多维奇原著，费定晖等编著，山东大学出版社，2005，5 4 杜汉玲．求逆矩阵的方法也与解析[J]．2004,4． 5 张玉莲，董李娜．求逆矩阵的一些方法[J]．2007,2．

5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mehf.html