矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用

矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用

§7矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用

1.矩阵函数的性质： 设A.B Cn n 1．

ddte

At

Ae

At

e

At

A

proof: 由 e

At

m 0m!

1

At m

1m!

t

m

A

m

对任何t收敛。因而可以逐项求导。

ddt

e

At

m 0

m 1 !

1

t

m 1

A

m

11m 1 k A At A At k! m 1 m 1 ! 1m 1 At

A At A e A

m 1 m 1 !

A eAt

m 0

m 1 !t

1

m 1

A

m 1

可见，A与eAt使可以交换的，由此可得到如下n个性质

2．设AB BA，则 ①．eAt B BeAt ②．eA eB eB eA eA B ③．

cos A B cosAcosB sinAsinBsin A B sinAcosB cosAsinB

BA AB BA

m

m

A B

cos2A cos

2

A sin

2

A

sin2A 2sinAcosA

proof：①，由AB而e

At

1mm B At B

m 0m!

m 0

1m!

tAB

mm

m 0

1m!

tBA

mm

B

m 0

1m!

At m

B eAt

②令C(t) e A B e At e Bt 由于

ddt

C t 0 C(t)为常数矩阵

因而C(t) C(1) C(0) e0 e0 e0 E

当t 1时，eA B e A e B E …………………. （@）

矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用

特别地 B A 有e0 e A eA E

有 eA e A

1

同理有 eB e B

1

代入（@）式 因而有eA B eA eB 3.利用绝对收敛级数的性质，可得 ①eiA cosA isinA

cosA

12

e

iA

e

iA

sinA

12i

e

iA

e

iA

②cos A cosAsin A sinA

4.sin2A cos2A E

sin A 2 E sinA

e

A i2 E

cos A 2 E cosA

e

A

二.矩阵函数再微分方程组中的应用—常用于线性监测系统中 1. 一阶线性常导数其次方程组的通解

dZdt

AZ

其中A Cn n

X x1,x2, ,xn

T

则有X t eAt K 其中K k1,k2, ,kn

T

eg1

dx1

dt x1 x2 dx

解方程： 2 4x1 3x2

dt

dx3 x 2x

13

dt

1

dX

AX A 4解：原方程变为矩阵形式dt 1

2 2

由 E A 2 1 得A J 0

0

010

130

0 T0 X x1,x2,x3 2 0 1 1

矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用

e

At

e2t P 0

0

0e

t

0 t 1e P t e

e2t

X(t) P 0

0

0e

t

0 k1

t 1

e P k2t ke 3

2. 一阶线性常导数微分方程的定解问题：

Th1:一阶线性常数微分方程组的定解问题：

dZ

AZ dt

T

Z x(0),x(0), ,x(0) 0 12n

有唯一解X eAt X(0) proof:实际上，由

dzdt AZ

的通解为Z(t) eAt K

将初值X(0)代入，得k X(0)

X e

At

Z(0)

dZ

AZ

由Th1可的定解问题 dt

X(t) x(t),x(t), ,x(t) T

01020n0

的唯一解为X(T) eA t t X t0

dx

Ax 1

,A eg2求定解问题： dt 2T x 0 0,1

2

的解 1

解：由

E A 0 得x1,2 3i

T

1 3i 1,对应的特征向量记为：

2

1,

1

3i 2

1

则，于是矩阵：P 1 3i

2 e

At

1 3i

2

1

e3it

P

0

0e

3it

P 1

X(t) e

At

0 1

cos

23

sin13

3tsin

3t

3t

矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用

3.

dxdt

Ax F t

ddt

两边同乘以e At得：

e

At

x e

At

F t

从t0到t上积分得：e Atx(t) e Atx t0

t

t0

e

AE

F d

x(t) e

A t t0

x t0

t

t0

e

A t

F d

5

3

eg3.求：非齐次微分方程组的解：

dx

AX F t 3

A 其中dt 5

T x(0) 0,1

e t

F t

0

解：由 E A 0

1,2 3 5i

1

i

对应特征向量为： 1 i

1

得可逆矩阵P i

At

i 1

P

1

1 1

2 i i 1

e

e 3 5i

P

0

At

1 cos5t P

sin5t 3 5i

e 0

t

sin5t 3t

e cos5t

x(t) e

0

1

e

A t

e

d 0

t cos5tcos5t sin5tsin5t sin5t 3t 3t 4t

e ee 0 sin5tcos5t cos5tsin5t d cos5t

注：关于线性系统的能控性与能观测性，同学们根据需要自己学习。

第三部分 矩阵特征值的估计

§1.特征值界的估计

引理1.n阶复矩阵A，酉相似于一个上（或下）三角矩阵，且三角矩阵的对角线元素是A的特征值。即存在一个酉矩阵U和三角矩阵T，使UTAU T

矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用

nn

引理2.设A (aij)n n C

n n

，则tr(AA)

H

i 1

j 1

aij

2

A

2F

Proof:设B AAH (bij)n n则

n

n

1j

b11

a

j 1n

1j a1111 a1212 a1n1n

j 1

a1j

2

n

2j

b22

a

j 1

2j a2j

j 1

2

nn

bii

j 1H

aijij aij

j 1

n

2

n

n

tr(AA) tr(B)

i 1

bii

i 1

j 1

aij

2

引理3.A为正规矩阵 A酉相似于对角矩阵。 （注：正规矩阵：A AH AH A）即存在酉矩阵U使

U

H

AU diag( 1, 2, , n)

Th1.设A为n阶矩阵， 1, 2, , n为其特征值，则：

n

i 1

i

2

nn

i 1

j 1

aij

2

A

2F

A为正规矩阵，等号成立。

Proof:由引理1.存在酉阵U，使UHAU T（三角阵）——① 对①两边取共轭转置：TH (UHAU)H UHAHU——② ① ②(UHAU) (UHAHU) T TH

U

H

AAU T T

H

H

HH

（为酉阵）

H

tr(U

n

n

2

AAU) tr(AA

n

n

2

n

) tr(T T

n

2

H

)

即 aij

i 1

j 1

i 1

j 1

tij

i 1

tii

2

i 1H

i

设A C

n n

令B

A A2

H

,C

A A2

，

矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用

则A=B+C：其中B为Hermit阵（即B BH）实 C为反Hermit阵（即C CH）虚

注：引入B,C的目的是为了研究A的特征值的实部和虚部的估计。 Th2.设A,B,C如上所设， i为A的特征值，则有：

Proof:由UHAU

U

H

T, U

H

AU T

H

H*

T T

2T T

2

n

n

BU UCU U

H

A A2A A2

H

U

H

U

H

H

H

U

2

n

i 1

Re( i)

2

n

i 1

i i

2

2

n

i 1

tii ii

2

i 1

j 1

bij

2

n

nmaxbij

i 1

i,j

2

2

Re( i)

2

nmaxbij

2

2

Re( i) n maxb

ij

同理可证：其它两个

注：该定理对A特征值进行了界的估计，以及特征值的实部和虚部都有了界的估计，下面 其中k maxcij，cij为上述C的第i行第j列元素 Proof:

10.2

eg1.设A 10.8

0.70.6

1

0.7 0.5

10.6 0.15 1H

0.65则B (A A) 0.60.8

2 0.150.650.5

矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用

0 1H

C (A A) 0.4

2 0.85

0.85

00.05 0.050

0.4

i 3 maxaij 3 Re( i) 3 mabij 3

Im( i) 3 maxcij 3 0.85 2.55

由Th3. Im( i)

3 22

maxcij

3 0.85 2.55

易见，Th3.比Th2.中③要精确。 据上述定理可得如下推论：

推论1：实对称矩阵的特征值令为实数。 推论2：Hermit矩阵的特征值令为实数。

推论3：反Hermit矩阵的特征值令为虚数或零。 Proof1:A为实对称，则A

H

A

T

A，则C

A A2

H

0即cij 0

由Th2 Im( i) n maxcij 0 即Im( i) 0

i为实数

Proof2:A为H—阵，则A

H

A，则C

A A2

H

0，即cij 0

i为实数

Proof3: A为反H—阵，则A

H

A，设 i为特征值，B

A A2

H

0 bij 0

由Th2. Re( i) n maxbij 0 Re( i) 0 即 i为纯虚数或零。

Th4.幂等阵(A A)的特征值为0或1

Proof:设 为A的特征值，Z为A的对应于 的特征向量。 即AZ Z AZ AZ Z Z Z ( 1)Z 0

0或1.

2

2

2

2

Th5.设A,B为n阶实对称矩阵，矩阵B半正定（B的特征值非负），则 i i(i 1,2, ,n) 其中 i, i分别为A+B和A的特征值，且

矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用

1 2 n 1 2 n

即A+B与A的特征值按递减顺序排列。

§2.圆盘定理及其推广

上节我们对矩阵的特征值作了大致的估计，本节所有讲的圆盘定理是对矩阵的特征值在复平面上的具体位置作了更精确的估计。

Th1.圆盘定理：设A Cn n，则A的特征值 S1 S2 Sn（即 都在复平面上的

Proof:设 为A的特征值，X为特征向量，X (x1,x2, xn)T 则AX X，取xi maxxj 0

1 j n

nn

ij

AX X

a

j 1

xj xi ( aii)xi aijxj

j 1j i

nn

ij

n

( aii)xi

a

j 1j i

xj

j 1j i

aijxj

j 1j i

aijxi

n

( aii)

j 1j i

aij Ri

Si 即 S1 S2 Sn

说明：①圆盘z aii Ri；称为Gerschgorin圆盘，简称盖尔圆盘。 ②对A的任一特征值，总存在盖尔圆Si，使 Si。

③两个相交的圆盘的并集构成一个连通区域，一般地，由A的k个相交的盖尔圆的并集构成的连通区域称为一个连通部分，并说这是由k个盖尔圆组成的。 0

eg1.估计A 1.3

0.5

1

2 0.7 的特征值的分布范围 0.5i4i 1

解：S1 {zz 2}

S2 {zz 2 2}

矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用

S3 {zz 4i 1} 则 A S1 S2 S3

（S1与S2构成一连通部分，S2与S3构成一连通部分）

4

eg2.设A 1

10

1 6

5

而S1 {zz 4 10} S2 {zz 6 1}

则 S1，而S2无特征值 不一定每个圆盘都有特征根。

Th2.（圆盘Th2.）设n阶矩阵A的n个圆盘中有S个圆盘构成一个与其它圆盘不相交的连

通区域G，则在G中必有且只有S个特征值（圆盘相同时重复记，特征值相同时也按重复记）。

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