第5讲 图形的分割
更新时间:2023-03-08 06:12:11 阅读量: 综合文库 文档下载
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第5讲 图形的分割
【专题精华】
在研究用直线、圆等图形分割平面时,我们一般从简单的情况入手分析。在研究怎样将一个图形分割成满足某种条件的若干块的问题时,要注意到图形的对称性。 【教材深化】
[题1] 5条直线最多将平面分成多少个部分?
<敏捷思维> 首先考虑5条直线不太简单,我们先研究一些简单的情况,不难知道: 一条直线最多将平面分为2个部分; 二条直线最多将平面分为4个部分;
三条直线最多将平面分为7个部分; 四条直线最多将平面分为11个部分; 五条直线最多将平面分为16个部分。
<全解> 5条直线最多将平面分成16个部分。 <拓展探究> 针对上面一组数据,我们不难发现二条直线分平面的4部分是在一条直线分平面的2部分的基础上增添了2部分;三条直线分平面的7部分恰好是在二条直线分平面的4部分的基础上增添了3部分;类似地,四条直线分平面的11部分是在三条直线分平面的7部分的基础上增添了4部分??仿照此分析法可以得出,n条直线最多分平面的部分数为:
n?n?2 2+2+3+??+(n-1)+n=。
2[能力冲浪]
1、10条直线最多可以把平面分成多少部分?
2、20个三角形最多把平面分成多少部分?
3、在平面内画六条直线和一个圆,最多能把平面分成几个部分?
[题2] 把一个正方形分成形状相同,面积相等的四个图形。 <敏捷思维> 本题是均分图形,答案有多种,既可以用线段分割,也可以用曲线分割,无论是用线段分割,还是用曲线分割,经过旋转,每一种又可以得到很多种分法。
<全解>
1、分割线是线段的
② ③ ④ ①
2
⑤ ⑦ ⑥ ⑧
2、分割线是曲线的。
⑨ ⑩
3、如果选择其中一种,把它的分割线想象成风车的叶轮,让它们旋转起来,还可以得到更多的方法。如:旋转图⑤可得到下面的图。
如:旋转图⑨,可得到下面的图
<拓展探究> 像这类题目,可以凭直觉,先找出部分分法,然后借出想象,“旋”出无数分法。
[能力冲浪]
1、将如下图所示的三角形,分成面积相等的4块,你有几种分法?请把各种分法画
A 出来(每种不同的分法思路,用一个图表示)。
B C
2、请在下图中画出三条线段,将等腰梯形分成四个面积相等,形状相同的图形。
3、将一个边长为6厘米的正方形分成面积相等的6块,要求每一块都通过正方形的中心。(画出示意图)。
【生活数学】
[题3] 智力卡片上有一幅点子图,如下图的20个点,每相邻三点“∴”或“∵”所成三角形都是等边三角形,面积是1平方厘米,试求三角形ABC的面积。 A B
C
<敏捷思维> 所有这些小等边三角形的边组成了“格线”,沿某些格线把三角形ABC分割开,如图中把三角形ABC分割成三角形ABR、BCQ、CAP及PQR。
A D P
B Q R
F C E
把三角形ABR补成平行四边形ARBD,把三角形BCQ补成平行四边形BQCE,把三角形CAP补成平行四边形APCF,由于这三个平行四边形的边都是格线,从而它们的面积数都是整数。
平行四边形ARBD含有四个小等边三角形,故它的面积是4平方厘米,于是三角形ABR的面积=4÷2=2(平方厘米)。
平行四边形BQCE含有8个小等边三角形,故它的面积是8平方厘米,于是三角形BCQ的面积=8÷2=4(平方厘米)。
平行四边形APCF含有6个小等边三角形,故它的面积是6平方厘米,于是三角形ACP的面积=6÷2=3(平方厘米)。 三角形PQR的面积是1。
<全解> 三角形ABC的面积=1+2+3+4=10(平方厘米)。 <拓展探究> 这些点子常常称为“格点”,以格点为顶点连成的三角形、四边形??就称为格点三角形,格点四边形??在求格点多边形面积时,常常利用“格线”把图形分割成若干块,分别求出每一块的面积,最后再求各块面积的和。
[能力冲浪]
1、计算下面三角形格点中的四边形的面积(其中相邻三点所围成的等边三角形的面积为1)。
2、计算下面三角形格点多边形的面积。(相邻三点所围成的等边三角形的面积为1)
3、求图中阴影部分图形的面积。(相邻三点所围成的三角形的面积为1)
[题4] 现有一张5厘米长,1厘米宽的长方形纸片,请你将它分成5块,使它能拼成一个正方形。
<敏捷思维> S长=5平方厘米,则S正=5平方厘米,即拼成的正方形边长的平方为5,
可联想斜边的平方正好为5,故可将长方形按此思路去分割。
1厘米 2厘米 <全解> 先将长方形的长分割成2厘米、1厘米、2厘米
2厘米 1厘米 2厘米 1厘米
再如下图所示去拼:
米 2厘 1厘 米
<拓展探究> 这道题分割以后,还需拼接图形。可先找出拼好后的图形的特征,再思考如何分割。
[能力冲浪]
1、把图中两个图形中的某一个分成三块,最后合在一起,使它们成为一个正方形。
甲 10
5
7
10
4
2
2、把下图切割后拼成一个正方形,先画出切割示意图,再画出新拼成的正方形示意图。
A
3、将下图切成三块,拼成一个正方形。
【感受奥赛】
[题5] 有一位老人有一块正方形的土地,在土地上,他种下了四棵树,排成一排(如图),老人有四个儿子,老人在临终前对四个儿子说:“我死后,你们可以把这块地分成形状大小完全相同的四块,每人分一块土地耕种,但是这四棵树是我亲手种的,你们必须每人分一棵,而且这四棵树既不准砍掉也不准移走。”你知道四个儿子应该怎么做吗?
<敏捷思维> 观察4棵树的位置,我们将大正方形分成64个(8行8列)相等的小正方形,那么四棵树分别在四个小正方形内,可以考虑把64个正方形,在每人分一个栽了树的小正方形的前提下进行分割。
最外圈共有28个小正方形,平均每人分7个,最外圈分成1×7的四个小长条,每人得一条。
第2圈共有20个小正方形,平均每人分5个,把这圈分成1×5的四个长条,每人又各分得一条。
第3圈共有12个小正方形,平均每人分得3个,各得一个1×3的长条,第4圈的4个小正方形则每人各得1个。
于是每人都分得了16个小正方形,每人的土地连成一片,且四人分得的土地形状也完全相同,而且每人都分得了一棵树。
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