常微分方程在数学建模中的应用

微分方程应用

1 引言

常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.

数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.

因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用. 2 数学模型简介

通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助．

建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节． 3 常微分方程模型 3．1 常微分方程的简介

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微分方程的发展有着渊远的历史．微分方程和微积分产生于同一时代，如苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时就对简单的微分方程用级数来求解.后来，瑞士数学家雅各布·贝努、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程理论.

纵观微分方程的发展史，我们发现微分方程与物理、天文学以及日异月新的科学技术有着密切的联系.如牛顿研究天体力学和机械力学的时候，就利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动的规律.后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置.而这些都证明微分方程在改造自然和认识自然方面有着巨大的力量.微分方程是自变量、未知函数及函数的导数(或微分)组成的关系式．在解决实际问题的过程中，我们又得出了常微分方程的概念：如果在一个微分方程中出现的未知函数中只含有一个自变量，那么这个方程则称为常微分方程，也可以简单的叫做微分方程.在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足微分方程关系似的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质．常微分方程是解决实际问题的重要工具. 3．2 常微分方程模型示例

数学模型按照建立模型的数学方法可以分为初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型和规划论模型等．当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程，分析它的变化规律，预测他的未来性态时，通常要建立对象的动态模型，即微分方程模型．

建立微分方程模型就是把物理、化学、生物科学、工程科学和社会科学中的规律和原理用含有待定函数的导数或微分的数学关系式表示出来．下面我们由浅入深地介绍一些微分方程模型．

例1 细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400，那么，前12h后总数是多少？

解： 第一句话说的是在任何瞬间都成立的事实；第二句话给出的是特定瞬间的信息．如果我们用y(t)表示总数，第一句话告诉我们

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dy?ky dt它的通解为

y?Aekt

A和k这两个常数可以由问题中第二句话提供的信息计算出来，即

y(0)?100, (3.1) 和 y(24)?400, (3.2) 其中t的单位为小时．(3.1)意味着

y(0)?Ae0?A?100. (3.2)意味着

y(24)?100e24k?400. 它给出

k?故

y(t)?100etln424. 要我们求的是

(ln4). 24y(12)?100e(12)ln424?200个细菌．

例2 将室内一支读数为60?的温度计放到室外．10min后，温度计的读数为

70?；又过了10min，读数为76?.先不用计算，推测一下室外的温度.然后利用牛顿

的冷却定律计算出正确的答案．

牛顿的冷却定律或称加热定律是：将温度为T的物体放进处于常温m的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差．在这个数学模型中，假定介质足够大，从而，当放入一个较热或较冷的物体时，m基本上不受影响．实验证明，这是一个相当好的近似．

解 显然，对于这个题首先要做的是了解牛顿定律的含义，这已经做过了。所以，用了两段话来作为我们求解的出发点．

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第三段关键词“以某一速度变化”．这句话是说dTdt与T?m是成正比例的，即dTdt?k(T?m)．给出的三个特定条件是：

T(0)?60,T(10)?70,T(20)?76．

其中t的单位是分钟，而的单位是度。微分方程的解为T?Aekt?m解出三个常数A,k,m解出m?85?．

例3 红绿灯问题

在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要亮一段时间的黄灯，这是为了让那些正行驶在十字路口的人注意，告诉他们红灯即将亮起，假如你能够停住，应当马上刹车，以免冲红灯违反交通规则.这里我们不妨想一下：黄灯应当亮多久才比较合适？

现在，让我们来分析一下这个问题．在十字路口行驶的车辆中，交警主要考虑的是机动车辆，因为只要机动车辆能停住，那么非机动车辆自然也应当能停住。驶近交叉路口的驾驶员在看到黄色信号灯后要立即做出决定：是停车还是通过路口．如果他决定停车，必须有足够的距离能让他能停得住车．也就是说，在街道上存在着一条无形的线，从这条线到街口的距离与此街道的法定速度有关，法定速度越大，此距离也越大．当黄灯亮起时车子到路口的距离小于此距离时不能停车，否则会冲出路口．大于此距离时必须停车，等于此距离时可以停车也可以通过路口（注：此街道的法定速度由另一问题讨论，制定法定速度的目的是为了最大限度地发挥这一街道的作用）．对于那些已经过线而无法停住的车辆，黄灯又必须留下足够的时间使它们能顺利地通过路口．

根据上述分析，我们确定了求解这一问题的步骤如下：

步1. 根据该街道的法定速度v0求出停车线位置（即停车线到街口的距离） 步2. 根据停车线位置及法定速度确定黄灯该亮多久 （停车线的确定）

要确定停车线位置应当考虑到两点：

(1)驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间t1，在这段时间里，驾驶员尚未刹车．

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(2)驾驶员刹车后，车还需要继续行驶一段距离，我们把这段距离称为刹车距离． 驾驶员的反应时间（实际为平均反应时间）t1较易得到，可以根据经验或者统计数据求出，交通部门对驾驶员也有一个统一的要求（在考驾照时都必须经过测试）．例如，不失一般性，我们可以假设它为1秒，（反应时间的长短并不影响到计算方法）． 停车时，驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力，该摩擦力使汽车减速并最终停下．设汽车质量为m,刹车摩擦系数为f，x(t)为刹车后在t时刻内行驶的距离，更久刹车规律，可假设刹车制动力为fmg（g为重力加速度）．由牛顿第二定律，刹车过程中车辆应满足下列运动方程

?d2xm2??fmg??dt ? (3.3)

dx?x(0)?0,?v0?dtt?0?在方程(3.3)两边同除以m并积分一次，并注意到当t?0时

dx?v0，得到 dtdx??fg?tv0 (3.4) dtdx?0，故 刹车时间t2可这样求得，当t?t2时，dtt2?v0 fg将(3.4)再积分一次，得 x(t)??将t2?1fgt2?v0t 2v0代入，即可求得停车距离为 fg21v0 x(t2)?2fg据此可知，停车线到路口的距离应为：

21v0 L?v0t1?

2fg等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程，第二项为刹车距离．

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（黄灯时间的计算）

现在我们可以来确定黄灯究竟应当亮多久了．在黄灯转为红灯的这段时间里，应当能保证已经过线的车辆顺利地通过街口．记街道的宽度为D（D很容易测得），平均车身长度为l，这些车辆应通过的路程最长可达到L?D?l，因而，为保证过线的车辆全部顺利通过，黄灯持续时间至少应当为： T?L?D?l． v03．3 建立常微分方程模型的方法和步骤

从上边的例子大致可以看出微分方程模型的特点是反映客观现实世界中量与量的变化关系，往往与时间有关是一个动态(力)系统．构造常微分方程的数学模型有如下几种方法：

1． 运用已知的基本定律或基本公式建立常微分方程模型

主要利用各学科中已知的定理或定律来建立的.如力学中的牛顿第二运动定律，万有引力定律，傅里叶传热导定律，弹性形变中的虎克定律，拆里定律，阿基米德原理，放射性问题中的衰变率，生物学、经济学、人口问题中的增长率等． 2．利用导数的定义建立微分方程模型

在微积分中导数是一个重要概念，其定义为

dyf(x??x)?f(x)?y?lim?lim

?x?0?xdx?x?0?xdy如果函数f(x)是可微的，那么就可解释为y相对于x在该点的瞬时变化率。把

dx导数解释为瞬时变化率在很多建模应用问题中都有用．如在生物学以及人口问题研究中出现的“速率”、“增长”；在放射问题中出现的“衰变”，在经济学中出现的“边际的”等，这些词的出现就是一个信号，这个时候要注意哪些研究对象在变化，这些变化规律也许可以用在微分方程的表示中．例如在考古学中，经常需要测定某种文物的绝对年龄，这时我们可以考察其中的放射性物质，由裂变规律：放射性物质的裂变速度与其存余量成正比．我们假设时刻t时该放射性物质的存余量为u，u是t的函数，则我们可以建立常微分方程模型

du??ku dt其中k?0是衰变系数，与放射性物质本身有关.求解该模型，我们解得：u?ce?kt,

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其中c是待定系数，它可以由初始条件确定.这样我们就可以测定这种文物的绝对年龄.

3．利用微元法建立常微分方程模型

这种方法主要是通过寻求微元之间的关系式，直接对函数运用有关定律建立模型．一般的，如果某一实际问题中所求的变量I符合下列条件： I是与一个自变量x的变化区间[a,b]有关的量；I对于区间[a,b]具有可加性；部分量

?Ii?f(?i)?xi．那么就可以考虑利用微元法来建立常微分方程模型，其步骤是：根据问题的具体情况，选取一个自变量x，并确定其变化区间为[a,b]；在区间[a,b]中任意选取一个任意小的区间记作[x,x?dx]，求出相应于这个区间的部分量?I的近似值．将?I近似的表示为一个连续函数在x处的值f(x)与dx的乘积，即

?I?f(x)dx，记f(x)dx?dI，dI称为量I的微元．等式两边同时积分就可以求出

要求的量I了．这种方法经常被应用于各种领域．例如在空间解析几何上可以用微元法求曲线的弧长、平面图形的面积、旋转曲面的面积、旋转体体积；代数方面求近似值以及流体混合问题；物理上求变力做功、压力、静力矩与重心． 4.模拟近似

对于规律或现象不很清楚，比较复杂的实际问题，常用模拟近似法来建立常微分方程模型．这类模型一般要做一些合理假设，将要研究的问题突出出来．这个过程往往是近似的，因此用此法建立常微分方程模型后，要分析其解的有关性质，在此基础上同实际情况对比，看所建立的模型是否符合实际，必要时要对假设或模型进行修改．

3.4建立微分方程模型的一般准则

在建立微分方程的时候，所要求的其实是微分方程的一条解曲线，通过它来反映某些我们所要寻求的规律．微分方程曲线思想是，如果知道曲线上每一点处的导数以及它的起始点，那么就能构造这条曲线．

(1)转化翻译：有许多表示导数的常用词，如速率、增长、衰变、边际、弹性等．改变、变化、增加、减少这些词可能是一种暗示信号，只需弄清楚什么在变，随什么而变，这时也许导数就用得上．

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(2)机理分析：将所研究的问题看成一个封闭和系统，思考研究的问题是否遵循什么原理或物理定律，是应该用已知的定律还是去推导问题的合适结果．在不知道问题的机理时，合理的想象和类比是很重要的．

不少问题都遵循下面的平衡式：

净变化率?输入率-输出率

如果当这个平衡式出现的时候我们能理解它，并且能使用正确的物理量纲，或许就得到了需要的微分方程．

(3)微分方程模型：微分方程是在任何时刻必须正确的瞬时表达式．如看到了表示导数的关键词，就要寻找y?(t)与y(t), t的关系．首先将注意力集中在文字形式的总关系式上，如“速率=输入-输出”．写出这些关系式，然后准确填好式中的所有项．

(4)单位：一旦确定了哪些项应该列入微分方程中，就要确保每一项都采用同样的物理单位，保证式子的平衡．

(5)定解条件：系统在某一特定时刻的信息，独立于微分方程而成立，利用它们来确定有关的常数，包括比例系数、原微分方程的其它参数以及解中的积分系数．

4微分方程建模 4.1数学建模的简介

数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程.这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象；也包涵抽象的现象，如顾客对某种商品所取的价值倾向.这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测、试验和解释实际现象等内容.

我们还可以直观地理解这个概念：数学建模是一个让纯粹数学家变成物理学家、生物学家，经济学家甚至是心理学家等的过程.要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音、录像、比喻、传言等等.而数学语言以其科学性、逻辑性、客观性及可重复性的特点，在描述各种现象时体现出其别具一格地严密与贴合实际.正是由于这样，更多人越来越喜欢运用数学这种严格而又严密的语言，而使用数学语言描述的事物就称为数学模型.有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是

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实际操作的一种理论替代.举个简单例子：某司机欲把某货物从甲地运往乙地，应如何选择运输路线使总路程最短？该司机不会开着车去试探，而是利用交通图来确定自己的行车路线．从这个简单的例子中我们可以看到数学模型的重要性．

应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程，也就是说使抽象的事物变的感性化.而建立模型首先要通过调查、收集数据资料，其次是观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，最后是建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.在这个过程中深厚扎实的数学基础、敏锐的洞察力和想象力、对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面就尤为重要.其实，数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到各类学科的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之一. 4.2数学建模的方法与步骤

数学模型就是针对或参照某种问题(事件或系统)的特征和数量相依关系，采用形式化语言，概括或近似地表达出来的一种数学结构．数学模型因问题不同而异，建立数学模型也没有固定的格式和标准，甚至对同一个问题，不同角度，不同要求出发，可以建立起不同的数学模型，因此，与其说数学建模是一门技术，不如说是一门艺术．它需要熟练地数学技巧，丰富的想象力和敏锐的洞察力，需要大量阅读，思考别人做的模型，尤其要自己动手，亲身体验．数学建模注重的是建模的方法和过程，一般的建模方法和步骤如下： 1.模型准备

如果想对某个实际问题进行数学建模，通常要先了解该问题的实际背景和建模目的，尽量弄清楚要建模的问题属于哪类学科，然后通过互联网或图书馆查找，搜集与建模要求相关的资料和信息，对该问题进行全面的，深入细致的调查和研究． 2.模型假设

一个实际问题往往会涉及很多因素，如果把涉及的所有因素都考虑到，既不可能也没必要，而且还会使问题复杂化导致建模失败．要想把实际问题变为数学

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问题，需要抓住主要因素，暂不考虑或忽略次要因素，对其进行必要的、合理的简化和假设．一般的，所得建模的结果依赖于对应模型的假设，模型假设到何种程度取决于经验和具体问题．在整个建模过程中，模型假设可以通过模型的不断修改得到逐步完善． 3.模型建立

有了模型假设，就可以选择适当的数学工具并根据已有的知识和搜集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构．在建模时有几点是需要注意的：

①分清变量类型，恰当使用数学工具如果实际问题中的变量时确定性变量，建模时数学工具多用微积分、微分方程、线性规划、非线性规划、图论与网络、投入产出、插值与拟合等．如果是随机变量，建模时数学工具多用概率、统计、随机性存贮论、排队论、对策论、决策论、随机微分方程等．由于数学分支很多，又加之互相交叉渗透，派生出许多分支．建模时具体用什么分支好，一是因问题而异，二是因人而异，应看自己对哪门学科比较熟悉精通，尽量发挥自己的特长．

②抓住问题的本质，简化变量之间的关系模型尽可能简单、明了、思路清晰，能不采用尽量不用高深的数学知识，不要追求模型技术的完美，要侧重于实际应用．

③建模要有严密的推理在己定的假设下，建模过程中推理一定要严密，以保证模型的正确性，否则会造成模型错误，前功尽弃．

④建模要有足够的精确度所建的模型应能够满足实际问题对精度的具体要求． 4.模型求解

在已经建立起来的数学模型中可采用解方程、推理、图解、定理证明等各种传统和现代的数学方法进行求解，其中有些工作可以用计算机软件来完成．目前市场上流行的数学工具软件比较多．如Mathlab，Mathematic等． 5.模型检验

在求得模型的解之后，需要对模型进行分析和检验．模型分析主要包括误差分析、模型对数据的稳定性分析和灵敏度分析等．模型检验是将所得结果的理论数值与实际数值相比较，如果两者相符，则说明所建模型是成功的；否则需要对所建模型进行修改．因为所建模型是在一定假设条件下所得的，理想化的产物，

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可能与实际问题有较大出入，这时需要反过来仔细检查简化与假设是否合理．如果不合理则进行修改同时根据新的简化与假设建立数学模型．这个过程需要反复循环进行，直到满足要求为止． 6.模型应用

利用建模中获得的正确模型对研究的实际问题给出预报或对类似实际问题进行分析、解释和预报供决策者参考，这一过程称为模型应用．一般来说，建模是预测的基础，而预测又是决策与控制的前提．建立数学模型的步骤可以用下面的框图4－1表示

观察、分析 现实问题 收集数据 简化假设 确定主要因素 建立模型 及其相互关系 解释、预测数字工具 4.3数学建模示例

在建模中，根据问题不同建立的模型不同，在前文也讲到了具体哪些问题用到建立微分方程模型．在数学建模中有各种各样的常微分方程模型，例如：人口模型、传染病模型、糖尿病模型、作战模型、交通模型、经济模型、辨别艺术伪造品模型等，这里以人口模型为例简单介绍常微分方程在建模中的应用．

例4 人口模型

人类社会进入20世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也以空前的规模增长，统计数据见表4―1．由表4―1可见，世界人口每增加10亿的时间由100年缩短为十二、三年，人类赖以生存的地球已经携带着它的60亿子民进入了21世纪．

表4－1 世界人口统计数据

年 人口（亿）

1625 5

1830 10

1930 20

1960 30

1974 40

1987 50

1999 60

应用模型 检验模型 图4－1

求解模

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长期以来，人类的繁殖一直在自发地进行着，只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系，人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问题.

认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.长期以来人们在这方面做了不少工作，下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表4－2给出的近两个世纪的美国人口统计数据，对模型作检验.

表4－2 美国人口统计数据（单位：百万）

年 人口 年

1790 3.9 1900

1800 5.3 1910 92.0

1810 7.2 1920

1820 9.6 1930

1830 12.9 1940

1840 17.1 1950

1850 23.2 1960

1860 31.4 1970

1870 38.6 1980

1880 50.2 1990

1890 62.9 2000

人口 76.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4

1.人口指数增长模型（马尔萨斯人口模型） 最简单的人口增长模型是：

记今年人口为x0，k年后人口为xk，年增长率为r，则 xk?x0(1?r)k,k?1,2,显然，这个公式的基本前提是年增长率r保持不变．

二百多年前英国人口学家马尔萨斯（Malthus,1766-1834）调查了英国一百多年的人口统计资料，得出了人口的增长率是常数的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型． (1) 模型构成

记时刻t的人口为x(t)，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，x(t)是一个很大的整数，为了利用微积分这一数学工具，将x(t)视为连续、可微函数．记初始时刻(t?0)的人口为x0，假设人口增长率为常数r，即单位时间内x(t)的增量与

x(t)的比例系数．考虑t到t??t时间内人口的增量，显然有

. (4.1)

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x(t??t)?x(t)?rx(t)?t. 令?t?0取极限，得到x(t)满足的微分方程

dx?rx,x(0)?x0. (4.2) dt由这个线性常系数微分方程很容易解出

x(t)?x0ert ， (4.3) 表明人口将按指数规律随时间无限增长(r?0)．因此，(4.3)式称为人口指数增长模型，也称为马尔萨斯人口模型．

由微分学的理论知，当r?1时，er?1?r．

这样将t以年为单位离散化，由公式(4.3)就得到了前面所讨论的公式(4.1)，即 x(t)?x0(1?r)t,t?1,2,．

由此可见公式(4.1)只是人口指数增长模型(4.3)的离散近似形式． (2) 对人口指数增长模型的检验

下面我们应用人口指数增长模型(4.3)对美国人口的增长进行预测. 首先将模型(4.3)线性化为

lnx(t)?lnx0?rt. (4.4) 记 y?lnx(t),a?lnx0，则(4.3)线性化为

y?a?rt. (4.5) 根据表4－2中数据、及(4.4)和(4.5)两式，应用线性回归分析的理论，建立了对美国人口的增长进行预测的数学模型

x?6.0450e0.2022t . (4.6) 其中x的单位为百万人，t的单位为10年.

应用预测模型(4.6)对美国近两个世纪人口的增长进行模拟计算,并与实际人口相比较，结果见表4－3.

表4－3

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年 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890

实际人口 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9

计算人口 6.0 7.4 9.1 11.1 13.6 16.60 20.30 24.90 30.5 37.3 45.7

年 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

实际人口 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4

计算人口 55.9 68.4 83.7 102.5 125.5 153.6 188.0 230.1 281.7 344.8 422.1

由表4－3可见，预测模型(4.6)基本上能够描述19世纪以前美国人口的增长.但是进入20世纪后，美国人口的增长明显变慢了，运用预测模型(4.6)进行预报不合适了.

历史上，人口指数增长模型与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好地吻合，迁往加拿大的欧洲移民后代人口也大致符合这个模型.另外，用它作短期人口预测可以得到较好的结果.显然，这是因为在这些情况下，模型的基本假设 “人口增长率是常数”大致成立.

但是长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不能预测较长时期的人口演变过程，这是因为人口增长率事实上是不断地变化着.排除灾难、战争等特殊时期，一般来说，当人口较少时，其增长较快，即增长率较大；人口增加到一定数量后，增长就会慢下来，即增长率变小．看来，为了使人口预测特别是长期预测能更好地符合实际情况，必须修改人口指数增长模型中关于人口增长率是常数这个基本假设．

2．人口阻滞增长模型（Logistic 模型）

分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，人们注意到，自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越

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来越大．所谓人口阻滞增长模型就是考虑到这个因素，对人口指数增长模型的基本假设进行修改后得到的．

(1)模型构成

阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降。若将r表示为x的函数r(x)，则它应是减函数，于是方程(4.2)改写为

dx?r(x)x,x(0)?x0. (4.7) dt对r(x)的一个最简单的假设是，设r(x)为x的线性减函数，即

r(x)?r?sx(r?0,s?0). (4.8) 这里r称为固有增长率，表示人口很少时（理论上是x?0）的增长率.为了确定系数s的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量xm，称为人口容量.当x?xm时人口不再增长，即增长率r(xm)?0，代入(4.8)式得s?rxm.于是(4.8)式化为

r(x)?r(1?x). (4.9) xm其中r，xm是根据人口统计数据或经验确定的常数，(4.9)式的另一种解释是：增长率r(x)与人口尚未实现部分的比例(xm?x)xm成正比，比例系数为固有增长率

r.

将(4.9)式代入方程(4.7)得

dxx?rx(1?),x(0)?x0. (4.10) dtxmx

)则体现了资源和xm

方程(4.10)右端因子rx体现人口自身的增长趋势，因子(1?

环境对人口增长的阻滞作用.显然x越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果.方程(4.10)称为人口阻滞增长模型，也称为Logistic模型.

用分离变量法解方程(4.10)得

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x(t)?xmx1?(m?1)e?rtx0 . (4.11)

方程(4.10)和模型(4.11)的图形见图4－2和图4－3.图4－3是一条S形曲线，x的增加是先快后慢.当t??时，x?xm，拐点在x?xm处. 2

图4－2 图4－3

(2)对人口阻滞增长模型的检验

下面我们应用人口阻滞增长模型(4.11)对美国人口的增长进行预测。 由于模型(4.11)不能线性化，因此不能运用线性回归分析理论进行参数估计，我们不用(4.11)式，而将方程(4.10)表示为

y?令y?dxr. (4.12) ?r?sx,s?xdtxmdx，则(4.12)式线性化为 xdt y?r?sx. (4.13) 由表4－3可以直接得到x的数据，而y的数据可根据表4－3中数据运用数值微分的方法算出.在此基础上，应用第三单元中线性回归分析的理论即可估计出模型(4.13)中参数r和xm，而模型(4.13)中参数r和xm的估计值，也是模型(4.11)中参数r和xm的估计值.

运用上述方法，并且仅利用表4－2中1860年至1990年的数据，建立了对美国人口的增长进行预测的数学模型

x?392.0886. (4.14) ?0.2557t1?101.5355e 15

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其中x的单位为百万人，t的单位为10年.

应用预测模型(4.14)对美国近两个世纪人口的增长进行模拟计算，并与实际人口相比较，结果见表4－4.

表4－4

年

1770 1800

5.3 5.0

1810 7.2 6.5 1920

1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 9.6 8.3

12.9 10.7

17.1 13.7

23.2 17.5

31.4 22.3

38.6 28.3

50.2 62.9 35.8 45.0

实际人口 3.9 计算人口 3.9 年

1900 1910 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 123.2 103.9

131.7 124.5

150.7 147.2

179.3 171.3

204.0 196.2

226.5 221.2

251.4 245.3

281.4 266.2

实际人口 76.0 92.0 106.5

计算人口 56.2 69.7 85.5

由表4-4可见，用预测模型(4.14)对美国近两个世纪人口的增长进行模拟计算，除了19世纪中叶到20世纪中叶的拟合效果不很好外，其余部分拟合的都不错. 5 小结 通过上述几章对常微分方程、数学模型、以及常微分方程模型在数学建模中应用的介绍，我们发现一切数学理论的产生都是为了解决实际应用过程中的问题.而一切数学模型的建立，都是为了更好的指导数学理论在实际生活中的应用.常微分方程的出现、以及常微分方程在数学建模中的应用，就是为了更好地使普通人理解数学理论，并更好的解决实际问题.

目前，数学模型己经广泛应用于社会的各个领域，人们追求定量分析和优化决策，这都离不开数学模型．数学模型是为了解决现实问题而建立起来的，它能够反映现实，也能够反映现实的内在规律和数量关系．数学模型作为一种模型，必须对现象做出一些必要的简化和假设，首先要忽略现实问题中许多与数量无关的因素．其次还要忽略一些次要的数量因素，从而在本质上更能集中反映现实问题的数量规律．由于建立数学模型可以使用所有的数学工具，现实问题又是多种

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多样的，所以造成数学模型的种类繁多，本文中主要是应用常微分方程这个数学工具来进行数学建模．随着科学技术的发展和社会进步，常微分方程的应用不断扩大和深入．而它的每一步进展都在向数学的其他分支提出需求，需要他们提供相应的定理；同时也向其他数学分支提出问题促其完善，最终促使双方的共同发展．本文主要通过几个实际问题的数学建模，利用一阶常微分方程、二阶常微分方程的求解技巧来求出模型的结果，并且通过分析这个结果来解释现象或提供最佳方案．本文所做的分析只是众多应用中的一个方面，随着现代科学技术的飞速发展，有理由相信基于微分方程的数学建模有着更加广阔的前景．

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