北京市高等数学竞赛真题（第十二届至第二十一届）

第十二届（2000年）北京市大学生数学竞赛

本科甲、乙组试题（有改动）

班级： 学号： 姓名： 一、填空题（每题4分，满分40分）

lim1、若

x?0atanx?b(1?cosx)ln(1?2x)?c(1?e?x)= _________ . 2?2z?0?x?y2、若，且当x?0时，z?siny；y?0时，z?sinx，则z= ____ .

3、积分

?tdt?e01t1()2xtdx?__________________.

1n11limxk?nsin?xn?(n?2)sin?x??n?1xn??n?1n?1，则k?14、设数列满足： . cosx?1?1f(x)?x?0f(x)e?15、设在点x?0可导，且，则f(0)= . lim?6、设f(x)满足0，f(0)?0且有一阶导数，则当x?0时，f(x)?

_________________________ . xxlim[lim(coscos2?22x?n??2?1f(tx)dt?f(x)?xsinxcos7、极限

x)]?2n________________________.

sinxydxdy?2??2x?1?1?yx8、设由曲线x?y和所围成的平面区域，则D___________.

f(x)?sin9、设

12n??0x?cos2x(2012)f(?)?____________________________. 2，则

10、极限

lim?xndx?1?x________________.

?a?二、(8分)设f(x)是(0,??)上递减的连续函数，且在f(x)?0,证明数列n收敛，其中

an??f(k)??f(x)dxk?11nn。

1

f(x)?limx2n?1?ax2?bxx2n?1(n?N)三、（8分）设都存在。

n??limf(x)与limf(x)x??1，试确定a、b的值，使x?1222z?z(x,y)x?6xy?10y?2yz?z?18?0四、（8分）设是由所确定的函数，求

z?z(x,y)的极值点和极值。

2

1f(x)dx?f()??(x)?0ff(x)02五、(8分)设在[0，1]上具有二阶导数，且，求证：。

?1f(0)?f(1)?0,minf(x)??1maxf??(x)?8f(x)[0,1]0?x?1六、（8分）设在上二阶可微,,则0?x?1。

3

七、(10分)计算定积分

?n?0xsinxdxlim，n是正整数，并求极限

n???0xsinxdxx?xedx。 n0322n?八、(10分)计算

??sin(y?x)dxdyD，其中D为0?x?y?2?。

第十三届（2001年）北京市大学生数学竞赛

本科丙组试题（有改动）

班级： 学号： 姓名：

4

一、填空题（每题4分，满分40分）

1?k?xsin,x?0f(x)??x?0,x?0?1．若函数 在x=0处可导，则正数k的最小值为______________

2．设x?1,则

2arctanx?arcsinkn2x?2_______ 1?xxn??k?1n3n?3．设

1limx?k，则x??n_______

x2y2(2?2)d????22ab_______ 4．设D为闭区域x?y?1，则D?3??F(t),t?xyz则f(t)?_____ u?f(xyz)?x?y?z5．设f(x)有任意阶导数，，且

6．设??0为常数，则

???0e?xe???xdx?_______

dy?(4?y)y?(x,3),

7．y?f(x)二阶可导，且dx (??0)，若y?f(x)的一个拐点是0则?= _______

8．

?(1?x)11?x444dx?_______

x2'f(x)f(0)?0f9．设具有一阶连续导数，且，

?lim(?(0)?1，则

x?00xf(t)dtf(t)dt)2?_______

0?(x?4)2?(y?7)2?(z?1)2?36?3x?y?z?9?010．圆?的中心M的坐标是_________________

0,1??二、（6分）设f(x)在上有二阶导数，且f(1)?f(0)?f(1)?f(0)?0，证明：存

??在??(0,1)，使得f(?)?f(?).

5

??

三、（8分）某公司生产两类产品，根据经验，欲使产量分别增加x单位和增加x单位和y单位的投资，这时销售总收入将增加3x?4y单位。现用

y单位，需分别

A单位的投资生

产这两类产品，问如何分配投资，才能使销售总收入最大。

?四（10分）设

an??4tannxdx,n?10，（1）证明数列

?an?收敛

（2）证明

an?an?2?111?an?2(n?1) n?1，n>2 (3)证明2(n?1)6

五（10分）从已知?ABC的内部的点P向三边作三条垂线，求使此三角形三条垂线长的乘积为最大的点P的位置。

a六（8分）计算积分?1xb?x0lnxdx。

7

?0,1?上连续函数，证明?0e七（8分）设f(x)是

xf(x)dx?e?f(y)dy?101.

0,??0,??内可导，

八、（10分）设f(x)在上连续，在

???且

?0f(x)cosxdx??f(x)sinxdx?00?.证明：存在点???0,??，使得

第十四届（2002年）北京市大学生数学竞赛

本科丙组试题（有改动）

班级： 学号： 姓名：

二、填空题（每题4分，满分40分）

12lim(cosx)x?_______1、x?0

8

2、设

?x4?ax?3,x?1,?2?f(x)??(x?1)(x?2)?2,x?1,?2? 在x=1处连续则a?_______

?3若函数f(x)在x=1处可导，且f(1)?1，

lim则

x?0f(1?x)?f(1?2sinx)?2f(1?3tanx)?x__________________

x2?ax?2?(x?1)(x2?1)dx4、设不定积分的结果中不含反正切函数，则a?_______

?5、

?20sin2002xdx?_______ sin2002x?cos2002xnlim?x??ekn2kn?_______

6、7、

k?1n?ne1x2?1?1dx?eydy?_______

8、设实数a>0,则当a?_______时，积分

?2a11?x3adx之值最大。

e?xlim9、x??22?x0t2etdt?2_______

222(x?R)?y?r(0?r?R)绕y轴旋转一周所成圆环体的体积V?_______ 10、圆

二、（6分）证明曲线

9

x?y?2上任一点的切线的横截距和纵截距之和等于2。

三、（8分）设某产品的成本函数为C(q)??q?2q??，需求函数为

2q?1?(4?p)，其

中C为成本，q为需求量（即产量），p为该产品的单价，?,?,?都是正常数，求利润最大时的产量。

?四、（10分）证明

?20?sinxcosx2dx??01?x2dx。 1?x210

0,a五、（8分）设f(x)在闭区间上具有二阶导数，且在开区间(0,a)内达到最小值，又f??(x)?M(x??0,a?)

，证明

??f??(0)?f??(a)?Ma。

六、（10分）设

y?1，求

?1?1x?yexdx。

11

x11?2,x2?2?七、（10分）设

x,,1limn??xn。

xn?1?2?1x,n，证明：数列

xn 极限存在并求

12

?(x,y)x八、（8分）平面区域D=

任意连续函数，试求

D3?y?1,?1?x?1?,f(x)是定义在??a,a?(a?1)上的

??2y?(x?1)f(x)?(x?1)f(?x)?dxdy。

第十五届（2004年）北京市大学生数学竞赛

本科丙组试题（有改动）

班级： 学号： 姓名：

一、填空题（每题4分，满分40分）

(1?sin2x)lim1、

x?011?cosx= .

y2、设函数y?y(x)由方程

?edt??00txsintt2dt?1(xdy>0)所确定，则dx= . lim3、设f(x) 有连续导数且x?0xnxf(x)?a?0,F(x)??(x2?t)f(t)dt0x又，当x?0时，F?(x)与

为同阶无穷小，则n?__________________.

lim?(x)xx?(x)0??(x)?1e?1?xe4、由拉格朗日中值定理有，其中，则x?0= . 5、设g(x)满足

g?(x)?sinxg(x)?cosx,且g(0)?0,则limx?0g(x)x= . 13

2limnf()n??n= . 6、设曲线y?f(x)与y?sinx在原点相切，则极限

?a0?x?27、.设f(x)??，（a?0,a是常数），D是全平面，则二重积分0其它???f(x)f(y?x)dxdy的值为_______.D

e?1?x3lim68、x?0sin2x= . 9、f(x,y)?x?y?3xy的极小值为 .

33x310、极限

limn??nn!?n____________________.

xf(x)在（-?，??）内满足f(x)?f(x??)?x[0,?]上f(x)?e二、(8分)设,且在,求

3?2??f(x)dx。

t三、(8分)已知

x??e0?s22dyds,y??sin(t?s)ds20,求dx。

t214

y四、(8分)设某工厂生产甲、已两种产品，产量分别为件x和件，利润函数为

L(x,y)?6x?x2?16y?4y2?2(万元）。已知生产这两种产品时，每件产品均需消耗某

种原料2000公斤，现有该原料12000公斤，问两种产品各生产多少件时总利润最大？最大

利润为多少？（限用高等数学的方法）。

五、(8分)设C,C1和C2为通过原点的曲线，称曲线C平分曲线C1,C2之间的面积，如果对

2y?x于C上任意点P，两个阴影区域A,B的面积相等（如图），已知C的方程为，

C1的方程为y?

12x2,求曲线C2的方程。

15

blogx?xa六、(8分)已知方程存在实根，常数a?1,b?0,求a,b应满足的条件。

cosxdx???1?f(x)。

七、(10分)设连续非负函数f(x)满足f(x)f(?x)?1(???x???),计算2

2?

16

八、（10分）设f(x)在[0,1]上连续，且1?f(x)?3，证明：

1??f(x)dx?011014dx?f(x)3。

第十六届（2005年）北京市大学生数学竞赛

本科甲、乙组试题（有改动）

班级： 学号： 姓名：

一、填空题（每题4分，满分40分）

?0???x?0)1?，1．设函数y?y(x)满足y?(x?1)y?xy?e，且y(若

_________.

2xlimy(x)?x?ax2，则a?ex?bf(x)?(x?a)(x?b)，在x?e处为无穷间断点，在x?1处为可去间断点，则b?2．已知

____________.

?2z?x?y2z?f(x,y)f(x,0)?x，f(0,)y?x?y3.设满足，且

4. 已知函数

y?，则f(x,y)?_________.

f(x)?3x?1?x2?f2(x)dx01, 则f(x)?__________________________.

5?x(10)f(1)?______________________. f(x)?(x?1)e5.设，则

6.设

Dr:x?y?r，则

lim2221lim2r?0?r??eDrx2?y2cos(x?y)dxdy?_________.

7. 已知x?01f(x)f(x)ln[1?]?4lim?__________3x?02x?11?cosxx则.

17

d228.dx9. 设10.

???0xsint01?u4dudt?____________________________.

lim b?0?2b2为f(x)?arctanx在[ 0, b]上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则

?_______.

z?x2?y2?2x?4y?9?x2?y2?6x?2y?11的最小值为 .

x3f?(x)dx?x2cosx?4xsinx?6cosx?C,f(x)f(x)?二、（6分）设可导，且求.

y?f(x)?三、（10分）设函数单增区间 单减区间 最大值 最小值 极大值 极小值 拐点

11?1?x1?x?2，作函数图形并填写下表：

四、（8分）设f(x)是(??,??)上的连续非负函数，且在区间[0,?]上的平均值。

18

f(x)??f(x?t)dt?sin4x0x，求f(x)

232a,b,cf(x,y,z)?axy?byz?cxz在点M(1,2,?1)处沿五、（8分）求常数的值，使函数

z轴正向的方向导数有最大值64。

x2六、（8分）证明方程2?x?1有且仅有三个实根。

19

0,1七、（10分）设函数f(x)在上连续且单调增加，证明不等式

八、（10分）计算二重积分

???10f(x)dx?2?xf(x)dx01。

?21dx?xxsin?x2y2dy??42dx?xsin?x2ydy。

第十七届（2006年）北京市大学生数学竞赛

20

本科甲、乙组试题（有改动）

班级： 学号： 姓名： 一、填空题（每题4分，共40分）

1、设严格单调函数y?f(x)有二阶连续导数，其反函数为x??(y),且

f(1)?1,f?(1)?2,f??(1)?3,则???(1)?____________________.

2、设单位向量?与?的夹角为?(0???π),a,b为正常数，

??lim则

??01?2[|a?|?|b?|?|a??b?|]?___________________.

????f(x)?3、设

1(100)(0)?__________________ 1?2x?3x2，则f?4、积分

2012π0x|sinx|dx?______________________

5、已知有正数n(n?4)使极限x???lim[(xn?7x4?2)??x]存在且不为零，则a?_________

xyf(u)f(1)?0,z?f(e?e)满足u?06、当时有一阶连续导数，且又二元函数

?z?z??1?x?y，则f(u)?___________________.

7、已知z?z(x,y)是由方程__________

sinxyz(?)1??1z(0,1)?z?xy所确定的隐函数，则x8、积分

?10dy?ycosxdx??dy?ycosx2dx212y221的值为__________________

lim9、已知

x?0?1?cosx0sint2dt(ex?1)k?c?0，则k? ___ ，c? _____

______________________.

?10、积分

1?1[x1?x4dx?arcsinx?cosx]dx?f?(sinx)?cosx?tanx?x,??2?x??2，且f(0)?1，求f(x)。

二、（6分）已知

21

第十八届(2007年)北京市大学生数学竞赛

本科丙组试题（有改动）

班级： 学号： 姓名：

一、填空题（每题4分，共40分） 1.设当x?1时，

1?m1?x??xm?1是x?1的等价无穷小，则m?_____________

f(x)?2.设

(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)(x?n)(x?n)，则f?(1)?________________

13.已知曲线y?f(x)在点(1,0)处的切线在y轴上的截距为?1,则lim[1?f(1?)]n?________.n??n4.设在[0,1]上f??(x)?0,则f?(0),f?(1),f(1)?f(0)从小到大的顺序是_________________5.lim?n??k?1neknn?1k?_________________.

6.?π2π?2x?sin2xdx?_______________.(1?cosx)21?1所确定，则在曲线y?y(x)上对应于x?0的点处的y?x7.设函数y(x)由方程sin(xy)?切线方程为__________________.8.设函数z?f(x,y)在点(0,1)的某邻域内可微，且f(x,y?1)?1?2x?3y?o(?)，其中dy??x2?y2，则由方程f(x,y)?1所确定的函数在x?0处的导数|x?0?___________.dx9.设f(x,y)为连续函数,且f(x,y)?y2?x2x?y?a??2f(x,y)dxdy,则f(x,y)?______________.2

x?1y?1z?1??011绕z轴旋转的旋转曲面方程为_________________________. 10.直线

二、(8分)设二元函数f(x,y)?|x?y|?(x,y),其中?(x,y)在点(0,0)的一个邻域内连续.试证明函数f(x,y)在点(0,0)处可微的充分必要条件是?(0,0)?0.

三、(8分)求积分I??

π201dx?xπ2xdy1?(tany)22

22.

?x2x,x?0四、(8分)设f(x)??，求f(x)的极值.x?1,x?0?

五、(8分)设f(x)在区间[?1,1]上有三阶连续导数,证明存在实数??(?1,1),使得f???(?)f(1)?f(?1)??f?(0).62

23

六、(8分)证明：当0?x?

π4时,(sinx)?2?x?2?1?2.2π

七、（10分）在第一卦限中过定点(a,b,c)的平面，使之与三个坐标面所围成的四面体体积最小。

24

xn?0,八、（10分）设

xn?1?1?2xxn，证明：数列n 极限存在并求

三、（8分）设f(x)在(??,??)上有定义，且对于任意的实数a,b都等式

f(a?b)?eaf(b)?ebf(a)成立，又f?(0)?1，求f(x)。

四、(10分)求曲线

lnx ? lny ?1 所围成的平面图形的面积。

25

2222P(x,y)z?x?y?1z?x?y000五、(10分)求抛物面上任意一点处的切平面与抛物面

所围成立体的积。

26

六、(8分)设二元函数f(x,y)有一阶连续偏导数,且f(0,1)?f(1,0),证明在单位圆周x2?y2?1?f?f上至少存在两个不同的点满足方程y?x.?x?y

七、(8分)设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,且|f(x)|?1,a,b?[0,1]都有?f(x)dx?ab?10f(x)dx?0,证明对于任意的1成立.2

27

xn?0,八、(10分) 设

xn?4?32limxnxxn?1n，证明：数列 极限存在并求n??。

第十九届（2008年）北京市大学生数学竞赛

本科甲、乙组试题(有改动)

班级： 学号： 姓名：

一、填空题（每小题4分，共40分）

??32x?1?lim??x?x??ex?x6?1??x???2????________________________. 1、极限

2、设f(x)连续，在x?1处可导，且满足f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x?o(x),x?0,则曲线y?f(x)在

x?1处的切线方程为______________________________________.

lim3、设

x?0y?0f(x,y)?3x?4y?2,则 2fx'(0,0)?fy'(0,0)?22x?y_________________________.

?z?z+=0xy?(0)=1=(x+y)e满足?x?y4、设函数?（u）可导且，二元函数z=?，则?（u）___________________.

y=sinx(-5、设D是由曲线

?2?x??2和直线

)x=-?2,y?1所围成的区域，f是连续函数，

则

322I=??x?1?yf(x?y)???dxdy?D___________________________.

123n??ln(1?)ln(1?)ln(1?)ln(1?)??n?n?n?...?n?lim??n???123n?n??n?n?n?nnnn?____________________. ?6、极限

28

连续函数f(x)滿足 lim7、设

ln(x?1)?2,且 f(1)?0,则 f?(1)?x?2f(3?x) _________________.

8、交换积分次序：

?1/40dy?yyf(x,y)dx??dy?1/41/21/2yf(x,y)dx=

___________ . x?1y?1??z?2439、已知入射光线路径为，则此光线经过平面x?2y?5z?17?0反射

后的反射线方程为

____.

cosx??y?(sinx)10、已知，则 y?_________________________________.

二、（8分）设

连续性.

F(x)??tanx0f(tx2)dt??，其中f(x)为连续函数，求F(x)，并讨论F(x)的

三、（8分）设f(x)在[a,??)上二阶可导，且f(a)?0,f(a')?0，而当x?a时，f\x)?0， 证明在(a,??)内，方程有且只有一个实根。

29

0,1x?[0,1]，

四、（10分）设f(x)在上连续，f(0)?f(1)，求证：对于任意整数n，必存在n??f(x)?f(x1使

n?n)。

五、（8分）设f(x)有连续的二阶导数f(0)?f'(0)?0，且f(\)x0?其中u(x)是曲线y?f(x)在点(x,f(x))处切线在x轴上的截距。

30

u(x)lim?0f(t)dtx?0?x求

?0f(t)dt，

，

t?0,1,y?f(x)0,1六、（8分）设非负函数f(x)在上连续，且单调上升，与直线

y?f(1)及x?t围成图形的面积为S1(t)，y?f(x)与直线y?f(0)及x?t围成图形的

面积为

????S2(t).

S1(t)?S2(t).

⑴ 证明：存在唯一的t?(0,1),使得

⑵ t取何值时两部分面积之和取最小值？

?y?z?1?0?x?0(1,?1,1)z?0七、（8分）设一平面垂直于平面，并通过从点到直线?的垂线，

求此平面的方程。

31

2y?a(1?x)(a?0)及x轴所围成的，现要八、（10分）如图，一平面均匀薄片是由抛物线

求当此薄片以(1,0)为支点向右方倾斜时，只要?角不超过45，则该薄片便不会向右翻倒，

?问参数a最大不能超过多少？

第二十届（2009年）北京市大学生数学竞赛

本科丙组试题（有改动）

班级： 学号： 姓名：

一、填空题（每题4分，满分40分）

?n2?n3?????lim?2? . n????1、极限

n?lim2、设f?x?在x?1处可导，且f?1??0，f'?1??1，则极限x?1x11??t?tf?u?du??dt??3?x?1? 32

? .

3、设x??y0dyd3y41?4t2，则dx3?dx? .

dtsinx4、设f?x?有一个原函数是x，那么

??xf'?x?dx2??

12y1?x?5、曲线绕其渐进线旋转所得旋转体体积V?

6、设z?xe?7、设D?

2y?x?1?arctany?1???z?z??y??x??y????x，则 ?，则积分

D1,0?? ??x,y?x????x?y?dxdy?

2?x?x?2y?2z?2z?2z?z62??2?v?x?3y且?x?x?y?y?0，那么?u?v?

8、设z?z?x,y?，变量?9、设f(x)是连续函数，且满足

f(x)?3x2??f(x)dx?202, 则f(x)?____________.

?x?y?6x?1y?5z?8L2:?L1:???2y?z?3的夹角为 . 1?21与直线10、直线

?1??1??nlim?n?e二、（6分）计算极限 n??

n2。

?三、（8分）设f(x)在x?1点附近有定义，且在x?1点可导， f(1)?0,f(1)?2. 求

f(sin2x?cosx)limx?0x2?xtanx。

33

设|y|?1,求 F(y)?? x?y exdx 的最大值.?1四、（8分）

五、（8分）设f(x)连续可导，证明：

34

1?10dx?x0f?(y)dy???f(1)?f(0)?(1?x)(x?y)。

六、（10分）设函数f(x)连续，

g(x)??f(xt)dt01lim，且

x?0f(x)?A?x，A为常数，求g(x)?并讨论g(x)在x?0处的连续性。

35

七、（10分）设f(x)在区间(??,??)连续，

F(x)?x1x?af(t) dt (a>0), G(x)??f(t) dt?02ax?a,

试解答下列问题：（1）用G(x)表示F(x)；（2）求F?(x)；（3）求证：a?0lim F(x)??f(x)；

F(x)?f(x)?M?m（4）设f(x)在?x?a,x?a?内的最大值和最小值分别是M、m,求证：。

?1?f(0)?f(1)?0,f???1?2?. 证八、（10分）设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可微，且

明：(1) 存在

???,1?2?1???使得f(?)??；(2) 存在??(0,?)使得f?(?)?f(?)???1。

第二十一届（2010年）北京市大学生数学竞赛

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本科丙组试题（有改动）

班级： 学号： 姓名：

三、填空题（每题4分，满分40分）

d?1?f(2)??x??1.已知dx?x?，则f(1)? .

x?xk2.当x?0时，如果e?e是变量x的等价无穷小量，那么k? . 223.函数4.

f(x)?(x2?5x?6)x3?3x2?2x的不可导点的个数为

?40x(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)dx?

uu?e?xy确定了隐函数u?u(x,y)，则在点x?y?1的二阶偏导数 5.已知方程

?2u??x?y______________________________ arctanx2f(x)F(x)?F(1)??F(x)f(x)x(1?x)，4，6.设是的一个原函数，且当x?0时，有

则f(x)? ________________ (n?1)2lim7.极限

n??2k?n22?x1?k _________

8.积分

?1dx?1yexydy? ________________

9.设可微函数y?f(x)满足方程

?x0f(t)dt?x??tf(x?t)dt0x，则f(x)?

x2z??y2?2210.曲面平行平面2x?2y?z?0的切平面方程是___________________ ex?e2x???enxxlim()x?0n二、（8分）求极限，其中n是给定的正整数。

e 37

?x??y?u?yf???xg???x?，其中函数f,g具有二阶连续导数， ?y?三、（8分）设

?2u?2ux2?y?x?y。 求?x

???四、（10分）设f(x)具有二阶连续导数，且f(0)?0,f(0)?f(0)?0，t是曲线y?f(x)xf(t)x?0tf(x)上点(x,f(x))处的切线在x轴的截距，求。

lim

38

五、（8分）设闭区域D为

x?y?1,f(u)1在??1,1?上连续，

证明：

??f(x?y)dxdy??D?1f(u)du。

2y?ax?bx?2lnc过原点.当0?x?1时,y?0,又已知该抛物线六、（10分）设抛物线

1与x轴及直线x?1所围图形的面积为3.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋

转体的体积最小。

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七、（6分）设f(x)是?0,2??上具有二阶连续正导数的函数，证明：

八、（10分）设f(x)在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，且

?2?0f(x)cosxdx?0。

0?a?b??2.证明：至少存在两

点?，???a,b?，使得

f????tana?bsin??f????2cos?。

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