2015概率

2015-2016学年第一学期概率论与数理统计期末考试

试卷

班级:_______________学号:_______________姓名:_______________得

分:_______________ (卷面共有100题,总分574分,各大题标有题量和总分,每小题标号后有小分) 一、选择题(17小题,共48分) [3分](1)设是一个区间，( )。

，是一个概率密度函数，则是

A、

B、 C、 D、

[3分](2)要使函数( )。

是某个随机变量的概率密度，则区间

是

A、 B、 C、 D、

[3分](3)设随机变量与相互独立，且都有相同的分布列

1 2 则

的分布列为( )。

A、

2 3

B、

C、 D、

2 3 4 0 2 3 4 2 4

[2分](4)设,相互独立,且都服从相同的分布，即则下列结论正确的是

( )。

A、

B、

C、

[4分](5)设随机变量与相互独立，且有相同的分布列

1 2 则的分布列为( )。

A、

3 1 B、

、

D

2 3 4 C、

2 3 4 D、

2 4 ，相关系数

，

[3分](6)已知随机变量与的方差则

等于( )。

A、19 B、13 C、37 D、25 [3分](7)设服从

的二项分布，服从正态分布且

，则的概率密度函数

=( )。

A、 B、 C、

D、

[2分](8)设的是( )。

是来自随机变量X的样本,,则以下结论错误

A、 B、

C、 D、是的无偏估计量

[3分](9)设是来自总体的样本，

则以下结论中错误的是( )。

A、与独立 B、

C、 D、

[3分](10)设是来自正态总体的样本

，则统计量服从( )。

A、 B、自由度为的分布

C、自由度为的分布 D、自由度为的分布

[2分](11)设是来自随机变量的样本(无偏样

本方差),则下列结论正确的是( )。

A、 B、

C、 D、

[3分](12)样本( )。 A、

(

，,取自总体，，，则有

)不是的无偏估计

B、是的无偏估计

C、是的无偏估计

D、是的无偏估计

[3分](13)在统计假设的显著性检验中,取小的显著性水平的目的在于( )。

A、不轻易拒绝备选假设 B、不轻易拒绝原假设 C、不轻易接受原假设 D、不考虑备选假设 [3分](14)在统计假设的显著性检验中,实际上是( )。 A、只控制第一类错误,即控制\拒真\错误

B、在控制第一类错误的前提下,尽量减小此第二类错误(即受伪)的概率 C、同时控制第一类错误和第二类错误

D、只控制第二类错误,即控制\受伪\错误

[3分](15)下列关于方差分析的说法不正确的是( )。

A、方差分析是一种检验若干个正态分布的均值和方差是否相等的一种统计方法. B、方差分析是一种检验若干个独立正态总体均值是否相等的一种统计方法. C、方差分析实际上是一种F检验.

D、方差分析基于偏差平方和的分解和比较.

[3分](16)对某因素进行方差分析，由所得试验数据算得下表：

方差来源 组间 组内 总和平方和 自由度 值 4 15 19 采用检验法检验，且知在时的临界值，则可以认为

因素的不同水平对试验结果( )。

A、没有影响 B、有显著影响

C、没有显著影响 D、不能作出是否有显著影响的判断 [2分](17)在线性模型

有被否定，则表明( )。 A、两个变量之间没有任何相关关系 B、两个变量之间存在显著的线性相关关系 C、两个变量之间不存在显著的线性相关关系 D、不存在一条曲线

能近似地描述两个变量间的关系

的相关性检验中，如果原假设

没

二、填空(23小题,共61分)

[3分](1)一批产品1000件，其中有10件次品，每次任取一件，取出后仍放回去，连取二次，则恰取得一件次品的事件的概率等于________。

[3分](2)一批产品1000件，其中有10件次品，无放回地从中任取二件，则取得都是正品的事件的概率等于___________________。

[2分](3)袋中有红，黄，白球各一个，每次任取一个，有放回地抽三次，则抽到的三个球颜色全不同的事件的概率等于_________________________。 [2分](4)设个事件

互相独立，且

，则这

个事件至少有一件不发生的概率是________________. [3分](5)设个事件

互相独立，且

,则这个

事件恰好有一件不发生的概率是________________. [3分](6)已知

[2分](7)三批产品，第一批优质品率为

__________。

，则

0.2，第二批优质品率为0.5，第三批优质

品率为0.35。现从这三批中任取一批再从该批中任取一件产品。则取得优质品的概率为__________。 [2分](8)设

，已知的分布函数

且

____________________。

，用分布函数F(x)之值表示概率

[2分](9)设

，用分布函数

,已知的分布函数为

之值表示概率

且

_________________.

[2分](10)设

,

，的分布函数

之值表示概率

且

________________.

，用分布函数

[2分](11)设数

之值表示概率

，的分布函数

(其中

=，用分布函

)=__________________.

[3分](12)设用

之值表示概率

，已知

_________________.

，又，

[2分](13)要使

=____________。

是某随机变量的分布函数，则需

[2分](14)若随机变量只取值1，2，3，且

，则

的值应是_________。

[3分](15)设()的联合分布函数为

，则______________。

[3分](16)设相互独立，且，则

均大于4的概率为_________。

[3分](17)设随机变量的联合概率密度是别为

和

，则在

，(

，关于和的边缘概率密度分>0)的条件下?的条件概率密度

=_____________。

[2分](18)人体的体重为随机变量

，10个人的平均体重为

(与同分布)则_____________。

[6分](19)(，)的联合概率密度为则

___________

___________

[3分](20)设每次射击击中目标的概率为0.001，如果射击5000次，试用中心极限定理击中的次数大于5的概率是______________。已知：(1)=0.8413 [2分](21)设

为正态总体

的样本，则

(0)=0.5；

服从__________。

[3分](22)设总体，是未知参数，是样本，则

及都是的无偏估计，但____________有效。

[3分](23)进行方差分析时，将三、问答(25小题,共172分) [6分](1)若集合有个元素少个？

表示为，则~_____________。

则集合的所有非空子集共有多

[4分](2)设，，，为任意集合，化简下式

[6分](3)设是三个随机事件，试用表示下列各事件：

(1)“三个事件中至少有一个发生”记为记为

；(3)“恰有一个事件发生”记为

；(2)“三个事件中至少有两个发生”

[3分](4)考虑不超过100的正整数，设4的倍数的集合为，属于

的元素有几个？

，5的倍数的集合为

[8分](5)设某地有甲，乙，丙三种报纸，据调查，成年人中有20?读甲报，16?

读乙报，14?读丙报，8?兼读甲报和乙报，5%兼读甲报和丙报，4%兼读乙报和丙报，2%兼读所有报纸，问成年人中有百分之几至少读一种报纸？

[3分](6)设事件的概率为，且，试求的值.

[3分](7)设为任意三个事件，写出下列事件的表达式：

(1)至少有两个事件出现；(2)恰有两个事件出现；(3)不多于两个事件出现。

[8分](8)设随机变量的概率密度为(1)确定系数

； (2)计算

(3)求

的分布函数。

[10分](9)设随机变量服从

、

，求分点，使?分别落在

的值：

、

的概率之比为3:4:5.已知标准正态函数

[5分](10)命题“两个分布函数的和仍为分布函数”是否正确？并说明理由。

[5分](11)设随机变量的分布函数为

试确定常数

并计算。

[8分](12)设的分布函数为

判断

是否相互独立。

[4分](13)设与相互独立，且分布律。

[3分](14)设离散型随机变量

相互独立，且的分布律为

，求的

,的分布律为

律。

，求的联合分布

[6分](15)若(1)确定常数

的联合概率密度为; (2)求

。

[8分](16)设母体=(

服从二项分布,其中是未知参数,

)是从中抽取的一简单子样。(1)写出它的一个实测点。(2)指出它

的样本空间共有多少个样本点。(3)写出样本的联合分布律。(4)求出样本点=(1，0，0，1，1)的样本平均与样本方差。

[5分](17)母体么？为什么？

服从二项分布，问样本均值的近似分布可以是什

[6分](18)若母体服从布，则说样本()的和服从分布

对吗?若然,则求期望及方差;若不然,则说明理由.

[10分](19)总体服从参数为的0-布,从中抽取样本，求样

本均值的分布列

[6分](20)若母体服从二项分布,则样本()的和服从

二项分布说明理由。 [5分](21)设

,对吗?若然,则求期望及方差;若不然,则

为顺序统计量,判断以下命题的正确性：

(1)因为它们来自简单随机样本故与相互独立( )

(2) 与总体同分布( )

(3)若总体的期望值为,则( )

(4)样本极差是一个统计量( )

(5)当为奇数时则是样本中位数.( )

[8分](22)设为一子样，总体具有密度为:试

用极大似然法估计总体参数。

[12分](23)设某个计算公司所使用的现行系统，通每个程序的平均时间为45秒。

今在一个新的系统中进行试验，试通9个程序。所需的计算时间(单位：秒)如下：30，37，42，35，36，40，47，48，45，由此数据能否断言“新系统能减少通程序的平均时间？知

)

假定通每个程序的时间服从正态分布

，(已

[15分](24)下表给出小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数，问三种菌型对小白鼠的平均存活日数有否显著差异

菌型 Ⅰ型 Ⅱ型 Ⅲ型 小白鼠接种后活日数 2，4，3，2，4，7，7，2，5，4 5，6，8，10，7，12，6，6，5 7，11，6，6，7，9，5，10，6，3，10 代表资金,劳力，

产值)

[15分](25)某地84年至92年统计数据如下(年 84 85 86 87 88 89 90 91 92 0.162 0.289 0.368 0.315 0.229 0.285 0.477 0.742 1.209 0.160 0.296 0.428 0.490 0.467 0.542 0.806 1.121 1.332 已知有关系式，试估计

四、计算(19小题,共147分)

[6分](1)某乒乓球队有6名女队员，8名男队员，从中选出2名女队员，2名男队员进行混合双打练习，共有多少种分组方法。

[3分](2)从1，2，?，30这30个数中随机地选取10个不同的数，求所取出的数都是偶数的概率。

[8分](3)设随机变量在中

)。

上服从均匀分布，求的概率密度。(其

[3分](4)设的分布律为

3 2 1 1 2 求的分布律。

[6分](5)设有产品200件，其中有5件次品，现从中随机的抽取30件,设抽得次品件数为，若(1)每次抽取后不放回；(2)每次抽取后放回,分别求的分布列。

[10分](6)设随机变量的联合概率密度

()，求取值于椭圆内的概率。

(其中常数)

[8分](7)设二维随机变量在区域D；上均匀分布。

求的概率密度。

[2分](8)设的联合密度函数为

求?与?中至少有一个小于的概率。

[10分](9)设随机变量()的概率密度为

求及的相关系数

[8分](10)已知随机变量相互独立，且其分布律为

试求的分布律，并计算和。

[10分](11)设是相互独立的随机变量，且，

，而

，

均为常数

令

其中

求

[12分](12)设()服从二维正态分布，其概率密度为

求

差。

的数学期望与方

[6分](13)设随机变量服从指数分布，其概率密度为其中

是常数求：

[8分](14)测量某物体高度时，测量误差(单位：毫米)的概率密度为

求测量误差的绝对值的数学期望与方差。

[8分](15)设随机变量相互独立具，都服从分布，求

其中

为中的某一个随机变量。

[6分](16)总体不少于40的概率。 (已知：自由度=8时

(

，从中取得样本，试求统计量

?40)=0, (?20)=0.005, (?10)=0.27)

[3分](17)对快艇的6次试验中，得到下列最大速度(单位：)：

27,38,30,37,35,31求快艇的最大速度的数学期望与方差的无偏估计。

[12分](18)在单因素方差分析模型

求，

[18分](19)某零件上有一段曲线，为了在程序控制机床上加工这一零件，需要求这一段曲线的解析表达式，在曲线横坐标处测得纵坐标的11组数据

如下表，试求这段曲线的回归方程

10 12 14 16 18 20 0 2 4 6 8 0.6 2.0 4.4 7.5 11.8 17.1 23.3 31.2 39.6 49.7 61.7 五、证明(4小题,共27分)

[8分](1)(1)已知与同时发生则发生，试证：

(2)若，试证：.

[5分](2)设服从指数分布，其概率密度为

证明(用切比雪夫不等式)

[5分](3)设服从指数分布，其概率密度为

证明(用切比雪夫不等式)

[9分](4)已知，求证

六、应用(12小题,共119分)

[10分](1)从装有3个白球，3个黑球的甲箱中，随机地取出二个球，放入装有4个白球与4个黑球的乙箱中，然后再从乙箱中取出一球，求此球为白球的概率。

[4分](2)实验室器皿中产生甲类细菌与乙类细菌的机会是相同的，若某次发现产生了20个细菌，求甲，乙二类细菌各占一半的概率。

[12分](3)设为曲线与x轴所围成平面区域，在中任取一点，该点到轴的距离为，求的分布函数。

[10分](4)一袋中装有3个红球5个白球，从袋中一个一个无放回地取球，共取了4次，用表示取得红球的个数，求的分布列。

[8分](5)公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车时间不超过3分钟的概率。

[8分](6)某电子元件的寿命服从正态分布，某系统中使用了四个这种元件，如果四个元件都正常工作，则系统才能正常工作。求该

系统能正常工作180小时以上的概率。(设每个元件能正常工作与否相互独立)。已知标准正态分布函数的值：

。

[10分](7)从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是：

和

如果与相互独立，写出(，)的联合概率密度，并求下列事件的概率(1)到时刻两家的元件都失效(记为)，(2)到时刻两家的元件都未

失效(记为)，(3)在时刻至少有一家元件还在工作(记为)。

[7分](8)若袋中有三件产品，其中一件是次品，二件是正品，从中任取一件，取后不放回袋中，再任取一件，设每次抽取时，各产品被取到的可能性相等，以

分别表示第一次和第二次取到的正品数，求的联合分布列和联合分布函数。

[8分](9)对某一目标连续射击，直到命中次为止，设各次射击的命中率均为，求消耗子弹数的数学期望。

[10分](10)自动生产线在调整以后出现废品的概率为，生产过程中出现废品时，立即进行调整，求两次调整之间生产合格品数的

数学期望与方差。

[12分](11)电工器材工厂生产一批保险丝，抽取10根试验其熔化时间，结果为(毫秒)：42，65，75，78，71，59，57，68，54，55问是否可认为整批保险丝

的熔化时间的方差不小于64？(，熔化时间为正态变量)(已知)

[20分](12)用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(mg/l)与消光系数读数的结果如下表：

尿汞含量 消光系数 (1)建立

关于

2 64 4 138 6 205 8 285 10 360 的回归方程，并检验其方程是否有意义。

(2)若测得尿汞含量为5(mg/l)予测消光系数的范围(置信=为0.95)

(给出

============================================================================= ===============================答案========================================== 一、01(17小题,共48分) [3分](1)A

[3分](2)B

[3分](3)C

[2分](4)D

[4分](5)B

[3分](6)B

[3分](7)D

[2分](8)C

[3分](9)B

[3分](10)B

[2分](11)A

[3分](12)D

[3分](13)B

[3分](14)A

[3分](15)A、

[3分](16)B

[2分](17)C

二、02(23小题,共61分)

[3分](1)0.01982或

[3分](2)=0.98009

[2分](3)

[2分](4)

[3分](5)

[3分](6)0.75

[2分](7)0.35

[2分](8)

[2分](9)

[2分](10)

[2分](11)

[3分](12)

[2分](13)1

[2分](14)0.2

[3分](15)

[3分](16)

[3分](17)

[2分](18)

[6分](19)

[3分](20)0.5

[2分](21)

[3分](22)比

[3分](23)

三、03(25小题,共172分)

[6分](1)含1个元素的子集有个.

含2个元素的子集有个

??

含个元素的子集有个

??

所有非空子集的个数为

[4分](2)因

故

[6分](3)(1)或或

(2)或

(3)

[3分](4)用表示属于集合的元素的个数

[8分](5)令读甲报者的集合为，人数为，读乙报的集合为，人数为，读丙报者的集合为，人数为，总人数为

于是

因为

所以成年人中有35%至少读一种报纸.

[3分](6)因

所以

[3分](7)(1)

(2)

(3)

或

[8分](8)(1)由

，得

(2)

(3)

[10分](9)

，查表得

则

同理

查表得

则

[5分](10)该命题不正确。

设分别是分布函数，若按定义

则

故

不是分布函数。

[5分](11)

[8分](12)

则

不相互独立。

[4分](13)

[3分](14)

=1 =1 1 1 [6分](15)(1)

故

=2

(2)

[8分](16)解：(1)例如=(1，0，1，0，0)

(2)样本空间由所有可能的数组()组成，其中=0或1，(

=1，2，?，5)。所以样本空间共有

=32个点。

(3)

(4)为样本平均值

样本方差

[5分](17)(1)近似分布为为样本容量。 (2)根据独立同分布中心极限定理。

[6分](18)(1)对 (2)

[10分](19)解:有分布列

0 1 则

故有

0 即有分布列

[6分](20)(1)对 (2)

[5分](21)(1)(错) （2)(错) (3)(对) (4)(对) (5)(对)

[8分](22)

令

解得：

[12分](23)这问题为在下，检验假设

：

；H：1

(未知)

由于故拒绝，即认为新系统能减少通程序的平均时间。

[15分](24)解：设小白鼠在接种后的存活日数服从正态分布，且接种不同菌型后的存活日数相互独立具有相同方差：

。

要求检验假设

现有

并得下面方差分析表

自由度方差来源 平方和 2 组间 组内 总和 29 由于

均方和 值 27 故接受：，即认为小白鼠在接种不同菌种后存活天数无显著差异

[15分](25)令

化得为线性模型用最小二乘法估计之：

(只要将的单位换之)

四、04(19小题,共147分)

[6分](1)从6名女队员中选2名的方法共有(种)

从8名男队员中选2名的方法共有(种)

2名女队员，2名男队员搭挡方法共有(种)

故共有2??

=840(种)分组方法

[3分](2)表事件“所取的数都是偶数”

基本事件总数为

所包含事件数为

[8分](3)的概率密度为

函数的反函数

当

于是的概率密度为

[3分](4)

3 2 0 1 2 [6分](5)(1)每次抽取后不放回，服从超几何分布，其分布列为

，

(2)每次取后放回，服从二项分布，，,

其分布列为：

。

[10分](6)设为所求概率

令则

[8分](7)

当

当

当

故?的概率密度为

[2分](8)

[10分](9)

=

[8分](10)解：的分布律为~；~

因相互独立，故的分布律为：

0 0.49 1 0.42 2 0.09

(或)

(或=

[10分](11)

[12分](12)

=

=

=

=

[6分](13)

[8分](14)

[8分](15)

[6分](16)解：，故

，故

[3分](17)

[12分](18)

其中

[18分](19)解：按最小二乘法确定回归方程的系数离差平方和为

。

对分别求导，并令之为0得

即

(1)

解出的值代入(*)得所求回归方程为简化计算，令

得

代入(1)式有：

解此方程得

关于

的回归方程为

以代回即得:为所求

五、05(4小题,共27分) [8分](1)(1)因

，又

得

(2)因，两次利用(1)的结果，得

[5分](2)

由切比雪夫不等式，得

[5分](3)

由切比雪夫不等式，得

[9分](4)解：因，故可取

其中，且与相互独立。从而与也相互独立。

又由于(1)

于是

六、06(12小题,共119分) [10分](1)

\从甲箱中取出二个球中有只白球\

\从乙箱中取出一球为白球\则

，

，

，

由全概率公式

[4

分](2)

[12分](3)的面积

所对应区域的面积

故得

[10分](4)的取值范围是

即

0 1 2 3 [8分](5)设乘客候车时间为，他到站后到来的第一辆公共汽车到站的时刻为则在

内服从均匀分布，的概率密度为

[8分](6)设表示第个元件寿命，所求概率为

=

[10分](7)联合概率密度

(1)

(2)

(3)[7分](8)

0

0 1

[8分](9)设表示直到命中次为止所消耗的子弹数，表示第

次命中后到

第次命中时所消耗的子弹数，则

，服从几何分布，即

其中

故

[10分](10)设随机变量表示两次调整之间生产的合格品数，则的一切可能值是非负的整数即为0，设生产

个合格品后出现废品，则概率

[12分](11)问题即是在下，检验假设

：；：

通过样本值算得

由于

故接受，认为整批保险丝的熔化时间的方差不小于64。

[20分](12)解：

(1)则回归系数与常数项分别为：

所求回归方程为：

检验假设，(已知)

又知：

故否定，即回归效果显著。

(2)时

为

时值的0.95置信区间。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6yzp.html