数学归纳法的应用

数学归纳法的应用

姓名 甘国优 指导教师 赵慧炜

中文摘要：数学归纳法是数学中一种非常普遍的证题的方法，其应用极为广泛．本次主要简述了数学归纳法的简略步骤：观察（探索）﹑归纳﹑猜想﹑证明于一体的数学思想，体现出数学归纳法的证题思路．并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式﹑几何等方面的一些简单应用问题的方法，对应用中常见的误区加以剖析，以及介绍一些证题方法技巧，有助于提高对数学归纳法的应用能力． 关键词：数学归纳法；步骤;证明方法．

Abstract: Mathematical induction is a common evidence method in mathematics, it is have very broad application. In this paper, author research into the step of the Mathematical induction , it includes summariz，evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz the method of the mathematical induction application in solve algebra identities , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical induction’s application．

Key words：Mathematical induction; Steps ; Proof.

引言

演绎和归纳是人在思维过程中两个完全相反的过程.同时又是数学思维中两种基本的方法.数学归纳法是一种重要的数学证明方法，他有着其他方法所不能代替的作用，也是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法.我们在学习运用数学归纳法应具备两个条件：①当n?1时，这个命题为正确的（奠基），②当n?k时，这个命题也为正确的．推出当n?k+1时，这个命题也为正确的（递推）．通过“递推”链接，实现从特殊到一般的转化，抽象的进行数学归纳.首先

第 1 页 共 1 页

我们要了解归纳法与数学归纳法的思想，由思想转换为思路来解决实际问题.当然我们在中学所学习的比较浅显，因此需要进行整理疏通总结，并学以致用其思想，在应用数学归纳法时所需的一些问题进行整理,了解数学归纳法在中学代数及几何问题方面的应用更深刻总结数学归纳法的重难点及解题技巧，选取典型例题来体现这一思想，抓住其最基本的步骤并掌握数学归纳法的证明方法．

1 数学归纳法的概论

1.1 数学常用证明方法

数学是门极其注重学习方法的学科,数学恒等式的证明使这些方法体现的完美无缺，而常用的数学证明方法有以下几种； 1.1.1 演绎推理

由一般推理到特殊的推理方法称为演绎推理，又叫演绎法． 1.1.2 归纳推理

由特殊到一般的推理方法称为归纳推理法，又叫归纳法．其中归纳法又分为完全归纳法与不完全归纳法． 1.1.3 完全归纳法

探讨事物的全部特殊情况后得出一般结论的推理方法称为完全归纳法，又叫枚举法．

1.1.4 不完全归纳法

由某类事物中一部分事物所具有的某种属性，推出此类事物全部都具有这种属性的归纳推理方法称为不完全归纳法． 1.1.5 数学归纳法

数学归纳法证明是与自然数N有关的命题的一种特殊方法．（在高中数学中常用来证明不等式成立和数列通项公式成立）

1.2 数学归纳法的定义

第 2 页 共 2 页

数学归纳法定义: 是一种先得出首个例子的正确性,再通过递推的方式证明命题是否正确的一种方法．它是以考察特殊、个别的情况后作出的判断作为基础.再从这些个别情况的判断归纳出一般的结论,也可以说,它是从特殊到一般的推理方法.即当n=1正确时,若在n=k正确的情况下,n=k+l也是正确的,便可递推下去.虽然我们没有对所有的自然数逐一的加以验证,但事实上,这种递推就已经把所有自然数都验证了,这种方法就是数学归纳法.

2 数学归纳法的背景与原理

2.1背景

数学归纳法最早的痕迹可以在古希腊时代和印度的著作中找到丝缕痕迹，如欧几里德素数无限的证明中和印度婆什迦罗的“循环方法”都可以找到这种痕迹．有资料和数据表明，在中世纪伊斯兰数学中就已经比较清晰、广泛地使用了数学归纳法中归纳推理．而数学归纳法真正明确使用的是意大利数学家、天文学家和工程师莫洛里科斯，而他也尚未对数学归纳法证明中的归纳奠基和归纳推理两个步骤进行清楚的阐述．真正清楚数学归纳法证明这两步的应是17世纪的数学家帕斯卡，最早是他将数学归纳法的证明用两步确定下来.而“数学归纳法”名称是英国数学家提出的, 并由英国教科书作者普遍使用并推广． 数学归纳法的严格建立，是对无穷概念有较深刻的认识和数的理论充分发展后才得以完成．十七世纪后，数学归纳法有了明晰的框架，后来发展出了最小数原理、第一和第二数学归纳法、递减归纳法、螺旋归纳法、倒推纳法、跳跃归纳法、双重甚至多重归纳法等多种形式的数学归纳法．至1889年意大利数学家皮亚诺发表《算术原理新方法》，给出自然数的公理体系，使数学归纳法有了一个合理、准确的理论基础．

归纳法的逻辑是指从有限的特殊事例推出一般性结论的推理方法，从肯定全体对象中的有限的个别事物到肯定全体对象．但数学归纳法并不具备这些特性．演绎法是由一般到具体结论的推理方法，演绎推进的前提必然蕴涵结论。从数学归纳法的推理过程来考察，还是从它的理论根据来考察，数学归纳法本质上

第 3 页 共 3 页

都是一种演绎法。现代美国数学家波利亚有这样评论“数学归纳法”：“归纳法是通过对特例进行观察和综合后以发现一般规律的过程.它仅在数学中用以证明某类定理．从名称上看，二者有联系, 但二者在逻辑方面的联系很少。而两者之间还有某种实际联系；我们常把两种方法一起使用．”

2.2原理

所有数学都始于计数，计数就是把要计数的对象集合与几个起始自然数

1,2,3,4,5...一一对应的过程.我们用N表示自然数这个无限集合，自然数N的一

个基本性质是良序性，下面将对自然数的良序性进行形式化的论述，并且把它作为一个关于N的公理.对于任何系统，公理是无需证明即为真的命题.为了对一个系统（这里指自然数）进行推理，首先需要对该系统做一些假设.尽管这些基本的假设常常不容易一眼就看出，但它应该是“合理的”和“显而易见为真的”.

良序原理：自然数集N的每个非空子集都有一个最小元素.

显而易见，自然数N的任何子集都可以通过列出实际元素的方式给定，即使对于不易直接定义的集合，该定理依然有效.例如，当x和y可取任意整数时，考虑12x?28y所表示的所有自然数集合.从定义看该集合的范围并不明显，但是根据良序原理，由于该集合非空（注意这很重要），集合中必有一个通过该方式表示的最小自然数.（当然，求具体的最小自然数的值是另外一回事.注意良序原理保证有一个最小数存在，但绝对没说如何去计算它.）

从数学归纳法的发现、发展到应用；从数学归纳法理论基础到实际教学；从数学归纳法的逻辑基础到学生学习数学归纳法时遇到的心理问题。要清楚相关知识又何止这些呢?实际上,只有清楚了解每一个知识点的来龙去脉和每一个知识点的应用范围,以及每一个知识点的所以然,方能更好去解决问题．

3 数学归纳法的步骤

数学归纳法的步骤,若把需证明的命题记作ｐ(n),那么数学归纳法的步骤为:

(1) 证明当n=1时,p(n=1)成立．

第 4 页 共 4 页

(2)假设n=k(k?N*且k?0)时,命题成立,即p(k)成立.证明当n=k+1时命题也成立．

(3)根据(1)、(2) 当k?0且 k?N* 时 ,即p(n)成立．

运用数学归纳法证题时, 以上这三个步骤是必不可少的, 步骤(1)时是正确的奠基步骤,称之为归纳基础, 步骤(2)反应了递推关系,即命题的正确性具有传递性作用．步骤(3)是将步骤(1)与步骤(2)组合完成数学归纳法中递推的全部过程,所以三个步骤必不可少．

4 易错分析

刚刚接触数学归纳法时容易出现对步骤把握不清的现象,下面针对几种常见错误进行分析．

4.1 弄不清n?k到n?k?1时的式子变化

例1:用数学归纳法证明: (n?1)(n?2)?(n+n)=2n?1?3?(2n?1),从“k”到“k?1”左端需增乘的代数式为：

A .2(2k?1) B.2(k?1) C.

2k?12k?3 D. k?1k?1错误解法：n?k时，式子左端(k?1)(k?2)?(k?k)?(k?1)(k?2)(k?3)?2k，

n?k?1时，式子左端为(k?1)(k?2)?(k?1?k?1) 故选B．

分析：n?k?1时，左端第一个因式也有所变化，不能简单地看后面的因式． 正确解法：当n?k时，左端为(k?1)(k?2)?2k为从k?1到2k连续整数的乘积．

4.2 运用数学归纳法时忽略了n?k时的假设条件．

例2:用数学归纳法证明：n?N*时， 1?1???1?33?51n

?(2n?1)?(2n?1)2n?1错解：

(1)当n=1时，左边=

111?,右边=,等式成立．

31?33 (2)假设n?k(k?1，k?N*)时，等式成立．即

111k????? 1?33?5(2k?1)?(2k?1)2k?1

第 5 页 共 5 页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8ruf.html