数学归纳法(2019高考)数学分类汇总
更新时间:2023-03-08 10:12:53 阅读量: 综合文库 文档下载
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第3讲数学归纳法
一、选择题
1.利用数学归纳法证明“1+a+a+?+a证n=1成立时,左边应该是( ) A1 B1+a C1+a+a2D1+a+a2+a3
解析当n=1时,左边=1+a+a2,故选C. 答案 C
2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是
( ).
2
n+1
1-an+2=(a≠1,n∈N*)”时,在验1-a
A.假设n=k(k∈N+),证明n=k+1命题成立 B.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1命题成立 C.假设n=2k+1(k∈N+),证明n=k+1命题成立 D.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+2命题成立
解析 A、B、C中,k+1不一定表示奇数,只有D中k为奇数,k+2为奇数. 答案 D
111
3.用数学归纳法证明1-2+3-4+?+11111-2n=++?+2n,则2n-1n+1n+2
( ).
当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上 1
A. 2k+2C.
B.-D.1 2k+2
11- 2k+12k+211+ 2k+12k+2
11111
解析 ∵当n=k时,左侧=1-2+3-4+?+-,当n=k+1时,
2k-12k1111111
左侧=1-2+3-4+?+-2k+-.
2k-12k+12k+2答案 C
4.对于不等式n2+n (2)假设当n=k(k∈N*且k≥1)时,不等式成立,即k2+k 所以当n=k+1时,不等式成立,则上述证法 A.过程全部正确 B.n=1验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 解析 在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,故推理错误. 答案 D 5.下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( ) A.6+6·7k B.2+7k-1 D.3(2+7k) ( ). C.2(2+7k+1) 解析(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除. (2)假设当k=n(n∈N*)时,命题成立,即3(2+7n)能被9整除, 那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36. 这就是说,k=n+1时命题也成立. 由(1)(2)可知,命题对任何k∈N*都成立. 答案D 6.已知1+2×3+3×32+4+33+?+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a、b、c的值为 11A.a=2,b=c=4 1 C.a=0,b=c=4 ( ). 1 B.a=b=c=4 D.不存在这样的a、b、c 解析 ∵等式对一切n∈N*均成立,∴n=1,2,3时等式成立,即 c, ?1=3?a-b?+ ?1+2×3=32?2a-b?+c, ?1+2×3+3×32=33?3a-b?+c, ?3a-3b+c=1,整理得?18a-9b+c=7, ?81a-27b+c=34, 11 解得a=2,b=c=4. 答案 A 二、填空题 7.用数学归纳法证明不等式 11113++?+>24的过程中,由n=k推导n+1n+2n+n n=k+1时,不等式的左边增加的式子是________. 解析 不等式的左边增加的式子是填 1 . ?2k+1??2k+2? 1111+-=,故2k+12k+2k+1?2k+1??2k+2? 1 答案 ?2k+1??2k+2?8.用数学归纳法证明: 1222n2n(n+1)++?+=;当推证当n=k+1等式也成1×33×5(2n-1)(2n+1)2(2n+1)立时,用上归纳假设后需要证明的等式是 . 解析当n=k+1时, 1222k2(k+1)2 ++?++ 1×33×5(2k-1)(2k+1)(2k+1)(2k+3)k(k+1)(k+1)2=+ 2(2k+1)(2k+1)(2k+3)k(k+1)(k+1)2 故只需证明+ 2(2k+1)(2k+1)(2k+3)= (k+1)(k+2) 即可. 2(2k+3) k(k+1)(k+1)(k+1)(k+2)答案+= 2(2k+1)(2k+1)(2k+3)2(2k+3) 9.已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),?,则第60个数对是________. 解析 本题规律:2=1+1;3=1+2=2+1; 4=1+3=2+2=3+1; 5=1+4=2+3=3+2=4+1; ?; 一个整数n所拥有数对为(n-1)对. 设1+2+3+?+(n-1)=60,∴ ?n-1?n 2=60, 2 ∴n=11时还多5对数,且这5对数和都为12, 12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7, ∴第60个数对为(5,7). 答案 (5,7) 1 10.在数列{an}中,a1=且Sn=n(2n-1)an,通过计算a2,a3,a4,猜想an的表 3达式是________. 11 解析 当n=2时,a1+a2=6a2,即a2=a1=; 515当n=3时,a1+a2+a3=15a3, 即a3= 11 (a1+a2)=; 1435 当n=4时,a1+a2+a3+a4=28a4, 11 即a4=(a1+a2+a3)=. 2763 1111111 ∴a1==,a2==,a3==,a4=, 31×3153×5355×77×91故猜想an=. ?2n-1??2n+1?答案 an= 1 ?2n-1??2n+1? 三、解答题 111n 11.已知Sn=1+2+3+?+n(n>1,n∈N*),求证:S2n>1+2(n≥2,n∈N*). 111252 证明 (1)当n=2时,S2n=S4=1+2+3+4=12>1+2,即n=2时命题成立; 111k(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即S2k=1+2+3+?+2k>1+2, 11111k1 则当n=k+1时,S2k+1=1+2+3+?+2k+k+?+k+1>1+2+k+ 2+122+1k+111k2kk1 +?+>1++=1++=1+, + 22k+2k2222k+22k1故当n=k+1时,命题成立. n 由(1)和(2)可知,对n≥2,n∈N*.不等式S2n>1+2都成立. 12.已知数列{an}:a1=1,a2=2,a3=r,an+3=an+2(n∈N*),与数列{bn}:b1 =1,b2=0,b3=-1,b4=0,bn+4=bn(n∈N*).记Tn=b1a1+b2a2+b3a3+?+bnan. (1)若a1+a2+a3+?+a12=64,求r的值; (2)求证:T12n=-4n(n∈N*). (1)解 a1+a2+a3+?+a12=1+2+r+3+4+(r+2)+5+6+(r+4)+7+8+(r+6)=48+4r. ∵48+4r=64,∴r=4. (2)证明 用数学归纳法证明:当n∈N*时,T12n=-4n. ①当n=1时,T12=a1-a3+a5-a7+a9-a11=-4,故等式成立. ②假设n=k时等式成立,即T12k=-4k,那么当n=k+1时, T12(k+1)=T12k+a12k+1-a12k+3+a12k+5-a12k+7+a12k+9-a12k+11=-4k+(8k+1)-(8k+r)+(8k+4)-(8k+5)+(8k+r+4)-(8k+8)=-4k-4=-4(k+1),等式也成立. 根据①和②可以断定:当n∈N*时,T12n=-4n. 2 13.设数列{an}满足a1=3,an+1=an-2nan+2,n=1,2,3,? (1)求a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式(不需证明); (2)记Sn为数列{an}的前n项和,试求使得Sn<2n成立的最小正整数n,并给出
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