2012年上海市普通高等学校春季招生考试_数学试卷

2012年上海市普通高等学校春季招生考试

数 学 试 卷

后二位 校验码 号 码

考生注意：

1. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分. 考试时间120分钟.

一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每

个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 已知集合A 1,2,k ，b 2,5 ，若A2.

函数y__________. 3. 抛物线y2 8x的焦点坐标为__________.

4. 若复数z满足iz 1 i（i为虚数单位），则z __________. π

5. 函数f(x) sin 2x 的最小正周期为__________.

4

B 1,2,3,5 ，则k __________.

6. 方程4x 2x 1 0的解为__________.

7. 若(2x 1)5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，则a0 a1 a2 a3 a4 a5 __________.

(x 2)(x m)

为奇函数，则实数m __________.

x4

9. 函数y log2x x [2,4] 的最大值为__________.

log2x8. 若f(x)

10. 若复数z

满足z ii为虚数单位），则z在复平面内所对应的图形的面积为__________. 11. 某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、

女生都有的概率为__________.

12. 若不等式x2 kx k 1 0对x (1,2)恒成立，则实数k的取值范围是__________.

13. 已知等差数列 a

n 的首项及公差均为正数，令bnn N*，n 2012). 当bk是数列 bn 的最大项时，k

__________.

上海市教育考试院 保留版权 2012 春—第1页（共4页）

a12 a11a12 a

14. 若矩阵 11满足：，且a,a,a,a 1,1 0，则这样的互不相等的矩阵共有 11122122

a21a a21a22

__________个.

二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应

编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分.

x2y2x2y2

15. 已知椭圆C1: 1，C2: 1，则

124168

(A) C1与C2顶点相同. (C) C1与C2短轴长相等.

(B) C1与C2长轴长相等. (D) C1与C2焦距相等.

[答] ( )

16. 记函数y f(x)的反函数为y f 1(x). 如果函数y f(x)的图像过点(1,0)，那么函数y f 1(x) 1的

图像过点 (A) (0,0). (C) (1,1).

[答] ( )

(B) (0,2). (D) (2,0).

[答] ( )

17. 已知空间三条直线l、m、n. 若l与m异面，且l与n异面，则

(A) m与n异面. (C) m与n平行.

(B) m与n相交.

(D) m与n异面、相交、平行均有可能.

18. 设O为△ABC所在平面上一点. 若实数x、y、z满足xOA yOB zOC 0(x2 y2 z2 0)，则“xyz 0”

是“点O在△ABC的边所在直线上”的 (A) 充分不必要条件. (C) 充要条件.

三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写

出必要的步骤.

19. （本题满分12分）本题共有两个小题，第1

分6分.

四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面边长为1，求：

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[答] ( )

(B) 必要不充分条件. (D) 既不充分也不必要条件.

锥C1 MBC的体积；

20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.

某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长短差异）.

(1) 当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最

小平均速度；

(2) 新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时. 现

内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，问：内、外环线应各投入几列列车运行？

21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

(2) 异面直线CD与MC1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

y2

已知双曲线C1: x 1.

4

2

(1) 求与双曲线C

1有相同的焦点，且过点P的双曲线C2的标准方程；

(2) 直线l: y x m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点. 当OA OB 3时，求实数m的值.

22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知数列 an 、 bn 、 cn 满足(an 1 an)(bn 1 bn) cn(n N*).

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(1) 设cn 3n 6， an 是公差为3的等差数列. 当b1 1时，求b2、b3的值； (2) 设cn n3，an n2 8n. 求正整数k，使得对一切n N*，均有bn bk；

1 ( 1)n

(3) 设cn 2 n，an . 当b1 1时，求数列 bn 的通项公式.

2

n

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.

定义向量OM (a,b)的“相伴函数”为 f(x) asinx bcosx；函数f(x) asinx bcosx的“相伴向量”为OM (a,b)（其中O为坐标原点）. 记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.

π

(1) 设g(x) 3sin x 4sinx，求证：g(x) S；

2

(2) 已知h(x) cos(x α) 2cosx，且h(x) S，求其“相伴向量”的模；

(3) 已知M(a,b)(b 0)为圆C: (x 2)2 y2 1上一点，向量OM的“相伴函数”f(x)在x x0处取到

最大值. 当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围.

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数 学 试 卷

参考答案及评分标准

说明

1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分.

2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.

3. 第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数. 4. 给分或扣分均以1分为单位.

答案及评分标准

一. （第1至14题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.

1. 3. 6. 11.

x 1.

2. [ 1, ∞). 3. 8.

(2,0).

4. 1 i. 5. π.

7. 1. 2. 9. 5. 14. 8.

10. 2π.

14

. 15

12. ( ∞,2]. 13. 1006.

二. （第15至18题）每一题正确的给5分，否则一律得零分.

三. （第19至23题）

19. （本题满分12分）本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.

111(1) S△MBC 1 ，

224

又C1C为三棱锥C1 MBC的高

·········3分 ·········6分

1111

VC1 MBC S△MBC C1C 2 .

3346(2)

CD//AB，

C1MB为异面直线CD与MC1所成的角（或其补角）.

·········8分

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数学2012春 (答案)—第1页 (共5页)

联结BC1，AB 平面BCC1B1，

AB BC12

在Rt△MBC1中，BC1MB

tan C1MB 2

C1MB

即异面直线CD与MC1所成角的大小为20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1(1) 设内环线列车运行的平均速度为v千米/小时.

由题意可知，解得v 20.

所以，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，列车的最小平均速度是20千米/小时.

·········7分

30

60 10， 9v

·········4分

(2) [解法一] 设内环线投入x列列车运行，则外环线投入(18 x)列列车运行，内、外环线

乘客最长候车时间分别为t1、t2分钟， 则t1

30603072

， 60 60 ，t2

30(18 x)18 x25xx

7260

1， x18 x

·········9分 ······· 11分

于是有t1 t2

2

x 150x 1296 0,即 2 ， x

x 114x 1296 0,

又

x N*，所以x 10.

所以，当内环线投入10列，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1分钟.

······· 14分

[解法二] 设内环线投入x列列车运行，则外环线投入(18 x)列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t1、t2分钟， 则t1

30603072

60 ， 60 ，t2

30(18 x)18 x25xx

7260

1， x18 x

·········9分 ······· 11分

于是有t1 t2

数学2012春 (答案)—第2页 (共5页)

记f(x)

7260 (x 18，x N*)，则f(x)是单调递减函数， xx 18

又f(9) 1.33，f(10) 0.30，f(11) 2.03，所以x 10.

所以，当内环线投入10列，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1分钟.

······· 14分

21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. (1) 双曲线C

1的焦点坐标为

，0，

2

2

·········2分

a2 b2 5,

xy

设双曲线C2的标准方程为2 2 1，则 163

1,ab ab2 a 4,解得 2

b 1.

·········4分

x2

双曲线C2的标准方程为 y2 1.

4

·········6分 ·········8分

(2) 双曲线C1的渐近线方程为y 2x，y 2x.

设A(x1,2x1)，B(x2, 2x2).

2y2

x 0,

得3x2 2mx m2 0， 4

y x m

由Δ 16m2 0，得m 0. ······· 10分 ······· 13分 ······· 14分

m2

x1x2 ，OA OB x1x2 (2x1)( 2x2) 3x1x2，

3

m2

3，即m 22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分6分. (1)

an 1 an 3， bn 1 bn n 2. b1 1， b2 4，b3 8.

·········2分 ·········4分

(2)

an 1 an 2n 7，

n3

. bn 1 bn

2n 7

由bn 1 bn 0，解得n 4，即b4 b5 b6

.

·········6分

数学2012春 (答案)—第3页 (共5页)

由bn 1 bn 0，解得n 3，即b1 b2 b3 b4.

k 4.

·········8分 ······· 10分

(3)

an 1 an ( 1)n 1， bn 1 bn ( 1)n 1(2n n)，

bn bn 1 ( 1)n(2n 1 n 1)(n 2，n N*)（*）

······· 11分

由（*）得： b2 b1 21 1，

b3 b2 ( 1)(22 2)， …，

bn 1 bn 2 ( 1)n 1(2n 2 n 2)， bn bn 1 ( 1)n(2n 1 n 1).

当n 2k(k N*)时，以上各式相加得

bn b1 (2 22

2n 2 2n 1) 1 2 (n 2) (n 1)

2 2n 1( 2)n

1 ( 2)22 2nn ，

322 2nn2nn5 bn 1

32323当n 2k 1(k N*)时，

······· 14分

2 2n 1n 12nn13n

bn bn 1 ( 1)(2 n) 1 (2 n) .

32326

n 1

n

2nn13

,n 2k 1, 326bn n(k N*).

2 n 5,n 2k, 323

······· 16分

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3

小题满分9分.

π

(1) [证明] g(x) 3sin x 4sinx 4sinx 3cosx，

2

·········2分 ·········3分

其“相伴向量”OM (4,3)， g(x) S.

数学2012春 (答案)—第4页 (共5页)

(2) h(x) cos(x α) 2cosx

(cosxcosα sinxsinα) 2cosx sinαsinx (cosα 2)cosx，

·········6分

函数h(x)的“相伴向量”OM ( sinα,cosα 2)，

则OM

(3) OM的“相伴函数”f(x) asinx

bcosxx φ)，

其中cosφ

·

········9分

，sinφ

ππ

当x φ 2kπ ，k Z时，f(x)取到最大值，故x0 2kπ φ，k Z， ······· 11分

22πa

tanx0 tan 2kπ φ cotφ ，

2b

a

2tanx0 2， tan2x0 1 tan2x0a 1 ab b

2

·····

·· 13分

b b

为直线OM的斜率，由几何意义知， 0 .

aa 令m

·····

·· 15分

2b

，

m

0 ，则tan2x0 . a m m

当2单调递减， 0 tan2x0

m

0时，函数tan2x0

m m

2tan2x0 单调递减，tan2x0 0.

m m

当0 m

综上所述，tan2x0 0

.

······· 18分

数学2012春 (答案)—第5页 (共5页)

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